Geometrias não Euclidianas

o Olá caríssimos vamos Nesta aula discutir mais de geometrias não-euclidianas Na verdade essa aula é uma continuação da aula em que eu falei do quinto postulado de postulado das paralelas é uma espécie de continuação de complementação as ideias que eu vou começar aqui estão lá no final daquele vídeo da onde eu conto a história do quinto postulado em alguma coisa bem legal eu vou falar então dos modelos das geometrias não-euclidianas no final dessa desse vídeo então Vamos retomar essa discussão de ontem que nós estávamos eu contei para vocês a história que Euclides no livro os

elementos ele coloca a pela primeira vez aparece essa ideia de que tem os postulados que são verdades que são assumidas como verdadeiras e não são aprovadas pelo contrário as outras coisas é que são provados a partir dos postulados o Olá meu querido seu leitinho quinto postulado que não era esta formulação que eu coloquei aqui era uma formulação diferente a formulação de Lara que tem duas retas uma terceira reta que cortava e de um lado formava dois ângulos internos que tomavam menos que 180 tão deste lado as duas retas iriam se encontrar mas eu comentei que

a por razões que não se sabe muito bem talvez porque esta formulação aqui fala em paralelas e paralelas é uma coisa negativa né uma coisa que não se encontram talvez Euclides não tem a querido essa formulação não se sabe direito Março hoje o quinto postulado é isso por um ponto fora de uma reta passa uma única reta paralela reta da é uma coisa bastante básica nos nossos estudos de geometria da de uma reta e um ponto fora passa o quinto postulado tem duas afirmações disse que passa uma paralela portanto existe uma E vai encontrar primeiro

a paralelo e que ela é única Então são duas coisas que estão afirmados aqui que existe paralela e que é única e eu coloquei naquele outro vídeo que os matemáticos começaram a tentar provar esse postulado achava que ele não Era exatamente um postulado que ele na verdade era um teorema que poderia ser provado a partir dos outros os outros eram os outros postulados aquilo que Euclides chamou de noções comuns quero regras de lógica e raciocínio das definições para tudo que era o resto da do arcabouço lógico da obra do eclipse o box para tentar provar

o quinto postulado foram sendo feitos esforços muitas das provas que se tentava fazer por absurdo como é que se faz prova por absurdo você nega aquilo que você quer provar Tenta tirar um absurdo se você conseguir deduzir um absurdo daquilo que você quer provar então aquilo que você desculpa eu falei tudo errado você quer provar uma coisa então você nega se você tirar um absurdo da negativa Então significa que a negativa é ruim porque a negativa levou um absurdo Então vale afirmativo eu quero provar a Eu nego tira um absurdo com o clube a negativa

não tá boa então valeu afirmativa é o que a gente chama Em lógica de princípio do terceiro-excluído só tem duas possibilidades né o ar ou não a esse eu provo que não há negativa é absurda sobra o ar e tá bom só tem duas maneiras de negar o quinto postulado A negação um é dizer que ao invés de falar que passa uma única fala que passa pelo menos duas a minha negativa dois é dia que não passa nenhuma com a negativa um na verdade evolui rapidamente para infinitas aqui é negativa um é assim tem uma

reta por um ponto passou uma paralela Imagine que partiu a 2ª paralela que Imagine que são duas pelo menos duas paralelas Imagine que você tem uma reta um ponto fora e que passassem duas paralelas e se você considerar todas as infinitas retas que estão entre essas duas o feixe de retas entre elas todas vão ser paralelas também então essa negação aqui de duas vira infinitas é muito fácil fazer isso bom então os matemáticos começaram a fazer o que isso foi preso passando os séculos foi chegando a idade média foi avançada é inegável e tentar vou

chegar e absurdos e o que aconteceu foi que eles couro foram obtendo uma lista de resultados vou fazer um resumo aqui olha aqui tá Belinha bonitinha o Euclides logo logo no começo dos elementos ele mostra que a soma dos ângulos internos de um triângulo soma dos ângulos internos de um triângulo é equivalente a dois rasos a dois retos ou seja equivalente a um ângulo raso 180 graus seu clipe mostra as pessoas perceberam mas isso Então dependendo do primeiro do quinto postulado a que eles estavam tentando mostrar por absurdo fazendo alegação de que tinha pelo menos

