Entenda o que são as Funções Trigonométricas Inversas: arcsen e arccos

Oi gente o meu nome é Star Velasques e sejam bem-vindos a mais um vídeo do canal matemateca na aula de hoje a gente vai falar sobre funções trigonométricas inversas como o arco seno e o arco cosseno Então antes de começar Já curte aí embaixo se inscreve no canal e Vamos lá gente então para falar sobre funções trigonométricas inversas vamos começar falando das funções trigonométricas que a gente conhece por exemplo a função seno que é uma função que a gente usa bastante né e que ela parte do princípio do Círculo trigonométrico então círculo trigonométrico só revisando

aqui mas para quem não lembra direito eu vou deixar o link dessa aula na descrição ele vai ser um círculo com raio um então aqui é um um aí aqui menos um e menos um e nesse círculo o eixo horizontal representa o cosseno e o eixo vertical representa o seno Então vamos analisar o seno aqui quando a gente tá no ângulo de 0º 0 radianos aqui a gente não tá nem para cima e nem paraa baixo no eixo vertical a gente tá aqui no padrão né no ponto inicial então a gente sabe que o seno

de zero vale zero Agora se a gente andar um pouquinho aqui sentido antihorário que é o sentido padrão do Círculo trigonométrico até a gente chegar em um ângulo de pi sobre 6 que é 30º aqui no eixo vertical que é o eixo do seno a gente vai estar em 1 sobre 2 ou seja o seno desse ângulo pi sobre 6 radianos Vale 1 so 2 que é onde a gente tá projetando aqui no eixo vertical Então se a gente colocar aqui pi sobre 6 o seno desse ângulo Vale 1 sobre 2 Tá mas isso ao

invés de eu andar no sentido antihorário eu andar no sentido horário eu andar o mesmo ângulo o ângulo de pi sobre 6 só que pro outro lado para baixo aí eu vou ter andado - pi so 6 radianos bom nesse caso a gente não tá para cima a gente tá projetando aqui embaixo no eixo vertical né E aí o seno vai ser -1 so 2 então quando a gente tá em - pi so 6 radianos o seno vai ser -1 so 2 e aí a gente pode ir fazendo isso né Se eu andar aqui 45º

que é pi sobre 4 radianos a gente vai ter o seno aqui valendo √2 so 2 e se a gente andar o primeiro quadrante inteiro que é quando a gente fez 90º aqui que é pi sobre 2 radianos o seno chegou no ponto máximo dele que é o um aqui então conforme a gente vai colocando diferentes ângulos e vend do seno deles a gente vai formando a nossa senoide né que vai ser esse sinal aqui então quando é zero o seno vale zero em pi sobre 2 o seno Vale 1 em pi o seno vale

zero que é quando a gente chega aqui do outro lado de novo né e para cada ângulo a gente tem o respectivo seno então quando a gente fala de uma função f Dex que vai dar o seno de x esse x vai ser um ângulo e o resultado seno de x vai ser o resultado do seno desse ângulo então aqui no eixo horizontal a gente tem os ângulos em radianos e no eixo vertical a gente tem os senos que variam de -1 até 1 beleza gente Então esse é o seno como a gente tá acostumado

a gente dá o ângulo ali e ele dá o seno desse ângulo pra gente então a gente a gente pode colocar o ângulo que for aqui no eixo horizontal a gente vai ter o seno respectivo daquele ângulo Se eu colocar 3 pi so 2 ele vai dar -1 que é o seno de 3 pi so 2 Se eu colocar 5 pi ele vai dar z0 que é o seno de 5 pi então para qualquer ângulo que eu dou ele me devolve o seno desse ângulo agora e se eu já tiver o seno do ângulo e

quiser saber qual o ângulo que tem aquele seno Ou seja eu quero inverter as funções ao invés de eu dar o ângulo e ele dar o seno para mim eu vou dar o seno para ele e ele me devolve o ângulo o ângulo que tem aquele respectivo seno vamos ver como que vai funcionar isso aqui ó gente então por exemplo aqui eu quero saber qual é o ângulo Então qual é o arco o ângulo né tanto faz como a gente falar que o seno desse ângulo vale um bom aqui a gente tem o gráfico do

seno de x no eixo vertical e x no eixo horizontal então eu quero saber quando o eixo vertical que é o seno vale um quanto vale o eixo horizontal bom ele pode valer pi so 2 ele pode valer -3 pi so 2 aqui do outro lado pode valer 5 pi so 2 então tem vários ângulos que o seno vale um certo esses ângulos são os arcos cujo o seno vale um Tá mas eu não quero mais um eu quero o arco cujo seno vale zero então quero todos os ângulos aqui do círculo trigonométrico onde o

seno tá aqui ó no padrão no na posição normal dele não tá nem para cima e nem para baixo olhando aqui na função os ângulos que o seno vale zero são o zero o Pi 2 pi 3 pi então todo inteiro que tá multiplicando o pi o seno vai valer zero que são os momentos onde a gente tá parando ou aqui ou aqui do lado esquerdo legal então para qualquer seno que a gente colocar a gente vai ter vários ângulos que o seno vai valer aquilo ali então vários ângulos que o seno vale zero vários

