Função do Segundo Grau (Função Quadrática): Zeros, Raízes e Fórmula de Bhaskara (Aula 2 de 9)

[Aplausos] Olá pessoal tudo bem vamos continuar com o assunto função no segundo grau também conhecido como função quadrática e Nesta aula em específico nós vamos calcular determinar os zeros dessa função quadrática ok a gente vai ver os zeros através da máscara tá ou também através da som produto beleza vamos começar vem comigo aqui ó Então vamos lá ó zeros da função quadrática diz o seguinte chama-se zero ou raiz tá da função do segundo grau fx = AX + BX + C está aqui o formato da nossa função do segundo grau tá da função quadrática o

seguinte o número real x tal que FX é igual 0 entre outras palavras pessoal o seguinte ó pra gente calcular o zero ou raiz basta resolver a equação pega aqui a função do segundo grau e faz o quê ó iguala a zero beleza pessoal olha para mim aqui ó sempre que nós pegarmos uma função e igualarmos a zero o que nós estamos fazendo é o seguinte descobrindo as raízes dessa função Ok no caso da da função do segundo grau nós sempre teremos duas raízes tá e primeiramente como é que a gente vai descobrir essas raízes

através de uma fórmula e essa fórmula acho que você já ouviu falar que é chamada fórmula de báscara Ok vem comigo aqui ó diz assim ó os zeros da função quadrática são Dados pela chamada fórmula de báscara Então tá aqui a fórmula ó o X no caso a raiz é dado por - B + - ra B qu - 4ac sobre 2ao importante nós memorizar isso daqui tá pessoal só que a gente vai fazer tantos exercícios que isso aqui vai ficar bem fácil memorizar tá outra outra coisa aqui ó o b o a e o

c nada mais são do que os coeficientes aqui ó olha o valor do a aqui ó o valor do b e o valor do C Ok então substituindo esses coeficientes aqui na fórmula de báscara nós vamos encontrar as raízes que são duas beleza vem comigo aqui ó e vamos fazer alguns exemplos olha aqui o que diz ó Determine os zeros das funções abaixo no item a nós temos essa função aqui aí para determinarmos o zero o que a gente sabe o seguinte a gente pega a função e igual a zero OK aí pegando os valores

de A B e C que são o a é o coeficiente do X qu tá no caso a aqui Vale 1 beleza no caso do b o b é o coeficiente do X Quem tá na frente do X aqui ó é o menos 5 então o B vale - 5 e o c é o termo independente no caso el Vale 6 né tá aqui ó agora substituindo isso aqui na básica nós vamos ter o seguinte ó o x Vamos botar a fórmula aqui ó menos o b mais menos abre raiz B qu - o 4

x a x o c fechamos a raiz tudo isso aqui ó por 2 vezes o a agora substituindo Olha só nós temos então menos o B reparem que o nosso B vale -5 então menos o -5 fica 5 positivo mais ou menos raiz quadrada agora B qu Olha só nós vamos ter o Men 5 tá vamos fazer bem devagarinho aqui ó - 5 elevado quadrado tá agora menos o 4 vezes o a que é quanto o a Vale 1 tá vezes o c que vale 6 aí vamos fechar a raiz aqui ó tá e tudo

isso daqui é sendo dividido por 2ao a Vale 1 então 2 x 1 O resultado é 2 ok então vai ficar o seguinte ó o X é iG 5 mais ou menos dividido por 2 agora dentro da raiz nós temos o seguinte ó O -5 elevado quadado isso dá 25 tá - o 4 x 1 é -4 -4 x 6 dá -24 então fica 25 - o 24 fica Ra 1 e e ra qu 1 O resultado é 1 Beleza agora com isso pessoal a gente pode descobrir Então as raízes vamos botar aqui ó X1

e X2 as raízes tá tem alunos que colocam x linha x duas linhas isso não faz a menor diferença agora olha só para descobrirmos as raízes primeiramente vamos fazer essa conta utilizando sinal de mais 5 + 1 dá 6 dividido por esse 2 13 é a primeira raiz agora utilizando sinal de menos será 5 - 1 dá 4 4 di por 2 dá 2 então Aqui nós temos as duas raízes ó X1 = 3 e X2 = 2 pessoal esses dois valores aí ó 3 e 2 são os valores que fazem com que a função

