Cálculo II – Aula 12 – Campos: Gradiente. Divergente. Rotacional. (LIBRAS)

[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] >> [CLAUDIO] OLÁ, ALUNOS DO CURSO DE CÁLCULO II DE ENGENHARIA, UNIVESP, UNIVERSIDADE VIRTUAL DO ESTADO DE SÃO PAULO, BEM-VINDOS. ENTÃO, DANDO CONTINUIDADE AO NOSSO CURSO, NESSA AULA 12 NÓS VAMOS FALAR DE CAMPOS. CAMPOS VETORIAIS, PRINCIPALMENTE, EMBORA EU TAMBÉM VÁ DIZER O QUE É UM CAMPO ESCALAR E DENTRO DO CONCEITO DE CAMPO VETORIAL E CAMPO ESCALAR, NÓS VAMOS FALAR DE 3 CAMPOS IMPORTANTES, O GRADIENTE, QUE VOCÊS JÁ OUVIRAM FALAR, O DIVERGENTE E O ROTACIONAL.

ENTÃO VAMOS FALAR DESSES CAMPOS. INCLUSIVE A LINGUAGEM, CAMPO ESCALAR E CAMPO VETORIAL, TEM UM APELO FÍSICO E É CONSEQUÊNCIA DAS APLICAÇÕES QUE ISSO TEM NA FÍSICA. "ROTACIONAL DE UM CAMPO" É UMA PALAVRA QUE TEM UM APELO FÍSICO MUITO GRANDE.

O QUE É UM CAMPO VETORIAL? CAMPO VETORIAL É UMA APLICAÇÃO DO "R2" NO "R2", SE FOR UM CAMPO VETORIAL PLANO, SE FOR UM CAMPO VETORIAL TRIDIMENSIONAL, ELE SERIA UMA APLICAÇÃO DO "R2" NO "R3", EM TERMOS ALGÉBRICOS, VOCÊ TEM 3 VARIÁVEIS NO DOMÍNIO "(X,Y,Z)", 3 VARIÁVEIS NA IMAGEM, "U,V,W", E AS 3 DEPENDENDO DE 3 VARIÁVEIS, VEREMOS EXEMPLOS NUMÉRICOS DISSO. BOM, OBSERVE QUE NÃO DÁ PARA FALAR EM GRÁFICO DE CAMPO, DESSE JEITO, PORQUE TEM MUITA DIMENSÃO ENVOLVIDA, UM CAMPO DE "R2" NO "R2", SE EU FOSSE FAZER O GRÁFICO EU TERIA QUE IR PARA O "R4", PORQUE EU TENHO 2 DIMENSÕES NO DOMÍNIO E 2 DIMENSÕES NA IMAGEM, NÃO "ROLA".

ENTÃO, NÃO TEM COMO DESENHARMOS UM GRÁFICO DE UM CAMPO. O QUE A GENTE FAZ? A GENTE FAZ UMA COISA QUE EU SEMPRE COMENTO, EM TODAS AS MINHAS DISCIPLINAS, QUE ÀS VEZES CONFUNDE O ALUNO QUANDO ELE ESTÁ COMEÇANDO, QUE É MUITO SIMPLES, MAS É IMPORTANTE ESTAR ALERTA PARA NÃO FAZER CONFUSÃO.

OS PROFESSORES DE CÁLCULO, DE FÍSICA, MUITAS VEZES USAM PALAVRAS DIFERENTES E INDICAM DO MESMO JEITO, POR EXEMPLO: NO PLANO, PAR ORDENADO, EU MUITAS VEZES FALO QUE É UM PONTO, E MUITAS VEZES EU FALO QUE UM PAR ORDENADO É UM VETOR, E EU ESTOU SEMPRE USANDO PAR ORDENADO, OBSERVE QUE TEM 3 CONCEITOS ENVOLVIDOS: O CONCEITO DE PAR ORDENADO, QUE É UMA COISA ALGÉBRICA, PAR ORDENADO, 2, 5, É ÁLGEBRA, É NÚMERO, PAR ORDENADO, O NÚMERO 2 E O 5. E ORA EU PENSO NO PONTO "(2,5)", E AÍ VOCÊ IMAGINA O SISTEMA DE EIXOS E O PONTINHO "(2,5)", E ORA EU CHAMO DE VETOR "(2,5)", ENTÃO, É CLARO QUE PARA UMA PESSOA QUE ESTÁ COMEÇANDO A LIDAR COM ISSO, ELA PODE FICAR CONFUSA, E É SÓ PRESTARMOS ATENÇÃO, QUE TEM UM JARGÃO ENVOLVIDO, QUE PODE GERAR CONFUSÃO. É TUDO PAR ORDENADO, E ÀS VEZES É CONVENIENTE CHAMAR DE PONTO E ÀS VEZES É CONVENIENTE CHAMAR DE VETOR, QUER VER UMA SITUAÇÃO EM QUE É CONVENIENTE DISTINGUIR?