ângulos que o seno vale um vários ângulos que o seno Vale menos 1 então se eu quero saber por exemplo o arco cujo seno Vale √2 so 2 Eu vou ter esse arco aqui que é o arco de pi sobre 4 radianos eu também vou ter esse arco aqui que também tá projetando em raiz 2 so 2 Se eu der uma volta completa aqui vai voltar a valer √2 so 2 aqui também √2 so 2 e eu posso dar várias e várias voltas aqui que se eu parar no mesmo lugar o seno vai continuar sendo

√2 sobre 2 tanto aqui quanto aqui então Vamos colocar isso em um gráfico vai eu quero saber qual é o arco cujo seno Vale √2 so 2 bom esse arco pode ser pi sobre 4 pode ser pi so 4 + 2 pi também pode ser pi so 4 + 4 PI que são as voltas completas que a gente tá dando ali né então todos esses valores do eixo vertical correspondem a esse mesmo valor do eixo horizontal mesma coisa se eu fizer o arco cujo seno vale zero vai ter zero radianos vai ter pi radianos 2

pi 3 pi para todos esses valores de arcos no eixo vertical o seno vale zero se a gente for fazendo isso para vários ângulos gente ou seja e colocando no gráfico todos os arcos que tem aquele mesmo seno a gente vai ter um gráfico assim ó então por exemplo os arcos cujo seno vale um tem esse aí tem esse cujo seno Vale menos um tem esse aqui esse aqui esse aqui tem infinitos arcos que tem o mesmo seno né Aqui é zero zer zer e gente a gente sabe que isso aqui não corresponde a uma

função né em uma função o mesmo valor de X não pode ter vários Y diferentes ou seja o mesmo valor do eixo horizontal não pode ter vários valores no eixo vertical então isso aqui não corresponde a uma função para que a gente consiga escrever essa função a gente tem que restringir o domínio que a gente tá trabalhando aqui então a gente tem que pegar só as partes onde a gente não tá repetindo mais de um ângulo para um mesmo seno então por exemplo a gente pode restringir nessa parte aqui ou a gente pode restringir nessa

parte agora a gente não poderia por exemplo restringir nessa parte por aqui o mesmo seno tá em mais de um ângulo diferente por exemplo esse seno também é seno desse ângulo aqui então para restringir a nossa função a gente pode passar uma reta horizontal e a gente vai pegar só a região onde essa reta não passa por dois pontos iguais então aqui ó já não pode que ela passa nesses dois pontos mas aqui pode porque nessa região a reta passa só em um ponto para cá cada valor de X então para que a gente consiga

escrever isso aqui como uma função e traçar o gráfico bonitinho sem que o mesmo x tenha vários Y diferentes a gente precisa restringir o domínio da função seno de x Então a gente vai pegar o seno de x só onde os valores de seno não se repetem então por exemplo a gente pode pegar só entre - pi so 2 e pi SO2 que é essa região aqui ó nessa região o seno tá indo de -1 lá embaixo baixo até o um lá em cima sem repetir para nenhum ângulo cada seno corresponde a apenas um arco

ali tá tudo certinho bonitinho agora se eu pegasse essa região entre zero e pi eu só ia ter o seno entre 0 e 1 e ele ia se repetir para Arcos diferentes então restringindo a função seno de x apenas entre - pi sobre 2 e pi so 2 a gente consegue escrever a função inversa dela que é justamente o arco seno o arco seno é aquela coisa que a gente tava vendo se eu já tenho o seno quem é o arco que tem esse seno então eu dou o seno e ele me devolve o arco

o arco seno é a função inversa do seno então a gente pode escrever que o g Dex é seno a-1 de x esse -1 aqui não é o expoente tá bom ele só tá representando uma função inversa e como é uma função inversa o que era domínio aqui no seno vai virar o contradomínio aqui no arco seno e o que era contradomínio no seno de os1 até 1 vira domínio no arco seno então quando a gente traçar o gráfico do arceno vai ficar algo assim ó o domínio tá entre -1 e 1 que são os

