Operação com Vetores | Geometria Analítica - Aula 2

e o a todos vamos dar continuidade no nosso curso de geometria analítica gostaria de pedir duas coisas para vocês primeiro que curtam o vídeo Para apoiar esse projeto e a segunda coisa que vocês coloquem nos comentários sugestões e melhorias para as vídeo-aulas então dando continuidade no nosso curso o assunto é operação com vetores tão na vídeo aula passada nós vimos o conceito de um vetor o que que é um vetor ele é nada mais nada menos que é um conjunto a ser todos os segmentos orientados que são equipolentes a um determinado representante então por exemplo

se eu enxergo esse vetor Como upar AB vão por exemplo eu enxergo esse vetor abrir aqui esse vetor ele não é somente essa seta o que que eu quero dizer desde que você Preserve a direção é o sentido Oi e o módulo do vetor a cada um desses vetores o cada um desses segmentos orientados eles representam o mesmo vetor AB B foi muito importante vocês perceberem isso que os vetores eles possuem essa característica de ser móvel não é algo que ele é estático Então a partir daí nós vamos começar aprender a realizar algumas operações entre

vetores Então a primeira operação que nós vamos aprender a somar dois atores então eu vou considerar o e vê dois fatores e eu quero definir o que que vem a ser um vetor mais outro vetor o resultado aqui vai ser um terceiro vetor que eu provisoriamente eu vou chamar de w e esse w ele é construídos assim de maneira passo a passo primeiro você escolhe um ponto a conforme tá aqui e Considere um representante de u com origem ar Como assim a gente já viu na aula passada que quando você tem um ponto você existe

um segundo ponto e na verdade esse segundo. É o único de tal modo que o segmento orientado saque corresponde a um vetor que você deseja considerar Então nesse caso ao construir esse ponto b o ponto dele é o único. Possível de tal modo que você consegue construir um retorno tendo como origem no ponto A então você construiu aqui o segmento orientado AB que representa o vetor o nosso chamamos de BR extremidade desse representante E aí nós vamos pegar um representante do vetor V ou seja um segmento orientado faz parte da família de ver e nós

vamos conseguir segmento orientado tomando como origem justamente o ponto b e aí nós vamos chamar você a extremidade esse vetor Acesse aqui é exatamente o nosso vetor w Ou seja que é exatamente o nosso vetor o mais ver uma boa maneira de ter uma intuição de porque definimos vetores dessa maneira é pensar como deslocamento mesmo é um Imagine que você esteja no ponto lá e o que que você faz você desloca do ponto a Você caminha a partir de ar usando o vetor u como referencial Então você caminha o diatab usando o retorno agora Você

caminha usando o vetor V tb até ser e o que que vem a ser o vetor u + v é você levar em consideração Qual foi o seu início o plano no início à sua trajetória E aonde você chegou no final que nesse caso é justamente o ponto você tomar outra maneira de visualizar isso aqui é dizer que o vetor ab e mais o vetor b c o meu como resultado o vetor a se não é assim que nós definimos é soma de dois vetores e aí nós temos algumas observações a fazer por exemplo assim

como nós acabamos de definir o que conhecer o mais ver Vamos definir agora o que que vem a ser o menos ver então Digamos que esse vetor aqui seja o vetor u e digamos que esse vetor aqui seja exatamente o nosso vetor ver como nós vamos como a gente construiu o vetor o mais velho antes né a gente copiada e colada essa informação o considerava aqui um ponto a fixo né Oi e aí pegar o representante do vetor u construir esse segmento orientado aí nós pegávamos esse representante aqui um representate do vetor ver que tal

modo que a origem coincidisse com a extremidade do outro vetor e esse camarada aqui era Justamente a extremidade do vetor soma até aí tudo tranquilo só que agora qual a sua ideia Henrique como é que você vai conseguir vetor 1 - ver você vai pegar o vetor b e você vai inverteu o sentido dele então como é que eu vou fazer para inverter o sentido vou copiar e colar aqui o pa fechou voltar de novo aqui copiar e colar e vou inverter o sentido o que que eu quero dizer que o inverteu o sentido vou

apagar que essa setinha eu vou apagar certinho aqui vou apagar o vetor V Inicial e vou colocar a seta lá o asceta pra cá bom então o que que acontece como você considera este vetor mais esse vetor o rei pedal esse vetor menos o vetor V é o mesmo que considerar o vetor laranja mais vetor branco então a gente pode visualizar sim eo é esse cara aqui menos ver eu vou chamar de menos ver o vetor que tem a mesma direção o mesmo módulo por em sentido oposto e aí o vetor verde e seria exatamente