VOCÊ PEGA O CAMPO QUE CHAMAMOS DE CAMPO RADIAL, OS FÍSICOS CHAMAM DE CAMPO POSIÇÃO NO PLANO, "(X,Y)" ASSOCIA O PRÓPRIO "(X,Y)", A GENTE COSTUMA INDICAR ISSO POR "R" COM UMA FLECHINHA, E JÁ PARA EU IR INTRODUZINDO ESSA NOTAÇÃO, SE VOCÊ PEGAR "R" SEM FLECHINHA, É O MÓDULO DAQUELE CAMPO VETORIAL, É A "RAIZ QUADRADA DE X2 MAIS Y2". OLHA COMO É CONVENIENTE PENSAR NO CAMPO DESSE JEITO. PENSA QUE NESSE PONTO "(1,2)", VOCÊS VIRAM QUE EU FALEI "PONTO (1,2)", EU ESTOU FALANDO DO PAR ORDENADO "(1,2)", COMO ELE É O CAMPO IDENTIDADE, EM TERMOS ALGÉBRICOS, "(X,Y)" VAI EM "(X,Y)" MESMO, NO PONTO "(1,2)" ESTÁ ASSOCIADO "(1,2)", E EU VOU PENSAR ORA NO "(1,2)" COMO VETOR, ORA NO "(1,2)" COMO PONTO.

ENTÃO, COMO EU NÃO CONSIGO DESENHAR O ESPAÇO COM 4 DIMENSÕES, EU REPRESENTO ESSE CAMPO ASSIM: NO PONTO "(1,2)" EU APLICO O VETOR. . .

"(1,2)". . .

NO PONTO "(1,2)" EU APLICO O VETOR. . .

"(1,2)". [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] [SILÊNCIO] >> [CLAUDIO] AO INVÉS DE EU DESENHAR GRÁFICO, EU APLICO NO PONTO ESSE VETOR. É TUDO "(1,2)", ORA EU ESTOU PENSANDO NO PONTO, ORA ESTOU PENSANDO NO VETOR.

ENTÃO, AQUI NESSE PONTO "(-1,1)", ESTÁ O VETOR "(-1,1)", PAR ORDENADO "(- 1,1)" NOS 2 CASOS, ORA EU PENSO NO PONTO, ORA EU PENSO NO VETOR E FICA MUITO ADEQUADO PARA SE FAZER ESTUDOS DE FÍSICA, TÁ? ESSE CAMPO "(0,X)" AQUI, "(X,Y)" É "(XJ)", AQUI É NOTAÇÃO EM COORDENADAS, AQUI É NOTAÇÃO USANDO A BASE "(J,K)", ENTÃO, PARA CADA "(X,Y)", O MEU VETOR TEM 0 DE ABSCISSA E "X" DE ORDENADA, ENTÃO ELES SÃO VETORES VERTICAIS. ENTÃO, OLHA AQUI: EU PEGO O PONTO "(3,3)", PONTO "(3,3)" E APLICO O VETOR, QUE É O VETOR "(0,3)", VETOR "(0,3)", ESSE VETOR PARA CIMA "(0,3)".

ENTÃO, ISSO QUE É CAMPO VETORIAL. NO ESPAÇO, O CAMPO POSIÇÃO OU RADIAL, EM CADA PONTO "(X,Y,Z)", EU ASSOCIO O VETOR "(X,Y,Z)", TÁ? [SILÊNCIO] CAMPO ESCALAR É IGUAL FUNÇÃO, ENTÃO NÃO É NOVIDADE NENHUMA, É SÓ OUTRA PALAVRA PARA AQUILO QUE JÁ CONHECIAM, SE FOR DE 2 VARIÁVEIS É A FUNÇÃO "Z IGUAL A F(X,Y)", SE FOR DE 3 VARIÁVEIS É "W IGUAL A F(X,Y,Z)", CAMPO ESCALAR É FUNÇÃO, AQUELAS DAIS QUAIS NÓS CALCULÁVAMOS, INTEGRAL DUPLA, INTEGRAL TRIPLA, ENTÃO É IGUAL.

