Jornada Enem COC 2022 - Matemática

[Música] Fala galera tudo bom meu nome é Ivan galasso sou professor de matemática do Colégio São Francisco COC passos e do Colégio Divino Salvador coque de Jundiaí eu venho aqui hoje para falar para vocês um pouquinho sobre matemática do Enem nessa jornada fique atentos que ao longo da aula vou dar algumas dicas de ouro que podem valer para vocês prêmios na nossa Live no dia 19 de Novembro Então bora lá a gente selecionou aqui algumas alguns temas que são os principais temas que a gente tem dentro da matemática do Enem entenda que o Enem tem uma grande diferença dos vestibulares comuns para ele primeiro porque a prova de matemática é a maior prova lá dentro são 45 questões E são muitas muitas questões muito mais do que vestibular E além disso os grandes vestibulares trabalham com a teoria clássica dos Testes que significa isso que quanto mais acerto você tem maior é só nota no ENEM não funciona assim o Enem trabalha com a teoria de resposta coerência do aluno ou seja quanto mais questões fáceis você acertar maior a sua nota tem alunos que tem o mesmo número de acertos mas as suas notas variam demais porque porque as questões fáceis e médias valem muito mais do que as questões mais difíceis então para o Enem além de você ter conhecimento Obviamente você tem que ter uma estratégia de prova isso é extremamente importante a gente vai falar de grandezas proporcionais vai falar de função afim e também vai falar sobre estatística Então vamos lá o primeiro assunto que a gente vai falar aqui hoje galera é sobre as grandezas proporcionais [Música] as grandezas proporcionais elas dividem-se em muitos assuntos por isso é obviamente é que mais aparece dentro do Enem já falar de razão e proporção entenda uma coisa razão nada mais é do que a divisão entre duas grandezas Mas é uma divisão com o objetivo quando você é comparar duas coisas comparar uma grandeza com outra a gente usa razão vocês já usaram a razão em números momentos por exemplo na física Você trabalha com velocidade que é a razão a comparação entre duas grandezas espaço e tempo também já trabalharam com é densidade que é massa por volume aqui na matemática a gente trabalha com várias razões também por exemplo escala que é a representação de um desenho para realidade né ou também porcentagem porcentagem é uma razão você compara algo com o sem é alguma coisa dividida por 100 a gente pode representar a razão como uma fração normal x sobre Y ou ainda x está para Y com esses dois pontos são as duas maneiras que a gente mais trabalha representando razões agora se eu quiser comparar razões a gente tem o que a gente chama de proporção E aí tem muitas aplicações por exemplo vocês acham que tudo dá para resolver por regra de três a regra de três é uma aplicação de proporção lá na geometria plana quando a gente fala de semelhança de triângulos a gente está falando também sobre proporção então a proporção também é extremamente útil Agora se liga somente com esse conceito pequeno de razão a gente consegue fazer uma questão do Enem uma questão simples que você precisa acertar e clássica é uma questão que mostra pra gente um ônibus e esse ônibus ele tem 42 lugares tá numerados lugares a pergunta é extremamente simples ele falou assim ó Qual é a razão entre o número de acentos já vendidos e o total de acentos esse ônibus galera ele quer a razão entre o número total e os já vendidos na verdade entre já vendidos e o total pô já vendidos ele disse que está destacado em cinza basta você contar se você contar esses estacada em cinza dá 16 então vendidos aqui ó vendidos você tem 16 e o total você tem 42 portanto a razão entre vendidos e total é simplesmente que ele quer 16 sobre 42 então aqui você chega na alternativa a perceba extremamente simples o conteúdo e ainda assim você consegue acertar uma questão que vai valer muito na sua coerência da prova agora dentro