CORREÇÃO/GABARITO OBMEP 2025 - NÍVEL 2 - TODAS AS QUESTÕES

Fala galera, professor Bruno Lima aqui do canal Matemática com Lima, trazendo para vocês a resolução completa da nossa UBMAP 2025 do nível 2. Começando claro com a nossa primeiríssima questão. E se você quiser assistir as outras questões ou outros níveis, acessa o canal que a gente tem as playlists separadinhas por nível. Não se esquece, claro, de se inscrever no canal, deixa seu like e compartilhe o vídeo, beleza? E Preparatório completo para essa Olimpíada, primeiro link da descrição, beleza? Vem comigo aqui. Vamos fazer a resolução da nossa primeiríssima questão. Olha só o que diz na figura.

A, B, C, D, E, F, GG, HH. É um octógono regular de centro O. O ponto M é o ponto médio do lado CD. E a área do octógono, olha só, é igual a 16 cm². E a pergunta é: qual é a área da região amarela? Beleza? Primeira coisa que a gente pode notar é que se esse octógono é regular, A gente consegue dividi-lo em triângulos de mesma área. Beleza? Vamos ligar aí os vértices que são opostos. Olha só, quando a gente ligar esses vértices opostos, a gente tem aí a divisão em triângulos com mesma

área. Observe aí que foram formados quantos triângulos? Foram formados exatamente, né, oito triângulos de mesma área. Beleza? Os triângulos que eu estou considerando são esses aqui, ó, esses triângulos. Agora também observe que aí em relação, né, ao Nosso octógono, ele tem 16 cm² de área. Se eu dividi-lo aqui em oito triângulos de mesma área, eu posso fazer tranquilamente 16/ 8. Então, cada triângulo vai ter 2 cm² de área, beleza? Então aqui eu já tenho dois, aqui eu já tenho dois. Só que se você observar essa partezinha aqui, ó, que está, ela é só metade do

triângulo, beleza? É metade da área. Por quê? Ele fala na questão que esse mzinho é ponto médio. Beleza? Então, divide aí O nosso triângulo em duas partes iguais, logo, né, em duas áreas iguais. Então essa parte amarelinha aqui, ela equivale a 1 cm², beleza? Então a gente tem 2 cm² de cima, 2 cm² desse daqui, mais 1 cm², totalizando então 5 cm² de área logo no nosso gabarito, meu povo. Isso aí alternativa aqui, letra B. Então, primeira questão finalizadíssima. Vamos lá pras nossas próximas questões. Vem comigo. Fala, galera. Professor Bruno Lima, vem comigo. Vamos fazer

a Resolução da nossa segundíssima questão. Olha só o que diz: "Uma folha retangular de papel de perímetro igual a 50 cm foi dobrada ao meio de duas maneiras diferentes, como mostra a figura. É essa daqui e essa aqui abaixo. Beleza? Em uma delas, o o perímetro da folha dobrada é de 35 cm. Qual o perímetro da folha dobrada? Da outra maneira, galerinha. Olha só, primeira coisa que a gente pode notar, né? Se a gente chamar aqui a nossa folha original de dimensões, né, Esse retângulo de dimensões X e Y, beleza? Observe uma coisa interessante, não

importa qual seja o tipo de dobradura, sempre aí a gente vai perder uma das dimensões. Por, ó, se você observar essa dobradura aqui, o nosso X ainda permaneceu a mesma dimensão, mas o nosso Y, né, ele foi partido ao meio porque a dobradura é ao meio. Beleza? O que significa que eu tenho aqui y e aqui em cima também y, ou seja, o perímetro vai ficar 2x + y. Ou seja, perdeu uma Dimensão Y. Mesma coisa acontece na de baixo, ó. Aqui vai ser o nosso Y, né? Vou até mudar a cor. Olha só, aqui

é o nosso Y. Aqui é o nosso Y. Só que a parte do X, ela perdeu, né? Perdeu aí metade da dimensão. Aqui, ó, esse lado é X/ 2 e aqui é X/ 2. Beleza? Então, nosso perímetro vai ser 2y + X. Perdeu uma dimensão X. O que significa na prática? Não importa qual a dobradura que a gente faça, sempre está perdendo uma dimensão. Então, a nossa figura original que Possui perímetro 50, quando eu subtraí da nossa figura dobrada da questão, né, que é exatamente 35, aqui esse 15 refere-se a uma das dimensões. Pode ser

a dimensão aqui que a gente perdeu de Y ou pode ser a dimensão que a gente perdeu de X. Como a gente vai fazer isso? Vamos testar lá nossa figura original. Será que é o nosso Y? Então, será que eu colocar o 15 aqui e o 15 aqui? A gente vai ter aí o nosso 50, vai, né? Com 10 aqui, 10 aqui. Observe Que 15 é a maior dimensão mesmo. Beleza? Então, quanto vai ficar cada um dos perímetros? Vamos lá, né? Observando a primeira dobradura aqui, ó, a largura ainda permanece a mesma. Então, aqui vai

ser 10 e aqui 10. Só que em cima, né, vai ficar 7,5. embaixo também 7,5, totalizando aí 35, que é o perímetro da nossa questão. E a de baixo a gente vai ter o quê? 15. 15. Só que o 10 ele vai virar C, né? Cinco de cada lado. Então a gente vai ter exatamente aí 30 + 10, 40. Então significa que o perímetro da outra dobradura sem contar de 35 é exatamente igual a 40. Nosso gabarito aí, meu povo. Exatamente. Letra C. Beleza, finalizamos a nossa segunda questão. Vamos lá pra nossa próxima questão. Fala

galera, professor Bruno Lima, vem comigo e vamos fazer a resolução da nossa terceira questão do nível dois. Olha só o que diz meu povo. Uma moto percorre 1 km/ deve ser aumentada a sua velocidade para ela percorrer 1 km em 40 segundos? Então, olha só, basicamente a gente tem 1 km por 60 segundos, que é 1 minuto, e temos 1 km por 40 segundos. a gente tem que fazer a comparação entre essas duas grandezas, né? Então a gente vai ter exatamente aqui a nossa velocidade dois sobre a nossa velocidade um. Que é a nossa velocidade

dois? 1 km/ 40 segundos. Nossa velocidade 1, 1 para 60. Divisão de fração faz o quê? Pega a primeira fração, né, que é 1 sobre 40 e multiplica pelo inverso da segunda. 60/ 1. Ficou então aqui, ó, 60/ 40. Cortou, cortou. 3/ 2, ou seja, o nosso V2 sobre V1 é exatamente 3/ 3/, né, é 1,5, né? Vou colocar aqui, ó, 1,5. Passo V1 que está dividindo, passa multiplicando. Então, a nossa velocidade 2 tem que ser 1,5 da velocidade 1. E 1,5, né, é exatamente 50% a mais. Então significa que aqui no nosso gabarito, meu

povo, isso mesmo, alternativa letra E. Beleza? Uma questão bem tranquila, eu tenho certeza que você Acertou. Vamos lá, continuando pra nossa próxima questão pra galera. Professor Bruno Lima, vem comigo e vamos fazer a resolução da nossa quarta questão aqui do nível dois. Olha só o que diz, meu povo. Marcelo escreveu os números de um a oito, um em cada círculo da figura, de modo que os círculos conectados por segmento não apareçam números consecutivos. Beleza? Quais números ela escreveu nos dois círculos destacados em cinza? Galerinha, olha só uma coisa Importante que a gente tem aqui a

