Equações Diferenciais Ordinárias

E aí Olá caríssimos vamos continuar nosso estudo hoje eu vou fazer essa aula uma o sobrevoo na teoria de equações diferenciais Ordinárias não é onde eu vou me deter mais nas aulas futuras eu vou falar com bastante mais cuidado das equações a derivadas parciais equações diferenciais parciais por duas razões porque certamente vocês conhecem menos E por que a Teoria é mais sofisticada Então a gente vai precisar fazer com mais cuidado exus também que está presente em muitos modelos que nos interessam a massa mesmo quando ele está trabalhando por dentro da equação do calor no meio

da abordagem da equação do calor eu vou fazer isso para vocês a gente usa o método que é uma separação de variáveis e por que a gente separa variáveis a gente cair em equações diferenciais Ordinárias Então hoje eu vou falar de equações diferenciais ordinárias o que que essa palavrinha quer dizer que a minha função é de uma variável só que eu estou trabalhando com funções de seguinte tipo fdx não de várias variáveis quando as minhas funções envolvidas tiverem várias variáveis A então as equações vão se chamar equações a derivadas parciais natural a e e e

as equações ordinárias e ela tem uma série de tipos o vou dar um exemplo eu já vou ao dar o primeiro exemplo já vou fazer uma distinção entre as que são lineares e as que não são lineares que é uma equação linear é uma equação seguinte tipo eu posso ter uma derivada da minha função f derivada de uma certa ordem e vamos derivada de ordem 5df mas uma função pode ser um seno de x derivada de ordem quatro derivadas de ordem alta eu escrevo assim na entre parentes com a ordem de derivação eu posso ter

aqui menos 1 sobre X Oi e a derivada de ordem 3 posso ter zero na derivada de ordem 2 posso ter cinco na derivada de ordem um posso ter qualquer coisa com a própria função igualado alguma coisa por exemplo elevado a x e essa equação diferencial que ao qual que é o problema achar função o FX de uma variável cujas derivadas de ordem 5 4 3 2 1 e a própria função satisfazer essa condição que torna essa sentença verdadeira Esse é um problema é achar funções que tenham essa propriedade isso que a resolver uma equação

diferencial é essa aqui é linear Observe que tem um monte de operações lá no lineares exponencial sendo 1 sobre x nada disso a linear mas na variável da função que o y é a quinta derivada Ah tá só multiplicando por uma constante a quarta derivada está multiplicando por uma coisa que dependem de X a terceira derivada está multiplicando por uma coisa que depende de X eu não tenho a função y e suas derivadas submetidas a equações as pressões não lineares por exemplo a seguinte equação é não linear E aí E aí a peça apareceu a

roupa não e eu quero eu quero E aí a nossa também é não é um exemplo de uma não linear é assim se eu tiver um sobre y é igual a y linha sobre X E aí eu tenho uma operação na incógnita Y que não linear é porque é um sobre ti e também se resolve também tem teoria para tudo isso e o problema é o mesmo achar a função y que se eu pegar um sobre ela igual a derivada dividido por x 1 é a primeira coisa não é sempre Óbvio dizer quem é a

função a gente nunca deve confundir resolver uma equação diferencial como calcular uma primitiva cálculo de primitiva é uma equação diferencial Pois é o encostou muito simples se eu digo que a terceira derivada e eu coloco aqui uma fórmula só com x 2 x + 1 sobre x 2 - 3 e isso é uma equação diferencial ordinária porque a terceira derivada hoje observa tá isolado uma derivada tá isolado um x a resposta para isso é primitivar o primitivo essa função obtém o y duas linhas primitivo de novo e tenho Y linha seu primitivo ar de novo

eu obtenho Y resolva a equação por um processo de primitivação então toda primitivação cálculos de primitivas é um tipo de equação diferencial muito simples mas é um tipo de equação diferencial agora aqui eu não consigo resolver por primitivação por que eu não consigo isolar derivada em função de X para poder calcular primitiva quando eu tento isolar a derivada tem o próprio Y O que é um problema muito mais complexo certo tá bom não existe uma teoria geral para as lineares Ah e não tenho uma teoria tão geral para as não lineares tem teoremas básicos de