de razão em proporção já é aprofundar um pouquinho o estudo sobre escalas veja só vocês aí escala é uma razão específica né é uma razão que compara a grandeza no na sua representação na imagem no desenho no gráfico no mapa pela realidade e aqui vai a minha primeira dica de ouro para você escala ela é adimensional o que isso significa que tudo que tiver em cima embaixo tem que ter a mesma unidade Então se é centímetro é centímetros é quilômetros porque essas grandezas vão se cortar eu vou cortar essa unidade de cima quantidade de baixo e aí a gente vai ter a nossa escala sem dimensão alguma perfeito então se liga nisso quando a gente fala de escala a gente tá falando de comprimentos tá esse comprimento é uma coisa linear Entenda como distância altura perímetro qualquer coisa que for linear se eu comparar coisas que não são lineares por exemplo áreas áreas são bidimensionais é sempre uma uma dimensão vezes a outra então duas dimensões algo que for bidimensional a Minha escala tem que ser levado ao quadrado e Caso for comparar volumes ficamos tridimensionais são três três dimensões eu tenho que levar essa escala Ao Cubo mas eu vou fazer um exercício simples agora do que ele fala sobre escalas mas a escala é escala linear ele fala o seguinte existe um castelo de lixo em Stein que é na Alemanha e um parque temático produziu um dele uma réplica dele e aí ele colocou as dimensões da ponte desse Castelo ele fala o seguinte o castelo na realidade na realidade o castelo tem como comprimento Vou colocar aqui ó como comprimento 38,4 metros e como largura ele tem 1,68 metros e a representação que é no nosso parque temático tem como comprimento 160 cm e como largura 7 cm e ele quer saber qual foi a escala utilizada galera se liga nessa só eu tenho aqui um pequeno problema já você sabe assim como eu que a escala é o desenho né pela realidade então eu tenho um problema porque na realidade eu tenho em metros na representação estou em centímetros eu preciso deixar as duas unidades iguais [Música] tanto faz se você passar centímetro para metro ou metro para centímetros não me importo e tanto faz se você vai comparar comprimento com comprimento ou largura com largura isso também não é importante você pode escolher qualquer um dos dois eu vou comparar largura com largura eu vou pegar largura de cima e a largura de baixo porém novamente se você olhar as unidades estão distintas então eu vou transformar esse método para centímetro galera a largura tá 1,68 M você sabe que 1 m são 100 cm então basta você multiplicar por 100 para transformar isso para centímetros então vou ter que que a largura é 168 cm logo a minha escala vai ficar o desenho que é 7 pela Raridade 168 a gente pode fazer uma simplificação dessa fração dessa razão e 7 / 7 é 1 168 por 7 é 24 Então a gente tem uma escala de 1 para 24 você chega na alternativa c certo tudo bem E esse foi o nosso primeiro assunto galera [Música] na segunda assunto é função afim ou função polinomial do primeiro grau para a gente quer mais chegado função do primeiro grau é óbvio que o assunto funções é extremamente utilizado dentro da álgebra a gente trabalha muito com ele e tem muitas funções mas a função que mais aparece dentre elas no Enem é a função afim é por isso que já fala dela aqui é claro também que tem todo um conhecimento prévio que a gente tem para falar de função a gente fazer um resumo aqui da função afim tudo bem lembre-se que função é uma relação de dependência sua mãe deve falar para você ó você vive em função desse problema em função de alguma coisa você tá dependendo disso você vive em função de algo na matemática é a mesma coisa quando uma grandeza Depende de outra grandeza a gente tem o que a gente chama de uma função quando essa função ela é linear essa função é chamada de função afim ou função polinomial do primeiro grau ela tem a cara genérica daquela daquele jeito aqui ó escrito