comentar sobre essa figura. Se você observar, esse círculo e esse círculo estão conectados a todos os círculos, exceto as pontas. Claro, né? Esse aqui não está conectado nessa ponta e esse não está conectado nessa ponta aqui. O que significa? Quando a gente analisa de 1 a oito, os únicos números, né, que não tem mais de um consecutivo é o um e o próprio oito, né? O oito é o consecutivo de sete e o um possui o consecutivo Dois. O que significa na prática que aqui nesses elementos que estão aqui, ó, no centro, né, basicamente a

gente vai ter que colocar esses extremos, certo? Então a gente vai ter que colocar o um e o oito. Professor, importa 81 um ou 1 e oito? Não importa. Beleza? Por quê? Porque se eu colocar o um aqui, observe que tranquilamente eu posso colocar aqui o meu dois. porque ele não vai estar ligado a um. Todos os outros ciclos estão ligados a ele, beleza? E da mesma Forma o oito, né? Se eu colocar o oito aqui, eu posso tranquilamente colocar aqui o meu sete. Então observe que quem ficou aí nos círculos cinzas foi os números

7 e 2 ou, né, do e 7 gabarito, meu povo. Alternativa letra B. Deixa aí nos comentários se você acertou essa questão ou não e não se esquece de se inscrever no canal, deixar seu like e compartilhar o vídeo, beleza? Vamos lá pra nossa quinta questão agora. Fala galerinha, professor Bruno Lima, vem Comigo. Vamos fazer a resolução da nossa quinta questão aqui do nível dois, questão da formiguinha, beleza? Muito famosa. Vamos lá. Olha só, a formiguinha da UBMEP partiu do vértice A e caminhou por três arestas consecutivas do cubo. Em quantos vértes diferentes desse cubo

a formiguia pode ter chegado? Galera, vamos lá, né? Observe que quando ela parte aí do vértice A, ela tem três possibilidades, três opções de chegar. Ela pode chegar no vértice D, no vértice B ou no vértice E primeiramente, né? O que a gente vai fazer? A gente vai pegar cada um desses vértices e vamos fazer uma análise separada, beleza? Primeiro vamos considerar o nosso vértice B. Então, ó, ela partiu de A para B. Beleza? Quando ela chegou ao vértice B, ela pode ir para quais vértices? Ela pode ir para o C ou para o vértice

F, né? E a partir de cada novo vértice aí do C ou do F, ela tem mais duas possibilidades. Aqui do C, ela pode ir Para o D. Então, chegou no seu último vértice, né? Então, o D é uma das possibilidades. Mas se ela chegou no C, ela também pode ir para o G, né? Então aqui o G é outra possibilidade. Só que ela pode não ter ido para o C. Ela pode aqui, ó, chegar e ao invés de ir para C, ir para o F, né, como o seu segundo caminho. Aí a partir do

F, vamos lá, né? A partir do F, ela pode ter ido para onde? A partir do F ela pode ter ido para o G, OK? Mas o G já tem, né? Então, Tranquilo. Ou para o E, né? O E não tem, vamos colocar aí. O E é uma possibilidade também que ela pode chegar. Beleza? Com isso, a gente finaliza, né? Considerando ela indo inicialmente de A para B. Ok? Agora a nossa análise vai para onde? Vamos aqui, ó. Por exemplo, se for de A para D, que é um outra uma outra possibilidade. Se ela for

para D, observe que chegando em D, ela tem a possibilidade de ir para o C ou para o H. Beleza? Se ela for para o C, ela vai acabar indo para os vértices B ou G. Só que o G já tem, né? Então, a gente coloca aqui o vértice B. Beleza? Ah, OK. Mas se ela não for para o C, ela estaria no H, né? Do H, ela chegaria no G ou no E. Só que esses dois aqui já tem, então não precisa a gente colocar. Beleza? Aí, considerando, claro, né? Indo de A para D.

Agora falta a última aqui possibilidade. Se ela for, na verdade, de A para E inicialmente, aí de E ela tem a possibilidade de ir para F Ou de ir para G. E do F, né? Ela pode ir para o B e para o G, só que já tem. Mas se ela não for pro F, vai pro H, né? Que do Hib ou para o D, que aqui, né, G e D também já tem. Então observe que aqui agora sim a gente buscou todas as possibilidades e essas possibilidades sempre caem aqui nesses quatro vértices. Então aí

a nossa resposta, meu povinho, em quantos vértices diferentes ela pode ter chegado? Em exatamente quatro Vértices gabarito. Isso aí alternativa letra D. Beleza? Finalizamos a nossa quinta questão. Deixa aí nos comentários se você acertou ou não. Se inscreve no canal, não se esquece, né? Deixa seu like e compartilha. E vamos lá pra nossa sexta questão. Fala galera, professor Bruno Lima, vem comigo. Vamos fazer a resolução da nossa sexta questão do nível 2 da UBMP 2025. Olha só o que diz, meu povo. Darlen colou 36 adesivos redondos e pretos de tamanhos Diferentes, pequenos, médios e grandes,

nos centros dos quadradinhos e um quadriculado, ó, 6x, desenhado em um papel transparente. Depois de colar, Darlen dobrou o papel duas vezes, sobrepondo exatamente as partes dobradas. A figura mostra como ficou o papel dobrado, que é essa figurinha que está aqui. Qual é o maior número de adesivos de tamanho médio que da Lene pode ter colado? Primeira coisa aqui, ó. Em cada um Desses quadrados, quantos adesivos há? Beleza? A primeira coisa que a gente vai comentar é sobre isso aqui, ó. Em cada um desses quadrados aqui, ó, pequeno que eu estou destacando, há quatro adesivos,

né? Porque aqui a gente tem nove adesivos. e vezes 4 dá o nosso 36. Beleza? Então, em cada quadradinho há quatro adesivos, beleza? Não necessariamente todos do mesmo tamanho, mas há quatro adesivos. Observe que é impossível ter um adesivo médio Aqui, aqui e aqui, porque senão haveria a sobreposição, né? Já que aqui o nosso papel é transparente. Beleza? Então eu tenho certeza que não tem adesivo médio aqui, aqui e aqui, porque senão daria pra gente sobrepor, a gente conseguiria visualizar. Agora observe que há a advisivo médio nessa, nessa e nessa casa, né, nesses quadrados aí,

quantos há? Beleza? A gente pode ter adesivos médios e pequenos, mas como ela quer saber o maior número de adesivos, a Gente vai considerar quantos? Vamos considerar quatro. Beleza? Então, a gente já tem quatro aqui, quatro aqui e quatro aqui adesivos médios. Além disso, nessas posições, vou vou até trocar a cor. Olha só, nessa posição, nessa e nessa, pode haver também adesivos médios. Quantos no máximo? Três. Por quê? Porque um deles já é o nosso adesivo grande, certo? Então o máximo, né, o maior número possível que pode haver nessas posições em azul são Exatamente três