valores que a gente assume no eixo horizontal e o contradomínio vão ser os ângulos aqui entre - pi SO2 e pi sobre 2 então no eixo horizontal eu dou para ele o seno que eu quero então quero o arco cujo seno Vale 0,5 e ele vai me devolver o ângulo que tem esse seno que no caso vai ser pi sobre 6 Enquanto aqui no seno era o contrário né eu dava para ele o ângulo e ele me devolvia o seno desse ângulo então eu dava aqui para ele pi sobre 2 e ele me devolvia que

o seno Vale 1 eu dava os pi so 2 e ele devolvia que o seno vale -1 então Gente o que a gente fez aqui pra gente a gente conseguir inverter uma função seja ela trigonométrica ou não um mesmo Y não pode ter vários xes diferentes relacionados a ele então por exemplo lá no seno de x o mesmo seno tinha vários Arcos diferentes relacionados ao mesmo seno porque a gente podia dar várias voltas ali no círculo trigonométrico né mas pra gente conseguir inverter a função a gente precisa restringir o domínio dela para onde a gente

consiga ter o mesmo Y relacionado a apenas um X então x y XY apenas 1 x com apenas 1 y e foi isso que a gente fez aqui ó a gente pegou a função seno e a gente restringiu o eixo horizontal dela apenas entre - pi so 2 e mais pi so 2 porque aí um X tem apenas um y e um y tem apenas 1 x então a gente tá Cumprindo com o requisito para conseguir inverter a função e restringindo o domínio a gente consegue ter uma função inversa ó antes de restringir a gente

teria um gráfico como esse que nem representa uma função né agora depois depois de restringir a gente chegou em um gráfico bonitinho onde um X tem apenas um y o y tem apenas um X então lá na função seno de x a gente tinha o ângulo no eixo horizontal e o seno no eixo vertical aqui no arco seno é ao contrário a gente tem o seno no eixo horizontal que é quem a gente já tem e no eixo vertical ele devolve pra gente o ângulo que possui aquele seno beleza ó gente então vamos fazer esse

exercício aqui ele deu uma função G Dex que é o a seno de x a função inversa do seno de x e aí a gente quer encontrar g de me G de3 so 2 e g de -1 o que significa isso aqui que a gente vai pegar a função G Dex e substituir o X por cada um desses valores então por exemplo g de 1 so 2 vai ser o arco cujo o seno Vale 1 so 2 então a gente sabe lá pela tabelinha de senos e cossenos que o arco cujo seno Vale meio é

o de 30º que é Pi so 6 radianos e é justamente o que a gente tem aqui no gráfico né o arco cujo seno Vale meio 0.5 é o arco de Pi so 6 radianos agora quem é G de √3 so 2 é o arco cujo o seno Vale √3 so 2 olhando a tabelinha de senos e cossenos os principais que a gente tem ali a gente sabe que o arco cujo o seno Vale √3 so 2 é pi so 3 radianos que é 60º então se você procurar √3 so 2 aqui no eixo horizontal

ele vai ser mais ou menos 0,8 tá próximo de um ali o arco cujo seno Vale √3 so 2 vai ser pi so 6 que é mais ou menos 1,04 tá aqui um pouco acima do 1 e por fim o o g de -1 é o arco cujo o seno vale -1 isso aqui a gente pode ver até no círculo trigonométrico né o seno Vale -1 quando a gente tá aqui embaixo ou seja quando a gente andou - 90º que equivale a - pi so 2 radianos então o arco cujo seno vale -1 é -

pi so 2 radianos que a gente pode ver aqui no gráfico também o arco cujo seno Vale -1 tá aqui em - pi so 2 agora E se aparecer assim a função H Dex é o arceno de 2 x x aí eu quero encontrar o h de 1 sobre 2 bom gente é o mesmo esquema ó o h de 1 so 2 vai ser o arco cujo seno Vale duas vezes o x que é 1 so 2 Então vai ser o arco cujo seno Vale cortando dois em cima e embaixo vai ficar só o um

então aqui eu quero o arco cujo seno vale um que é pi sobre 2 radianos aí você se pergunta Tá bom mas e se não for um dos senos principais que a gente tem de 30 45 e 60 nesses casos gente não tem muito para onde fugir a gente tem que calcular na calculadora mesmo porque não dá pra gente decorar todos os arcos senos possíveis né então na calculadora a gente vai procurar o botão onde tem seno a men1 Mas antes a gente tem que garantir que a nossa calculadora tá no modo de radianos e