seja igual a zero quer ver vem comigo aqui ó repara o seguinte se nós pegarmos o x = 3 e substituímos aqui na função olha como é que fica ó então f de 3 será quanto x qu ou seja 3 elevado qu - 5 x o x que é o 3 somado com com o 6 OK 3 qu dá 9 - o 5 x 3 - o 15 e temos o + 6 quanto é que dá isso daqui ó 9 com - 15 dá -6 - 6 com mais 6 0 Ou seja quando a função

for substituída por 3 o resultado dá 0 significa que 3 então é a raiz é uma das raízes no caso dessa função aí beleza pessoal vem aqui embaixo ó vamos fazer a segunda o item B aqui ó essa função aqui ó para calcularmos a raiz é a mesma coisa que igualarmos a zero aqui OK aí vamos descobrir o valor do a que nesse caso é o coeficiente do X qu vale -1 o b é o coeficiente do X no caso Vale 7 e o c é o termo independente nesse caso aqui tá valendo menos o

12 beleza agora o seguinte substituindo na báscara ficará assim ó é menos o b não é nota que o b é 7 então fica menos o 7 mais ou menos raiz quadrada B qu ou seja 7 qu tá - o 4 X O a que é -1 vezes o c que é menos o 12 tá então estamos aplicando aqui ó a fórmula de de báscara com os coeficientes tá dividido tudo isso daqui é dividido por 2 x a ou seja 2 x -1 O resultado é menos o 2 continuando aqui ó o X então será

menos o 7 mais ou menos raiz quadrada vem comigo ó 7 qu é 49 Vamos colocar aqui ó 49 agora - o 4 X O -1 isso aqui dá 4 positivo o 4 que multiplica o - 12 dá menos o 48 tá fechamos a raiz tudo isso daqui dividido por 2 x o a 2 x o -1 ficamos aqui com menos o 2 aí pessoal repar o seguinte ó vamos continuar lá de cá ó nós vamos ter então que o x é igual a men 7 mais ou menos dividido aqui ó pelo menos 2 Aqui

nós temos 40 Men 48 isso aqui dá 1 Ra 1 é 1 ficamos com isso aqui então aqui nós vamos ter duas raízes né Vamos colocar aqui X1 e X2 primeiro fazendo com sinal positivo ficará Men 7 com mais 1 dá menos o 6 dividido por este -2 resultado dá quanto - 6 div por2 né negativo com negativo fica no caso 3 agora utilizando sinal negativo ó Men 7 com1 dá 8 -8 div2 Vamos colocar aqui ó -8 di2 O resultado é 4 positivo então aqui as raízes ó uma raiz Vale 3 e a outra

raiz Vale 4 Vamos des um pouquinho aqui ó vem comig aqui item diz o seguinte aqui se a gente quer descobrir as raízes vamos igualar a zero OK aí o valor do a do b e do C que são os coeficientes são os seguintes ó o a é o coeficiente do X qu Vale 3 o b o coeficiente do X Ele vale menos o 7 e o c o termo independente que vale 2 agora jogando aqui na báscara nós temos o seguinte ó o x = - o b O B vale menos 7 então menos

ou menos 7 ficamos com 7 positivo raiz quadrada né Mais ou menos raiz quadr então fica B qu - 7 elevado Quad é -7 x -7 resultado é 49 - o 4 X O a que é o 3 ve o c que é o 2 tá tudo isso daqui ó sendo dividido por 2aa 2 x o 3 6 dessa forma o X então é 7 mais ou menos tudo dividido por 6 agora quanto é que fica aqui ó temos o 49 agora - o 4 x 3 isso dá -1 o -1 x esse 2 dá