duas Chegava à conclusão de que era essa soma era menor que 180 Mas isso não era um absurdo porque e como quinta Criciúma dava 180 se tirasse o quinto eu não sabia quanto que dava e aí eu chegava à conclusão que pela negação dava menos que cento e oitenta e com a negação dois de que não existe paralamas A gente chegava à conclusão que era mais do que 180 e em termos de números de Paralelos é isso que eu já falei A negação um pelo menos duas dava infinitas paralelas o quinto axioma falava em exatamente

uma EA negação 20 tão foram se juntando fatos soma menor que 180 está associado a para infinitas paralelas só não igual 180 associado a uma maior que 180 não existir paralelas já em plena Idade Média fim da Idade Média os aquele estudou os quadriláteros de sacchelli é o só para ilustrar mais ainda essa tabela você pegava uma reta daí eu só que ele pegava duas retas perpendiculares portanto os ângulos eram 90 graus perpendiculares o e considerava dois segmentos de mesmo tamanho e então começou com uma figura simétrica dois ângulos retos e dois segmentos congruentes olhava

para essas duas extremidades: isso é o axioma e não é o quinta O Primeiro: determina uma reta isso vale lá no Euclides e Vale em qualquer caso Então por aqui tinha uma reta desenho e torta de propósito não era difícil provar que esses dois ângulos são congruentes alfa alfa e aí tentativa de calcular se Alpha se tivesse trabalhando com a geometria do quinto postulado a conclusão era que se Alpha era 90 graus Oi e essa figura era um retângulo o que negava do jeito Um quando estudava quadrilátero de sacchelli obtinham ângulo menor que 90 e

quem legava do jeito dois quando chegava no sacchelli e o Vitinho maior que 90 e o conhecimento acumulado e já depois de degraus a rima apareceu o conceito de curvatura dentro da geometria e olha só quem Legacy do jeito Um a curvatura era negativa quem negasse do Euclides a curvatura Era Zero quem negasse do jeito dois a curvatura era positiva e as coisas se acumulando os grandes nomes são obtendo resultados com a negativa um bolo e ai lobachevsky é bom com o quinto postulado de Euclides tinha feito todo um grande trabalho cara tava feito e

negando do jeito dois a gente tem contribuição de rima e graus C é só que ninguém conseguia lhe cuidar esse assunto então eu vou agora falar como é que essa história terminou mas existe eu vou fazer uma contar uma piada outra charada eu sei que você conhece essa piada ela tem tudo a ver com o que eu tô falando tá é uma quase que uma anedota sei se vocês já ouviram essa história a história é assim e o atleta estava fazendo seu a corrida e de repente ele encontra o urso o e bom e se

assusta curso e ele tenta fugir dos para extensão que ele faz para fugir do urso ele anda 10 km na direção sul a sua depois ele anda 10 km na direção leste e depois ele anda 10 km na direção Norte é tão 10 possuo das florestas das flores e surpreso ele dá de cara com o urso que ele tinha encontrado descobre que ele voltou no mesmo lugar a pergunta qual a cor do urso E isso não é isso é meio anedótico mas isso é sério É uma pergunta para se responder e ela tem dois desafios

essa pergunta essa essa eu acho isso aí negócio muito saborosa o corredor andou 10km para o sul depois além do 10 km para Leste e depois ele andou 10km para o Norte Oi e aí o anedota fala a charada fala desafio lógico fala voltou no mesmo lugar bom eu não voltou no mesmo lugar então coisa dá vontade de falar tá errada a pergunto não pergunta está certa ele é do 10 possuo 10 para o S2 Note e voltou no mesmo lugar e por isso que a pergunta faz sentido Qual é a cor do urso daqui

a pouco eu respondo e é muito bonita pergunta né deixa eu terminar de contar o que aconteceu nessa tentativa toda de provar essas coisas os matemáticos foram refinando a compreensão do que é uma teoria matemática i i uma coisa que eles perceberam que Euclides tinha sido genial quando ele lá no comecinho tinha dito que tinha que ter postulados verdades que não são demonstrados que são assumidas de sair bom e além desta genialidade de Euclides matemático foi percebendo que que o cliente cometeu um não percebeu uma outra coisa o Euclides tinha definições de tudo que ele

define Eu quero uma reta uma reta é comprimento sem largura outro que não tem dimensão e os matemáticos foram percebendo que isso não fazia sentido assim como tem que ter uma verdade assumida com uma verdadeira Sem prova tem que ter uma definição um ponto de partido porque senão você fala tá bom o que que é uma reta comprimento e a largura que é comprimento que a largura e você vai andando para trás com as perguntas o que o que o que como fazer as crianças lá que eu vou perguntando por que por que por que