existência de soluções Existem os teoremas que são bastante Gerais que diz o seguinte olha sob condições bem razoáveis e as toda equação diferencial tem soluções e vai falar também qual é a dimensão do Espaço das soluções eu vou comentar isso em seguida de maneira geral eu não tenho seu teoria que de métodos resolutivos muito eficiente então tem grandes categorias de equações diferenciais há mais ou menos da eu gosto de falar do seguinte jeito quando você começa a se dar uma certa área do conhecimento certo tipo de modelagem problemas de transporte problemas que envolvem condução de

calor problemas que envolvem precificação dentro daquele contexto tem algumas equações diferenciais que aparecem com frequência um certo tipo de equações diferenciais que aparecem com frequência Então as pessoas começam a desenvolver métodos para resolver aquele tipo de equação diferencial o que me interessa só a tem uma teoria geral como o mundo das equações diferenciais é tão amplo é tanta coisa que a gente não consegue fazer uma teoria geral mas a gente vai fazendo em cada nicho onde A onde nós estudamos esses assuntos tá é o primeiro a primeira informação importante e vale para as lineares então

se eu tiver uma Edo linear E aí ordem n a ordem é o grau da equação Ele parece primeiro exemplo aqui é uma equação diferencial ordinário linear de ordem cinco então se eu tiver uma ideia hora de roda de mini o espaço das soluções E aí Esse é um espaço vetorial a dimensão web Oi e essa é uma informação preciosíssima e se eu quiser resolver essa equação diferencial só de ordem sim que eu escrevi aqui o que eu sou chata mas se eu quiser escrever como eu sei que ela é um espaço vetorial de dimensão

5 eu sei que tem uma base com cinco vetores e aí então todo o meu trabalho se reduza achar uma base eu já vou dar exemplos numéricos disso acha cinco vetores que sejam elementos dessa base e todos os demais soluções se expressam como a combinação linear dos elementos da base e eu já comentei com vocês em aula passada que é o joelho linear vai se infiltrando o cálculo de forma muito natural e esse resultado era conhecido antes de teatro alinhar antes de falar em base e fala espaço vetorial falando dimensão só que como é que

os matemáticos falavam desse resultado lá no passado falava a equação diferencial de ordem n ela tem um conjunto de soluções fundamentais que têm ele soluções e toda a solução se escreve como constante vezes a primeira constante vezes a segunda constante vez a terceira assim por diante ou seja dizia que era uma combinação linear sem usar a palavra combinação linear dizia que é uma base chamando de soluções fundamentais e dizer que no espaço de dimensão 5n dizendo que todo mundo era combinação linear daquilo ali sem usar essas palavras bom então essa primeira informação quando ele foi

resolver então uma equação diferencial linear de chá farei isso aqui é pouquinho vai aparecer uma solução então aqui assim a solução é a vezes uma primeira função que é uma solução capa do a base mas B vezes uma segunda solução que eu consigo escrever todas as soluções os fazendo combinação linear dos elementos da base com constantes é o que uma ideia do espaço vetorial é uma coisa legal é que se ela for não-linear e o espaço da soluções tem uma dimensão que é igual a ordem da equação não é um espaço vetorial e as constantes

não aparecem fazendo combinação linear uma das funções da básica eventualmente aparece uma coisa assim tem uma constante no meio de uma raiz quadrada constante mas x sobre x 2 parece uma fórmula que tem uma constante e portanto tem uma constante que pode ter qualquer valor e super corre então conjunto que tem um apoio metrização por uma variável é um conjunto com dimensão um mas não é linear não é do tipo cá vezes uma função básica o cata no meio de uma raiz de uma forma mas vale uma coisa legal então quando você tem uma equação

ordinária de ordem ele e o espaço da soluções embora seja infinito ele tem dimensão igual a dimensão da equação e quando eu falo dimensão aqui não tô preocupado com o conceito Esotérico de dimensão de cinco dimensões nada disso quando eu falo que essa equação tem uma solução que tem dimensão 5 não tô pensando no espaço físico com cinco dimensões eu tô pensando que tem cinco funções elementares que formam a que descreve em todas as soluções é mas para as lineares a gente consegue dizer mais em bom então vamos lá como é que é mesmo uma

