Puntos críticos, crece y decrece, máximos y mínimos locales, inflexión y concavidad de una función 1

hola bienvenidos de nueva cuenta en esta serie de vídeos vamos a empezar a trabajar con el análisis de funciones vamos analizando cuestiones como puntos críticos cómo ver dónde crece y decrece la función los máximos y mínimos relativos los máximos y mínimos absolutos estaremos trabajando con los puntos de inflexión con la concavidad y finalmente estaremos realizando un gráfico para analizar no nada más del punto de vista analítico tal sino también desde el punto de vista geométrico vamos a comenzar con este primer ejercicio y en este primer ejercicio como inciso a primeriti son vamos a determinar los puntos críticos de esta función eso es con lo que vamos a comenzar entonces para hallar los puntos críticos de la función lo primero que tienen que hacer ustedes es derivar vamos a derivar la función y si obtenemos su derivada es como tenemos aquí una función polinomio polinomio cada uno de los términos se deriva de manera independiente la deriva del primero sería 3x y le restamos segundo y quedaría al cuadrado el 3 del denominador es constante que es igual - aquí derivamos hacemos lo mismo la potencia multiplica 2x le restamos 1 se queda así y la constante del denominador igual 2 x 2 0 vamos a simplificar simplificamos podemos aquí nos quedaría x cuadrada seguimos cancelando el rol de arriba lo cancelamos con el 2 de abajo y nos quedaría menos x y -2 entonces vamos con la parte de los puntos críticos una red derivada que lo que sigue ahora es igualar as podemos igualar a cero resultado de la primera derivada vamos a resolver la expresión lo que haya quedado aquí como se trata una cuadrática la podemos resolver factor izando vamos a factorizar de manera tradicional ha habido dos paréntesis x x x x cuadrada números que multiplicados del -2 y sumados querer menos 1 y los números serían menos 2 y más 1 vamos a comprobarlo menos por más da menos 2 por 12 y sumamos restados menos dos más uno da menos uno vamos a despejar cámara este cada factor se iguala a cero el primero y de guardia cero y también segundo factor se igual a cero entonces está cada factor igual a cero y cada factor vamos a despejando si despejamos el primero el 2 que está restando pasaría sumando y aquí hacemos lo mismo al 1 que está sumando pasaría restando y entonces es lo que se le conoce como puntos críticos ahí están los puntos críticos de esta función así estuvo la van a ser para cualquier función la van a derivar van a igualar a cero y van bueno pues continuamos están los puntos críticos vamos ahora a un sermón 16 y sobre lo que vamos a hacer ahora vamos a determinar donde esta función crece y dónde crecer donde es creciente y decreciente sí entonces es esa es la parte que sí vamos a ver dónde crece sí donde decrece la función qué es lo que tenemos que hacer para analizar dónde crece y decrece la función vamos a localizar estos puntos en una recta numérica vamos a localizarlos los puntos críticos son menos 1 y 2 entonces tendríamos estos números menos 1 y el 2 y están señalados nuestros puntos críticos menos unidos una vez llegados puntos críticos para identificar los puntos críticos entonces una vez señalados en la recta dura del caso que tienen que hacer es evaluar vamos a evaluar a la izquierda vamos a valorar el medio y vamos a evaluar la derecha donde se evalúa se evalúa en la primera derivada ahí es donde vamos a evaluar vamos a tomar un número del lado izquierdo de su primer punto crítico el número que sea menos 23 42 y vamos a poner menos 2 el número que es seleccionados y entonces quedaría menos 2 al cuadrados menos x que va al menos 2 y -2 si simplificamos simplificamos esto quedaría en un saltador de 4 - por menos a más 2 - 2 y entonces resultado aquí quedaría 4 nos interesa el signo que es un signo positivo pero más con cualquier número que hubiéramos evaluado el lado izquierdo hubiera quedado positivo 3 con el signo positivo ahora vamos a tomar un número en medio entre ellos 2 el número que sea por ejemplo el 0 y los sustituimos otra vez aquí la primera derivada y quedaría 0 al cuadrado menos x que vale 0 y -2 no solamente quedarían ni los dos y nos interesa el signo que si uno quedó que lo negativo entonces todo número entre ellos dos se toman cero y nos dio negativo cualquier número que ustedes tomen cuando el uno o cualquiera que esté entre ellos dos va a quedar un signo negativo vamos ahora llegando al lado derecho también el número que sea el lado derecho del 21 que sea 3 4 5 6 pueden ser entre osos decimales vamos a hablar con el profundo en 3 sustituimos todo es la primera derivada y sería 3 al cuadrado - x que vale 3 y menos 2 y nos quedarían tres al cuadrado de 9 - 3 - 2 y el resultado sería 4 no tiene positivo y entonces lo marcamos aquí del lado derecho que los positivos cualquier número que ustedes hubieran tomado del lado derecho que tomen 4 567 resultado a ser positivo y entonces están los signos y entonces con estas evaluaciones que se hicieron en la primera llamada con estos signos como