o vetor u ou menos ver um ainda se você preferir você pode enxergar isso como um mais o vetor - V e o que que a gente representa o menos ver dessa maneira é justamente para gente pensar da seguinte da com a seguinte conta né Vamos colocar assim você quisesse calcular um vetor ver mais o vetor que é simetria é simétrico em relação tem sentido oposto né simétrico em relação sua origem mas é prefiro dizer um vetor que tem a mesma direção o mesmo moto mais sentido oposto qual seria o resultado se você pega o

ponto a e você constrói um vetor V você acaba construindo o segmento equipolente a b e o que que seria o vetor com sentido oposto Pé Na hora que você faz o vetor com sentido oposto é você sair de B E aí para então você começou a olhar foi para beber depois de ver se voltou para o que você fez na prática é você não saiu do lugar logo o resultado seria o vetor nulo seria o vetor justamente formado pelo ponto a ou seja e comece a terminar é feito essas considerações nós temos algumas propriedades

e somos diretores por exemplo que a soma é comutativa você fazer um mais ver é a mesma coisa que fazer ver mais um vale a pena nós fazemos um desenho para entender melhor disso então vo mais uma vez desenhar a conta o mais ver então Digamos que esse vetor aqui seja o vetor u e até passar um pouco mais aqui e digamos que esse vetor aqui um beijo vetor V Oi e aí primeiro eu vou realizar a conta o mais ver então para realizar a conta o mais ver eu vou fixar novamente o ponto a

E olha que acontece eu vou copiar essa informação e colar então Aqui nós temos eu tô roll e agora vou copiar e colar essa informação nós temos o vetor v u + v obtemos como resultado esse vetor tá em verde e agora eu poderia ao invés de começar com o poderia ter começado com ver então a partir do ponto a Vamos considerar aqui de novo agora o vetor V ou seja primeiro a gente começa com azul depois que a gente foi para azul o bebê primeiro que a gente considera o ver né agora que a

gente já considerou ver mas Vamos considerar o vetor ou então fazer o mais ver é a mesma coisa fazer ver mais um E observa que figura que está sendo gerado isso é um paralelogramo paralelogramo é um quadrilátero cujos lados são Paralelos tão figuras como essa que eu tô desenhando pela fé imagina que os lados são Paralelos isso aqui é um paralelogramo tô nesse caso a gente disse que esse paralelogramo ele é gerado a partir dos vetores uev então por isso que vale a pena fazer esse comentário que vai ser muito útil mais para frente a

soma de vetores associativos Ou seja você quer tomar três setores você pode primeiro fazer o mais ver o resultado você soma o w ou você primeiro faz ver mais W até resultados somaco e o mais o vetor nulo será o retorno o mais esse vetor menos o que é aquele que inverte o sentido da o vetor nulo e por definição que a gente ia convencionado o mais o vetor simétrico de ver = 1 - e Então feito essas considerações já temos noções que somos entre dois atores e observe e nenhum momento eu falei de coordenadas

só tô dando aí noção intuitiva de vetores o que não repente de coordenadas agora o que que vem a ser você multiplicar um escalar por um vetor em outras palavras o que significa pegar um número real e multiplicar por um vetor e Vamos considerar inicialmente ver um vetor não nulo e o número cá também não uso e Vamos definir o vetor p como um número cá XV E esse novo Vetor eu preciso apresentar alguma informação nesse caso eu preciso falar qual é o módulo Qual é a direção e qual é o sentido do vetor P

então Vamos definir quem vem quem vai ser se vetor p o módulo ele é nada mais nada menos que o módulo de cá vez o modo de ver professor não poderia ser cá vezes o molde ver não porque o capô dele esse negativo então por isso que a gente coloca o módulo Então pense por exemplo P = 3x ver então o módulo de p = módulo de trens ou seja três vezes o modo de ver a direção vai ser sempre a mesma Ou seja quando você pega um número vezes o vetor você não muda a