adesivos médios em cada uma das posições. Então a gente tem aqui, ó, 4 x 3, né? 4 x 3, que dá 12 + 3 x 3, que são dos grandes, né, que dá 9. Totalizando, então, né, 21, no máximo poderia ter 21 adesivos médios. Gabarito, meu povo. Isso aí. Alternativa letra E. Deixa aí nos comentários se você achou essa questão média, fácil ou difícil, né? E me segue para mais resoluções. Vamos lá pra nossa próxima questão. Questão sete é a nossa próxima. Vamos lá. Fala, galera. Professor Bruno Lima, vem comigo. Vamos fazer aqui a resolução

da nossa sétima questão do nível dois. Olha só o que diz, meu povo. Maria coloca inicialmente o número um nos quadradinhos do quadriculado 3 por 3, como na figura um, que está aqui, né? Depois ele escolhe quatro quadradinhos com o mesmo vértice comum e multiplica os quatro números desses quadradinhos por um mesmo valor. Após fazer isso algumas vezes, os números do Quadriculado ficaram como na figura dois, que é justamente essa figura aqui. E a pergunta, olha só, qual o valor de x? Beleza? Uma coisa importante, né? Quando ela fala aqui, ó, que vai multiplicar os

números que tem aqui dos quadradinhos que tem o mesmo vértice, basicamente ela tá falando aqui, ó, dos subtabuleiros 2 por 2, beleza? Esse, esse aqui, esse e esse outro. Beleza? Agora, note uma coisa interessante, né? sempre o nosso quadradinho que está no Meio, ele faz parte de todos os subtaboleiros 2 por do. Ou seja, não importa em qual desses daqui eu esteja multiplicando, sempre o do meio será multiplicado. Tanto é que por isso que ele é o maior valor aí. Beleza? Vamos trazer aqui um tabuleiro maior, OK? Observe que aqui no canto superior direito a

gente tem um três, né? Então significa que esse subtabuleiro foi multiplicado por três, né? Então aqui a gente tem um 3. Logo no meio eu tenho Aqui um fator 3, né? 1 x 3. Beleza? OK. Observe também que nesse subtaboleiro aqui, ó, a gente tem aqui um vezes 15, né? Mas um fator 15. Então o que significa? Que o meu elemento 2025 aqui também no meio, ele também possui um fator 15. Então aqui, ó, também teve 1 x 15. Beleza? 1 x 15. Por que eu tô colocando esse xz 3 x 15? Porque se você

observar nesse subtaboleiro aqui, ó, onde a gente contém o nosso x, que está nessa Posição, né, ali, ó, se você observar no meio está também o vezes 3 e o x 15, OK? Então, a gente já tem aí basicamente o quê? 3 x 15 já tem 45, né? Então observe que o meu 2025, eu vou pegar aqui, ó, o meu 2025, ele é o meu 3 vezes o meu 15 vezes um valor x, que eu não sei quanto é. Eu vou colocar o a multiplicação como sendo um pontozinho, beleza? Então aqui, ó, é o meu

3 vezes o meu 15 vezes o valor X, que é justamente o valor que a gente tem Nesse outro subtabuleiro, que é o valor que a gente precisa poder formar. Então aí a gente pode resolver agora essa equação, né? Uma equação bem simples e tranquila, né? 3 x 15 aqui dá 45, passa dividindo, né? Então o nosso x vai ficar 2025 dividido por 45, que é igual a exatamente 45. Então, nosso gabito aí, meu povo, exatamente alternativa letra A. Beleza? Finalizamos então a nossa sétima questão. Vamos lá pra nossa próxima questão. Fala galera, Professor Bruno

Lima, vem comigo e vamos fazer a resolução da nossa oitava questão do nível dois. Olha só o que diz, meu povo. Com os algarismos A e B, foram formados os números de dois algarismos AB, BA e BB. Se AB + BA = 121, AB - BB = 10, qual o valor de A? Basicamente isso, né? Primeira coisa, né? Toda vez que a gente tem um número de dois algarismos, a gente pode decompor ele em dezenas e unidades. Como assim? Se eu tiver 28, eu posso decompor Em 20 + 8, né? E a gente vai fazer

justamente isso, que na verdade esse 20, né? é 10 x 2, ou seja, é 10 vezes o dígito. Beleza? A gente vai fazer justamente isso aqui. O nosso AB + BA, ele pode ser decomposto assim, ó. O nosso AB ele é 10a + b, beleza? Dezena e unidade. E o nosso BA ele é 10B + A, ficando aqui igual a 121. OK? Agora vamos manipular isso aí, né? Observe que aqui, ó, 10a + a vai ficar 11a e b + 10b fica 11b. Beleza? Igual a Nosso 121. Coloca o 11 em evidência. Então a gente

ficou com 11 a + b = 121. Faz o que agora passa esse 11 dividindo, né? Então a gente tem que o nosso a + b = a 121/ 11, que é o próprio 11, certo? Primeira equaçãozinha que a gente tem é essa. A + b vale 11. Vamos utilizar o mesmo raciocínio lá para o nosso AB - BB. Beleza? Se você observar, a gente tem aqui, ó, AB - BB = 10, não é isso? Decompõe aí esses números. Então vai ficar 10a + b para o Primeiro -b + b = 10. Beleza? É claro

que 10b + b dá 11b, né? Então ficamos com 10a + b - 11b = 10. Observe que aqui a gente tem b - 11b, né, que vai dar - 10b. Então a gente vai ficar aqui na prática com 10a -b = 10. Coloca o 10 em evidência, vai ficar 10 que multiplica a - b = 10. Passa esse 10 dividindo. Então a gente vai ter que o nosso a - b = a 1. Beleza? Agora se você observar, a gente tem um Sistema, na verdade, né? A + b = 11 e a - b

aqui, ó, = 1. Vamos resolver esse sistema. Vem comigo. Eu vou pegar tudo isso aqui e vou diminuir, deixar pequenininho ali do lado. Olha só. Vamos pegar isso aqui, deixar aqui. Beleza? Agora a gente tem espaço, né? Vamos resolver esse sistema, né? A + B = 11 e A - B = 1. A gente pode resolver pelo método da adição, né? Aqui a gente tem, ó, a + b = 11 e a - b = 1. Soma as duas equações. A gente vai ter 2a, tchau b Com tchau b = a 12, né? Passo dois,

então o nosso a é igual a 12/ 2, que dá 6. Com isso, né? Qual o valor de a? O a vale 6. Gabarito aí, meu povo. Exatamente. A nossa alternativa B. Beleza? Lembrando, preparatória para essa Olimpíada. Primeiro link da descrição. Não se esquece de se inscrever no canal, deixa seu like, compartilha o vídeo e eu te vejo na nossa nona questão. Vamos lá. Fala galera, professor Bruno Lima, vem Comigo. Vamos fazer a resolução aqui da nossa nona questão. Olha só o que diz, meu povo. Elisa pega uma folha quadrada de papel e a dobra

ao meio quatro vezes sem desdobrá-la, obtendo sempre triângulos isósceles, retângulos a cada dobradura. Aqui está, né, o que ela faz. Beleza? Continuando aqui abaixo aqui que a gente tem, ó, após desdobrar o papel, qual figura que representará as marcas das dobras na folha? Primeira coisa, né, se a gente observar, a gente tem um Quadrado, certo? E ela inicialmente dobra ao meio, né? Então, ó, ela dobra, fica exatamente a marca da folha nessa posição. Depois ela dobra ao meio de novo na outra diagonal. Então, a gente vai ter exatamente essa posição aqui de dobra. Beleza? Observe