não de graus então aqui já tá em radianos a gente pode vir em seno a-1 que vai calcular o arcoseno de qualquer número que a gente colocar então por exemplo o arco seno de 0,48 isso vai dar 0,5 radianos aproximadamente e repar isso aqui ó se eu colocar o arcoseno de c Por exemplo c é um número maior que um não tem como um arco ter o seno maior do que um então deu um erro aqui para qualquer qual número maior que um que a gente colocar pode ser 1,2 já vai dar um erro porque

não tem como um arco ter esse seno legal então a gente viu quando a gente tem uma função onde a gente dá o seno e ele devolve o arco pra gente essa função é a função inversa do seno de x o arco seno agora se eu tiver o cosseno e quiser o arco Eu também consigo fazer isso sim gente assim como o seno tem a função inversa arco seno o cosseno também vai ter uma função inversa que vai ser o arco cosseno então é o mesmo esquema ó aqui a gente tem o gráfico da função

cosseno de x no círculo trigonométrico o cosseno é o eixo horizontal então por exemplo aqui em zero radianos o cosseno já tá no valor máximo dele que é um como a gente pode ver aqui no gráfico em zero radianos o cosseno vale um se a gente andar aqui pi sobre 2 radianos o cosseno não vai est nem pra esquerda nem pra direita ele vai valer zero então enquanto o seno tá aqui no valor máximo dele o cosseno chegou no zero né Agora se a gente andar aqui pra esquerda a gente vai chegar no valor mínimo

do Cosseno que é -1 então quando a gente anda pi radianos o cosseno Vale -1 E aí conforme a gente vai dando voltas aqui no círculo trigonométrico a gente vai tendo o cosseno correspondente a cada ângulo sendo que isso a gente vê pelo eixo horizontal mas assim como a gente fez lá no seno a gente também pode fazer quando eu já tenho o cosseno então eu já sei por exemplo que o cosseno Vale 1 sobre 2 E aí eu quero saber qual é o ângulo que corresponde a esse cosseno então o arco cujo cosseno Vale

1 SO2 vai ser o arco de pi sobre 3 radianos que é 60º se eu fizer isso para vários ângulos eu vou ter um gráfico como esse ó então o arco cujo cosseno vale um vai ter zero aí vai ter aqui cujo cosseno vale men1 vai ter aqui vai ter aqui vai ter aqui então vários ângulos que tem o mesmo cosseno então assim como a gente fez lá no seno a gente também vai ter que restringir o domínio da função cosseno de x para aí a gente conseguir inverter essa função Tá bom então no caso

da função cosseno de x o intervalo de restrição usado ali é esse plano superior do Círculo trigonométrico que tá indo entre zer e pi então ó Aqui é zero e aqui é pi a gente restringiu só para essa parte o nosso domínio a gente ignorou tudo que tava para lá e tudo que tava para cá porque o cosseno ia se repetir nessas regiões então restringindo apenas entre zero e pi o nosso cosseno vai de -1 até 1 sem se repetir para nenhum ângulo cada ângulo aqui nesse intervalo vai ter um cosseno diferente Então a nossa

função com domínio restringido fica assim ó o domínio entre zero e pi que é o eixo horizontal e o contradomínio como a gente tá falando de cosseno assim como lá no seno vai variar entre -1 e 1 Só aqui nessa região né a gente nunca tem um cosseno maior que 1 ou menor que -1 E aí quando a gente inverter Nossa função o que era domínio vira contra domínio e o que era contradomínio vira domínio dessa vez no domínio a gente tem entre -1 e 1 então aqui no eixo horizontal a gente já vai dar

o cosseno do ângulo E aí no eixo vertical ele vai devolver um ângulo entre zer e pi que é o arco que tem aquele respectivo cosseno essa aqui é a função arco cosseno de x que é a função inversa do cosseno de x então Ó o ângulo cujo cosseno Vale 1 zero radianos o ângulo cujo cosseno vale -1 pi radianos o ângulo cujo cosseno vale zero que tá aqui no meinho né pi sobre 2 então que a gente dá o cosseno e ele devolve o ângulo beleza bom gente então foi isso no vídeo de hoje

eu espero que vocês tenham gostado não esquece de curtir se inscreve no canal compartilha com seus amigos e já me segue lá no Instagram para ficar por dentro de tudo Tá bom então a gente se vê no próximo vídeo gente beijo