[Música] [Música] eu vou eu vou antes de dar exemplo de tudo mas eu vou justamente provar que se isso acontece então é contínuo então o teorema se f é diferenciado eu enchi série y 10 então f é contínua em x 0 y deram bom e isso é fácil fazer vamos ver porque é olha eu sei que se é diferenciável tudo isso aqui acontece né existem dois números ahb tais que esse limite enorme a 0 essa é uma hipótese isso eu saí para usar quando eu precisar e o que eu quero provar quero provar que é
contínuo então é razoável que o bom o que quer dizer que a f é contínuo e contínua se fdx y quando xy tende a zero zero a desculpa e tende a x100 da ftx 010 é isso que a gente quer provar né bom em vez de escrever x e y eu vou escrever x 0 mais hpy 10 mais caro isso aqui é a mesma coisa que limite df de x 0 mais h epsilon ero mais cá quando hk tende a 0 0 fc x 0 y deve tá então é aqui que eu quero chegar a
isso aqui o que eu quero provar mas aí eu vou olhar lá pra aquela expressão eu vou escrever a f e x 0 mais hybrid3 armas a gaza x 0 10 mas a h mais bk mas o erro agora fica fácil escrevendo desse jeito fica fácil demonstrar o que eu quero eu quero então provar que o limite de 10 pedaço é isso só então agora falta provar que isso aqui e se limite a 0 isso é porque o ht tendendo a zero o ca também o seu números reais é e aí eu tenho que provar
que isso vai pra 0 se aprovasse as duas coisas a funcionar em contínuo sabemos e aí a gente sabe que existem os a e b que fazem esse erro dividido pela norma tem 60 tá então limite quando a kaká atende a 100 de a à h mas bk isso é zero isso é um número vezes a mais um número versus caixa zero agora o que é o limite do e de atacar quando a agatha tende a zero zero o que eu sei é o limite do e dividido pela norma então o que eu vou fazer
é escrever esse e aqui eu vou multiplicar e dividir por norma de hk passar o limite eu tô eu vou só multiplicar e de hk sobre norma de hk vezes norma de hk quando h&k tende a zero zero tá bom e aí o que acontece por hipótese isso aqui é zero e norma de agatha a gente sabe que a raiz quadrada né dh o quadrado mais caro quadrado quando a gaio que atendem ázaro essa norma vai projeto então isso aqui também na 0 então esse limite a 0 portanto juntando tudo né o limite df de
x 0 mais h y é mais carro quando hk tende a zero zero é esse aqui é constante f x 0 mais h robert x 0 são josé mas era mais é então essa daqui então essa noção de diferença e habilidade aqui essa definição aqui acaba sendo bastante importante porque ela aqui que vai dar pra gente os temas que a gente que a gente vai precisar o primeiro é esse que ser diferenciado então é contínua e ao longo do curso a gente vai vendo mais alguns mas é essa definição há a definição é realmente importante
se é diferenciado eu então ela tem as duas derivadas parciais ele é diferenciado num ponto x 0 10 a existem do fd ao x nesse ponto de o fdny nesse ponto e eles são justamente esses números a e b tá então esse é o teorema dois e aí sim depois de provadas teorema a gente consegue fazer alguns exercícios com mais facilidade então um teorema dois sempre é o tempo todo eu tenho o a contínua em r 2 aberto o x 0 01 ponto de a ea f de aaa em r né sf for diferenciável em
x 0 y 0 então existem as duas derivadas do fd ao x e xi cérebros 10 e do fdny x 0 10 isso é fácil e sei que este prêmio é bem simples sim porque eu vou fazer um outro fica pra casa na demonstração então para mostrar que é derivada parcial df em relação à x existe eu tenho que fazer o que eu tenho que variar só um x em manter o y constante né mas é bom eu não sei se esse limite existe então vamos escrever choque recordar que isso aqui é limite quando a
gata em dia zero df de x 0 mais h y é zero - fdx 0 y 0 sobre h lembra disso tá então a derivada da efe em relação à x é só é isso então eu tenho que mostrar que esse limite existe e o que eu sei pra chegar aqui pra garantir que esse limite existe o que eu sei eu sei que a efa diferenciável então eu sei que existem números a e b também aqui em cima tais que limitam existe existe é igual a zero então o que o meu ponto de partida é
aquele lá eu sei que aquele limite grande existe pra qualquer hk então eu vou fazer h0 ele existe pra né em qualquer pra qualquer gato tem 600 eu vou pegar o carbono zero e vou fazer o limite então sabemos que existe existem eu vou escrever assim a e b pertencentes à r tais que o limite eu vou escolher um caminho especial né esse para aqui df de x eram mais h y castro fica só y10 porque o caio jr goza 0 - f e x 0 e somou 10 - h - bbb10 sobre norma de
h00 quer dizer lá é pra pra todo hk não entendendo 00 por qualquer direção aqui o em particular pra esse e agora só traduzir o que é isso aqui joga fora e o que fica aqui se o pará ga 0 está tendendo a zero zero significa o quê que o ágata atendendo a 0 tudo bem aqui eu tenho só a gata em 60 aqui eu tenho fdx eram mais h y é zero - fx ly 10 - h enquanto que é norma dh 0 do vetor h 0 é o módulo jogar tudo bem eu sei
que esse limite a 0 e aí com o módulo no denominador se esse limite com o módulo no denominador a 0 sem o módulo também é por causa daquela observação que fiz no início da aula eu posso tirar esse módulo daí fdx é mais hybrid3 0 y 0 - h sobre h igual a zero agora é só separar em dois e percebeu que só que eu vou separar assim né tá bom já separei não só a fração mas como também o limite né o limite da diferença de diferença dos limites eu já escrevi assim mas
isso aqui é a derivada parcial isso aqui quer dizer que a derivada parcial existe né não só ele existe né porque aqui está dito que ele existe mas ele é igual àquele número a então eu provei que o do f10 x é o lá e da mesma forma fazendo usando aquele limite grande com a gaiola 0 vocês não obteve a derivada parcial em relação à y calculado e x a y 10 e vão descobrir que esse daí é o número b é bom então o resumo de tudo isso a conclusão aqui é que se você
tem uma função diferenciada eu bom sempre naquelas condições o a um domínio um conjunto aberto x 0 y era um ponto do domínio né é eu tenho lá conteúdo em r 2 aberto x 0 y 10 tem sentido a a f e x é f é diferenciável em x 0 10 eu vou escrever assim o fez somente se lembra lá em cima né a quando eu dei a definição eu falei se existirem números a e b tais que aquele limite grande a 0 nessa definição com este teorema eu descobri que o hotel é fidel x
é ua então eu vou dizer e e analogamente né eu escrevo não escrevi analogamente o dell é fidel y calculado em 2010 é b tá então quando é como é que eu vou fazer pra verificar se a função é diferenciável eu tenho que mostrar a existência do aido b então você vai fazer primeiro o que existe é o f10 um x de x e y 0 e eu vou chamar de a e também existe do fdny dxl y10 que eu vou chamar de b então esses dois números têm que existir e tem que fazer aquele
limite enorme você tem que verificar também que o limite daquela função e de hk sobre norma de hk quando hk tende a zero zero tem que dar zero ou seja são dois passos pra ver se uma função é diferenciável num ponto primeiro você calcula as derivadas parciais nesse ponto só que isso não basta né porque a gente viu o exemplo de uma função que teve vários papéis e não é contínuo então não pode ser diferenciado então existem funções que têm derivadas parciais mas não são diferenciados então pra ver se é diferenciado mesmo eu vou ter
que calcular esse limite aqui e ver se dá a 0 são então são dois passos [Música]