que aqui, ó, agora ela dobra ao meio nosso triangulozinho, né? Então, formando aqui essa dobrazinha, beleza? e essa dobrazinha aqui. E depois, né, ela dobra mais uma vez, formando aí, né, a última Dobrazinha, que é justamente para cada triangulozinho menor. Beleza? Então aí, ó, ficando com essa dobradura. Essa dobradura, se você observar, né, tranquilamente aqui a nossa alternativa letra B. Beleza, galera? Outra coisa, né? Outra maneira de você pensar aqui nessa dobradura é também pensar que a cada momento que ela dobra, a quantidade de triângulos também dobra, certo? Então aqui, ó, a gente tem dois

triângulos, aí dobrou x 2 4 x 2 8 x 2 16. Então, na prática, ela vai ter 16 triângulos. Então, não pode ser letra C, não pode ser letra E, não pode ser letra D. Ficaria entre A e B. E depois, né, de acordo com as dobraduras, você iria basicamente verificar que a nossa alternativa B é a nossa alternativa correta. Beleza? Então, nona questão finalizadíssima. Vamos lá pra nossa próxima questão. Fala, galera. Professor Bruno Lima, vem comigo. Vamos fazer a resolução aqui da nossa 10ma questão do Nível dois da UBMP 2025, beleza? Lembrando, né, preparatório

completo para essa Olimpíada, primeiro link da descrição, beleza? Vem comigo e vamos fazer leitura e resolução. Olha só, Emiliano fez uma lista de números inteiros em ordem crescente, começando com o zero e terminando com aqui o 2025, utilizando apenas, ó, 0 2 e 5. Então ele utilizou somente esses algarismos. Beleza? Aqui estão, né, basicamente alguns dos números que ele escreveu. E a Pergunta é: quantos números Emiliano escreveu? Galera, aqui a gente pode tranquilamente estar utilizando o princípio multiplicativo para poder calcular o total de possibilidades, beleza? Então vamos começar aí com números de um dígito. Números

de um dígito ele tem, né, três possibilidades. Pode ser o zero, o dois ou cinco. Então aqui ele tem [Música] três Possibilidades. OK? Vamos agora então para números com os dois dígitos. Número com dois dígitos. Observe que no primeiro dígito aqui ele não pode utilizar o zero, beleza? Então ele tem somente duas possibilidades, mas para o segundo número, né, pro segundo dígito, ele pode utilizar o zero, inclusive o dois ou cinco. Então tem três possibilidades, totalizando então aqui em seis possibilidades, beleza? Para números de dois dígitos. Vamos passar Então para os números agora de três

dígitos, né? Então, ó, 1 2 3. Vamos fazer aqui da mesma cor para ficar iguazinho, ó. 1 2 3. Beleza? Para o primeiro dígito não pode ser o zero. Então, a gente tem duas possibilidades. Ou vai ser o dois ou o cinco. Então, duas possibilidades. Para o segundo número pode ser zero, então a gente tem três possibilidades. E para o terceiro número também pode ser zero. Então, a gente também tem três possibilidades. Totalizando em quantas aqui, ó? Em 18 possibilidades, né? Agora observe que partindo para os números de quatro dígitos, ele não termina todos os

dígitos, né? Então é mais fácil a gente pegar aqui e fazer na mão. Olha só, quem é o primeiro número de quatro dígitos? É o nosso 2000. Beleza? Quem é o o próximo seguindo a sequência em ordem crescente? É o 2002, depois 2005, depois 2020, depois 2022. E aí, chegando no 2025, então observe que com quatro Dígitos ele tem seis possibilidades, beleza? Totalizando quantos então aqui, ó, 6 + 18 + 6 + 3. Totalizando então 33 possibilidades, meu povo. Gabarito é isso aí. Alternativa letra B. Deixa aí nos comentários se você assistiu essa questão, fácil,

média ou difícil. E vamos lá passando para a nossa próxima questão. Te vejo lá na questão 11. Fala galera, professor Bruno Lima vem comigo e vamos fazer aqui a resolução da nossa 11ª questão do nível dois. Olha só o que Diz: Michel tem hoje R$ 100. Ao final de cada mês, ele pode escolher entre aumentar o valor que tem em R$ 250 ou dobrar o valor que tem. Beleza? Qual é a diferença em reais entre o maior e o menor valor que ele poderá ter ao final do quarto mês? Então aqui, ó, a gente tem

que pensar na verdade na melhor e na pior possibilidade, beleza? Pior e na melhor escolha que ele vai ter ao longo aí dos 4 meses. Então, é, inicialmente ele tem R$ 100, né? Vamos Fazer aí basicamente quem são os próximos valores nas melhores escolhas. Observe que aqui com R$ 100, se ele dobrar, né, ele ficaria com 200. Mas se ele aumentar em 250, ele fica com 350. Então a melhor opção é ficar com 350, que é aumentar 250. Beleza? A partir do momento agora observe que se ele dobrar, ele fica com 700. E se ele

aumentar 250, ele vai ficar aqui com 600. Então é melhor dobrar, né? Então vai ficar 700. E a partir desse momento sempre vai ser Melhor dobrar. Beleza? Então no terceiro mês vai ficar com 100 e no quarto mês com 2800 só dobrando. Beleza? Essa aqui é a melhor escolha possível. E a pior escolha, né, o que vai ser? Basicamente, vamos lá fazer agora a pior escolha. Ele tem aqui, claro, né, os R$ 100 iniciais. Aí, ó, a pior escolha seria dobrar inicialmente, né? Dobrando, ele vai ficar com quanto? Vai ficar com 200. Beleza? A partir

do momento agora para esse próximo mês, ele pode dobrar Ficando com 400 ou ele pode somar 250 ficando com 450. Como a gente quer a pior situação, a gente vai dobrar para ficar com valor menor. Então vai ficar com 400 e não 450 que ficaria aí, né? A partir desse mês, observe aí que se ele dobrar, ele fica com 800 e se ele somar 250 ele vai ficar com 650 aqui, né? Então, a pior situação é somar 250 ficando com 650 e depois somar novamente, né, 250 ficando com 900, porque dobrar ia ficar um valor

bem Maior. Então, na melhor situação, ele fica com 2,800 e na pior situação, ele fica com 900. E a diferença, né, é a subtração entre esses valores. Então, a gente pode fazer 2800 - 900 que dá exatamente 1000. 900. Então a diferença em reais é 1900. Gabarito aí, meu povo. Alternativa letra E. Beleza? Finalizada a questão 11. Vamos lá pra nossa próxima questão. Te vejo lá. Fala, galera. Professor Bruno Lima, vem comigo e vamos fazer a Resolução da nossa questão 12 do nível dois. Olha só o que fala, meu povo. Na figura ABCD é um

retângulo. Os pontos MN são pontos médios dos lados e BC. As áreas dos triângulos azuis são 12 e 5 e 10. Qual a área do triângulo amarelo? Primeira coisa aqui, galera, olha só, analisando que m e n é o ponto médio, significa que quando a gente dividir, ou seja, criar esse segmento, basicamente está dividindo a área do retângulo em duas áreas iguais. Beleza? A área desse Retângulo aqui acima é exatamente a mesma área desse retângulo que está aqui abaixo. Belezinha? Agora, beleza, se as duas áreas são iguais, agora a gente vai olhar esse triângulo branco

em cada um dos retângulos que eu dividi. Beleza? Observe que esse triângulo branco aqui que eu estou pintando, né, como a gente calcularia a área dele? Seria a base, que no caso é MN, né, ou AB, que é a base do retângulo, vezes a altura, que a altura aqui, ó, é o próprio BN, né, que É a metade da altura do nosso do nosso retângulo. Beleza? Agora observe também o triângulo que está abaixo, né? O triângulo que está abaixo, se a gente fosse calcular a área, faria também base, que é mn vezes a altura aqui,

