CNUM-004 Zeros de Funções - Método da Bissecção

olá bem-vindos novamente vimos um vídeo passado a introdução sobre zero de funções ou raízes de funções então só para relembrar o que nós vimos a seguinte definição ela é bem explicativa sobre o que é 10 de função zero ou raiz de uma equação fx é o min o número real se tal que é fixe igual a zero mas você tem uma função é fique arraes é exatamente onde ele tanto o eixo do x neojibá saber ciências e aí quando é fixe foi igual a zero você tem uma raiz e nós vimos também lá vídeo-aula passada que nós temos duas fases para encontrar a raiz a primeira fase consiste em isolar a raiz então pra isso nós fazemos o uso do ddt problemas tabelamentos e gráficos quando você garante que só tem uma raiva intervalo você passa para a segunda fase que é refinar raiz no refinamento da raiz é onde os métodos numéricos atua por esse motivo mas vamos falar agora sobre os métodos do ego de uma forma geral um algoritmo que calcula série de funções ele tem uma forma geral bem definida qualquer algoritmo em que nós vamos ver ele vai executar segundo esse espaço então a partir do início você tem uma aproximação de raiz inicial o método ele sempre calcula aproximação inicial ou você tem que deixá lo uma aproximação inicial no intervalo com tem raízes em seguida nós temos que verificar se essa raiz vou chamar aquele x 0 aproximada se essa raiz calculado aqui então eu teria que o x a sua razão inicial se essa raio x 0 atende ao critério de parada ou seja se essa raiz ac x 0 já é suficientemente próximo do que você deseja porque o método numérico ele refinou a raiz com assim é refinar e se você quer que sua raiz fx seja zero aqui nesse ponto só que o método numérico ele não calcula fx igual a zero necessariamente ele calcula fdx barrantes barra é uma raiz aproximada é aproximadamente 10 faz aproxima uma raiz é não têm garantia de encontrar mais exata mas ele vai encontrar a raiz suficientemente próximo dessa raiz real então nesses critérios de parada que é essa aqui nós temos o seguinte geralmente nós temos esses três hotéis de parada fdx k1x cahais calculada ela já é menor que épsilon que precisam olha se você quer me f x 0 mas não está igual ao que 0,01 ou 0,01 é aproximar e também de 10 a menos dois com a aproximação inicial além disso alguns métodos fazem uso de chica chica menos oito horas anteriores à atual se você não conseguir o tamanho que passo é calcular uma diferença significativa entre elas você para não usar esse método agora eo terceiro foi preparada é o número limite de interações alguns métodos não têm garantia de convergência quer dizer não eles podem não encontrar a raiz aproximada e aí pra um método não ficar executando indefinidamente você estabelece um número limite interações para que o método pac então o teste principal é se ele já está suficientemente próximo da raiz que você espera então você atualiza analisa que o cuidado de parada se já estiver bom não atende o critério de parada se atende você exibiu o resultado e termina se não atendem o critério de parada você não atendeu atualiza a aproximação e precisaria passar por um procedimento vai ser calculado a nova aproximação x roubar e você vem pra cá e testa novamente esse x 1 até o hospital de parada se até um ótimo sinal você calcula em 1 x 2 barras verifica-se também protege parado e fica nesse processo aqui um ponto não atendem ao critério de parada você ficar atualizando a rainha esse é um processo interativo você fica nesse ciclo aqui tentando é refinar raiz até que ela seja suficientemente próxima da área inicial porque o método divide bastante você possa parar quando arraes fosse suficientemente boa ela tem o poder de parada você exibir o resultado enfim isso aqui é um algoritmo genérico para zero de funções nem se algoritmo é ele pode ser utilizado aqui pra os métodos que vamos ver quem são os poetas da obsessão a desculpa é bissexual o método da falsa posição a meta do ponto fixo o eterno de nilton eo poeta do da secad então vamos verificar o funcionamento do primeiro é tudo aqui que seria um método da negociação séria neste meio de sessão você tem que a aproximação da rainha é dada pela função a mais b sobre dois ou seja é um meio intervalo e tanto é que vai da obsessão também em alguns livros e ver dado como método ponto médico lembrando que o refinamento da raiz ea segunda etapa então você já garantiu que no intervalo entre a e b daqui pra cá você já garantiu que só tema eis que a função quarto eixo apenas uma vez se garantiu como o tabelamento gráfico teorema de bolzano e o seu corolário então como é que funciona o método da habitação da do intervalo abr você vai calcular a raiz entre a