na tela aí ó f de x é a x + b em que f de x é o cara que está em função do X então a gente por um Y um Y em função do X é óbvio que XY são genéricos galera pode ser qualquer que seja grandeza pode ser sei lá você vai andar de táxi é o tanto que você anda e o valor que você paga né quilômetros de valor pago isso tá um depende do outro há uma relação de dependência e o a e o b são os coeficientes são números reais e esses números são extremamente importantes para a gente tanto a quanto B vou começar falando do a o a o cara que acompanha o X Ele é chamado de coeficiente angular esse coeficiente angular ele está intimamente ligado a inclinação da nossa reta Na verdade lá na frente você pode ter estudado sobre isso que é a tangente da inclinação mas a inclinação da reta é o a que vai dizer pra gente se esse a foram A positivo o nosso gráfico é um gráfico crescente essa reta cresce essa relação de dependência é crescente ao longo do tempo se o nosso a formar negativo aí então a reta decresce ao longo do tempo então o a diz exatamente isso pra gente a inclinação da reta positivo cresce negativo de cresce e o B também é importante o B que a gente chama de coeficiente linear ele é o termo dependente né Ele é exatamente onde o nosso gráfico intercepta o eixo Y ou seja onde o gráfico corta o eixo Y e aí fica mais tranquilo de você ver se o b é positivo ele corta x y na parte positiva se o B negativo ele corta o trecho Y na parte negativa então entenda função do primeiro grau a grosso modo para falar no ENEM a gente tem que trabalhar com isso uma relação de grandeza linear que se o ar é positivo essa função esse gráfico cresce se há negativo ela decresce e o bem ainda mostra pra gente onde esse gráfico intercepta o eixo Y Tudo bem então vamos fazer uma questão comigo na verdade fazer duas uma questão prática que a gente vai olhar o gráfico da questão e a gente vai olhar também uma questão que tem uma tabela ele também tem essa habilidade né ele cobra essa habilidade da gente ler gráficos e tabelas Então bora comigo aqui ó esse gráfico esse tipo de questão eu vou também dar uma dica no final mas esse gráfico questões que dá o gráfico e pede para você a função é muito muito útil ia cai demais só que tem alguns macetes para fazer isso aqui eu vou fazer na manha e depois a gente faz ó ele deu um gráfico e falou assim qual é a representação dela no caso ele falou que era uma lucro ó veja só no eixo Y é o lucro X é o tempo então o x pra gente é T que é um tempo e o Y para gente l porque é o lucro Então eu tenho uma função genericamente escrita lucro de T é igual a t mais B eu só troquei né vgf de x é a x + b eu pus l de T é a t + b agora galera mesmo se eu não soubesse nada de fazer essa questão se você lembrasse do aido desse matava ela veja só vocês Olha eu não falei para você que o b é onde o nosso gráfico corta o eixo Y Se você olhar aqui embaixo ó o nosso gráfico corta o x y menos mil olha as alternativas só tem uma que é menos mil a letra D Acabou acabou você conseguia matar assim é claro que não é sempre que vai aparecer isso se eu precisasse escrever tivesse mais do que uma que fosse menos mil Então eu teria que fazer aqui toda a conta vamos comigo você já sabe que o b é menos 1000 Então vou colocar aqui B menos 1000 já sei disso agora no gráfico Eu tenho um ponto se eu tenho um ponto basta eu substituir esse ponto isso para Qualquer que seja a função estamos falando de função no primeiro grau mas pode ser para o segundo grau pode ser uma função logarítmica pode ser uma função trigonométrica não importa a função essa ideia é importante hein você pega o ponto e joga lá na função você vai descobrir os parâmetros que faltam aqui ó eu vou pegar esse ponto aqui ó veja só esse ponto quando X é 20 o y é 3. 000 Então eu tenho o ponto aqui ó quando o tempo é 20 dias o lucro é r$ 3. 000 e eu vou substituir isso na minha função ó lucro r$ 3.

