Curso Funções - Aula 1 Exercícios

[Música] Olá no vídeo de hoje nós vamos fazer alguns exercícios e esses exercícios tem relação com a nosso primeiro conteúdo que foi introdução a funções bom da lista de exercícios tem alguns exercícios primeiro estabeleça-se cada um dos esquemas das relações abaixos define ou não uma função de a do conjunto A composto pelos elementos -1 0 1 e 2 e conjunto em b o conjunto B composto pelo -1 - 2 0 1 2 e 3 e justifique bom vamos analisar para saber se é uma função todos os elementos do conjunto A T que ter relação com

pelo menos com um elemento do conjunto B Então nós vamos olhar cada figura dessa aqui e ver se ela se o conjunto A é composto por esses elementos E se esses elementos têm relação com o conjunto B Então vamos lá letra A é composto pelos elementos -1 0 1 e 2 sim então primeira parte ok cada elemento conjunto A faz relação com o elemento conjunto B não né o - 2 não faz então a letra A não é uma função letra B O O conjunto A é composto pelos elementos -1 0 1 e 2 ó

-1 0 1 e 2 sim é composto então primeira parte ok o composto B O O conjunto B é composto pelos elementos -2 -1 0 1 2 e 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Ok então segunda parte Ok terceira parte cada elemento do conjunto A tem relação com o elemento do conjunto B vamos lá o -1 tem relação com o -2 Ok o 0 tem relação com -1 Ok o 1 tem relação com o dois e com o TRS isso aqui é problema porque cada elemento do conjunto A tem a relação com

com apenas um elemento do conjunto B neste caso um tem relação com dois elementos do conjunto B Então esse aqui também não é uma função vamos lá no no na letra c o conjunto A é composto por -1 0 1 e 2 Então tá aqui -1 0 1 e 2 primeira parte Ok o conjunto B -2 - 1 0 1 2 e 3 ó -2 - 1 0 1 2 e 3 Ok cada elemento do conjunto A tem relação com o elemento do conjunto B Olha só o -1 tem relação com o -2 o 0

tem relação com o 1 o 1 tem relação com -1 e o do tem relação com com o três Então olha só que interessante todos os números do conjunto A tem relação com um um com pelo menos um elemento do conjunto B e cada elemento do conjunto A só tem relação com um elemento do conjunto B então a letra C Ok c é uma relação que define é uma função né vamos lá pro letra D Olha só o conjunto A é composto pelos pontos -1 0 1 e 2 - 1 0 1 e 2 ok

primeira parte conjunto B é composto pelos elementos -2 - 1 0 1 2 e 3 - 2 - 1 0 1 2 e 3 Ok existe relação do conjunto de cada elemento do conjunto A com um elemento conjunto B sim ó o -1 relaciona com o 1 o z0 relaciona com um o um relaciona com um o do relaciona com 1 então todo os elementos do conjunto A tem relação com o elemento do conjunto B e cada elemento do conjunto A tem apenas uma relação com um elemento conjunto B então a letra D também é

uma função Ok então vamos dar continuidade resolver mais um exercício quais dos esquemas a abaixo define uma função de a em B mesma coisa a mesma forma de resolver letra a letra A é composto o conjunto A o conjunto A é composto doos elementos 0 1 e 2 0 1 e 2 ok conjunto B -1 0 1 e 2 essa aqui tem os elementos -1 0 1 e 2 falta o elento -1 né Então essa aqui não não é letra B -1 0 1 e 2 aqui temos eh conjunto a - 1 0 1 e

2 Conjunto A aqui é composto por 0 1 e 2 então aqui tá tá sobrando o elemento né o elemento -1 Então essa aqui não é a letra C Da mesma forma ó 1 0 1 do é eu acredito que tá digitado errada queria que fosse -1 Mas mesmo que não fosse vamos imaginar que seja um elemento um mesmo então um relaciona com o zero e um relaciona com o dois se esses dois aqui for o mesmo elemento ele tem relação com dois elementos do conjunto B Então ela também não é uma função letra c