. . SÓ QUE NESSE LINGUAJAR FÍSICO, EU CHAMO UM DE CAMPO ESCALAR E O OUTRO DE CAMPO VETORIAL.

O DOMÍNIO É SEMPRE "BI" OU TRIDIMENSIONAL, É ESPACIAL. A IMAGEM DO CAMPO VETORIAL ESTÁ NO ESPAÇO, É VETOR E A IMAGEM DO CAMPO ESCALAR É NÚMERO. PARA QUE SERVE O CAMPO VETORIAL?

FORÇA. PARA QUE SERVE O CAMPO ESCALAR? DENSIDADE.

A CADA PONTO, NUM CASO EU ASSOCIO O VETOR FORÇA, NO OUTRO CASO EU ASSOCIO UM VETOR OU NÚMERO DENSIDADE. O CAMPO GRADIENTE DE UM CAMPO ESCALAR É UM VETOR CUJAS COORDENADAS SÃO AS DERIVADAS PARCIAIS, JÁ FALEI DELE NA AULA EM QUE EU FALEI DE GRADIENTE, POR EXEMPLO: AQUI NUMA FUNÇÃO COM 3 VARIÁVEIS, O VETOR GRADIENTE TERÁ 3 COORDENADAS, DERIVADA EM "X", "(3X2Y MAIS E3Z)", DERIVADA EM "Y", SÓ ESSE "X3". E DERIVADA EM "Z", SÓ TEM ESSE PEDAÇO 3 QUE VEIO DA DERIVADA DO EXPOENTE, REGRA DA CADEIA, "X ELEVADO A 3E, VEZES A DERIVADA DO 3E, QUE É 3".

O GRADIENTE É SEMPRE PERPENDICULAR ÀS CURVAS DE NÍVEL, E ELE APONTA NA DIREÇÃO E SENTIDO DE MAIOR VARIAÇÃO NA FUNÇÃO. ISSO É UMA APLICAÇÃO INTERESSANTE, SE VOCÊ TEM UMA NASCENTE DE ÁGUA NUMA SUPERFÍCIE QUE NÃO É PLANA, A ÁGUA CORRE E ELA CORRE MORRO À BAIXO, E QUAL DIREÇÃO ELA PEGA? ELA PEGA A DIREÇÃO DO GRADIENTE, PORQUE A DIREÇÃO DO GRADIENTE TEM MAIOR VARIAÇÃO DA ALTURA.

O GRADIENTE SEMPRE PERPENDICULAR ÀS CURVAS DE NÍVEL, POR EXEMPLO, SE VOCÊ PEGAR A FUNÇÃO "(X2 MAIS Y2)", AS CURVAS DE NÍVEL SÃO CIRCUNFERÊNCIAS QUE VOCÊ OBTÉM FAZENDO "(X2 MAIS Y2 IGUAL À CONSTANTE)". O GRADIENTE É "(2X,2Y)". ENTÃO SE VOCÊ PEGAR UMA CIRCUNFERÊNCIA AQUI, "X" E "Y", O GRADIENTE AQUI É "2XY", ENTÃO ELE É 2 VEZES ESSA POSIÇÃO E ELE É CONTINUAÇÃO DO VETOR POSIÇÃO, ALÉM DE SER PERPENDICULAR À CURVA DE NÍVEL, DÁ PARA ESCREVER RETA PERPENDICULAR ETC.

SABER SE UM CAMPO É GRADIENTE, É SABER O QUÊ? SE EXISTE UMA "F" TAL QUE ESSAS DERIVADAS PARCIAIS DÃO IGUAIS A ISSO, É UM PROBLEMA DE INTEGRAÇÃO, EU QUERO SABER SE TEM UM "F", QUE "DELF", "DELX" É "2X", E UMA "F" QUE "DELF", "DELY" É "3XY". ENTÃO, EU TENHO QUE FAZER AQUI UMA INTEGRAÇÃO EM "X", AQUI UMA INTEGRAÇÃO EM "Y", INTEGRAÇÃO EM "X": "X2".

