Geometria - Aula 1 - Usando esquemas geométricos para abstrair situações

Olá a todos Eh meu nome é Marcos Paulo sou professor de matemática no CEFET aqui no Rio de Janeiro aí a gente vai começar agora um um curso eh que vai tratar da parte da da geometria euclidiana plana tá eh estudar geometria euclidiana plana é realmente eh importante porque ela vai ajudar a gente a de alguma maneira interpretar eh as as diversas situações que podem acontecer eh no mundo criando o um um esquema que represente a a a realidade tá para para criar esses esquemas e vai ser necessário a gente estudar alguns elementos que que

aparecem nesses esquemas e que eh normalmente a gente pula essa parte tá é muito comum eh começar o estudo da geometria já considerando por exemplo que todo mundo conheça formas como as formas triangular por exemplo isso daqui seria uma forma triangular uma eh uma forma retangular tá então é bem razoável a gente considerar que as pessoas conheçam eh esse essas formas que eu que eu que eu desenhei no quadro tá tanto a forma triangular quanto a forma retangular são conhecidas aparecem diversas eh diversos objetos que você tá acostumado a a lidar no cotidiano tá eh

no entanto eh mesmo essas formas bem elementares contém contém eh alguns objetos que a gente não sabe muito bem eh determinar o que que é tá eh ou a gente não consegue explicar o o que que o que que ele o que que esse objeto significa certo então Eh o que a gente vai fazer é exatamente apresentar esses esses objetos para vocês tá eh e tentar começar a organizar eh de uma maneira que a gente consiga sabendo um pouco da da desse sobre esses objetos tá eh conseguir deduzir outras outras propriedades eh do dos e

relações entre os objetos que foram apresentados bom eh como como eh eu já falei eh o que a gente vai vai fazer é representar a realidade a partir de esquemas tá então eh já que eu vou montar um esquema esse esquema não é a realidade tá eu não vou tentar eh o o observar uma situação e e fazer o desenho exato daquela situação considerando todos os elementos que estão envolvidos naquela situação tá sempre que eu eh for fazer um esquema para representar uma situação real Tá eu vou ter perda de informação isso é isso é

normal tá E e na verdade eu não vou considerar como uma perda de informação eu vou vou considerar simplesmente que certos certos elementos vão ser totalmente desconsiderados Tá certo então aqui e eu coloquei aqui um exemplo mais ou menos tá eh eu tô fazendo esquema eu vou tentar representar minha situação real a partir de um esquema e por isso eu vou ter perda de informações tá essa perda de informações Na verdade eu vou considerar simplesmente como uma abstração da da situação eh real então Eh eu vou deixar de considerar eh os objetos reais tá e

vou usar eh elementos eh geométricos elementos da da geometria euclidiana plana tá para representar esses objetos reais claro que esse esses elementos não têm as mesmas características eh de do dos objetos que eu tô representando tá então eu coloquei aqui um um exemplo por exemplo eh eu coloquei um um um campo né um campo qualquer aqui não importa o que que ele representa tá onde eu representei uma pessoa tá que tá caminhando até uma formiga Tá certo então eh a pessoa é representada por uma áa uma um uma região do do campo que eu que

eu marquei tá e quando essa pessoa caminha direção à formiga né ela vai ela vai eh ocupar eh uma uma região aqui do plano que eu botei aqui Pintadinho aqui tá Então o que eu quero é ao invés de eu de eu usar essa representação tá e eu vou ao invés de pensar na pessoa que ocupa uma área no no no plano Tá eu vou pensar só na posição dessa pessoa a mesma coisa pra formiga tá eu não não quero pensar na na região que a formiga ocupa no no campo quero pensar só na posição

que a formiga esse encontro então pro para minha situação que tá me interessando é o caminho que eh essa pessoa eh faz da posição em que ela se encontra até a posição que a formiga se encontra tá então ao invés de eu usar um desenho como esse onde eu teria que considerar toda essa região aqui que a pessoa vai ocupando conforme ela vai andando em direção à formiga a eu vou vou considerar eh eu vou eh representar essa pessoa por um ponto tá eu vou representar a formiga também por um ponto aí agora você você