é composta ao letra D perdão o conjunto a 0 1 e 2 0 1 e 2 ok conjunto B - 1 0 1 e 2 - 1 0 1 e 2 ok todos os elementos de a tem relação com um elemento em b e cada elemento de a tem relação relação com somente um elemento de b então essa aqui ok essa aqui é a função mais um exercício vamos lá este primeiro aqui aqui ó 145 ó exercício 145 letra A então qual é a notação das seguintes funções definidas dos conjuntos reais os conjuntos dos reais

letra A F associa cada número ao seu oposto então a minha FX é igual ao oposto de nú do número é ele negativo - x b g associa cada número ao seu cubo então a minha G Dex é pegar o X e elevar Ao Cubo Ok letra C Nossa H associa cada número real ao seu quadrado - 1 Então minha H Dex associa o meu X ao seu quadrado -1 Ok e letra d a minha função k associa cada número ao número dois então a minha k Dex leva qualquer valor de X me leva ao

número do é uma função constante ok Então vamos lá exercício 146 agora qual é a notação da seguintes funções F é uma função dos números racionais no Racionais que associa cada número racional ao seu oposto adicionado com um Então vamos lá letra A FX é igual número ao seu quadrado ao seu oposto adicionado de 1 qual que é o oposto de x - x adicionado de 1 x 1 letra B G é a função definida dos inteiros nos números reais que associa cada número inteiro à potência de base 2 neste número vamos lá GX cada

número X a potência de base 2 se a base é dois então eu tenho 2 e e meu expoente é o x 2 elevado x letra c h é a função dos reais com exceção do zero que em nos reais que associa cada número real ao seu inverso então h de x é igual ao inverso de x é 1 sobre X por isso que ele falou que é dos reais com exceção do zero por isso que tem um asterisco se se pudesse colocar o zero não poderia ser um sobre x vamos lá exercício 147 vou

fazer ele aqui embaixo seja a função seja f a função dos inteiros nos definida por fx = X a 3x - 2 calcula Então vamos lá F de2 é pegar a f Dex substituir 2 então é 3 x 2 - 2 que é igual 3 x 2 6 - 2 4 então letra B essa aqui é a letra a letra b f de -3 então vai ficar 3 x -3 - 2 é igual 3 x -3 - 9 - 2 -1 Simples Assim letra C F de0 = 3 x 0 - 2 3 x 0

0 - 2 - 2 letra d f de 3 SO2 eu posso fazer a f de3 so 2 vou fazer ela que a título de informação né de como ficaria a resposta mas 3 so 2 ele não é um número inteiro nós então essa F aqui ela não existe porque 3 so 2 não é o número inteiro e a resposta também não vai ser o número inteiro provavelmente vamos calcular só pra gente ver ó 3 x 3 so 2 - 2 que é 3 x 3 9 so 2 9 so 2 - 2 que é

9 - 4 so 2 que é 5 so 2 f 3 so 2 3 so 2 existe nos números inteiros não então f de 3 so 2 O correto é esse aqui ó F de3 so 2 não existe para essa informação aqui ó defende dos inteiros nos inteiros ok exercício 148 seja a função definida dos reais nos reais definida por x qu - 3x + 4 calcule vou fazer dois exercícios e vocês fazem o restante Então vamos lá letra letra A F2 é igual aqui ó X qu então 2 qu - 3 x 2 +

4 que é 2 qu 4 3 - 3 x 2 - 6 4 + 4 8 - 6 2 Ok vou fazer também a letra b f de-1 que é igual a -1 qu - 3 x -1 + 4 é iG 1 qu 1 + 4 5 menos com menos mais 3 x 1 3 + 5 8 Ok da mesma forma vocês vão substituir esses valores dentro da função e encontrar os resultados exercício 149 seja p o único número real que é primo e par sendo fx = a 0,25 elevado - x + x -

1 determina o valor de F de p Então vamos lá qual que é o valor de p qual que é o único número que é primo e par é o número dois então eu tenho que fazer Qual a f de 2 f de2 é o quê 0,25 elev -2 + x - 1 Opa + x não né + 2 que o F O X é 2 - vamos lá F2 é igual 0,25 elevado a -2 0,25 eu vou substituir por [Música] 1/4 elevado a -2 + 2 - 1 F2 é = inverto aqui vai ficar