000 é igual a a que eu não sei fez o tempo que é 20 dias e o b a gente já sabia que era menos mil olha que bonito passa menos mil para lá você vai chegar em 4. 000 é igual a 20 a 4 0 com zero passo dois dividindo você vai chegar aqui 200 é igual a Olha lá galera se eu tenho a e tem o b eu consigo chegar na nossa função que vai ficar l de T é igual a 200 T - que era a mesma letra D da qual a havia falado para vocês tudo bem ó essa dica vale para o Enem não vale para os grandes vestibulares porque provavelmente não tem tempo no ENEM você tem 45 questões você precisa ser rápido você aparece uma função seja do primeiro do segundo função trigonométrica não importa você aparece uma questão que ele dá o desenho e pede a função se você tiver com dificuldades para você não perder a função substituir os valores nas alternativas substitua os valores da alternativas no ENEM isso vale muito a pena tudo bem no Enem perfeito essa questão aqui que a gente vai fazer acho que a questão mais difícil que a gente vai fazer hoje e ele envolve uma função de uma maneira diferente muitas resoluções aqui dessa questão é feita por pa mas a gente vai fazer por por função do primeiro grau se liga aqui ó ele falou assim o seguinte o tempo médio na formação de um aluno no Brasil é de 16 anos ele quer saber o seguinte a realidade é bem diferente disso 95 o aluno estava no tempo médio 5 por 2 anos 99 5. 8 e assim vai aí você considera que o incremento do tempo é se mantenha constante galera então é um crescimento constante como é um crescimento constante a gente pode falar que é uma função do primeiro grau uma função afim e aí o que eu vou fazer o seguinte numa função afim a variação no eixo Y e a variação na justiça Elas têm que ser constantes né então a gente pode trabalhar aqui com função do primeiro grau veja só vocês eu vou pegar aqui um exemplo tá ó se eu pegar de 95 para 99 eu varei quatro anos e de 5.

2 para 5. 8 a gente tem uma variação no tempo de estudo de 0,6 tudo bem agora o cara perguntou é quanto que vai demorar para ter 70% do tempo necessário para obtenção do curso superior Então galera Ó 70% do tempo necessário que é 16 anos sem simplificar que o 70% com 16 é da 707 na verdade 16 112 por 10 11,2 então aqui ó 11,2 anos de tempo de estudo Ele quer saber que ano Isso vai acontecer posso fazer avaliação de 95 até esse ano eu não sei qual é a variação vou chamar essa variação de x e de 5. 2 para 11.

2 essa variação foi de 6 anos de tempo médio de estudo aí agora galera se liga faço para perceber né Quatro está para 0,6 são x está para 6 esse x só pode ser 40 né pode ficar incluso Então pode andar uma casa aqui uma casa embaixo x = 40 anos só que se liga 40 anos não é resposta 40 anos é a variação do tempo eu tô em 1995 e vou aumentar 40 anos então 1995 + 40 anos isso você vai chegar em 2035 então o Brasil em 2035 nessa questão vai ter 70% do tempo necessário para obtenção do curso superior perfeito tudo bem essa era a nossa segunda questão de função o último assunto que a gente vai falar aqui hoje é sobre estatística [Música] bastante carinho um assunto geralmente muito simples no Enem e que tem pouca teoria por trás né então se liga pouca conta né pouco algebre a primeira parte a gente fala de medidas de tendência central ou seja vai ter uma distribuição de números e vai ver as medidas que tendem ao centro desses caras então vamos lá as três medidas de tendência Central que a gente tem é médias moda e mediana a gente vai começar falando de médias Existem várias médias ainda matemática as mais cobradas pelo Enem São a média aritmética e a média ponderada então se liga média aritmética O que é a média aritmética a média aritmética nada mais é do que a soma de n valores dividido por n a gente trabalhou muito com isso né Você tá no colégio já fez a sua média né então a média é a soma das suas provas Então todo mundo de provas que você tem ou a soma dos bimestres pelo número bimestre que você teve eu tenho um exemplo aqui para vocês Eu imagino o seguinte o time de professores do COC fez cinco jogos no interclasse e fez quantos