INTEGRAÇÃO EM "Y": "XY2/3". E POR QUE EU ESCREVI "G(Y)" E "H(X)"? PORQUE QUANDO EU FAÇO UMA INTEGRAÇÃO EM "X", EU TERIA QUE PÔR UMA CONSTANTE, MAS EU ESTOU FAZENDO UMA INTEGRAÇÃO EM "X", PODE SER QUE SEJA SÓ UMA CONSTANTE EM "X", UMA CONSTANTE EM "X" PODE TER "Y", E ANALOGAMENTE, QUANDO EU FAÇO UMA INTEGRAÇÃO EM "Y", EU PORIA UMA CONSTANTE, MAS UMA CONSTANTE EM "X".

NA HORA QUE EU OLHO PARA ESSAS 2 IGUALDADES E PENSO "SERÁ QUE É POSSÍVEL UMA FUNÇÃO QUE SEJA X2 MAIS UM TERMO EM Y OU ISSO MAIS UM TERMO EM X? ". A RESPOSTA É NÃO, ENTÃO ESSE CAMPO NÃO É UM CAMPO GRADIENTE, TÁ?

ENTÃO. . .

EU CONSEGUI DECIDI QUE ELE NÃO É GRADIENTE. E SE ELE FOSSE GRADIENTE, O QUE ACONTECERIA? ACONTECERIA QUE EU CONSEGUIRIA RESOLVER AQUELAS EQUAÇÕES, SERÁ QUE EXISTE UMA "F", TAL QUE "2X, 3Y" SEJAM AS DERIVADAS PARCIAIS DA "F" EM "X,Y"?

SE A DERIVADA PARCIAL DA "F EM X" É "2X", É PORQUE TEM UM "X2", E TALVEZ UM ELEMENTO EM "Y", SE A DERIVADA PARCIAL EM "Y" É "3Y", TENHO "3/2Y2" E TALVEZ UM TERMO EM "X". COMPARANDO AS 2, É SÓ PEGAR ESSA SOMA AQUI, QUE ELA É UMA FUNÇÃO CUJO GRADIENTE É AQUELE CAMPO E QUALQUER CONSTANTE TAMBÉM PORQUE SE VOCÊ PUSER UMA CONSTANTE, QUANDO VOCÊ DERIVAR, ELA SOME, ENTÃO TEM O MESMO GRADIENTE. ENTÃO, ESSE CAMPO É UM CAMPO GRADIENTE.

ENTÃO, ISSO SERÁ UMA COISA IMPORTANTE NA CONTINUIDADE DO NOSSO CURSO, DAQUI A POUCAS AULAS NÓS VAMOS VOLTAR ESSE TEMA, DECIDIR SE UM CAMPO É GRADIENTE OU NÃO É UMA QUESTÃO MUITO IMPORTANTE, QUE ESTÁ ASSOCIADA COM UMA QUESTÃO RELEVANTE EM FÍSICA, QUE É DECIDIR SE UM CAMPO É CONSERVATIVO OU NÃO. E ISSO TEM IMPLICAÇÕES NO CÁLCULO DO TRABALHO REALIZADO PELO CAMPO, TÁ? BOM, SE VOCÊ TEM UM CAMPO VETORIAL, A GENTE CHAMA DE DIVERGENTE DO CAMPO, A SOMA DAS DERIVADAS PARCIAIS, E OBSERVE QUE ISSO DÁ UM NÚMERO AGORA, TÁ?

O DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL É UM CAMPO ESCALAR, PORQUE A SOMA DAS DERIVADAS PARCIAIS DÁ UM NÚMERO, OLHA ESSE EXEMPLO: PEGA O CAMPO QUE É DADO POR "3X" NA COMPONENTE "I", "X À QUARTA MAIS 5ZX MENOS 2Y NA COMPONENTE J", "X MAIS 2Y MAIS Z AO CUBO NA COMPONENTE K", QUEM É O DIVERGENTE DESSE CAMPO? DIVERGENTE É A SOMA DAS DERIVADAS PARCIAIS, DÁ "P" EM "X", DÁ "Q" EM "Y", DÁ "R" EM "Z", ISSO É FUNDAMENTAL NA DEFINIÇÃO DE DIVERGENTE. A PRIMEIRA COMPONENTE "P", EU DERIVO NA PRIMEIRA VARIÁVEL "X", A SEGUNDA COMPONENTE "Q" EU DERIVO NA SEGUNDA VARIÁVEL "Y" E A TERCEIRA COMPONENTE "R" EU DERIVO NA TERCEIRA VARIÁVEL "Z", ENTÃO, "DELP", "DELX", É 3.