4 so 1 que é 4 elevado a 2 eu inverti a minha fração para mudar o sinal do expoente + 2 - 1 Quanto que é 4 qu 16 + 2 18 - 1 17 ok então vamos aqui agora pro exercício 150 seja f a função definida dos reais nos reais assim definida FX é igual A1 se x pertencer ao conjunto dos números racionais e x eh e x + 1 se x não pertencer ao conjunto dos números racionais quais são os números racionais e quais não são os números racionais quais são os números que

não pertencem ao conjunto dos números racionais são os números que são Dima periódica ou raízes não exatas né Por exemplo três pertencem aos números racionais - 7 so 3 pert a números racionais F2 f de √2 √2 é uma raiz não exata então ela não pertence aos Racionais então quando eu for calcular F de3 eu uso essa função aqui quando eu for calcular F de2 eu uso essa de baixo f de √44 é 2 Então minha resposta aqui é dois aqui dentro é a mesma coisa de eu fazer e de 2 Então logo essa aqui

entra na primeira formação f de √3 - 1 também não pertence aos Racionais porque ele é uma raiz de número não raiz não exata de um número então vamos lá letra A F de3 é igual qual lei que eu uso Essa de cima aqui porque x pertence aos acionário então F3 é um porque x pertence aos Racionais bom a letra C vamos fazer a letra C agora a letra c f de2 √2 não é um número racional eu vou usar a segunda lei de formação x + 1 então é √2 + 1 fios não pertencem

aos Racionais Ok bom 151 Agora se a função f definida dos reais nos reais definida por FX = 2x - 3 so 5 Qual é o elemento do domínio que tem 3 - 3/4 como imagem bom que que é o domínio domínio é o valor de x que a gente substitui e encontra o valor de y e y no caso ou Fx né é o 3/4 então eu simplesmente vou pegar aqui ó 2 x - 3 so 5 e igualar a menos 3 so 4 Ok então vamos lá o 5 tá dividindo passa multiplicando Então

vou ficar com 2x - 3 = -3 so 4 x 5 2x - 3 = 3 x 5 15 - 15 so 4 2x = -1 so 4 + 3 vamos levar para cá agora ó 2x = eh É como se eu tirasse o mínimo né que é 4 então aqui fica -1 + 12 2x = - 15 + 12 - 3 so 4 x ig a -3 so 4 dividido por 2 5 x é igual a -3 so 4 x 1 so 2 is é igual menos 3 x 1 3 4 x 2 8

bom mais um exercício número 152 seja a função f definida dos reais menos o número 1 nos reais definida por FX = 3x + 2 so x - 1 por isso que o 1 não pode ó porque se o x for 1 1 - 1 0 aí nossa fração aqui nossa divisão fica com denominador igual a 0 e não não podemos ter qual o elemento do domínio que tem imagem dois da mesma forma da da da do exercício passado ó 152 vou pegar aqui ó quando é que FX é igual a 2 eu vou pegar

FX que é 3x + 2 dividido por x - 1 igualar a 2 então 3x + 2 = 2 ve x - 1 continuando 3x + 2 = 2 x x 2x 2 x - 1 - 2 transfiro os termos que TM a variável para um lado da da igualdade e os que não tem para o outro lado da Igualdade então 3x - 2x = a -2 - 2 3x - 2x x - 2 - 2 - 4 Ok bom agora exercício número 153 Quais são os valores do domínio da função real definida por FX

= x - 5x + 9 que produzem a imagem igual a 3 da mesma forma vou pegar x qu - 5x + 9 = 3 então x qu - 5x + 9 - 3 = 0 x qu - 5x + 6 = 0 Delta é igual a B qu - 5 qu - 4 x 1 x 6 Delta = -5 qu 25 4 x 1 4 x 6 24 então - 24 Delta é = 1 Então vamos lá x = - b mais ou menos ra Delta sobre duas xes a x é igual a menos

B aqui é -5 então fica -5 mais ou menos √1 sobre 2 x a x é igual menos com menos mais 5 mais ou menos √ 1 1 dividido por duas ve a o a é 1 então é 2 então aqui eu tenho X linha igual 5 + 1 6 di 2 3 x duas linha segunda opção de raiz 5 - 1 4 2 2 ok continuando bom nessa aqui nós vamos fazer o exercício 156 vamos lá eu tenho aqui ó fx X fy = a FX + Y então fx X f y igual a