resultado ahora sí ya podemos concluir el inciso b espacio como responde y entonces se dice que la función es creciente crece o es creciente de dónde a dónde donde las derivadas la dispositiva y donde la derivada no dio positiva o dio positiva en esta región de menos infinito hasta menos 1 la derivada es positiva entonces y sería el creciente donde más es creciente la función ya le dije donde la derivada es positiva y donde más la terminal es positiva aquí en esta parte en esta región de aquí de donde de 2 a infinito la derivada es positiva y la función es creciente donde crece la función la función de crece o es decreciente donde la derivada es negativa y donde negativa en esta región de menos 12 ahí está la respuesta al inciso b repito creciente donde la privada es positiva esta región y decreciente donde la rival es negativa aquí en estas regiones muy bien entonces ahí está el inciso b vamos ahora al inciso c y lo que vamos a analizar en el inciso c la parte de los máximos y mínimos relativos los extremos locales máximos y mínimos y los locales cómo le hacemos para determinar un máximo o mínimo relativo local lo podemos hacer teniendo esta tabla esta tabla nos va a servir para el inciso para la decreciente y decreciente y para lo de los máximos y mínimos se dice que cuando la del bala cambia de positiva a negativa la función tiene un máximo un máximo local sale leyendo de izquierda a derecha leyendo de izquierda a derecha así que repito si cambia de más a menos al máximo lo que está sucediendo aquí tenemos un máximo en donde ya nos dimos cuenta del -1 porque cambia de más a menos al máximo el x menos uno y vamos a observar que en otro punto crítico en dos si leemos de izquierda a derecha que lo que hay hay un cambio de signo de menos a más y cuando cambia de menos a más la teoría dice que hay un mínimo cuando cambia de menos a más ahora lo que tenemos que hacer es hallar las coordenadas de ese máximo mínimo de intervalo lo que vamos a hacer acá son coordenadas para hallar las coordenadas de ese máximo se sustituye el punto crítico en la función original vamos a sustituir a menos uno siento sustituimos el -1 de la función al final quedaría así quedaría menos 1 al cubo entre 3 - 1 al cuadrado entre 2 y menos dos x menos uno más un tercio donde hay menos uno que es el punto crítico y sustituimos la calculadora y el resultado que la viaja tres medios entonces la imagen de menos máximo máximo o máximo relativo donde en son coordenadas la equis es el valor que sustituimos el punto crítico al menos uno la iii es el resultado la imagen de -1 que nos dio tres meses que el decimal equivale a 1. 5 de la vida manera se procede para determinar el mínimo local coordenadas entonces qué haríamos si tuvimos ahora el otro punto crítico entonces vamos a llevar la imagen de 2 ponemos dos quedaría 2 al cubo - 2 al cuadrado entre dos menos dos por dos y más un tercio y entonces quedaría como resultado dos menos tres y entonces ya sabemos que en 22 tenemos un mínimo y entonces la respuesta sería así mínima en y son coordenadas la equis donde el punto crítico que es 2 y la que el resultado la imagen de los que es menos 3 mientras aquí donde tendríamos los ojos en como insertan la respuesta en la plataforma en la plataforma hay que decir olvidar si en forma desordenada o si te está por ahí indicando una leyenda semejante a esto entonces a qué me refiero con eso me refiero a que en vez de una cornada por ejemplo puede encontrar esta manera como valor máximo de tres medios en x igual a sus maneras de mostrar el resultado 26 el inciso c máximos y mínimos relativos o locales ahora el punto de infección de esta función como inciso de el punto de inflexión cómo le hacemos para hallar el punto de inflexión un punto de inflexión tenemos que calcular la segunda derivada vamos a derivar por segunda vez aquí este resultado la primera derivada que hace rato realizamos de x 2 x derivar de menos x es menos 1 y la lleva una constante es ser entonces el resultado es una derivada se iguala 0 y se despeja la variable si despejamos en uno que está restando pasas al mando y el 2 que está multiplicando pasa dividiendo quedaría un medio ese va a ser nuestro avance de radio el punto crítico para este el punto de inflexión es semejante porque hace rato realizamos porque tenemos que hacer de nueva cuenta una evaluación vamos a localizar atrás a otra vez una recta numérica de nueva cuenta y vamos a vocalizar el punto clave de la segunda derivada que es un medio un medio estaría aquí entre 0 y 1 aquí tenemos un medio vamos a evaluar a la izquierda y vamos a evaluar a la derecha hicimos un primer animal pero ahora estamos con la segunda derivada a la izquierda que ustedes quieran tomar por ejemplo el 0 y ahora vamos a sustituir en la segunda derivada de esta de aquí 'tuvimos quedaría 2 por x que vale 0 y -1 en toda la respuesta sería menos 1 3 el signo otra vez que signo negativo cualquier número 12 cualquiera que valoran las acciones derivadas quedaría negativo vamos a tomarnos un dolor de lado derecho el que sea del lado derecho de un