ó, que também é a metade do retângulo, né? E dividido por dois, claro, né? Então, observe que na prática esses dois triângulos brancos, ele possuem eles possuem a mesma área, beleza? A área do triângulo aqui que está acima exatamente A mesma área do triângulo que está abaixo, porque eles têm as mesmas bases e as mesmas alturas. Beleza? O que significa na prática que se esse retângulo de cima tem a mesma área do retângulo de baixo e a parte branca é a mesma área, então a parte colorida também será a mesma área. Beleza? Qual é a

parte colorida que está acima? é 12 + 5 que dá 17 aí de área. Beleza? E qual a área colorida que está abaixo? É a minha resposta + 10. Só que a minha resposta + 10 também tem que dar 17 para ser a mesma área. Logo, o meu x, que é a minha resposta, tem que ser quanto? Isso mesmo, tem que ser sete. Então, nosso gabarito aqui, meu povo, alternativa letra B. Beleza? Questão aqui 12 finalizada. Deixa nos comentários se você achou ela fácil. média ou difícil? E claro, né? Se inscreve no canal, deixa o

like, compartilha e vamos lá para a nossa 13ª questão. Vamos simbora. Fala galera, Professor Bruno Lima, vem comigo e vamos fazer a resolução aqui da nossa questão do relógio da UBMAP 2025, questão 13 do nível dois. Beleza? Olha só o que diz essa questão, meu povo. A cor de cada número de um relógio alterna de preto para branco ou branco para preto, cada vez que qualquer de um dos ponteiros aponta para a marca da hora que esse número representa no relógio. Então, qualquer um dos ponteiros pode ser o ponteiro dos minutos ou ponteiro das Horas.

Beleza? Continuando aqui, ó, à meia-noite todos os números ficam pretos e depois a alternância de cores começa. Na figura vemos aí as cores dos números de relógio em alguns horários. Aqui a gente tem, né, a meia-noite, que é basicamente, né, todo mundo aí preto. A meia observe que de 1 a 6 ele está branco. Por quê? Porque o ponteiro dos minutos ele foi andando, né? Ele vai passando pelos números e vai trocando a cor dos números. Beleza? E aqui a 1 hora 40, né, a gente tem somente essa parte aqui branca e todos os números

que estão abaixo pretos. Beleza? Vamos lá ver o que a nossa questão quer, ó. Como estarão as cores dos números às 3:30? Beleza? 3:30. Vamos fazer o quê? Vamos dar um zoom aqui pra gente poder analisar direitinho, beleza? OK. Vamos analisar aqui. Primeira coisa, né? Observe que a 1 hora 40 a gente tem essa configuração, beleza? Como ficou como ficaria a configuração às 2 horas? Ó, eu Vou fazer a configuração nesse daqui, beleza? Às 2 horas, observe que inicialmente, né, o ponteiro dos minutos, ele estaria passando aqui para o 9, 10, 11 até chegar no

12, certo? E o ponteiro das horas iria exatamente para o dois. Então, quando ele for passando para o 9, 10, 11, 12, esses números aqui vão ficar pretos, beleza? Então, a gente vai ter basicamente, ó, todos os números pretos, exceto ou um, porque ele ainda não passou para o minuto cinco, né, que Ele tá lá no 12. E exceto também o dois, que ele vai virar branco. Beleza? Por que ele vai ficar branco, professor? Porque quando a hora, né, o ponteiro das horas bater no dois, que ele está preto, ele vai ficar branco. Beleza? Então

aqui vai ficar branco, aqui vai ficar branco e todos os outros vão ficar pretos. Beleza? Vou colocar aqui, ó, preto, preto, preto, preto. Tudo isso aqui, ó. Tranquilo? Todos aqui. Cor preta. Ok. Agora esse relógio está às 2 horas. Beleza? Essa é a configuração aqui de 2 horas da manhã, certo? Vamos continuando aí. Beleza. Agora, qual seria a configuração de 3 horas? OK. De 3 horas. Observe, né, que basicamente o nosso ponteiro aqui dos minutos que estaria apontando para o 12 em 2 horas, né, aqui ele já iria para o cinco. Aí o cinco, né,

que é o número um, 5 minutos, ele de branco ele já vai ficar o quê? Preto, né? Então aqui já fica preto, beleza? E depois, né, seguiria normalmente Alternando todas as cores, beleza? Então, ó, passando para as 3 horas, ele vai trocar a cor de todo mundo. Então, esse 2 minutos aqui, né, o 10 minutos, que é o dois, de branco, vai ficar preto e todos os outros aí vão ficar o quê? Vão ficar brancos, né? Então aqui a gente vai ter tudo agora branco, porque o meu ponteiro aqui dos minutos, ele vai dar uma

volta completa, beleza? Então, a gente vai ter aqui, ó, branco, branco, branco, branco, branco, branco. Tudo Aqui branco, ó. Tá vendo aí, ó? Branco, branco. Só que quando ele chegar aqui no 12, aí o 12 vai ficar branco, o que vai acontecer com o nosso três? O nosso nosso três de branco vai para preto. Por que vai parar preto, professor? Porque o ponteiro aqui das horas, ele vai bater no três, beleza? Então ele vai ficar preto. Então essa é a configuração. Olha só, essa configuração aí é a configuração de 3 horas, OK? 3 horas. Essas

são as configurações de cores. O Que a gente vai fazer agora? A gente vai fazer a configuração de 3,5, que é basicamente pegar o nosso ponteiro 2 minutos e girá-lo até o seis. Beleza? A gente vai fazer isso agora. Então vamos lá. Quando ele for girando até o seis, né, ele vai trocar todas as cores dos números que estão aqui, ó, do um ao seis. Beleza? Vai trocar todas essas cores. Então, ó, basicamente a gente vai ficar com esse preto aí do um, vira branco aqui, ó. O do dois que é preto Vira branco. O

do três que é preto, vira branco. O do quatro que é branco vira preto. O do cinco que é branco vira preto. E o do seis que é branco, né? Aqui vira preto. Então essa aqui é a configuração de 3 horas. E se você observar, todos os elementos são brancos, exceto o quatro, o cinco e o seis. Beleza? E se a gente observar, né, nas nossas alternativas, olha só, todos os elementos brancos, exceto 4, 5 e se é o nosso gabarito aqui, ó, alternativa B. Então, é a nossa resposta dessa questãozinha, beleza? Então, aqui, ó,

questão 13 do nível dois, finalizadíssima. Vamos lá, seguindo para a nossa próxima questão. E deixa aí nos comentários, né, você achou essa questão fácil, média ou difícil. E claro, né? Não se esquece de se inscrever no canal, segue para mais e compartilhe o vídeo. Vamos lá paraa nossa 14ª questão. Fala galera, professor Bruno Lima, vem comigo e vamos fazer a resolução aqui da nossa Questão 14 do nível 2 da UBMEP 2025. Olha só, um número é balanceado se quaisquer dois algarismos consecutivos desse número [Música] diferem duas unidades, né? 446 de 4 para 6 diferem duas