-24 49 - o 24 pessoal isso dá 25 e ra 25 O resultado é 5 Beleza agora os valores aqui então das raízes ó X1 e X2 são os seguintes ó primeiro sinal positivo 7 + o 5 isso dá 12 12 dividido por esse 6 2 agora 7 Men o 5 Isso aqui vai dar 2 né o 2 tá sendo dividido por este se dá para simplificar então fica 1 ter Beleza então as raízes dessa função aqui ó x = 2 ou x = 1/3 pessoal repare o seguinte ó nesses três primeiros exemplos nós calculamos

aí descobrimos os valores do a do b e do c e substituímos ali na báscara tá repare que nem o a nem o b nem o c assumiram valores iguais a zero aqui tem alguns comentários ó primeiro comentário é o seguinte o a ele nunca tá Nunca Jamais pode ser igual a zero porque ficaria como daí 0 xes o x qu 0 x x qu fica zero ou seja vai sumir o termo x qu E aí a gente não tem mais uma função no segundo grau Então o a jamais pode ser igual a zero agora

em relação ao B em relação ao C os dois podem ser zeros ou somente o b pode ser zero ou somente o c pode ser zero tá aí nós vamos ter a chamada função do segundo grau incompleta beleza aí como é que funciona quer ver ó vem comigo aqui ó Então pessoal diz assim ó determinação dos zeros quando a função quadrática estiver incompleta reparem aqui ó vamos descer um pouquinho até que assim tá bom olha só o que diz aqui o item a diz assim ó fx = X - o 4 reparem que aqui ó

não tem o termo x ou seja o b o coeficiente do X Ele só pode ser igual a zero concorda comigo e para descobrir o zero como a gente tá querendo fazer aqui ó o zero ou a raiz dessa função que que a gente faz a gente deve igualar essa função a zero e aí o que acontece este -4 ele vai lá pro lado direito trocando o sinal e fica então positivo Então nós vamos ter o seguinte x qu é igual a 4 agora esse quadrado aqui ó ele vai pro outro lado extraindo raiz no

caso a raiz quadrada não esqueça ó mais ou menos ra qu 4 Beleza então vamos ter então que x é igual a mais ou menos ra 4 é 2 Então nós vamos ter as duas raízes aqui ó uma delas valendo 2 positivo e a outra raiz a X2 valendo o 2 negativo beleza pessoal Olha o item B aqui ó novamente a função do segundo grau ela está incompleta e novamente n neste caso o coeficiente do x é igual a 0 ou seja o b = 0 então para descobrirmos as raízes dessa função que que a

gente faz ó iguala a 0 e vamos passar agora esse -3x qu pro lado de lá ele vai passar positivo ou seja fica 3 x qu é = 6 esse 3 tá multiplicando 10 dividindo ou seja x qu = 6 di 3 fica do agora pessoal o que acontece como eu falei antes ó esse quadrado vai para outro lado extraindo a raiz quadrada no caso do 2 Então nós vamos ter uma raiz valendo raiz qu 2 Positivo tá e a outra raiz valendo ra2 só que daí negativo beleza vamos descer aqui ó reparem pessoal então

que normalmente né continua com duas raízes tá sempre no caso agora nós temos novamente uma função do segundo grau incompleta tá reparem Que agora aqui o que tá faltando é o termo independente ou seja o c nesse caso é igual a zero para calculos as raízes aqui ó vamos igualar a zero essa função e vamos fazer o seguinte tá pessoal reparem que nesses dois termos aqui ó o X é um fator comum tá então a gente vai fatorar essa expressão ou seja colocar o x evidência aí pensa assim ó x ve Quanto que vai dar

o x qu x ve o x e x ve Quanto que vai dar mais 3x o mais 3 Tá e isso tudo é igual a 0 repar o seguinte ó x x x tá aqui ó x qu x x esse 3 tá aqui ó 3x Beleza agora o seguinte ó reparem que nós temos uma multiplicação aqui ó entre este número X e o número formado pelo x+ 3 beleza aí assim pessoal muito importante tá matemática básica uma multiplicação entre dois números para que dê igual a zero como tá acontecendo ali um dos dois números deve

ser igual a zer então como é a gente faz tratamento faz assim ó se um desses dois aqui ó deve ser igual a zero então ou este daqui ó é igual a z0 ou este daqui é igual a zer pegando o primeiro ali ó o x X é iG 0 então ou o x + 3 é igual 0 agora passando esse + 3 aqui lá pro lado direito nós vamos ficar com menos o 3 então nós temos aqui as duas raízes ó X1 Vale 0 e X2 Vale menos o 3 beleza Olha o end D