medio y vamos a tomar control en 1234 que sea vamos a tomar el mundo sustituimos con el 1 en la segunda derivada y entonces quedaría de la siguiente manera 2 por equis que vale 1 y menos 122 menos uno quedaría un signo positivo y la teoría indica o establece cuando hay un cambio de signo en la segunda derivada si es punto de inflexión si no hubiera cambio de signos la subdirección negativos o los dos positivos diríamos que no es punto de inflexión mientras como si hay cambio de signo entonces si es punto de inflexión que sigue procedemos continuamos ahora lo que sigue es evaluar este el punto de análisis en la función original entonces valoramos y quedaría de la siguiente manera en la función original vamos a poner un medio vamos a ver la imagen de un medio y entonces quedaría un medio al cubo entre 3 - en vez de x un medio al cuadrado entre dos menos dos por un medio y más un tercio y lo que quieres vamos a ver cuando quede y entonces el resultado sería menos tres cuartos y menos tres cuartos y eso sería hay que cumplir de esta manera punto de inflexión en y son coordenadas de nueva cuenta x el valor que sustituimos un medio y en el resultado la imagen menos tres cuartos aceite el punto de infección cuando veamos la parte geométrica van a poder interpretar ya con mayor certeza con más claridad estos resultados desde el punto de inflección vamos ahora a otro inciso más otro análisis vamos a poder esto saca ahora inciso el y como inciso y vamos a calcular la concavidad con calidad es con la segunda derivada con estos resultados de aquí para determinar el sentido de concavidad sus violencias con estos signos cuando la segunda de llamada es negativa se dice que las funciones cóncava hacia abajo cuando la segunda derivada es positiva las funciones con capas hacia arriba todo vamos aquí en caracas para modificar que descontaba volcada hacia abajo de dónde a dónde la negativa de dónde a dónde menos infinito hasta el punto de inflexión y es como cavar hacia arriba cuando la segunda derivada dispositiva irá como aquí en esta región la segunda derivada que la positiva entonces ahí es contaba hacia arriba de donde a donde el punto de inflexión que es un medio a infinito ahí estará el intervalo de concavidad cuando es con cava de abajo cuando les contaba hacia arriba ahí está finalmente lo que vamos a hacer ahora es un gráfico vamos a graficar nuestra función para poder interpretar con claridad nuestros resultados vamos a la gráfica ya tenemos ahora estamos con la gráfica lo que debe de hacer es anular estos dos puntos críticos que obtuvimos es menos 1 y 2 y lo que estamos haciendo o lo central un valor antes del número menor y un valor después del número mayor y entonces hablamos estos resultados vamos a organizarlo sentado perdición sostenemos menos 2 con menos punto 33. 33 seguimos menos 1 con 1.

5 y 2. 5 por aquí seguimos localizando es 0 en x 33 síndicos por aquí está el punto 33 y luego es uno en equis y menos 1. 83 por aquí porque es el menos 1.

83 seguimos dos con menos 3 y lo tendremos aquí en esta parte aproximadamente dos y menos tres y luego tres con menos 1. 16 nuestro punto y seis para que así 116 unimos juntos para formar la gráfica y si animamos junto a la gráfica que la vía de esta manera juntos la gracia así arriba y hacia abajo quizás la gráfica y ahora lo que vamos a hacer es a contrastar nuestros resultados con el aspecto geométrico que habíamos obtenido como en el inciso a que nuestros puntos críticos estaban están en menos unidos a ver entonces somos ubicados a ver los resultados en los que llegamos honestos dijimos que los puntos críticos están en x semana menos 1 y x igualados que significa que sobre manchester valor de x menos 1 y el menos uno podemos ver que sucede algo y qué es lo que después hallamos y otro punto crítico es el 2x del 2 y también podemos ver que sucede algo no sólo que después determinamos el futuro de creciente y decreciente y llegamos a la conclusión de que la función era creciente de menos infinito a menos 1 ahora imagínense que esto es una montaña rusa tenemos aquí una montaña rusa la imagen es una montaña rusa y algunos de sus compañeros y sus compañeros y que significa que la función se acreciente significa que la función va a ir hacia arriba creciente significa en términos coloquiales que sube va hacia arriba como efectivamente tenemos menos infinito hasta menos uno entonces de menos infinito hasta -1 la función sube vean como si coincide donde más sube donde más es creciente aquí al llegar a 2 otra vez la función vuelve a subir eso significa creciente sube donde digamos la conclusión de que darle creciente de pensionados ideal entonces si sube llega hasta menos uno creces el índico y luego llegando a menos uno qué significa que crece que va hacia abajo mirar como si coincide de menos 12 la función de crecer que va hacia abajo entonces si coincide lo analítico con lo geométrico ahora lo del máximo local y mínimo local a qué se refiere el máximo local dicen menos 13 meses este valor de menos 1 y aquí tenemos el de tres medios que equivale a 1.