linear linear é uma coisa assim O que é uma coisa que depende de X derivada de ordem ele eu sempre vou colocar o primeiro termo como dominante como sendo um pela seguinte razão se o que tá aqui for zero matou a ordem não é de ordem né de ordem menor e sendo diferente de zero eu posso dividir por ela então E aí E aí G1 E aí é isso aqui é uma linear é de ordem completo G1 e quando eu tenho o r = 0 eu chamo a equação de homogêneo e quando aqui é zero

então a homogênea é começa o derivando vou até o fim 10 é para homogênea que há soluções é um espaço vetorial a dimensão m G1 é a completa e quando eu tenho aqui R e completa e eu tenho derivada de ordem n a equação inteira G1 é igual ao rdx uma fórmula qualquer aqui eu estou a óleo da seguinte forma eu tenho que achar a só que o espaço das quando ela é homogênea que eu tenho espaço de dimensão n Eu costumo chamar a solução geral em qualquer combinação linear G1 E aí e onde os

y y n e Essa é a base de um espaço vetorial das soluções quando ela é homogênea espaço vetorial de dimensão n tem uma base com ele soluções e qual que é a solução é combinação linear dessas emissoras sites a ideia de espaço vetorial e quando ela é completa e eu faço a o conjunto de todas as posições obtido assim acha uma solução particular da completa E aí O que é uma solução particular e é uma solução que eu achei de qualquer maneira muitas vezes meio a doc posso dar exemplo como é que a gente

ele raciocina Haddock a e achou uma uma qualquer uma chefe comigo na força bruta tentativa e erro e achou uma solução particular da completa aí a solução geral e dessa completa vai ser combinação linear um dos vetores que são solução da homogênea mas essa solução particular da completa então para resolver uma linear e eu preciso a resolver completamente a homogênea associada igual a zero e eu preciso achar uma solução particular e da completo e o teu muito forte aqui me permite trabalhar bem essa a estrutura geral para resolver as lineares ah e tem um outro

Zoom quando a linear tem coeficiente constante agora eu vou falar uma coisinha sobre a linear de ordem com coeficientes constantes e embora Jim pareça muito restrito por joga quantas quantos adjetivos eu fui colocando né tô resolvendo equações diferenciais mas só as Ordinárias mas só as lineares só as decrescentes e constantes 10 Quanto que o fiz um na natureza das funções que eu tô analisando mas então é apesar disso eu tô numa categoria enorme de funções de equações que resolve uma quantidade enorme de problemas tá então por toda a cinemática toda a mecânica newtoniana é tem

um monte de é de mundos que são abordava Weiss desse jeito e o que que é uma cama lineares de ordem n convence constantes ao invés de ter Afonso os coeficientes a serem funções que podem depender de x com o meu primeiro exemplo que um seno de x multiplicando a derivada é tudo constante então eu tenho a derivada de ordem n e eventualmente aqui tem um coeficiente a n eu posso não escrever eu costumo dividir tudo por por ele E aí bom Então essa é a equação de ordem com coeficientes constantes em que isso aqui

são números daí eu tenho a homogênea associada G1 é essa daqui a minha primeira equação é a completa aqui eu tenho homogênea associada e eu agora vou escrever uma outra equação que agora é uma equação daquelas equações algébricas que a gente aprendeu a resolver uma vez na vida e com aqueles métodos todos de álgebra fatoração por causa de grau dois tem fórmula é bilro Fini o teorema de d'alembert um monte de resultados de matemática básica para bordar isso que se chama equação característica e é uma equação equação a equação da de resolver achar soluções numéricas

eu estou e tem um resultado Grande o que diz o seguinte e ele tem várias etapas eu vou Recordar para você já jogou fazer detalhe na primeira primeira informação Suponho que Alpha é solução da equação 3 e da característica então a função e elevado a Alfa x é solução o D2 bom Então olha só nesse mundo como a gente consegue trabalhar eu tenho a equação completa eu toma homogênea associada que é igual a zero resolva a equação Oi e para cada raiz dessa equação eu tenho uma solução da equação homogênea eu estou depois tem a