FX + Y ok aqui eu tenho f de1 igual a 2 então no meu caso no meu caso x é igual a 1 e aqui eu tenho no 3 aqui eu tenho f de √2 = 4 então eu vou chamar aqui o y de √2 Ok então vamos lá então aqui se eu substituir X por 1 ó f de1 x F de2 é igual a f de 1 + √2 tranquilo F de1 eu sei que é 2 ve f de √2 eu sei que é 4 igual a F1 + √2 F1 +2 = 2 x

4 oito Vamos guardar essa informação aqui por enquanto então essa mesma informação aqui ó vai me ajudar a resolver o exercício ó Então olha só eu tenho essa aqui então vou fazer agora ó F Dex eu vou fazer sendo a f de 1 vezes a f de Y vou usar essa aqui agora ó Então vai ser a f de 1 + √2 igual a f de 1 + 1 + √2 ok até agora vamos lá F de1 eu sei que é 2 vees f de1 + √2 8 é esse valor aqui igual ó 1 +

1 2 então eu vou tenho o que F2 +2 essa informação vai me ajudar mais uma vez eu vou utilizar essa informação aqui e jogar nessa mesma lei de informação aqui de novo ó então vai ficar assim agora F de1 ve f de 2 + √2 igual a f 1 + 2 + √2 f de1 eu sei que é 2 F2 + H2 é 2 x 8 16 então aqui ó 1 + 2 3 Então eu tenho aqui F3 + √2 cheguei no que eu queria né F de 3 + √2 é igual 2 x

16 32 continuando aqui ó seja f uma função definida no conjunto dos números naturais Tá ok f de n + 1 = 2 x fn + 3 para todo n natural supondo F de0 = 0 calcule F de1 F de2 F de3 e f de4 e descubra a fórmula geral de fn Então vamos lá letra A então aqui ele já me deu que f de 0 é zero Vou jogar essa informação aqui ó se f de0 é 0 quer dizer o quê que meu n é 0 vamos lá f de n + 1 então é

0 + 1 é igual a 2 x f de 0 + 3 qual que é quanto que é 0 + 1 então f de1 é igual f de 0 é 0 então F de1 = 3 Ok então agora eu tenho o f de1 que é igual a 3 agora eu vou usar V calcular já tem aqui ó F de1 eu calculei agora vou fazer a f de2 eu vou fazer o n igual a Então vai ser f de 1 + 1 igual 2 x F de1 + 3 F de1 + 1 é 2 2 x

F de1 = 3 + 3 então F2 = a 2 x 3 6 + 3 9 vou pular para cá agora vou fazer agora n = 2 então eu vou ter aqui ó f de 2 + 1 igual a du vees a f de 2 + 3 f de 2 + 1 3 = 2 x F2 que é 9 + 3 f 3 = 2 x 9 18 + 3 21 agora vou fazer o n igual a 3 então eu vou ter F de3 + 1 igual a duas vees a F3 + 3 F3 +

1 é 4 2 x F1 é [Música] 21 f de4 = 2 x 21 42 + 3 45 então aqui eu Calc já encontrei ó a f de0 ele já me deu a f de1 eu encontrei aqui a f de2 eu encontrei aqui a f de3 eu encontrei aqui a f de4 eu encontrei aqui ok continuando aqui olha só exercício Estabeleça o domínio e imagem das funções abaixo nós vemos que o conjunto A o primeiro conjunto é o conjunto do domínio o segundo conjunto é o contradomínio e o conjunto feito pelos valores que atende a

relação é a imagem então aqui ó paraa letra a nós temos o domínio é igual ao conjunto 0 1 2 o cont o o contradomínio eu não vou fazer porque eu só pedi o domínio e a imagem Então qual que é o conjunto imagem é o conjunto aqui ó -1 0 e 1 o 2 não entra na imagem porque ele não é resultado da aplicação F então só o o men1 o z0 e o 1 - 1 0 e vamos lá letra B é Esso aqui o domínio é o conjunto A então domínio igual -

