[Termodinâmica] Cap.05.08 - Aproximação de Stirling.

[Música] o que estou dizendo é o seguinte mesmo para um sistema um sistema pequeno como esse aqui a probabilidade de encontrar esse sistema num estado no macro estado diferente de si não é lula outra vez mas ela vai se tornando cada vez menor à medida que eu me distancio desse estado mais provável então o que acho que dizer com isso é que eu vou encontrar esse sistema a imensa maioria das vezes com que é igual a 60 ou bem próximo outra vez aqui pode existir uma flutuação na quantidade de energia que está no sistema porque

a diferença encontrá lo com que estas gosta e 159 não é grande ele vai flutuar por aqui eu vou dizer então que a situação de equilíbrio térmico é a situação na qual a probabilidade de encontrar o sistema completo longe do estado mais provável se torna infinitamente pequena outra vez 0 nunca mostrando que ela não vai ser zero mas esse 00 matemático comparado com 0 física e tem uma diferença porque apesar de não ser zero e mostrei 10 - 2010 apesar disso você nunca vai encontrar o sistema num desses estados que estão muito bem então essa

na verdade é a explicação física para o processo que eu chamo de calor lembra outra vez que calor pra mim é um processo não é um substantivo ou seja a troca de energia que é produzida pelo fato da temperatura do sistema ser diferente é na verdade um fenômeno probabilístico ele só se torna essa é a caráter probabilística vai se tornando cada vez mas invisível digamos assim à medida que o tamanho do sistema aumenta e isso é uma das coisas que eu pretendo mostrar mas é claro que pra ser mais realista eu vou ter que passar

a considerar sistemas com quantidade de componentes da ordem dos advogados 10 a 23 eu não vou me preparar para isso de certa forma respondendo de ser de uma maneira digamos assim tortuosa pergunta que o alarme fez eu posso dizer que nós estamos aqui descobrindo uma lei nova da física nova entre aspas que não renova e essa lei é a seguinte o fluxo de energia espontâneos interrompe quando o sistema está no ou perto do makro estado mais provável essa é a lei portanto do aumento da multiplicidade porque não é uma lei nova porque ela só depende

de uma hipótese aqui que essa hipótese é fundamental da mecânica estatística muito bem vamos agora nos preparar pra down puro importante que é o pulo aqui vai nos permitir analisar sistemas macroscópicos de verdade sistemas grandes e para analisar sistemas grandes eu vou precisar de uma matemática específica pra eles que a matemática dos grandes números que eu chamo de grandes números que matemática é essa a que me refiro aqui eu vou criar aqui uma caracterização de números que é boa para o nosso propósito número pode ser pequeno número pequeno é por exemplo 20 e 35 anos

é meu também é grande pra mim um número grande é uma experiência ao de um número pequeno então 10 elevado a 23 grande tá bom claro estou querendo abordar esses temas grandes é por isso que eu estou chamando isso aqui de um sistema de um número grande mas também tem números muito grandes é uma potencial de lucro grande propriedade de um número grande é a seguinte op quando eu sou um número grande com um número pequeno o resultado é um número grande de 10 a 23 com 23 os matemáticos não gostam disso 3 é muito

grande muito grande é aquele que x um número grande resultado 10 33 número muito grande * um número grande isso aqui é 10 elevado a 10 a 23 mais 23 10 a 23 isso aqui dá 10 elevado a 10 a 23 o número grande o número muito grande eu preciso saber manipular esses números como físico e não como matemática porque eu vou lidar com sistemas que têm este número de partículas e nós sabemos que para calcular a multiplicidade de sistemas temos que calcular fatoriais desse tipo de número e fatoriais desse tipo de número vão gerar

números muito grandes tem que saber manipular esse tipo de número nos próximos quinze minutos a mostrar truques de físico pra lidar com números muito grandes o primeiro truque é importante é o seguinte se eu tenho que manipular um número muito grande benite eu manipular o seu lugar íntimo porque o logaritmo de um número muito grande é um número grande então a brincadeira envolve logaritmo e aí vem o resultado mais importante da matemática dos números grandes e muito grande que é o seguinte quando eu tomo fatorial de um número grande já falei vai dar um número

muito grande eu vou mostrar argumentos pra você que é bom e induzir você aceitar que este fatorial é aproximadamente igual seguinte claro isso a aproximação esta aproximação chama-se aproximação diz tirem veja isso aqui é o número muito grande porque isso aqui é a quantidade de partículas do sistema macroscópico 10 a 23 e levado a 10 a 23 de novembro muito grande mesmo isso aqui é um grande só quando eu multiplica o número muito grande por um número grande só que eu possa aproximar pelo número muito grande isso aqui também é aproximadamente igual e aí se

você toma o logaritmo desses fatores ao isso aqui é aproximadamente igual logaritmo disse que aqui está o que é o lugar de m sobre é a mesma coisa n blog dn - lobby de é que é um blog dn - ele essa é a forma mais comum de você encontrar a aproximação deste ano e essa aproximação aproximação boa olha só quando ele for sem você comparar o resultado real do fatorial de 100 com o fator ao descerem calculado com a aproximação de styling completa o erro que você comete é menor do que 0,1 por cento

a 0,0 83% assim quando você usa aproximação sei se você comete é menor do que 1% outra vez para ele e gostei e esse erro vai diminuindo à medida que esse número ele vai aumentando saber para mostrar qualidade da aproximação de estilo de convencer que essa aproximação diz tirem a verdadeira é usar um dos truques mas poderosos do caixa de ferramentas do físico que essa é o seguinte eu posso ser mais aqui de demonstração suja da fórmula de estilo militar lembra que o fator ao dn o produto dn por ele - um prêmio dado que

ele é um produto de vários fatores logo de um produto é a soma dos algarismos eu vou escrever isso aqui isso aqui é love dn mas logo dn - 1 mas logo de 2011 vou fazer o seguinte eu vou mostrar pra você e graficamente uma forma de interpretar essa soma que estou fazendo aqui eu vou representar o logaritmo de um número representa por exemplo o número 1 023 todos esses pontos que correspondem os logaritmos dos números inteiros que estão sendo somados aqui eles estão sobre o gráfico da função logaritmo graças à função no gabinete uma

coisa assim né somando esse valor com esse valor o valor isso equivale a seguinte 1 e meio e dois e meio de construir um retângulo que tem por altura o logaritmo de 2 e por base um a mesma coisa com três um retângulo base vale 1 e cuja altura vale 3 e assim por diante pode imaginar um sobre o outro essa soma que aqui está log de 29 de 292 vezes um portanto é a área debaixo de retângulo logo de 39 de três vezes 1 portanto a área debaixo desse retângulo então essa soma que é

a soma das áreas desses vários ângulos na verdade vários desses vários retângulos ela é aproximada pela pela área de baixo da curva do marítimo então eu possa aproximar isso aqui é aproximadamente igual a integral de 1 até n de errado claro voltou errando compensando os erros aqui eu tô voltando uma parte a mais aqui eu tô tirando a parte que é parecida com aquela que é claro à medida que eles se tornam a cada vez maior essa aproximação se torna também cada vez melhor mas a integração em pegar log é fácil no integral por parte

bobinha resolve isso né o resultado é menos x calculado entre os limites o iene o que dá o limite superior da eni logo de n - n no limite inferior davam lalov de 10 a 1 mas afinal de contas ele é um número grande número grande somado o número normal e igual número grande essa é uma demonstração suja da aproximação de estilo estão convencidos de que deram uma boa aproximação muito bem então vou usar essa aproximação para estudar o que acontece quando eu monto uma tabela dessas pra um sólido reais têm grande [Música] [Música]