continuação desse teorema resultados adicionais mas tô deixar bem claro o que que é esse resultado eu vou dar não vou fazer todas as contas mas eu vou te dar o roteiro do que a gente que tá falando para gente falar isso Imagine que eu tenho a seguinte equação diferencial Y duas linhas menos sete são linha E aí E aí e mais 10 Y é igual e a x 3 G1 E aí eu quero saber quais são completo quem é e eu escrevo a homogênea associada é essa aqui tem espaço vetorial Tom como soluções um espaço

vetorial de dimensão dois e que eu resolvo fazendo a equação característica tem ao quadrado menos 7tt + 10 = 0 essa equação 3 é essa eu resolvo com os métodos e resolver equação do caso aqui da grau dois a gente tem fórmula para isso tudo mais imagina que fosse grau mais alto vou subir ao mais alto você ia ter que resolver usando o método que for muitas vezes você tem métodos numéricos uma equação de grau muito alta às vezes não tem que resolver Conforme você tem métodos numéricos para método de Newton vários métodos para interpolar

as as raizes da equação e ter as soluções nesse caso e as duas raízes são dois e cinco e se aplicasse fórmula resolutiva da equação do segundo grau da que as raízes são 25 Isso significa que eu tenho uma base no espaço das soluções que é y um igual a elevado a 2x Y 2 elevado a 5 x é isso que esse primeiro o resultado disse Este é um número real é solução da equação característica como é o caso dos números reais 25 a função exponencial com expoente Alfa x 2x 5x é solução da equação

2 bom então a equação dois tem como solução um espaço vetorial e todas as soluções são do tipo a elevado a 2 x + b elevado a 5 x em que se A e B são reais quaisquer são os coeficientes de uma combinação linear Isto É nesse sentido que estão espaço vetorial Esse é o espaço vetorial de dimensão dois e esse resultado me disse quem é a base a base é formada pelas duas funções elevado a 2x elevado a 5 x Ah mas eu queria resolver equação completa a qual que é a diferença entre a

solução da homogênea e da completa aí eu tenho que achar uma solução particular da completa basta chaoyang bonitinho se eu achar uma já resolveu e eu resolvi com essa humana Força Bruta Então vamos ver o que que eu tô querendo aqui eu tô querendo achar uma solução uma solução com a função que quando eu derivar duas vezes uma vez e a própria função resulte no por não Liberal 31 é então que tipo de função que eu derivo derivo derivo misturo misturo misturo e dá grau 3 no meio das polinomiais né só pode ser polinomial é

porque uma polinomial e eu quando deriva o derivado de livro vai dando polinomial de grau mais baixo e se eu quero que resulte 3 é razoável imaginar que eu tô falando de polinômios e eu vou derivar duas vezes e se eu tiver um grau muito alto com a gente que eu converso com uma de grau dez E se eu começar com uma função degrau 10 não vai dar certo porque ela tem grau 10 a derivada tem grau 9 e a segunda derivada tem grau 18 só que vai ter um termo de grau dez o que

como nas derivadas não tem por que a derivada grau 9 a segunda derivada h8 né porque no polinômio abaixo o grau quando eu derivo se eu começar com uma degrau 10 vai resultado lado esquerdo grau 10 e não grau 31 é a então grau não pode salto em qual o maior grau possível três porque daqui é grau 32 e um embrulho com eles e eu = x 3 e o próximo passo agora para achar a solução particular e agora é só conta né se você entendeu a ideia o que venha conta eu escrevo uma solução

particular que vai ser assim a X3 + B X2 + 6x + D [Aplausos] o abc de coisas que eu quero descobrir fala mas você fez um raciocínio muito particular para fazer isso isso fiz mesmo eu fiz um raciocínio que era porque era X3 ele vem conta assim eu fui muito pontual se fosse outra função eu faria o outro raciocínio agora eu derivo derivo primeira e segunda derivada o jogo tudo naquela forma a igualdade de polinômios eu caio em equações em A B C e D que dá um certo trabalho para resolver não importa muito

bem não vão gastar o tempo fazer fazendo isso mais uma vez resolvido Você tem uma função e qual que é a solução então geral vai ser quando eu tiver encontrado esta solução particular com determinado a 1b 1C e 1D numéricos solução geral daquilo vai ser esta expressão Mais essa expressão Fixa coeficientes bem calculados e determinados solução particular Ela é bem fixada mas a elevado a 2x B 5 elevado a 5 x é a solução completa disso bom então o que que eu preciso para resolver uma equação desta natureza eu tenho que saber resolver a equação