aqui ó novamente aqui temos uma função no segundo grau incompleta faltando quem o termo independente ou seja o c é iG 0 para resolvermos isso daqui ó como é que a gente faz ó Aqui nós temos dois termos reparem que o X é um fator comum ou seja colocamos aqui o x evidência abre parênteses tá lembra que isso aqui deve ser igual a z0 tá x ve Quanto que vai dar - x x x 1-x tá agora x vees Quanto que vai dar 5x 5 reparem Olha só x x o - x - x qu

x x o 5 5x tá isso daqui é igual a 0 aí como nós fizemos ó pessoal se essa multiplicação aqui dá zero ou esse x aqui ó é igual a 0 tá ou esse - x + 5 é igual 0 então nós vamos ter x = 0 ou o o - x + o 5 é = 0 Passa esse - x lá pro lado direito fica então que x é igual a 5 pessoal estamos aqui com as duas raízes X1 = 0 X2 = a 5 beleza pessoal mas é o seguinte ó caso você

prefira calcular através da máscara não tem problema nenhum tá a báscara serve tanto pras funções do segundo grau completas tá como a gente fez antes compras incompletas que a gente fez agora não há problema algum então se você utilizar unicamente a báscara para calcular tá eu só fiz o seguinte quando ela for uma função do segundo grau incompleta ela fica mais rápida nós resolvermos as raízes encontrarmos as raízes através desses métodos aí que a gente fez da letra A até a letra D beleza vem comigo aqui ó vamos ver a determinação dos zeros através da

soma e produto a situação aqui é a seguinte ó talvez muitos de vocês aí já utilizem a soma e produto para calcular as raízes da função no segundo grau mas tem muitos outros alunos também que nunca se interessaram em fazer através da som produto o cálculo das raízes da função de segundo grau sem problema algum tá se você está Seguro aí na báscara e quiser fazer apenas por báscara as raízes da função no segundo grau sem problema nenhum agora muitas vezes através do método da sonho produto você chega bem mais rapidamente é o resultado dessas

raízes quer ver vem comigo aqui ó olha só determinação dos zeros através da soma e produto vou explicar bem devagarinho isso daqui tá olha só sejam X1 e X2 Então os zeros ou raízes né da função no segundo grau que é dada por isso daqui ó então nós temos o seguinte no caso da soma e produto pessoal presta atenção ó a som produto é um método que vai relacionar os coef entes tá a b e c tá os coeficientes da função do segundo grau com as raízes como é que ele vai fazer essa relação vai

fazer o seguinte ó as duas raízes da função de segundo grau quando somadas o resultado Será sempre o menos o b dividido pelo a Ok enquanto que o produto dessas duas raízes Será sempre o c o coeficiente C né que no caso é o nosso termo independente dividido pelo a que é o coeficiente do X qu beleza desce só um pouquinho aqui ó até que assim tá bom vamos fazer como exemplo agora o item a que diz o seguinte tá aqui ó fx = X qu - 3x + 2 como eu falei ó poderíamos fazer

por máscara Tá mas eu vou fazer essa daqui por soma produto que que nós temos aqui ó temos duas raízes tá no caso X1 e X2 tá onde a soma dessas duas raízes olha aqui em cima ó é dado por menos o b dividido por a quem que é o - o b Olha só o nosso B aqui ó tá sendo representado pelo menos o TR então menos o b será menos o menos 3 ou seja será o 3 positivo agora dividido pelo a quem que é o nosso a o a tá aqui ó na

frente do X quadado nós temos o valor 1 então 3 sobre 1 O resultado é 3 ok OK agora em relação à multiplicação das raízes X1 x X2 como é que fica nós temos que a multiplicação é dada por C sobre a quem que é o nosso c é o 2 então o 2 dividido pelo a que no caso é 1 2 divido por 1 O resultado é 2 agora o seguinte ó pessoal uma dica ó para descobrirmos aqui as raízes comece sempre pela multiplicação Nós temos dois números que multiplicados o resultado é 2 eu