gols três gols no primeiro jogo sete gols no segundo jogo quatro gols no terceiro cinco gols no quarto e um gol no quinto jogo se eu quiser saber a média de gols desse time dos professores o que eu devo fazer basta eu somar todos os gols e dividir pelo número de jogos então não Somar 3 + 7 + 4 + 5 + 1 / 5 ou seja a média aritmética de gols desse time dos professores é quatro galera então média aritmética simples é bem tranquilo para vocês a gente tem também a média ponderada e a média ponderada ela ela trabalha com pesos não não só pesos né no ENEM a gente trabalha muito com tabelas e através das minhas resposta frequência então o peso Pode ser que nem frequência para a gente aqui então cada número vai ter um peso ou uma frequência e para você calcular essa média vai ser o valor desse número vezes o seu peso na sua frequência de vibração a soma dos pesos ou das frequências por exemplo coloquei aqui um exemplo que teve um aluno com três notas nos três trimestres e eu dei obviamente hipoteticamente aqui pesos para trimestres no primeiro trimestre tem peso 1 no segundo trimestre peso 2 e no terceiro trimestre peso 3 como é que eu calculo a média desse aluno eu vou fazer o valor da prova dele é vezes o peso do trimestre mais o valor da segunda prova fez o peso trimestre mais valor a terceira prova fez o peso do trimestre então vai ficar 5 x 1 + 9 x 2 + 6 x 3 tudo isso de pra soma dos pesos um mais dois mais três um mais dois mais três somando isso você vai chegar em uma média 6,83 e vai né é assim que a gente calcula a média ponderada galera além de médias a gente também tem a parte mais simples e a melhor parte é mais legal você não erra né é que trabalhar com moda e mediana só tem que é uma coisa quando a gente for falar de estatística moda e mediana distribuição de números necessariamente seus números devem estar organizados sejam em ordem crescente ou decrescente mas os números tem que estar um rol de números isso são os números organizados eu gosto de escrever em ordem crescente Tudo bem então a gente escrever os números em ordem crescente e trabalhar com eles se liga nos exemplos que eu dei aqui ó eu coloquei a altura de 9 alunos Então galera presta atenção existem dois tipos de dados eles têm dados quando a gente tem números pares de Distribuição e números ímpares quando a gente tem número par existe uma maneira de calcular contém número ímpar outra então vou começar por ímpar quando eu pego aqui ó uma distribuição que tem cinco nove sete sei lá qualquer número ímpar de dados a gente consegue facilmente encontrar a mediana porque o que que é a mediana de uma distribuição é o seu valor Central ela é uma separatriz ela divide nosso nosso grupo em duas partes então a mediana ela tá ligada ao valor central da nossa distribuição se eu tenho números ímpares Eu sempre tenho alguém Central então por exemplo a altura dos nove alunos do segundo colegial coloquei aqui potético se eu pegar esses nove alunos e colocar um Hall organizar os dados eu consigo achar exatamente o valor que tá no meio o valor que tá no meio aí é o 1. 85 isso é mediana não tem conta pra fazer galera só você olhar o cara do meio e a moda e a moda é simplesmente achar aquilo que mais repete quando você fala assim ó tem um tênis tá na moda tem um cabelo que tá na moda muito tá sempre por aí a moda na matemática na estatística é aquele cara que mais se repete um cara que mais aparece a nossa moda no nosso caso aqui o nosso exemplo quem mais apareceu foi 1,90 então 1,90 é a moda agora quando a distribuição tem um conjunto par de números aí não tem ninguém no meio né imagina aqui ó quatro não tem ninguém no meio aqui ó o meio aqui não existe né não tem um valor Central Então o que a gente faz quando tem par a gente pega os dois valores centrais e faz uma média entre os dois então ó se eu pegar os as notas dos seis melhores alunos de matemática organizo em ordem crescente e pego ali os dois valores centrais 9. 3 9.

5 eu somo e divido por dois vou chegar em 9. 4 a mediana dessa distribuição não é exatamente um termo tá vendo não tem ninguém que tem 9.