unidades e 532 também não são, né, balanceados. E a pergunta é: quantos são os números balanceados de três algarismos? Galerinha, olha só, primeiro a gente pode começar a pensar, né, um número Genérico, por exemplo, aqui A, B, C de três algarismos. Beleza? Note que o nosso elemento B, né, ele depende diretamente aqui do A, por sempre ele vai ser um a mais, uma menos, né, ou somar zero, né, que vai ser o mesmo número, não tem problema nenhum, beleza? tem que diferir eh basicamente no máximo uma unidade. Ó, ó, a diferença entre eles tem que

ser no máximo uma unidade, ou seja, pode ser nula também a diferença, certo? Então é no máximo uma Unidade. Então o nosso B na verdade, né, é o nosso A + 1 ou A + 0 ou A - 1. Agora, só que tem um problema, né, aqui se o nosso A ele inicialmente ele for, por exemplo, 1 ou 9, né, já que o nosso C também depende do B, porque o processo do C é o mesmo processo do B. Beleza? O nosso C é o nosso B + 1 ou nosso B + 0 ou nosso

B - 1. Porque tem um problemazinho. Se o nosso A for 1 ou 9, né, até mesmo o nosso oito, né, um caso específico onde a gente soma o B, soma 1 E o C também soma 1, aí daria 10. Não seria basicamente um valor de de três dígitos, né? Então a gente tem que tomar cuidado com esses pedaços, beleza? esses esses números específicos. Então o que a gente vai fazer? Primeiramente a gente vai calcular o a sendo de 2 a 8. Beleza? Então vamos lá. Vamos calcular inicialmente. Vou colocar tudo isso aqui, ó, para

cima. Vamos calcular inicialmente o nosso A sendo de 2 a 8. Aqui a gente pode utilizar Tranquilamente, né, o princípio multiplicativo, OK? Quantas possibilidades a gente tem? A gente vai ter sete possibilidades, né, vezes os nove valores. Beleza? E claro, né, se o nosso A for 8, eu não posso considerar a possibilidade de o B for + 1 e o C for mais 1. Eu não posso considerar essa possibilidade. Então, desse princípio multiplicativo, eu tenho que tirar essa possibilidade, beleza? Então, eu tenho que tirar um. Então, a gente vai ter Exatamente aqui, então, 63 -

1, eu tenho 62 números já, OK? Já tenho 62 números que são aí balanceados. Isso aqui desconsiderando que o nosso A é 1, né, ou nove. Beleza? Agora a gente vai fazer os números que são começando com um e começando com nove. Aqui, como são quantidade pequena, a gente pode listar, beleza? Fazer aqui basicamente os números. Então, quem são os números aqui é balanceados que começam com um e começam com nove? Ó, a gente tem Tranquilamente o nosso 100, beleza? O próximo 101, né? O próximo 110. Então, sempre, ó, diferindo um, né? A diferença entre

um e outros consecutivos é sempre no máximo um, beleza? Depois a gente tem também o 111, né? Também o 112. Temos também o 123. Temos também aí, ó, o 122, que ele pode ser exatamente, né, o mesmo número. 121 também. Além disso, né, se você observar esses daqui, eles são os que começam com um, Não tem mais nenhum, tenta fazer aí. Beleza? E agora, além disso, a gente também tem os que começam com nove, OK? Os números balanceados que começam com nove, eles são, vou botar até outra cor, ó, eles são 999, beleza? Todo mundo

aqui igual 998, diferindo um, né? Temos aí também 988, beleza? Temos 989 e o 987. Beleza? Então, quantas a gente tem aqui no total? Olha só, aqui somando Essas duas categorias, a gente tem 13. Então, temos aí 13 números. Se a gente já tinha 62 mais o nosso 13, reso um total de 75 números. Logo o nosso gabarito, meu povo, isso aí mesmo, gabarito alternativa letra A. Beleza? Uma questão aqui um pouco mais complexa, né, ou não. Deixa aí nos comentários se você achou mais difícil ou mais fácil. E vamos lá, né, continuando pra nossa

próxima questão. Te vejo lá na questão 15. Fala, Galera. Professor Bruno Lima aqui do canal Matemática com Lima trazendo para vocês aqui a questão 15 do nível 2 da UBMAP 2025. Beleza? Vem comigo fazer a resolução e claro, né, preparatório completo para essa Olimpíada. Primeiro link da descrição, beleza? Olha só, as imagens a seguir mostram as vistas de cima e de um lado da estrutura feita com cubinhos iguais. Beleza? Aqui, ó, cima e lado. Qual é o maior número possível de cubinhos que essa estrutura pode ter? Galerinha, olha só. Basicamente, eu posso pegar a parte

de cima, né, e vou projetar aqui em outra figura pra gente ficar entender melhor. Então, aqui a nossa figura. Beleza? Eu vou colocar sempre aqui os números, ó, em cada quadradinho, a quantidade de cubinhos que está basicamente na nossa vertical, beleza? Então, se eu colocar um três, significa que tem três cubinhos empilhados, beleza? Vamos fazer a nossa análise à parte disso e a gente vai Calcular depois a soma de todos os cubinhos, né? Lembrando que é o valor máximo, OK? Observe que aqui a gente tem um dos lados, né? Então eu vou considerar que essa

essa parte é justamente essa parte aqui, beleza? Então aqui seria o nosso lado esquerdo, beleza? Muda alguma coisa, professor? Se eu considerar o lado direito? Não muda nada, certo? Aqui só mais por comodidade. Observe que olhando para o lado esquerdo, né? Aqui a altura máxima É de um cubinho. O que significa que essa parte aqui, ó, essa coluna aqui toda, essa fileira tem um cubinho de altura, certo? Então, na prática, eu só tenho um cubinho nessa posição, um nessa e um nessa. Beleza? Olhando aqui para na parte de cima, né? Observe que no meio não

tem nenhum cubinho, está vazio. Então já vou colocar aqui, ó, zero cubinhos. Certo? Além disso, aqui, olhando para o lado na nossa parte do meio, observe que ele tem altura três Cubinhos. Então, como no meio não tem nada, né? O que a gente pode considerar que a gente quer o máximo de cubos é colocar três cubos aqui na esquerda e três cubos lá na direita, já que a altura é três. Beleza? E aqui, né, na nossa frente, a gente tem a altura dois de cubinhos. E como está tudo completo aqui, a gente coloca dois cubinhos

para cada posição. Então são dois cubinhos, dois cubinhos e dois cubinhos. Por qu a gente tá colocando sempre o maior Número? Porque ele quer aqui, ó, o maior número possível de cubinhos. Beleza? Então, sempre a gente colocar maior quantidade possível aqui pra gente poder fazer essa soma. Então, agora é só somar, né? Aqui, ó, 2 + 2 + 2 dá 6 + 3 aqui, ó, + 3 vai dar 12 13 14 15. Então, nosso gabarito aí, meu povo, alternativa letra E. 15 cubinhos no máximo. Beleza? Questão aqui finalizada. Vamos lá pra nossa próxima questão. Te