ESSA EU DERIVO EM "Y", DÁ "MENOS 2", ESSA EU DERIVO EM "Z", DÁ "3Z2", ENTÃO FINALMENTE, MEU CAMPO DÁ "1 MAIS 3Z2", ISSO CHAMA-SE DIVERGENTE DO CAMPO. FUNDAMENTAL QUE NÓS CONHEÇAMOS ESSE CONCEITO, PORQUE DAQUI A POUCO, NO TEOREMA DE GAUSS, NÓS VAMOS TER UM RESULTADO IMPORTANTÍSSIMO USANDO DIVERGENTE, E A GENTE VAI TER, INCLUSIVE, UMA INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO DIVERGENTE. NA INTERPRETAÇÃO FÍSICA DO DIVERGENTE MEDE SE ESTÁ TENDO UMA SAÍDA DE MASSA OU UMA ENTRADA DE MASSA NUMA REGIÃO DO ESPAÇO, ISSO É UMA APLICAÇÃO FÍSICA IMPORTANTÍSSIMA, ESTÁ LIGADO AO CONCEITO DE NASCEDOR OU FONTE, OU SORVEDOURO, OU POÇO, E QUE TEM MUITAS CONSEQUÊNCIAS, MAIS PARA A FRENTE A GENTE VAI USAR.

E O TERCEIRO CONCEITO É O CONCEITO DE ROTACIONAL, EU VOU SEPARAR O CASO PLANO, ESPACIAL. QUANDO MEU CAMPO É PLANO, SÓ 2 COMPONENTES, "P" E "Q", COM 2 VARIÁVEIS, O ROTACIONAL É "DELQ/DELX MENOS DELP/DELY NA DIREÇÃO K", DEPOIS FICARÁ MAIS CLARO O PORQUÊ ELE ESTÁ NA DIREÇÃO "K". EU VOU CALCULAR 2 ROTACIONAIS PARA VOCÊS, AQUELE CAMPO "X,J", QUE ESTAVA EM ALGUNS SLIDES ATRÁS, QUE ERA UM CAMPO SEMPRE PARA CIMA, ASSIM.

. . E AQUI ELE ERA PARA BAIXO, E AQUI NA ORIGEM ELE ERA ZERO, SE VOCÊ CALCULAR O ROTACIONAL, OBSERVE QUE ELE É "(0,X)", DERIVADA DE "Q" EM "X" É 1, A DERIVADA DE "P" EM "Y" É ZERO, ENTÃO O ROTACIONAL DESSE CAMPO É "K".

O QUE EU QUERIA QUE VOCÊS OBSERVASSEM, QUE É CURIOSO, É QUE SE ISSO FOSSE UM MOVIMENTO, AS TRAJETÓRIAS SERIAM RETILÍNEAS, IMAGINE QUE ISSO É UM CAMPO DE VELOCIDADES E UMA PARTÍCULA ESTIVESSE SUBMETIDA A ESSE CAMPO DE VELOCIDADE, ENTÃO NÓS TERÍAMOS TRAJETÓRIAS RETILÍNEAS, ESTÁ AQUI O DESENHO DO CAMPO E MESMO TENDO TRAJETÓRIAS RETILÍNEAS O ROTACIONAL É NÃO NULO, PORQUE O ROTACIONAL MEDE UMA TENDÊNCIA DE ROTAÇÃO, IMAGINE QUE VOCÊ COLOQUE AQUI UMA BARRINHA, OLHE QUE BONITO ISSO, VOCÊ COLOQUE UMA BARRINHA, NESSE CAMPO DE VELOCIDADES, O VETOR QUE ATUA AQUI É MAIOR DO QUE O VETOR QUE ATUA AQUI, ENTÃO, EMBORA O CAMPO SEJA RETILÍNEO, HÁ UMA TENDÊNCIA DE ROTAÇÃO, E O QUE O ROTACIONAL MEDE É SE LOCALMENTE, ESTÁ TENDO UMA TENDÊNCIA DE ROTAÇÃO, E ESSE CAMPO, MESMO TENDO TRAJETÓRIAS RETILÍNEAS, SE EU COLOCAR COM BARRA COM DIMENSÃO, ELA TEM UMA TENDÊNCIA DE ROTAÇÃO E É ISSO QUE O ROTACIONAL MEDE. POR ISSO QUE É DIFERENTE DE ZERO. UM CAMPO QUE SERÁ MUITO IMPORTANTE NA CONTINUIDADE DO NOSSO CURSO É ESSE CAMPO AQUI.