1 0 1 e 2 - 1 0 1 e 2 imagem é o conjunto pelos valores que que a aplicação encontrou Então eu tenho os valores 1 e dois Ah mas por que que o zero não entra porque o zero ele não faz parte da imagem faz parte do contradomínio contradomínio é todo o conjunto B imagens são apenas os os números que a aplicação resulta neles vamos lá letra C domínio igual a -1 0 e 1 junto imagem só o -2 letra D domínio igual -2 0 1 2 - 2 0 1 e 2 e

margem - 2 - 1 0 e 2 - 2 - 1 0 2 ok bom o exercício 161 ter o domínio das seguintes funções reais então vamos lá letra a a função é FX = 3x + 2 qual que é o domínio dessa função tem alguma restrição tem algum valor de x que não possa subir nessa função não tem né então meu domínio é igual a todos os reais letra b ó g Dex igual a 1 sobre x + 2 qual que é a restrição que eu tenho aqui aqui eu tenho uma fração na fração

o denominador não pode ser zero então x + 2 tem que ser diferente de zero logo X tem que ser diferente de -2 Então o meu [Música] domínio domínio né meu domínio é igual fos pert aos reais tal que x seja diferente de men2 Ok olha só este vou pegar essa letra q aqui agora letra e aqui agora letra e p Dex igual a 1 sobre a ra x + 1 Aqui nós temos duas restrições eu não posso ter Zero no denominador e eu não posso ter número negativo dentro da raiz então o meu x

+ 1 tem que ser que maior opa pera aí x + 1 tem que ser maior que 0 Por que maior e não maior ou igual porque se for igual aí eu fico com z0 ra 0 é 0 fico com divisão por z0 eu não posso isso então meu x + 1 tem que ser maior do que 0 então X tem que ser maior do que -1 então logo meu domínio D né meu domínio é x pertence aos reais tal que X é maior que M Ok Tranquilo então vamos agora para aí vocês continuam com

esse mesmo raciocínio fazer os outros Bom vamos lá e Ness no exercíci 62 nós temos aqui o seguinte ó sendo X maior ou igual a 4 determine o conjunto imagem da função y igual rax + √ x - 4 aqui ó já deu a condição ó ra X tem que ser maior ou igual a 4 se for menor do que 4 x - 4 fica negativo e não existe né raiz de número negativo nos números reais então vamos lá vamos fazer aqui ó para saber a imagem então vamos ver qual que é o valor de

y para x = a 4 então vamos lá x = a 4 então eu tenho que Y = √4 + √ de 4 - 4 y é igual √4 é 2 4 - 4 é 0 √0 é 0 então Y é 2 para x = 4 vamos traçar o gráfico aqui só pra gente entender mais ou menos eu sei que X tem que ser maior igual a 4 então eu vou pôr aqui ó x = 4 x = 4 eu encontrei Y = 2 Então eu tenho aqui 2 v esse ponto aqui vou pegar agora

x = 5 vamos fazer para x = 5 a eu vou ter Y = √5 + ra de 5 - 4 ag então y é igual a √5 + 1 √1 né 5 - 4 1 √1 1 então só Resumindo aqui na ordem 1 + √5 √4 é 2 √5 é mais do que 2 então 1 mais um número que é maior do que 2 O resultado é maior então eu vou ter que aproximadamente aqui ó para 5 em X um aqui ó 1 + √5 Então teria um número mais ou menos aqui então a

minha função é crescente a partir do qu Tem um limite para essa função chegar não tem ela sempre vai aumentar quanto maior o valor de x maior será o valor da função então a minha imagem aqui a minha imagem é y maior ou igual a 2 todo o valor de y maor ou iG 2 ok vamos na 163 agora 163 ó se f de a em B é uma função e d está contido em a chamamos de imagem de D pela função f ao conjunto anotado e definido por esse aqui é o conjunto da imagem

do da nossa função se G é a função de R em e cujo gráfico está representado ao lado determina a imagem de g no intervalo de 5 a 9 Então olha só aqui eu tenho o intervalo em x ó de 5 até 9 que que acontece com os valores de y nesse intervalo ó o 6 tá aqui dentro ó vem do ó é menor valor em seis ó então ele vem daqui até aqui então o meu conjunto imagem é todos esses valores ó imagem igual y menor ou igual a 6 maior ou igual a 2

OK outra forma de notação é imagem fechado em dois fechado em se bom até o próximo [Música] vídeo