Geometria Analítica - Aula 16 - Produto escalar e produto vetorial

olá pessoal tudo bem vamos continuar o estudo geometria analítica hoje nós vamos ver a definição conhecer dois produtos muito importante para nós no r31 um produto escalar que vocês já viram o r2 é muito parecido com o produto escalar do r2 na verdade só tem uma dimensão a mais e um novo é chamado produto vetorial que só tem no r31 que têm propriedades muito interessantes para nós vamos dar uma olhadinha nisso agora tá tão dado os vetores o ivh e coordenadas cartesianas vou definir o produto escalar deo por ver como sendo o número real não

lembra é produto escalar de dois vetores da o número real que o cálculo dessa maneira o scala ver é fácil produtos e coordenada à coordenada na mesma posição e soma tudo então dá x 1 vx2 mais yvy dois mais z1 vencedores os vetores 1 e venceram ortogonais também no espaço 6 ó seu produto escalar de zero nós vamos lá no plano fizeram um desenho tá aqui também vale isso a notação que eu vou usar a mesma notação para o r2 o o octogonal a venda do produto escalar de o pv da zero eu digo que

o evento são vetores ortogonais e uso essa anotação para simbolizar isso verifica se são os tribunais ou não os seguintes vetores o 1 0 2 2 - 3 4 quero saber se o tribunal calcula o produto escalar produtos calado por ver um vezes dois mas eram vezes - três mais duas vezes 4 então aqui vai dar 2 + 8 10 diferente de zero então não são todos mas o igual a 2 - 1 e veio a 2 - 37 cálculo produto escola para saber se são tribunais ou não duas vezes 2 mas menos um que

multiplica menos três mais um multiplicador no set não vai ser igual a quatro mais 37 menos 70 portanto esses dois vetores 1 e v no segundo exemplo são vetores ortogonais propriedades do produto escalar nós vimos lá no plano continuam sendo as mesmas propriedades que a gente tem aqui o o produto escalará comutativo escalar vevo escalar o se eu tiver um número real multiplicando um dos vetores eu posso jogar ele modificando o outro vetor jogar para fora ficou no real kaká e multiplica produtos calado por ver o número real número real produzir dois números reais o

escalar o também vai dar a forma de um quadrado produtos falar de um vetor por ele próprio vai dar exatamente a norma dele ao quadrado o cumprimento de um quadrado e também várias seguinte relação o scala vê norma de uma forma de v vezes o conselho de tetouan onde teto o ângulo entre os vetores ver lembrando que o ângulo dos vetores viveu mesmo no espaço por um representante do b toro uma cópia do vetor ver os dois com a mesma origem e aí o marco menor ângulo determinado por esses dois segmentos né porque o ângulo

sempre tem que estar entre zero e pe bom então ó cálculo o cosseno do ano entre os vetores aquela propriedade 4 me dá uma possibilidade de calcular cosseno e também o ângulo se precisar entre vetores agora no espaço no plano então ontem os vetores 1 - 1 2 vem com a 2011 qual é o cosseno do ângulo entre eles o ângulo entre eles qual seria bom da propriedade 4 gente tem que buscar é ver o cumprimento de um comprimento de vezes o cosseno desse ângulo procurando então o solo com senac o conselho vai ser um

escalar ver / norma de um vezes norma tv vão calcular esses números só o scala v2 +0 mais dois da quatro norma de 1 esse é o quadrado mas essa quadrado mas esse quadro tira raiz um mais um mais 46 raízes 6 nova de v2 quadrado 4 mas eram conta um quadrado 14 mais 15 tira raiz raízes 5 então eu já tenho esse número de cima os dois números de baixo pronto o conselho de tété produtos galaxy da 4 normativo raízes 6 norma dvb raízes 5 aqui eu posso explicar né raiz produto das raízes o

produto é raiz o produto fechou a 4 sobre raízes e 30 se eu quiser saber qual é o ângulo e quer saber qual é o ângulo menor que 180graus está entre 0 em piha de anos cujo cosseno vale 4 sobre raiz de 30 o peta é oa cujo cosseno é 4 sobre raízes e 30 rock todos os vetores o en-v de compõem o vetor ver como soma de dois vetores de 1 e 2 sendo o primeiro paralela o segundo jogo nova eo gente fazia isso no plano direto pensando em de compor uma força duas componentes

uma paralela o movimento ea outra tribunal o deslocamento da partícula do sólido que está tentando movimentar no espaço a mesma coisa um dos vetores era que a gente chamava de projeção ortogonal do vetor que eu tô querendo de compor na direção daquele vetor por exemplo do vetor na direção do vetor ver o que eu quero é compor vené projeção de ver na direção de um aqui também a mesma coisa é a fórmula continua sendo a mesma a gente só mudou porque aumentou a dimensão então olha o vôo vai ser a projeção de ver na direção

de um porque eu tô querendo de compor um vê como dois vetores um paralelo um e outro no tribunal como era a fórmula da projeção eu faço o produto escalar de o pv devido pela norma do futuro ao quadrado na direção do hu essa é a forma que a gente reduziu lá no r 2 ela vale aqui também na dimensão 3 é a mesma forma a maneira de provar deduzir essa fórmula é igual não muda nada porque só usando relação trigonométrica no triângulo que a gente monta então calcular quanto que da usp ela vê lá