O CAMPO NO PLANO, "(MENOS Y SOBRE X2 MAIS Y2)", "(X/X2 MAIS Y2)", ESSE CAMPO É EXTREMAMENTE IMPORTANTE E ELE TEM ROTACIONAL NULO. É UMA CONTA QUE PRECISA FAZER COM CERTO CUIDADO, VOCÊ TEM QUE FAZER "DELQ", "DELX", "DELQ", "DELX", É DERIVADA PELA REGRA DO QUOCIENTE, ENTÃO É "DERIVADA DO DE CIMA 1, VEZES O DEBAIXO, MENOS O DE CIMA PELA DERIVADA DO DEBAIXO, QUADRADO DO DEBAIXO". JUNTANDO OS TERMOS DÁ "MENOS X2 MAIS Y2 SOBRE X2 MAIS Y2 AO QUADRADO".

O "DELP", "DELY", TEM QUE FAZER A DERIVADA DO "P" EM RELAÇÃO A "Y", "MENOS 1 VEZES O DEBAIXO, MENOS O DE CIMA VEZES A DERIVADA DO DEBAIXO", E DÁ IGUALZINHO O "DELQ", "DELX", COMO ELES DERAM IGUAIS, NA HORA QUE SUBTRAI, DÁ ZERO ROTACIONAL NULO. ESSE CAMPO É UM CAMPO QUE É SEMPRE PERPENDICULAR AO VETOR RADIAL, AO VETOR POSIÇÃO, SE VOCÊ FIZER O PRODUTO ESCALAR DO MEU CAMPO "F" PELO CAMPO POSIÇÃO "(X,Y)", OLHA, ESSA AQUI É A MINHA COMPONENTE "P", ESSA É A MINHA COMPONENTE "Q", AQUI ESTÁ O "(X,Y)", O PRODUTO ESCALAR DÁ ZERO, PORQUE DÁ O MESMO DENOMINADOR, MENOS "YX" MAIS "XY". ISSO É VISÍVEL AQUI, SE ISSO AQUI FOSSEM TRAJETÓRIAS, AS TRAJETÓRIAS SERIAM CIRCULARES.

E OLHA QUE CURIOSO DO ROTACIONAL NULO, VOCÊ FALA "POXA, AQUELE OUTRO CAMPO TINHA TRAJETÓRIAS RETAS E O ROTACIONAL ERA NÃO NULO. ESSE QUE AS TRAJETÓRIAS SÃO CIRCULARES, O ROTACIONAL É NULO? ".

POIS É, PORQUE O ROTACIONAL MEDE A TENDÊNCIA LOCAL DE ROTAÇÃO, ISSO AQUI, SE VOCÊ COLOCASSE UMA BARRINHA, ELA IRIA FAZER UM MOVIMENTO, DIGAMOS, CIRCULAR, MAS SEM GIRAR EM TORNO DE SI PRÓPRIA, É COMO SE A MINHA CANETA ESTIVESSE FAZENDO ESSE MOVIMENTO. ELA NÃO ESTÁ GIRANDO EM TORNO DE SI PRÓPRIA, ELA SÓ ESTÁ GIRANDO. ISSO É MUITO BONITO, O ROTACIONAL MEDE A TENDÊNCIA DE FAZER ISSO, GIRAR EM TORNO DE SI PRÓPRIO, O QUE É MUITO LEGAL.

NO CASO TRIDIMENSIONAL, O ROTACIONAL TEM UMA FÓRMULA MAIS COMPLEXA E QUE INCLUI AQUELA QUE EU ACABEI DE FALAR NO CASO PLANO, NO CASO PLANO É SÓ O "DELQ/DELX MENOS DELP/Y NA DIREÇÃO K", MAS O CONCEITO GERAL DO ROTACIONAL, É ESSE AQUI, VOCÊ QUER CALCULAR O ROTACIONAL DO CAMPO, VOCÊ FAZ "(I,J,K)" NUMA MATRIZ, "DEL/DELX", "DEL/DELY", "DEL/DELZ", QUE SÃO CHAMADOS OPERADORES DE DERIVAÇÃO, ELES ESTÃO PREPARADOS PARA FAZER DERIVAÇÃO, COLOCO AQUI AS COMPONENTES "(P,Q,R)" E DESENVOLVE O DETERMINANTE. ELE VAI DAR UMA EXPRESSÃO GRANDE, QUE EU NÃO VOU ESCREVER, EM GERAL, VOU FAZER A CONTA NESSE EXEMPLO "X2Z MAIS X MAIS 3ZY MAIS Y3Z2", ENTÃO, VOCÊ ESCREVE "(I,J,K)", "DEL/DELX", "DEL/DELY", "DEL/DELZ" E AS COMPONENTES DO CAMPO E AGORA SE DESENVOLVE COMO SE FOSSE UM DETERMINANTE. VOU FAZER PELA REGRA DE LAPLACE.