vai vai estranhar porque e a pessoa foi representada por um ponto a formiga foi representada por um ponto então Eh ponto é uma pessoa o ponto é uma formiga isso não tem não não tem cabimento nenhum tá é óbvio que e o objeto pessoa é totalmente diferente do objeto formiga tá no entanto eh Pensa bem o que que eu tava pensando em representar o que eu queria era representar a posição da pessoa e a trajetória dela até a posição que a formiga se encontra tá então esquece que é uma pessoa eu vou ter uma posição

tá de partida e essa essa essa esse objeto vai caminhar vai ter um caminho até uma outra posição que é a posição de chegada tá então ao invés de eu pensar na pessoa eu penso só na posição da pessoa eu abstrao que a pessoa tem cabeça perna que ela tem uma altura nenhum desses elementos me interessa no no para representar essa situação tá então eu eu represento essa pessoa por um ponto tá E é que vai ser a posição inicial do do do da minha caminhada digamos assim tá e representa a formiga também por um

ponto tá certo que que vai representar a posição que a formiga se encontra tá Não não é a formiga é a posição da formiga aqui não é a pessoa é a posição da pessoa tá E aí eh eu posso eh desenhar uma linha que eh por exemplo aqui eu tenho uma uma região aqui eu tenho teria que considerar toda esse espaço que a pessoa ocupa eh quando quando ela sai da posição em que ela se encontra e vai em direção a formiga mas se eu eu eu fosse considerar que a formiga vem em direção à

pessoa pelo mesmo trajeto tá eu teria que que pensar em outro em outra região ocupada no plano eu teria que considerar essa parte azul aqui tá só que e para para o aquilo que eu tô e pensando tá é indiferente considerar o a trajetória da pessoa até a formiga e e a trajetória da formiga até a pessoa se as duas percorrem o mesmo caminho um indo Outro vindo tá então quando eu quando eu uso uma linha aqui eu tô descons considerando que essa linha tenha área tá a área que que a pessoa ocupa não me

interessa só me interessa realmente a trajetória tá então esse é o exatamente o tipo de o tipo de abstração que a gente pretende fazer Tá eu vou desconsiderar certas características dos objetos que eu tô que eu tô interessado em representar tá para ganhar objetividade Tá certo então e o no na no nosso estudo de geometria plana ao invés de eu de eu pensar sempre na situação real Tá eu já penso no esquema então Eh eu não tenho que eh pensar em propriedades de pessoa ou pensar em propriedad de Formiga tá eu tenho que pensar em

propriedade por exemplo de ponto tá e eu tenho que pensar em propriedade de de trajetória de caminho tá eh são essas coisas que que que a gente vai levar em consideração e aí a gente tem a intenção de estudando bem eh esses esquemas tá ou os elementos que que vão aparecer ser Nos esquemas a gente consiga eh representar ou reconhecer na realidade tá coisas que podem ser representadas por esses esquemas bom então vamos começar eh o o estudo do dos nossos elementos e o primeiro eh elemento que a gente vai estudar é exatamente o ponto

tá a gente já falou algumas coisas sobre ponto eh e e a ideia é que eu não deu uma definição formal do que é um ponto tá para que eu possa ficar livre e os esse ponto para representar diversas eh diversos objetos diversas situações e que possam aparecer na na realidade tá então eh como no no exemplo da da pessoa e da formiga tá eu não quero definir um ponto para representar pessoas e um ponto para representar formigas tá eu tô pensando que eh como eu desconsidero vários outros elementos eh eu posso eh representar a

minha pessoa por um ponto ou a posição da pessoa por um ponto posso representar a formiga por um ponto ou a posição da formiga por um ponto tá então e sem dar uma definição do que é ponto tá vamos vamos pensar em algumas características e do ponto e eu coloquei aqui que eu vou usar pontos para representar e posição de objetos certo então Eh como se dera o objeto pessoa o objeto formiga eu vou usar o ponto para representar a pessoa vou usar o ponto para representar a formiga ou vou usar o ponto para representar

a posição da pessoa vou usar o ponto para representar a posição da formiga eh uma uma coisa que a a o o ponto desconsidera é a região ocupada pelo pelo objeto que tá sendo representado tá com já que eu quero só a posição tá eh não me interessa a a área que essa que esse objeto ocupa tá então o ponto desconsidera eh a região ocupada pelo objeto representado tá então eh quando se eu se eu colocar eh um ponto em cima do outro tá eu não eu não vou aumentar a a a área ocupada certo