vejo lá. Fala, galera. Professor Bruno Lima, vem comigo aqui. Vamos fazer a resolução da nossa questão 16 do nível 2 da UBMP 2025. Olha só o que diz. Diário tem muitas cordas com 2 m cada uma. Quando ele amarra duas dessas cordas, ele obtém nova corda com 3,70 cm. Então, basicamente, o nosso nó, né, ele pega um pedaço de cada corda. Beleza? Vamos lá, continuando a nossa leitura. Se ele quiser uma corda com exatamente 20 m, ele precisará cortar um pedaço da última corda amarrada. Qual o tamanho em metros Desse pedaço? Primeira coisa que a

gente tem que pensar aqui, galerinha. Olha só, peguei duas cordas de 2 m, seriam 4 m, não é isso? Só que eu fiz um nó para poder amarrá-las, fiquei aqui com 3,70 cm. Ou seja, a gente pegou aí de cada corda, né, quantos centímetros? 15 cm de cada corda, certo? Então, nessa amarração aqui, ó, o que fica? A gente vai ter 1,85 para essa corda e 1,85 para essa corda. Significa que a cada nó que a gente for dando, né, a gente aí está Tirando 15 cm de uma corda. Beleza? Só que tem um ponto

interessante aqui. Quando a gente for colocar mais cordas aqui, ó, e amarrar, observe que basicamente, né, a outra ponta da corda também será tirada os 15 cm. Então, as pontas, né, as cordas que são nos extremos, elas ficarão OK com 1,85. Mas as cordas que ficaram no meio, elas não ficarão porque elas terão dois nó, beleza? Terão aqui, ó, dois nós para poder compensar. Então, na verdade, qual Vai ser a medida das cordas que estão no meio? Vai ficar, se é 15 cm para cada nó, né? Vai ficar 1,85 - 15 cm vai dar 1,70,

né? Então, basicamente, a gente vai ter as cordas que estão nas pontas, que é 1,85 para cada um. Então, ó, o desenho ficaria mais ou menos assim, ó. ponta, né, nó e assim por diante. E vamos ter várias, né? Essas daqui, ó, que ficaram na ponta, ela tem 1,85 cada um, certo? Então, já dá quanto aí? Já dá 3,70. Beleza? Mas as que ficarem no Meio, a gente tem que elas medem 1,70, beleza? Então é 1,70 vezes uma certa quantidade de cordas que vão ficar no meio, certo? Então essa expressãozinha aqui, ela tem que dar

um valor maior que 20. Para dar um valor maior que 20, o nosso n, na verdade, tem que ser 10. Observe que n sendo 10, a gente vai ter 3,70 + 17, que aqui vai ficar 20,70. Então observe que como ele quer obter exatamente 20 m, ele vai ter que Tirar esse 0,70, né? 0,70 m. Então ficando aí obviamente claro que o nosso gabarito, meu povo, é nossa alternativa aqui, letra C. Beleza? Com isso a gente finaliza essa questãozinha, questão 16 finalizada. Vamos lá pra nossa próxima questão aqui do nível dois. Fala galera, professor Bruno

Lima vem comigo aqui. Vamos fazer a resolução da nossa questão 17 da UBMP 2025 do nível 2. Olha só o que diz essa questão, meu povo. No tabuleiro 2x3 da figura, em cada Movimento, uma peça pode ser movida na horizontal ou na vertical para casa vizinha vazia. Qual é o menor, olha só, menor número de movimentos necessários para levar a peça vermelha na casa inicialmente vazia, que é esta casa aqui. Beleza? Então, observe que inicialmente a gente pode pensar, né, baixar essa peça ou colocar essa peça aqui para a direita e assim por diante. Como

é que eu vou fazer aqui para vocês entenderem direitinho e ficarem de uma Forma bem mais didática? Olha só, vamos trazer aqui, né, uma peça exatamente aí parecida. Beleza? O os movimentos que eu vou fazer é basicamente movendo os ciclos que estão aí, beleza? E a gente vai querer levar essa peça vermelha para cá. A menor quantidade de movimentos é trazendo ela nessa posição aqui, ó. Beleza? Então, vamos lá. Como a gente pode fazer isso? Inicialmente essa peça aqui, ó, para cá. Então, um movimento, ó. Essa aqui para cá, dois movimentos. A vermelha vai andando,

ó. Três movimentos. Beleza. Agora a gente passa essa para cima. Quatro esquerda. Cinco. Desceu a vermelha. Seis. Olha só. 7 8. E com isso, né, a nossa vermelha chega na casa inicialmente vazia com nove movimentos. Então aqui, ó, claramente a nossa alternativa correta aí, alternativa letra C. Precisamos aí de nove movimentos no mínimo para poder Estar movendo ela inicialmente desse valor dessa dessa casa para essa casa aqui. Beleza? Finalizamos aí nossa correção. Questão 17 finalizada. Vamos lá pra nossa próxima questão. Fala galera, professor Bruno Lima, vem comigo aqui. Vamos fazer a resolução da nossa questão

18 do nível 2 da UBMAP 2025. Olha só o que diz essa questão, meu povo. Um prêmio foi dado a uma de cinco pessoas dispostas em fila. Cada uma delas disse uma da seguinte frase. Quais São as frases? Olha só, a primeira frase é: "Eu não ganhei o prêmio." E a outra frase é: "Quem ganhou o prêmio está na minha frente ou atrás de mim?" Além disso, aqui a gente tem, ó, somente uma delas disso. É verdade. Isso aqui é uma coisa importante, viu? E a pergunta é: qual das seguintes afirmações é verdadeira? Beleza? Então

a gente tem que as outras afirmações são falsas, então a gente vai encontrar um absurdo nas afirmações, certo? Primeiro vamos Fazer o quê? Vamos fazer aqui basicamente a nossa fila, né? Então ó, 1 2 3 4 5 pessoas. Beleza? Aqui eu vou analisar e vou colocar um G para a pessoa que ganharia e N pra pessoa que não ganhou o prêmio, certo? Vamos começar aqui analisando. Olha só a nossa afirmativa B. Ele fala bem assim: "A terceira pessoa ganhou o prêmio." Então eu vou colocar aqui, né, na terceira posição, um G de ganhou o prêmio

e nas outras posições, ó, não ganhou, não Ganhou, não ganhou, não ganhou. Agora observe, né, que cada pessoa vai falar a frase, uma das duas frases. E uma coisa importante nessa configuração é que se você observar, independente do que essa pessoa fale nessa posição, ela estará falando a verdade. Por quê? Se ela falar bem assim, ó, não ganhou o prêmio, é verdade. Se ela falar também assim, ó, a pessoa que ganhou o prêmio está atrás ou na minha frente, também é verdade. E a mesma coisa funciona para essa pessoa. Ou seja, a gente entra em

uma contradição, porque não teria somente uma pessoa falando a verdade, teria duas pessoas falando a verdade. Beleza? Então, a nossa alternativa B já está fora de cogitação. A terceira pessoa não ganhou o prêmio porque senão a gente teria aí um absurdo, né? teria mais de uma pessoa falando a verdade, ok? E a mesma configuração serve que se a gente colocasse aqui, ó, o nosso G na casa 2 ou na casa 4, porque ficaria um N 1 e 3. Então, teria também duas pessoas falando a verdade, um absurdo, ou um N, né, aqui na casa 3

e 5. Beleza? Se o nosso G tivesse na casa quatro, então também seria outro absurdo. O que isso já implica diretamente? Que basicamente a letra D também é tchau, porque a pessoa que ganhou, né, foi a segunda ou quarta. Não, não pode, porque também vai ser um absurdo. E também tchau pra letra A, né? Porque a letra A fala que qualquer pessoa pode ganhar o prêmio. Então não, Na verdade não, as pessoas que estão na posição dois, três e quatro não podem ganhar porque senão cria um absurdo. Teria mais de uma pessoa falando a verdade.