e b então você vai calcular a + b sobre dois você vai pegar exatamente aqui o ponto médio entre a e b que você vai chamar de x 0 sua raiz inicial e aí você lembrando do algoritmo aqui como é que funciona há 18 você iniciou fez a aproximação inicial agora vai testar o critério de parada qual está separado por ter deparado sfx ervas e calculou que já é suficientemente próximo da raiz então você calcula aqui seu ftx09 a mente aqui você terá aqui em nossa teoria efe db então você calcula o fx a ele já está suficientemente próximo da raiz a rainha está aqui eu diria que não então volta lá pro o ritmo qual próximo fácil o próximo passo é você atualizar a aproximação da raiz mas se atualiza a aproximação usado exatamente a estratégia global da recessão que defende o intervalo ao meio então quem intervalo você vai dividir o meio observe seguinte arraes vai estar entre as x 04 x aabb se você observar a função à efe que a f 1 x 0 tenha o mesmo final mas fx a fpb tem sinais opostos então a rainha ela tá aqui então você vai atualizar raiz fazendo que x 0 ele sirva como a e b continua como b e você calcula que o meio intervalo vamos dizer que seja aqui então você vai ter uma raiz x 1 stoke x barra para dizer que é uma raiz aproximada x 1 você já verifique a que esse ponto aqui vai ser o f e x 1 barra então esse x 1 barra já está suficientemente próximo da raiz se tiver parte não tiver você verifica agora aqui entre esse valor e freches libertem o mesmo sinal e entre fx a fpx vão te ensinar as apostas estão na raiz ela vai está aqui entre fn em 3 x 3 x 1 inter vai fazer o papel de agentes vai fazer o papel de bebê e você calcula novamente a raiz aqui no mesmo intervalo e você segue esse princípio até que é de x barra interação cá qualquer seja aproximadamente 0 ou seja que ele seja menor do que a precisão que você está adotando para o céu problema então esse é o funcionamento básico do método da associação é evitando o intervalo veio verificando se os sinais de são apostas para você atualizar raiz sempre pegando meio desse intervalo vamos agora por exemplo prático de como utilizar uma decepção pra encontrar a raiz de uma função então vamos tomar como exemplo o resultado pela vivo na viola passada que foi justamente fizemos o tabelamento gráfico da função fx guaches álcool -9 x mais um intervalo entre 0 3 e aí nós verificamos que existe uma raiz através do tabelamento gráfico entre 0,5 e 1 500 ávila assim que não existe mais de 263 também existe uma raiz vamos tentar encontrar exatamente com a raiz que existe entre 0,5 e 1 um tá com a precisão de 10 ou menos 2 então nós já sabemos aqui ó que é felizardo a 50 1 625 é um valor positivo de f1 é menos três que é um valor negativo então você já sabe que esse lado aqui está positivo esse lado aqui está negativa certo então vamos fazer o gráfico da função x álcool -9 x + 5 no intervalo entre 0,5 e 1 com precisão de 10 a 12 nós sabemos aqui inicialmente que a 0,5 além disso nós sabemos que o fmi já que vai ser esse lado aqui vai seu lado positivo certo porque fd área é positivo aqui na nossa do nosso tabelamento então o lado positivo vai ser o diário lado negativo foi seu lado b também vai ser igual a 1 o que vai ser o lado negativo então da função fx igual à x algo menos 9 x mais cinco que está aqui então qual o primeiro passo aqui pra você calcular raiz elas a forma do mais a obsessão com a fórmula a + b / 2 então a sua raiz atualizada e nada pouco a mais bem sobre dois esse aqui a fama da negociação então qual será x barra vai ser a 0. 5 mais b que valeu mais um certo é igual a isso dividido por dois aqui vai ser 0,75 que a nossa raiz aproximar então tá que 0,75 o que nós fazemos quando obtemos arraes aproximada nós já estamos a verificar se f essas aproximado é menor do que a nossa precisão aqui 10 a menos dois então vamos calcular fx bar como é que fica o colégio x barra nossa função é fichinha da chinalco mapuches mais 50 lugar o x a gente vai colocar 0 75 nessa função então vai ficar 0 75 a ficar mais rápido se você olha aqui na variável a inércia da calculadora tal valor é 0 75 então a gente pode usar a variável do irs que a última reais calculada com o valor da função a iss é elevado ao cubo além dos nove vezes em ms mais cinco e aí ó ram cuba certo aqui o cálculo vai dar menos 1,4 caso desse mais 32 8 entre o este valor aqui já é suficientemente próximo da raiz ou seja ele já é menor do que 10 menos dois em obras não então o que nós fazemos atualizamos a raiz o intervalo entre b com o fx é negativo ele vai ficar no lugar de quem no lugar do b certo então nosso a continua sendo 0,5 o nosso bem agora ele vai ser 0,75 pois nós sabemos que aí está entre 0. 5 0.