característica E aí a solução homogênea a solução completa E essas análises que eu estou fazendo esse teorema de ele continua e vocês vão ver que quando a gente eu vou usar isso por exemplo para bordar equação do calor eu vou precisar disso na hora de resolver a equação do calor eu quero ver como é bonito Conquista aparece um segundo resultado é que se o alfa é solução é de três com multiplicidade 2 bom então nós vamos ter duas soluções I elevado a x Y2 = X o elevador alfa-x são Soluções se fosse a minha equação

tiver a solução dupla aí eu vou ter duas soluções dadas com a mesma parte exponencial mas diferendo peluches da frente então Imagine que aqui nesse exemplo eu tivesse e essa condição aqui e quando vai resolver essa equação do segundo grau o delta da 36 - 4x 98 36 da Zero e você encontra a solução ou menos B sobre dois as encontro que a solução T3 com multiplicidade 2 Oi e aí as duas soluções que você tem são o e elevado a 3x e a outra é x elevado a 3 e se ela tivesse uma utilidade

multiplicidade mais alta ainda eu ia tendo X elevado a x 2 elevado alfa-x e assim por diante bom então é uma a estratégia importante é resolver equação característica que a gente tem métodos algébricos e numéricos para isso Oi e O legal é que pode ter uma solução complexa a máquina que a solução é complexa Alpha + Beta aí e tem um resultado que se uma raiz complexa que vai passar o genérico mais complexa Então você tem é a cor conjugada também é a raiz da equação então por isso que eu já escrevi Alpha + Beta

e alfa - beta aí e aí as soluções que você tem I saw him I elevado a Alfa x cosseno de Beta x e a outro ^ Alfa x seno e beta-x olha que resultado sofisticado e se as soluções da equação característica são complexas então a solução geral e ela vai ter é é é as soluções que envolvem exponenciais e números complexos adição desses super rica porque envolve a teoria de números complexos passa pelo pela fórmula de olha aquela do elevado a pe o ^ alfa-x que relaciona com exponencial complexa com seno e cosseno e

é uma coisa super impactante é eu vou fazer um outro exemplo que eu vou retomar esse exemplo mais para frente E aí e parece uma equação bem simples não soma a segunda derivada mais a própria função da X E aí eu começo com homogênea tá começando com homogênea dar Y duas linhas + Y = 0 aí o carro na característica em T2 + 1 gozar muito como a gente se distrair colocar aqui ter teta social da primeira derivada quando eu tava função sem derivada nenhuma e constante Isso significa que ter ao quadrado é menos um

Ou seja que ter mais ou menos i a base dos complexos é importante as duas soluções que a gente tem é o aparte real Alpha do número complexo a 0 e a parte Beta é um porque é mais ou menos e tão Alpha zero e beta um com uma solução é cosseno x EA outra solução é ser no X1 G1 e eu tenho o espaço das soluções da equação 2 é porque eu consegui resolver equação 3 qual que é a solução de 2 a combinação linear dos seno e cosseno e o que é coletivo né

que a escola a a classe das funções que a segunda derivada junto com a função se cancelam e da Serra quando eu tô aqui e é seno e cosseno né porque a segunda derivada do seno vai lá para o primeiro derivada cosseno depois menos cena e o que os ter alguma coisa primeira derivada menos sendo e depois menos cosseno segunda então a gente chega é intuitivo tem seno e cosseno e Macia completa com x agora vou fazer aquele raciocínio super particular e eu acabei de fazer no outro exemplo agora eu quero a solução particular de

um eu vou pensar numa função que eu derivo duas vezes embrulho com a própria função e da X tem que ser uma função degrau baixo o porquê é a segunda derivada tem grau muito menor que o y em conta em grau menor que o y e eu vou não vou vou colocar aqui um grau 5 esse aqui no mato o grau 5 qualquer coisa que eu faço aqui vai pegar os cinco não vai ser igual a x tá então deve ser uma degrau um né eu vou procurar uma solução particular que seja a x mais