e eu tinha aqui também uma coisa que foi chamada de conceito primitivo assim como tem fatos que são os pontos de partida os postulados ou axiomas: determina uma reta em São fato que assumido não é para ser provado também tenho que ter conceitos primitivos é definir sua coisa que não tem um definição então não se define o que é uma reta não se define o que é um ponto são conceitos primitivos eles não tem definição chama falha do Euclides que foi sendo percebida ao longo do tempo volto com isso veio a noção de modelo que

eu senti bom mas então que tem uma reta não tem definição não reta não tem definição mas como é que eu sei o que é uma reta uma reta é todo o objeto e satisfaz os postulados o que caracteriza os conceitos primitivos são os postulados que eles satisfazem a Mas então não tem definição reta não tem então o postulado por exemplo de Euclides: determina uma reta por um ponto fora de uma reta passam a única panela que que é uma reta uma reta qualquer coisa que satisfaça a todos esses axiomas todos esses postulados reta não

tem definição isso levou o conceito de modelo então o modelo é um ambiente onde você interpreta as retas sem interpreta o que é ponto EA interpretar você só tem uma obrigação andrioli daqui para frente eu vou pensar que reta é isso aqui e o a única coisa que tem que fazer é provar que elas satisfazem usar os postulados então quando a gente vai trabalhar no plano você pode usar como o reta mas aí eu modelo não é uma definição de reta O que que é uma reta é uma coisa que você deixa eu vou pegar

como reta que satisfaz uma equação daquele tipo y = x + b como a gente faz geometria analítica tá isso é reta para você tudo bem prova que satisfazem os axiomas satisfaz os axiomas postulados então tá então Continua pensando que isso é uma reta em qualquer coisa que satisfaça os postulados é um satisfaz aquilo que a gente chama de conceito primitivo você bem abstrato bom e quando tudo isso ficou maduro os matemáticos perceberam o seguinte o que havia modelos a interpretar íamos retas de diferentes formas o e ouvir Valeria o postulado de Euclides onde Valeria

no outro modelo A negação um e onde Valeria no outro modelo A negação 2 bom e isso que serviu para concluir que de fato o quinto postulado não era um teorema ele não podia ser demonstrado a partir dos outros porque existiam instâncias em que todos os outros valiam menos o quinto Vale A negação do quinto Então agora eu vou dar os modelos para vocês o primeiro modelo que eu falei rapidamente no outro vídeo é o da negação dois é o da esfera o modelo de Euclides é um plano tradicional Esse é o modelo do cliente

e o modelo do Galaxy do rima é uma esfera Oi e o quê que vão ser retas retas nessa esfera vão ser grandes circos bom então não superfície da Terra as retas vão ser meridianos ou grandes circos que também os engenheiros os agrimensores chamam de geodésicas quando a gente anda na superfície da terra a gente não anda em linha reta de verdade a menor distância entre dois pontos numa esfera é caminho é caminhar pela geodésica dessa espera e ajuda essa questão os grandes círculos tem que fazer uma pequena adaptação porque aquele postulado que dois pontos

determina uma única reta não vale se for o polo norte ou Polo Sul pelo Polo Norte pelo Polo Sul para São muitas retas então o postulado ali assim por dois pontos não antípodas passa uma única reta que a esse grande círculo que eles ficaram que ficou determinado ó e aqui não tem paralela Por que quaisquer dois grandes círculos se encontro o quê que isso mostrou para os matemáticos que era possível ter um mundo em que eu iria interpretar reta de uma outra forma já que reta não tem definição e conceito primitivo eu posso interpretar como

eu quiser havia o mundo em que valiam todos os outros postulados e uma negativa do quinto então o quinto não podia ser deduzido a partir dos outros porque nesse mundo Valem os outros mas não vale o quinto e nesse mundo a soma dos ângulos é maior do que 180 se você construir um triângulo que sai do polo norte vem até o Equador aqui você tem perpendicularismo esse chegou fazendo 90 graus a gente tem um outro lado aqui o outro 90 e mais um certo ângulo Alfa aqui se desenha um triângulo sobre a esfera cujos lados

