Ciao ragazzi buon pomeriggio Ben ritrovati per una lezione di statistica Oggi siamo insieme per affrontare il seguente esercizio che riguarda in particolar modo la funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria e il calcolo delle distribuzioni soprattutto saper riconoscere se si tratta di distribuzioni note oppure no In particolar modo vedremo come si applica la trasformazione di una variabile aleatoria la distrib CH quadro F di fiser l'esercizio è il seguente man mano Poi vi do le nozioni di teoria necessarie per risolvere questo esercizio se a X Una variabile aleatoria con densità data da FX è pari
a 2x * e elev - X qu per la funzione indicatrice tra 0 e infinito di X dove la funzione indicatrice vi ricordo che vale 1 se la x appartiene all'intervallo Appunto 0 infinito in questo caso e 0 Altrimenti ok Quindi ci sta dicendo dove varia la x primo punto calcolare la funzione generatrice dei momenti di Y che è uguale a 2x qu determinare la distribuzione di Y e quindi puoi capire se è una distribuzione nota oppure no e terzo punto se a z una variabile aleatoria distribuita come una CH quadro con 2° di libertà
determinare la distribuzione di w v che è uguale al rapporto tra Y su Z Ok cominciamo subito e adesso vi ricordo che la funzione generatrice dei momenti di una variabile aleatoria si indica con la funzione MD T ed è pari al valore atteso di e elevato all t x t * x dove X Appunto è la variabile aleatoria in questione e il valore atteso ovviamente Dipenderà se la x è continua o discreta e quindi vi fate il calcolo se x è discreta vi fate il calcolo dell' aspettazione con le sommatoria se X invece è una
variabile continua come in questo caso il calcolo del valore atteso verrà fatto attraverso l'integrale Ok ora Nel nostro caso nel punto a il testo ci chiede la funzione generatrice dei momenti di Y Quindi Nel nostro caso noi vogliamo calcolare mdt che è pari al valore atteso di e alla T Y ok Quindi quanto vale Y Y Vale 2x qu quindi questo sarà il valore atteso di e alla T Anzi 2T X qu ok Come si calcola il valore atteso dalla definizione di valore atteso questo è l'integrale su tutto R dell'argomento del valore atteso quindi e
elev all 2tx qu per la funzione di densità di X perché in questo in questo caso l'aspettazione dipende da X Ok e noi la funzione di densità ce l'abbiamo e quindi la prendiamo e la inseriamo all'interno dell'integrale tutto questo dovremmo integrarlo in dx Ok adesso effettuiamo il calcolo Allora innanzitutto la funzione indicatrice ci cambia gli estremi di integrazione perché la x Varia tra 0 e più infinito quindi l'integrale lo dovremo calcolare tra 0 e più infinito e poi riscrivo i termini Quindi abbiamo 2x * e elevato all 2tx qu - X qu usando le proprietà
delle potenze tutto questo in dx Ok adesso quello che faccio è scrivo e dove raccolgo - X qu e così otteniamo - 2T + 1 oppure 1 - 2T Ok tutto questo in D X adesso Abbiamo due modi per risolvere questo integrale o ci riconduciamo subito a un integrale immediato Oppure potete risolverlo anche attraverso il metodo di sostituzione in questo caso quello che faccio è che so di ricondurre questo integrale a che cosa all'integrale di e alla FX Quindi abbiamo una funzione FX come esponente di e e poi la funzione è moltiplicata per la derivata
prima di FX in questo caso questo integrale è immediato Ed è proprio pari ad e elevato all FX + C se l'integrale è indefinito ok Quindi per noi FX è tutta questa funzione qui per avere l'integrale immediato questo e elevato all FX deve moltiplicare la derivata prima quindi se F è tutta questa quantità che vi ho cerchiato Chi è f' X Allora la derivata la sto faccendo in X Guardate che l'integrale anche in X perché quindi vuol dire che t la devo pensare come una costante ok Ok Perciò è la derivata di - x qu
per la costante 1 - 2T quindi verrà - 2x * 1 - 2T osservate che il termine 2x ce l'abbiamo il fattore 2x ce l'abbiamo ci manca il fattore 1 - 2T con il meno Quindi posso moltiplicare e dividere per la quantità che mi manca perciò questo integrale lo andremo a riscrivere come innanzitutto dentro mi serve un meno Quindi metto un meno Sia fuori che dentro l'integrale poi all'interno dell'integrale Mi serve 1 - 2T Quindi vado a Quindi vado a moltiplicare all'interno dell'integrale per 1 - 2T e chiaramente fuori dall'integrale andrò a dividere per questa
quantità ok E adesso che abbiamo fatto questo passaggio vediamo cosa è rimasto 1 FR 1 - 2T che Moltiplica il risultato dell'integrale che questa volta è immediato ed è pari proprio e alla FX cioè e elev all - X qu che Moltiplica 1 - 2T tutto da valutare tra 0 e più infinito adesso questo è un un integrale improprio di conseguenza dobbiamo passare aì limite ok Visto che un estremo è infinito Quindi abbiamo - 1 su 1 - 2T che Moltiplica il limite per facciamo Z che tende a più infinito di e all - Z
Qu * 1 - 2T poi - la funzione calcolata in 0 Ma e ^ 0 fa 1 quindi rimarrà - 1 adesso quando Z tende a più infinito l'esponente di e tende a meno infinito ed e alla Men infinito tende a 0 quindi rimane nella parentesi quadra solo - 1 che cambia il segno con il meno che abbiamo raccolto davanti Quindi il risultato di questo integrale è 1 FR 1 - 2T Questo è il valore della funzione generatrice dei momenti di Y adesso la funzione generatrice dei momenti ci dà importanti informazioni sulla distribuzione e poi