direção ele mas o sentido pode mudar o sentido vai ser o mesmo sentido do vetor ver se cai positivo será sentido oposto ao vetor ver se carro negativo Então eu peguei a como exemplo esse vetor ver que como o molde e aí o que que seria meio desses ver o meio ele é um número menor do que um então quê que venceu o módulo do vetor p e vai ser meio vezes o modo de ver então aqui em pontilhado essa expressão aqui que tá em pontilhado é justamente o nosso vetor ver com a gente está

multiplicando por meio tão é como se a gente pegar seu vetor encolhesse o seu tamanho pela metade Como o meio é um número positivo o sentido do vetor é o mesmo e a direção é mesmo porque não importa qual seja o número real a direção vai ser sempre a mesma o 2x ver qual é a característica dele o ver é esse camarada aqui E aí o que que você fez ao multiplicar por dois você dobrou módulo dele ou seja vocês ficou como de dois é positivos e preservou o sentido EA direção é preservada o que

conhecer menos meio vezes ver Observe que o modo oveto aqui pontilhado né o modo de ou menos meio vezes ver é a metade do modo de ver só que como - 6 Negativo você inverteu o sentido o pulso Negativo você inverteu o sentido então o que que seria menos dois por exemplo vamos pegar o ver aqui né imagina que esse aqui venceu ver o que que vem a ser menos dois XV você dobra esse tamanho só que invertendo o sentido porque é menos dois são número negativo então o tamanho o módulo do vetor verde é

duas vezes tamanho ou módulo do vetor laranja então nós acabamos de aprender o que que vem a ser um número X um vetor também observações quando você faz 10 vezes um Beetle O resultado é um vetor nulo por quê Porque se você troca o carro zero aqui 10 vezes qualquer número de 0 o único vetor que tem módulo 01 vetor nulo é que a quente com syroka diferente 0 só para facilitar aqui a nossa conversa mas dá para incluir a condição cai igual a zero e aí basta a gente ter consciência O que significa aí

o vetor nulo outra informação fixado o vetor v e você Fazendo variar o valor de k o que que eu quero dizer com isso Você montar a tabela de valores cá igual um cargo a dois caiba 3 k = raiz de 2 k = - pe quando você varia o valor de carro você obtém o conjunto de todos os vetores que são colineares a ver o que que eu quero dizer com isso se você tem por exemplo um vetor Verde aqui é o vetor V por exemplo Ah e você sabe que o um outro vetor

possui a mesma direção e vamos que esse vetor ou aqui você já sabe que esse vetor V possuem a mesma corretor ou possui a mesma direção de ver ou seja os dois estão colineares Então você já sabe q Existe algum número real Vou Chamar esse número de alfa e salvar um número real se existe algum número real Alpha tal modo que ver igual a Alpha vezes ou nesse caso tanto faz escrever assim ou escrever que u = vou colocar Beta o atleta pertencente aos reais e a pedra ver se vê tanto faz o que eu

quero dizer o seguinte vou até trocar aqui o aqui como vetor novo ver como vetor Inicial O que que acontece se você for montar a tabela de valores com tabela fictícia onde ao foi qualquer número real conjunto que você vai ter o conjunto de todos os vetores que estão na mesma direção de ver então outra observação se você sabe E aí o IV é osso hein é a mesma direção a mesma direção bom então não existe poderia ser muito bem o permitido estacionar de ré né símbolo mas é existe um número ao real tá o

que o que é igual a Alpha vezes ver essa informação por mais que esteja repetindo ela é fundamental entender porque ela ajuda muito na interpretação dos exercícios e até mesmo do no desenvolvimento de outras teorias café propriedades que envolvem multiplicar um número real por um vetor V e ela é associativo Ou seja você quer fazer um número a vezes o número B X um vetor você pode primeiro fazer de vez o vetor para depois o resultado multiplicar por a ou você pode simplesmente fazer a vezes b e depois o resultado Você multiplica por ver vale

a distributiva pensando no vetor o vetor por exemplo ele se distribui então vai ficar às vezes ver mais bebês ver você pode fazer a distributiva escalar ou seja quem está distribuindo é um real em uma informação que nesse curso para essa coisa mais óbvia do universo mas no curso de álgebra linear as informações bem útil é um vezes ver é igual próprio ver ou seja você multiplicar por um vetor você não altera o vetor e a pergunta Central que nós vamos tentar responder na próxima vídeo aula é como traduzir essas coisas em contas porque não

custa metanalitico a gente acaba fazendo um contas com esses vetores então peço que vocês ninguém feedback o que vocês acharam da aula que curtam o vídeo e até a próxima