. . NA DIREÇÃO "I", É A DERIVADA EM "Y", OLHA, AO INVÉS DE FAZER O PRODUTO, NO CÁLCULO DA DETERMINANTE NÓS FAZEMOS O PRODUTO, AQUI O OPERADOR DIFERENCIAÇÃO, OPERADOR DERIVAÇÃO, DERIVA ISSO EM "Y" E ESSE DERIVA EM "Z", ENTÃO, DERIVADA DISSO EM "Y" É "3Y2Z2", DERIVADA DISSO EM "Y", MENOS A DERIVADA DISSO EM "Z", QUE É "3Y", ISSO NA DIREÇÃO "I".

NA DIREÇÃO "J", LEMBRA QUE PRECISA TROCAR O SINAL NO TEOREMA DE LAPLACE, NA DIREÇÃO "J" DERIVA ISSO EM "X", ISSO DERIVA EM "X", QUE DEU ZERO. ISSO DERIVA EM "Z", DEU "X2", É DIAGONAL SECUNDÁRIA, ENTÃO, "MENOS X2", TROCA O SINAL, "MAIS X2 NA DIREÇÃO J". E NA DIREÇÃO "K", ISSO DERIVADO EM "X", DÁ ZERO.

. . NA DIREÇÃO "K", ISSO DERIVADO EM "X", DÁ 1, DESCULPA, ISSO DERIVADO EM "Y", DÁ ZERO, ENTÃO DÁ 1 NA DIREÇÃO "K".

ENTÃO, ESSE É O ROTACIONAL E O QUE O ROTACIONAL MEDE? A GENTE VAI VER MAIS TARDE, ELE MEDE SEMPRE ESSA TENDÊNCIA LOCAL DE ROTAÇÃO. UM TEOREMA IMPORTANTE É QUE O ROTACIONAL DO GRADIENTE DÁ SEMPRE ZERO.

TODA VEZ QUE EU FOR CALCULAR O ROTACIONAL DE UM GRADIENTE, DÁ ZERO, ISSO É UMA CONTA QUE NÃO É DIFÍCIL DE FAZER, VOU DEIXAR PARA VOCÊS FAZEREM. SE VOCÊ PEGAR NA FÓRMULA DO ROTACIONAL E COLOCAR AQUI EM "DELF" UM CAMPO QUE JÁ É UM "DELF/DELX", AQUI JÁ É UM "DELF/DELY" E AQUI JÁ É UM "DELF/DELZ", OU SEJA, SE ELE É UM GRADIENTE VÃO APARECER AS DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM 2, MISTAS SE CANCELANDO, E AÍ PELO TEOREMA DE SCHWARZ, QUE FALA QUE AS DERIVADAS DE ORDEM MISTAS, DE SINAIS DE ORDEM CONTRÁRIAS SÃO IGUAIS, VOCÊ VAI TER UM CANCELAMENTO E VOCÊ VAI VER QUE O ROTACIONAL É NULO. ESSA AULA DE CAMPOS É UMA AULA DE BASE, UMA AULA INTERMEDIÁRIA, NÃO FIZ MUITAS APLICAÇÕES PORQUE PRECISÁVAMOS DISCUTIR ESSES CONCEITOS DE CAMPO ESCALAR E VETORIAL, GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL.

PORQUE ELES VÃO APARECER NA SEGUNDA PARTE DA NOSSA DISCIPLINA, NOS GRANDES TEOREMAS, QUE SÃO OS TEOREMAS DE GRINGS GAUSS E STOKES, NAS PRÓXIMAS AULAS VAMOS FALAR DE INTEGRAIS DE CURVAS, E AÍ ABORDAR OS GRANDES TEOREMAS DA DISCIPLINA, OK?