anche sui momenti perché i momenti della variabile aleatoria sono legati alla derivata della funzione generatrice dei momenti Ok quindi questo risultato ci sarà molto utile come Vedremo tra un attimo nel secondo punto riprendiamo il secondo punto chiede di determinare la distribuzione di Y Ok allora in generale in generale per noi Y è 2x qu se voi volete determinare la distribuzione di una variabile aleatoria quello che dovete fare È calcolare F di Y cioè la probabilità che Y sia minore o uguale di una certa valore Y piccolo fissato ok E questo che cosa vuol dire che
Dovremo applicare la formazione quindi Y è 2x qu min UG di Y il che significa che dobbiamo calcolare la probabilità che X qu sia minore o uguale di y2 e adesso estraendo la radice ambi membri abbiamo che la probabilità che la x sia compresa tra 0 e la radice quad y2 e vi osservare che non è tra - √ y2 e + r y2 ma va da 0 a r y2 proprio per il dominio di X ok E questa probabilità la calcoliamo con l'integrale tra 0 e la Rad Quad y2 della densità di X In
D X eccetera eccetera ci facciamo tutto il calcolo Ok Tuttavia la funzione generatrice dei momenti che ci siamo calcolati prima ci dà informazioni sulla distribuzione di Y perché ogni variabile aleatoria nota ha la funzione generatrice dei momenti nota Quindi se Y è la variabile aleatoria 2x qu e abbiamo ottenuto che la funzione generatrice dei momenti di Y è 1 FR 1 - 2T dobbiamo ragionare Se questa è una funzione generatrice momenti nota oppure no E allora osserviamo la seguente Cosa vi faccio osservare che se x è una variabile aleatoria distribuita come una variabile aloria gamma
di parametri K e lambda Allora la funzione generatrice dei momenti di X Quindi il valore atteso di e alla TX è pari a il rapporto tra lambda su lambda - T tutto elevato alla K osservate quindi la funzione generatrice dei momenti di Y A questo punto perché questo è il valore atteso di e all Ty osservate il denominatore Qui abbiamo lambda - t e qui abbiamo 1 - 2T quindi la prima cosa da fare è togliere la costante 2 al denominatore e questo si può fare dividendo tutto per 2 sia il numeratore che il denominatore
ok Quindi quello che faccio è torno nella funzione generatrice dei momenti di Y ok e abbiamo che e ^ Ty è pari a 1 FR 1 - 2T e divido tutto per 2 quindi abbiamo 1/2 e 1 - 2T me2 quindi lo vado a riscrivere e abbiamo 1/2 su 1/2 - t e adesso fate il confronto tra questo e questo Cosa vedete che è la stessa identica scrittura dove lambda Vale 1/2 ok e k significa che tutto questo qui elevato alla prima vale 1 quindi Y è distribuita come una gamma di parametri K quindi 1
e lambda dove lambda per noi È 1/2 chiaramente se vi facevate l'integrale vi veniva lo stesso identico risultato ma delle volte passare attraverso la funzione generatrice momenti ci semplifica notevolmente la vita OK e quindi abbiamo risolto in questo modo anche il punto 2 ok Quindi abbiamo fatto il punto 1 e il punto 2 terzo e ultimo punto ci dice sia Z una variabile la toria distribuita come una CH quadro con con 2 gradi di libertà vuole la distribuzione di W che è Y FR Z quindi Qui abbiamo tre variabili atori w y e z vediamo
di risolverlo semplicemente con l'aiuto della teoria Ok la teoria ci aiuta tanto la vita delle volte allora Z è una CH quadro con 2 gr di libertà vogliamo di distribuzione di W che è Y su Z Allora qui c'è un teorema che è il seguente se ho X Una variabile aleatoria definita come il rapporto tra u su n su V su m dove u è una CH quadro con N gr libertà e v è anch'essa una CH quadro con M gr Libertà Allora x è distribuita come una F di fiser con N ed m gradi
di libertà che significa che se abbiamo il rapporto tra due variabili aleatorie che sono 2 CH quad divise rispettivamente ognuna per i propri gradi di libertà Allora il rapporto tra due CH quadro è una F di fiser e adesso quindi dobbiamo applicare questo teorema alla nostra variabile aleatoria w in questo modo Allora w è il rapporto tra Y su Z noi sappiamo che Y è una gamma di parametri 1 1/2 e z è una CH quadro con 2° di libertà ora quando avete una variabile aleatoria gamma la potete scrivere anche come una CH quadro e
in particolare questa è una CH quadro con 2e gradi Libertà visto che lambda è parte CH HA 1/2 OK e quindi abbiamo che sia Y che Z sono due CH quad però quello che dobbiamo fare è che dobbiamo dividere ognuna per i rispettivi gradi di libertà quindi se divido devo dividere ambo i membri quindi divido sia al numeratore che al denominatore per due in questo caso funziona benissimo perché entrambe hanno due gradi di libertà quindi ho scritto la y che è una CH qu con 2 gr di libertà su due che sono i suoi gradi
di libertà la Z è una CH Quad con 2 gradi di libertà diviso du sono i suoi gradi di libertà che cosa abbiamo ottenuto che W è una F di Fisher con N ed m gradi di libertà dove però in questo caso sono due e due ok perché entrambi hanno du gr di libertà e quindi questo vi completa l'esercizio è un esercizio dove abbiamo visto un po' di calcoli ma poi abbiamo applicato teoremi è da un punto di vista anche teorico è molto molto utile quantomeno anche per verificare i risultati Magari di un esercizio perché
lo sviluppate attraverso l'integrale Ma poi fate il confronto con i teoremi e vi deve tornare esattamente la stessa cosa io spero di esservi stata utile noi ci vediamo alla prossima lezione Ciao