B E aí a primeira derivada Essa é a ashisa e a segunda derivada é zero e não tem primeira derivada lá segunda derivada a zero então jogo no lugar do y = x + b = x e eu descubro que há é um eb0 Ou seja a próprio X é uma solução particular e y = x a solução particular se eu colocar aqui x segunda derivada da 0 x = x muito bem Então qual que é a solução geral e da equação 1 bom então é x + a vezes cosseno x mais B vezes sendo

X com A e B reais bom então ela que legal a equação de grau dois o espaço da soluções tem dimensão dois não é o espaço vetorial porque tem aquele X o que tá aparecendo aqui mas os passos da soluções tem dois parâmetros por isso que eu sei que tem dimensão 2 e os dois parâmetros multiplicam seno e cosseno e tem a solução particular Que Essa é aquela que eu achar basta eu achar uma aqui não tem coeficiente e isso é um mundo que não é um espaço vetorial mas é de dimensão dois porque parametrizado

por dois parâmetros e com esse tipo de técnica a gente resolve uma grande categoria de funções se eu mudasse o estilo complementar tá e sim Olá tudo isso mas se eu tivesse aqui outra função eu fiz dois exemplos discussão por isso eu tivesse aqui elevado a x E aí eu ia fazer o raciocínio particular pontual em cima do elevado a x e para cada função eu vou fazer um raciocínio particular mas não tem nada de de ruim nisso porque eu tô procurando uma solução Zinho particular da equação geral da equação completa é bom que função

que se eu pegar a função e eu pegar segunda derivada embaralhar embaralhar resulta exponencial É tem que ser uma função que quando eu derivo fica na categoria da exponencial tanto ela quanto as derivadas Ao serem misturadas gerem exponencial é a própria exponencial então eu vou procurar uma função que seja do tipo a uma constante k I elevado a x é a deriva o derivo jogo lá e acho quem tem que chegou eficiente particular como derivando fica cá e elevado a x mesmo eu vou ter cá elevado a x + k elevado a x = elevado

a x e o descobri que o cara tem que ser meio Ah tá então a solução particular e elevado a x sobre 2 Se esse fosse elevado a 4 x aa bom aí eu faço o raciocínio particular em cima do elevado a 4 x como é que tem que ser uma função que se eu derivo uma vez duas vezes misturo somo resulte numa elevado a 4 x bom tem que ser da natureza do elevado a 4 x Então vamos tentar coisas que tenham elevado a 4 x E aí eu derivo de livro jogo lá derivando

duas vezes os quatro abaixo duas vezes aqui ficam 16 E aí se eu não tenho nenhuma conta eu vou ter 17 cá igual a um k = 1 sobre 17 elevado a 4 x E aí eu coloco aqui como solução particular para ser somada na é a solução Geral do espaço vetorial essa particular um sobre 17 elevado a 4 x e com isso eu tenho uma grande quantidade de equações diferenciais Ordinárias resolvidas bom e com frequência como eu falei nós estamos trabalhando num contexto que não é dia de ó e a gente usa métodos para

simplificar a a EDP com a corda está trabalhando e que dependem da gente resolver e de voz por isso que é importante essa revisão que eu tô fazendo que existe no mundo ainda das equações diferenciais categorias de equações Às vezes você tá trabalhando um certo tipo de problema que sempre cai numa equação que se acabou-se chamando a equação de Bernoulli A então tem lá uma bacia equação tiver um tal formato têm Tais métodos que ajudam a resolver para esse método aqui chama equação de Bernoulli até essa outra que chama equação de não sei o quê

e tem que todo esse mundo o resultado geralzão bonito é esse para as lineares e e para coeficientes Gerais tem o tutorial do espaço vetorial e para coeficiente constante tem o teorema da equação característica E esses são os dois resultados mais fortes O que que a gente usa para resolver as equações e o porco filme homogêneas lineares o que a gente aparece bom espuma chamar uma revisão Rápida desse tema que toquei no que a gente vai precisar nas aulas subsequentes pois vou mostrar para vocês uma coisa bonitinha com essa equação aqui o y duas linhas

+ Y = 0 ao invés de usar essas maneiras de resolver que é super fácil é bonita eu vou fazer as estou abordar por uma outra forma vocês vão ver que também tem uma coisa super rica superbonita que aparece se eu faço uma aula na frente essa aula fica por aqui tá bom ó E aí