tenho certeza que na tua cabeça os dois números que apareceram primeiramente foi 1 e 2 ó porque 1 x 2 o produto então é 2 agora repare o seguinte ó a soma das raízes o resultado deve dar 3 vamos testar aqui ó pegando 1 + 2 o resultado Deu 3 então nós temos aqui as duas raízes ó X1 = 1 e X2 = 2 já que a multiplicação ó 1 x 2 dá 2 e 1 + 2 3 Então tá aqui os dois números ou seja as duas raízes beleza desce comigo aqui vamos fazer outro

exemplo aqui no item B vem comigo aqui ó nós temos então que a soma das raízes X1 + o X2 tem que ser os o b Olha o nosso B aqui ó Vale menos o 2 né então menos o b ficará 2 positivo dividido pelo a o nosso a aqui Vale 1 2 divido por 1 resultado é 2 agora o produto ó X1 x o X2 tem que dar quanto o c sobre a o nosso C aqui ó reparem que ele vale menos o 15 dividido pelo a que no caso é 1 - o 15

dividido por 1 O resultado é menos o 15 começ pensando na multiplicação aqui ó pessoal dois números que multiplicados dá o valor pensa só no Positivo primeiramente dois números que multiplicados dá 15 quais são eles 3 e 5 né tranquilo agora olha só tá dizendo que a soma aqui ó tem que dar 2 que que nós temos que fazer ó se deixarmos assim ó 3 + 5 a soma deu 8 agora para que a soma dê 2 Nós temos que colocar um sinal negativo aqui ó porque menos o 3 + o 5 deu o resultado

2 agora testa de novo aqui a multiplicação - o 3 x o 5 Men o 15 Fechou então então tá aqui as nossas raízes ó X1 = -3 X2 = 5 beleza Olha o item C aqui ó a soma das raízes X1 + X2 tem que dar menos o b Olha o nosso B aqui ó Vale 6 então menos o 6 dividido pelo a notem que o nosso a aqui Vale menos -1 tá então - 6 divid por -1 resultado é 6 positivo agora em relação à multiplicação X1 x X2 resultado que dá quanto o

c que é o -8 dividido pelo a que no caso é -1 -8 di por -1 O resultado é 8 positivo Agora pensa o seguinte dois números tá que multiplicados de o Vamos pensar Claro no 2 e no 4 agora só adição desses dois números a soma deles tem que dar 6 2 + 4 deu 6 Beleza então Ó reparem que a multiplicação a 2 x 4 dá 8 adição 2 + 4 dá 6 Então tá aqui ó 1 ra é 2 e a outra raiz é 4 beleza vamos paraa última aqui ó Olha o

que diz o item D aqui ó o item D diz assim ó calculando as raízes por soma em produto vamos lá ó X1 + X2 tem que dar menos o b ou seja menos o menos o 6 fica 6 dividido pelo a que é 2 6 por 2 O resultado é 3 Beleza agora multiplicação X1 xes o X2 tem que dar o c sobre a ou seja o menos 8 dividido pelo 2 -8 di 2 menos o 4 agora é o seguinte ó pense em dois números onde a multiplicação deu valor quatro tá pense só

no Positivo 4ro aqui ó primeiramente acredito que você pensaria no número 2 e no número 2 não é verdade agora olha só a soma desses dois números tem que dar três positivo tem como a soma 2 e 2 dá 3 não tem né então 2 e 2 não são as raízes tá então apaga aqui ó vamos voltar começa de novo pensa em dois números que a multiplicação é quatro vamos lá ó 1 x o 4 O resultado é 4 Beleza agora a soma tem que dar três positivo para dar três positivo concorda comigo que temos

que colocar aqui o -1 então aó -1 com + 4 o resultado Deu 3 Beleza agora a multiplicação será que dá -4 -1 x o o 4 O resultado é -4 então beleza Tá aqui a nossas as nossas duas raízes X1 - 1 e X2 = 4 certo então pessoal finalizamos a aula aqui Clica ali em curtir isso só vai valorizar o trabalho aqui do professor Ferreto outra coisa pessoal curta a página mais matemática lá no Facebook lá que tem diversas dicas de matemática que vão te ajudar a no colégio no ENEM vestibular E por

aí vai ok pessoal nos vemos nas próximas aulas um bom estudo aí e até mais