75 porque entre referia a fx barra houve alteração de sinal entre efe db q era negativo em r x barra não houve alteração de sinal como a raiz ainda não está boa nós vamos calcular a nova raízes aqui que vai ser 0. 5 teve uma vez né 0. 5 mas 0.

75 que o numerador se coloca de parentes que fazer a operação correcta no inc dividido por dois então tá aqui o valor de 0,625 0,62 pronto você tem uma raiz aproximados aqui seria sushis era que seria x 1 barra né raiz aproximada que você faz parte desse valor que está em ms e coloca na função aí nesse álcool -9 designs mais cinco você vai obter aqui o valor de menos 10 veículos 3808 não é menor do que a precisão então o número de casas decimais não vai importar muito nesse cálculo aqui do fx barra porque só conta de paradas você já está verificando que ele não atende então como não é a raiz ainda nós vamos atualizar novamente como fx barra é negativo com quem vai ficar aqui no lugar do b x barra agora ele continua aqui mas fazendo parte da função como b arraes vai estar entre 0,5 e 0,6 125 verifique que a cada passo você consegue eliminar metade do intervalo no espaço de busca então esse tipo de música também conhecida como busca binária próprio não tem uma raiz que eu faço calculá a raízen 0. 5 e 0. 6 125 61 5 isso é dividido por dois a minha raiz aproximado agora 0,56 25 0,56 15 o próximo passo obtive raio aproximado no método eu vou testar essa raiz taboa como pega esse valor o substituiu na função e verificando está menor do que a precisão então novamente eu pego esse valor está aqui na memória substituiu na função e eu vou obter agora 0,11 54 um valor positivo agora 0,11 54 já está menor do que 10 menos 220 1,01 ainda não vamos atualizar os valores de r b observe que heath de agora positivo ele vai ocupar o lugar do ar porque entre fd a fx barra se você verificar exatamente no meio entre 0.

5 0. 61 cinqüenta aqui no meio das doze dos dois valores então ele vai está positiva entre a fig a fx barra não vai ter variação de sinal mas entre fx barril fique bem vai ter variação de final porque fiquei bem negativa este valor aqui agora a a 0,56 e 15 eo bei continua sendo 0,625 ó nós começamos procurar no intervalo 10 pontos em que já estava intervalo bem menor que o de busca então vamos lá novamente calcular raio aproximado entre rbr na fórmula mais bem sobre 20 pontos 56 25 x 10. 6 125 que 2012 vai ser igual a 0,59 37 0,59 37 calculou o valor dessa função aqui na função na função fx e vai dar menos 0,13 44 ainda não é menor do que a precisão então vamos lá pra mais um passo de cálculo do método a obsessão ela está fazendo um procedimento que tem vários passos para vocês verificarem exatamente como é feita essa atualização da raiz observe que fx barra foi negativo então sx barak vai fazer o papel do ebay você sabe que a raiz agora está entre 0,56 25 e esse fx barba pro rad bem porque fuchs barra foi negativo e 0,59 37 calculando a raiz aproximada 0.

56 25 mais 0.