Beleza? Então o que significa? Que as pessoas, olha só, que podem ganhar o prêmio, tem precisam estar na casa um ou casa cinco, beleza? Para poder aí estar basicamente, né, ganhando e cumprindo todos os requisitos. Então, uma das configurações seria o quê, né? Por exemplo, a primeira pessoa ganhando O prêmio, olha só. Então, Ganhou, não ganhou, não ganhou, não ganhou. Beleza? Observe que basicamente nessa configuração tem somente uma pessoa falando a verdade. Ó, essa daqui, ó, essa aqui ela pode falar eh quem ganhou o prêmio está na minha frente ou atrás de mim. falso. Beleza?

Aqui todo mundo, na verdade, pode falar essa segunda frase. Todo mundo. Olha só, se essa aqui falar todo mundo, eh, basicamente que quem ganhou o prêmio Está na frente ou atrás, está falando mentira, né? Então, falso. Esse aqui estaria falando a verdade. Esse aqui estaria falando falso. Esse aqui falso e esse aqui falso. Então, ó, somente uma pessoa falando a verdade. Beleza? Então, o que significa que o nosso gabarito aí, meu povo, segundo nossas análises, né, a pessoa que ganhou o prêmio foi a primeira ou a quinta, gabarita aí, alternativa letra E. Beleza? Então, finalizada

aqui a nossa questãozinha 18, Vamos lá pra nossa próxima questão. Te vejo lá, galera. Professor Bruno Lima, vem comigo aqui. Vamos fazer a resolução da nossa questão 19 do nível 2 da UBMP 2025. Lembrando que preparatório completo para essa Olimpíada. Primeiro link da descrição, beleza? Olha só o que diz essa questão, meu povo. Quantos são os triângulos que podem ser formados com vértice escolhido entre os vértices de um cubo, de modo que nenhum deles esteja contido, ó, em uma das faces do cubo. Beleza? Primeira coisa que a gente pode fazer, né, um modo de resolver,

é você calcular o total de triângulos e depois tirar aqueles que estão, né, nas faces do cubo. Beleza? Então, como a gente pode calcular o total de triângulos? Basicamente, a gente pode fazer uma combinação, né? Quantos vértices tem um cubo mesmo? Tem oito, né? Então, a combinação de oito vértices tomadas três a tr. Beleza? Então, a gente vai ter uma combinação de oito vértices tomados 3 a 3. A gente vai ter então 8 fatorial sobre 8 - 3, que dá 5 fatorial x 3 fatorial, né? Então aqui a gente vai ter 8 fatorial. 8 x

7 x 6 x 5 fatorial. Aqui o nosso 5 fatorial. Tchau. 5 fatorial com 5, né? Ficando o nosso 3, que é 3 x 2 x 1. Beleza? Então aqui, ó, 3 x 2 dá 6, né? Eu posso simplificar o 6 com esse 3 x 2 x 1, que também dá 6, ficando somente 8 x 7, que dá 56. Então a gente tem 56 maneiras, né? 56 triângulos aí, ó. 56 Triângulos. Só que alguns desses daqui, né, eles estão aí nas nossas faces, beleza? Então, quantos estariam em cada face? Olha só, quando a gente tem

um cubo aqui, né, mais ou menos, vou fazer aqui um cubo mais ou menos. Observe que a gente consegue formar quatro triângulos, que é exatamente, ó, um, que é esse daqui que está abaixo, dois, que é o que está acima e agora na outra diagonal, né, 3 beleza? Então, em cada face eu consigo formar quatro Triângulos. Quantas faces tem? Seis, né? Então aqui a gente vai ter 6 x 4 = 24. Então 24 desses triângulos eu tenho que tirar, beleza? Dos meus 56. Logo, o total vai ficar o quê? 56 - 24. E 56 -

24 = 32. Logo, meu povinho, nosso gabarito alternativo aí, letra B, 32. Beleza? Finalizamos aí nossa questãozinha. Vamos lá pra nossa próxima questão e última dessa prova aqui do nível dois. Te vejo lá. Fala, galera. Professor Bruno Lima vem comigo Aqui. Vamos fazer a resolução da nossa última questão da UBEMAP 2025 do nível 2. Isso mesmo, finalizamos aí toda a prova e se você gostou das resoluções, né, deixa o seu like, se inscreve no canal e compartilha o vídeo, beleza? Comenta aí também quantas questões você acertou nesse nível, beleza? E vamos lá fazer a resolução

da nossa última questão do nível dois. Olha só o que diz, meu povo. Em um tabuleiro 6 por K, podemos colocar uma peça 2x3 na vertical Ou horizontal de 76 maneiras distintas. E ele pergunta qual o valor de K. Observe, né, que começando aqui com a nossa peça horizontal, que é essa, né, quantas maneiras eu posso colocá-la nesse tabuleiro inicialmente, né, considerando claro o nosso K. Observe que eu posso colocar ela nessa posição. Uma aqui, ó. Duas, três, 4 c, né? Só que é cinco menos esses Dois, porque a gente tem, né, basicamente uma peça

na vertical, outra horizontal. Então a gente tem quantas possibilidades? 5 x K. Opa, deixa eu arrumar esse K. K - 2. Ok? Essa aqui é a possibilidade da nossa peça aí na horizontal. E na vertical vamos utilizar aqui o mesmo conceito, né? Então a gente pode ter, ó, uma aí depois vai subindo, né? Aqui, ó, subindo 2 3 4. Beleza? Então, a gente vai ter aqui basicamente o nosso 4 x k - 1 Possibilidades. Como a gente tem possibilidades para nossa peça horizontal e vertical, o total de possibilidades que é 76, ele contempla as duas,

né, que é ou, certo? Então a gente vai ter que ter a soma dessas possibilidades, ok? Então a gente vai ter essa soma aqui igual a quanto? Qual o total? Ó lá na questão, igual a 76. Beleza? Vamos lá. Aplica aqui a propriedade distributiva, o chuveirinho, ó. Vai ficar 5k - 10 + chuveirinho aqui Também. 4K - 4 = 76. Beleza? Então a gente vai ter 5k + 4K dá exatamente 9K. Esse 10 - 10 - 4, né? Dá -1, vai lá pro outro lado, vai ficar + 14, né? Então vai ficar 76 + 14.

Então o nosso 9K é igual a 90. Passa dividindo. Então nosso K é igual a 90/ 9, que resulta em 10. Com isso aí a gente finaliza, meu povinho, nossa 20ª questão, gabarito letra B. Deixa nos comentários quantas questões você acertou nessa prova, beleza? E vamos lá para o nosso próximo Nível. Assistam lá as resoluções do nível três também. Tamamos junto. É nós. Valeu,