é mais ou menos essa aí ideia que eu que eu queria passar se eu for infilando um ponto e colocando empilhando pontos tá eu não vou conseguir eh eh eu não vou conseguir formar um um elemento diferente vamos ao invés de de eu tentar explicar assim vamos vamos pensar logo na na posição nas posições possíveis entre entre pontos tá considerar Primeiro só dois pontos certo então Eh posições relativas entre dois pontos tá eh bom digamos por exemplo que Eu queiro representar uma uma corrida Tá certo se eu quero representar uma corrida só tá me interessando

a trajetória do dos corredores tá eh já que só só me interessa a trajetória dos corredores eh eu não vou no no meu esquema não vou fazer uma Raia para o primeiro corredor uma Raia pro segundo corredor uma Raia pro terceiro corredor porque isso iria eh trazer muitos elementos pro pro pro meu esquema e o objetivo é exatamente eu conseguir simplificar a realidade para fazer um estudo mais objetivo tá então e eu posso muito bem considerar que todos os corredores saem da mesma posição certo então uma uma possibilidade pensando só em dois corredores é que

eu use o mesmo Ponto para representar dois objetos tá quando eu uso o mesmo Ponto para representar dois objetos eu posso pensar tá posso uma uma maneira de interpretar isso seria você pensar que você tem e dois pontos que são o mesmo Ponto ou dois pontos que a gente diz que são coincidentes tá eh em geral quando quando um problema eh de de prova né Eh Fala dois pontos ele tá normalmente considerando que esses pontos não sejam o mesmo Ponto tá isso é é bem razoável eh mas um caso eh uma uma possibilidade que você

poderia eh eh considerar para para Para efeito de e contraprova ou alguma coisa desse jeito tá Seria considerar os pontos como se fossem o mesmo tá eu considerar como se fossem dois pontos coincidentes Ah então se aqui tem dois pontos coincidentes também tem três também tem quatro tem cinco tem infinitos pontos aqui coincidentes é por exatamente por isso que quando eu falar dois pontos eu quero dizer pontos diferentes tá ou seja e essa essa situação é uma situação particular tá onde eu tô considerando dois objetos que OC ocam a mesma posição mas Pera aí dois

objetos dois duas pessoas não podem ocupar o mesmo o mesmo lugar no no no plano no espaço tá É isso é verdade sim mas se eu desconsiderar certas características da pessoa ou do do dos objetos que eu tô interessado em representar tá eu posso pensar que os dois estão na mesma posição estão na mesma posição e para aquilo que eu quero estudar tá Não não é que elas uma pessoa esteja em cima da outra ou pessoa pisando na formiga não tem nada disso tá o que acontece é que eu tô eu tô considerando eu tô

desconsiderando na verdade eh coisas que que eh que me me limitariam na na no no meu no meu traçado do do do meu esquema certo então Eh se eu desconsiderar a área por exemplo que que as pessoas ocupam não tem nenhum problema duas pessoas estarem na mesma posição as duas pessoas não podem ocupar a mesma posição no espaço porque elas ocupam uma área ou uma um volume Sei lá tá então por isso que elas não podem ocupar o mesmo agora se eu desconsidero a área ou se eu desconsidero o volume tá eh as duas pessoas

podem muito bem est na na mesma posição então quando eu digo que os pontos são coincidentes eu quero dizer que eh para aquilo que eu estou considerando tá a posição de uma pessoa é a mesma posição da outra tá E aí eu posso usar eh eh essa essa representação aqui esses três tracinhos aqui indicam que e esses dois pontos essas duas esses dois objetos são representados pelo mesmo Ponto E aí eu digo que esses dois pontos o ponto a e o ponto b tá normalmente eu vou nomear pontos com eh letras maiúsculas tá letras latinas

maiúsculas tá então e o ponto a e o ponto b seri o mesmo Ponto eu digo que esses pontos são coincidentes a outra possibilidade que é a mais comum tá se eu falo dois pontos Eu normalmente quero dizer que os pontos são diferentes tá então eu tenho uma posição que é a posição do ponto a outra posição que é a posição do ponto b e aí eu digo que a é um ponto diferente do ponto b ou ainda que os pontos são distintos que é a mesma coisa