são geodésicos e que a soma dos ângulos é maior do que sente Oi e essa geometria geometria de rima e degraus e a curvatura desta superfície é positiva e o seu fizeram quadratura dos aquele os ângulos do maiores do que 90 graus e é super rico isso e é o que está na linha 3 desse meu padrinho ia ser um modelo de geometria não euclidiana e que é um modelo muito real é o modelo do avião é o modelo das companhias aéreas as companhias aéreas lidam com esse modelo porque assim os barcos também não é

e apareceu um modelo para negação um modelo para negação um é uma superfície superbonita chamadas ela e ela lembra uma cela dessas que se coloca sobre animais sobre cavalos E aí G1 e também nessa superfície aqui fosse ter uma curva que vai para cima e aqui você tem curvas que vão para baixo a ter uma noção de geodésica sobre esse modelo Esse é um modelo para geometria de lobachevsky quilômetros de Balneário que a chamada geometria hiperbólica essa geometria aqui ficou conhecida como geometria hiperbólica é essa aqui ficou conhecida como geometria elíptica Oi e essa aqui

como geometria euclidiana ágil dez dicas aqui são umas curvas que vão ter uma cara mais lento como eu tô tentando desenhar aqui e a soma dos ângulos internos de um triângulo serão menos do que 180 graus o e todas as outras propriedades do Euclides Vale exceto quinto porque tem infinitas paralelas porque você consegue muitas retas que passam por um ponto que não vão se encontrar nessa superfície Então isso é um modelo da geometria hiperbólica que não euclidiana esse é um modelo da geometria riemanniana que não bem não é o cliente ano e o quinto axioma

é independente para fazer geometria normal a gente tem que separar esse aqui soma dos demais e pra terminar vou então explicar aquela anedota aquela charada e sabe por quê que é possível falar que o corredor andou 10km possuo 10 para Oeste 10 para o norte porque ele tava na superfície da terra e na superfície da terra Imagine que você está no Polo Norte você anda 10 km para o sul 10 para o leste e 10 por Norte em linha reta Mais uma linha reta que é uma linha reta é possível que a linha reta da

geodésica da terra então 10 para o sul 10 para Oeste 10 por nós você volta no Polo Norte que você saiu do clã e isso responda a pergunta do urso porque para fazer sentido a charada 10 para o sul 10 por last 10 para o norte e voltar no mesmo ponto é porque o caminhão estava perto do Polo Norte se ele tava perto do Polo Norte o urso é branco porque os ursos polares são brancos e essa é é a resposta desta anedota que eu contei Mas enfim aí a gente chegou nesse momento com todas

essas geometrias eu só vou fazer um comentário final e com aquelas são essas questões todas é isso tem consequências muito mais avançadas Ah imagina eu vou fazer aqui agora alguma coisa bem bem sofisticada aqui nessa folha de papel retinha assim eu imagino que eu torço E olha que interessante Ela agora está bidimensional com aquela folha de papel bidimensional conseguiu acender uma folha de papel de dimensão dois só que ela está torcida no espaço porque o espaço tem dimensão três e é possível torcer a coisa de dimensão 2 é normal de serviço aqui também a dimensão

2 e tá torcido no espaço a com dimensão três isso aqui é de dimensão dois a superfície da espera está torcida no espaço com dimensão três só que a grande pergunta é a seguinte Isso é uma pergunta real que os astrônomos os astrofísicos os físicos e os geômetras se debruçam e o nosso espaço 3D Será que a gente passou reto usar o espaço torto porque ele poderia ser assim como eu posso ter uma coisa com dimensão dois torcida no espaço de dimensão três e se o nosso espaço de dimensão três estiver torcido no espaço com

mais dimensões e a não ser que habitasse essa folha de papel saberia que o mundo dele é bidimensional torcido no mundo com três dimensões E se o nosso mundo for three-dimensional torcido no espaço com mais dimensões vou deixar essa pergunta para vocês pensarem ela é uma pergunta séria tem muito a ver com teorias avançadas de cosmologia e os astrofísicos se dedicam essa questão porque ela é uma questão que faz todo sentido e que tem a ver com as teorias sobre a explicação do nosso universo Tá bom vou ficar com esse vídeo por aqui eu acho

muito bonita essa história muito legal todos esses essas reflexões que estão envolvidas aqui desde o conceito de postulado axioma o conceito de conceito primitivo o conceito de modelo e as geometrias não-euclidianas tá legal