2 - 2 a 0 - 3 - 3 norma de um elevada ao quadrado não precisa mais ir à raiz da honda 4 em seu quadrado mas esse quadrado um dos 53 quadrado 99 mais um 10 + 4 14 eu não preciso isso porque a norma de um quadrado que multiplica o vetor ver o que é 21 - três então ver um que eu quero que vai ter direção de o que é chamado de projeção do jornal de vez sobre o é o vetor ó menos 100 sobre 14 - 3 sobre 14 - com menos

vai dar mais nove sobre 14 esse é o vetor de um como é que eu acho de 2 hora eu quero que o v seja gov um mais de 2 o v foi dado ver um rock bem de calcular eu pego v2 como sendo quem vê - v1 eu resolvo direto o v2 é o v - v1 porque o passo de um pra cá ver um mais v2 tem que haver é isso que eu quero é o vetor v1 - 21 - v1 que eu achei aqui olha fazendo as contas o meu retorno e 2

e 20 sobre 14 - 25 sobre 14 5 sobre 14 repara que esse motor v2 ele é autor ronaldo retorno é só você fazer o produto escalar pra ver mas vamos falar de si por isso 40 sobre 14 - 25 sobre 14 40 menos 25 da 1515 sobre 14 - 35 - quem sobre 14 0 são tomás então esse vetor é paralela ou porque ele é o número vezes sul e esse vetor a trocar o produto com alíquota zero ea soma dos dois pela conta que a gente fez vai dar exatamente quem inventou o v

então tá aí eu achei os motores v12 o primeiro paralela o segundo o tribunal a última maneira que a soma do vetor ver ou fins de composição de uma soma desses dois vetores uma componente paralelo a um e outro componente ortogonal a 1 lembra aqueles vetores e jk nós definimos na aula retrasada lembra que eles é importante porque eles formavam uma base que chamava de base canônica dado qualquer vetor xyz eu tenho uma relação que o vê e se escreve com combinação em adin jk dessa maneira ele é x vezes e mais y - dj

mas vezes cá então vamos usar esses vetores agora para definir o que a gente chama de produto vetorial dados dois vetores 1 e v nós definimos o produto vetorial de um por ver como sendo o vetor o vetor é um vizinho ponta-cabeça ver essa anotação que é dado calculado da seguinte forma ele é o determinante em que na primeira linha coloco i j k a expressão coloca o im o jk isso vai ficar um determinante e vou carregar isso aqui junto como se fossem números tá aqui eu coloco as coordenadas no primeiro turno e aqui

coloca as coordenadas o segundo vetor que ao ver então quando desenvolvi se determinante isso aqui vai ficar o determinante dessa matriz menor y z 11 y 12 regiões que multiplicam vettori - o determinante dessa outra matriz aqui ó x 101 x 2 e 2 que multiplica o vetor j mais o determinante agora esquece essa linha essa coluna esse primeiro determinante ac x ou y x 2012 vai multiplicar o vetor cá então dá esse número 13 - esse número vezes j mas esse número vezes carro na maioria dos livros aqui vai aparecer um mais mas essas

duas colunas estão trocadas por que se trocar a posição de duas colunas uma matriz ou duas linhas o determinante troca o sinal então a maneira de escrever isso como mais escrever essas duas linhas são duas colunas trocadas escrever primeiros e depois o x é a mesma fórmula é a mesma maneira de calcular tá bom tá bom vou dar um exemplo a não calcular o vetor ver onde o 102 cv igual a 2 - 3 4 o vetor ver então vai ser determinante a primeira linha e jk aqueles setores que estão lá segunda linha as coordenadas

de u terceira linhas coordenadas de ver sempre na ordem que eu quero o vetor ver segunda linha e terceira linha não posso trocar se não inverte o sinal não está calculando esse vetor está rolando - ele então tem que ser exatamente nessa ordem como é que fica quem explica ao i essa sub matrizes determinantes de 02 - 34 quem vai multiplicar j e aí fica 12 24 e oponho - aquela maneira como eu fiz a forma lá atrás que multiplica cá essa primeira a subir matriz dos portões 10 2 - 3 fazendo o cálculo aqui

ó estudar a 0 - 6 e quando eu faço aqui dá 4 - 4 a 0 j e aqui dá menos três mas eram menos três carros então ele dá o vetor 6 e menos três carros quais são as coordenadas de setor então lembra um vetor de coordenadas x e mais yj masseca e somente seis condenados eles eram xyz então esse vetor é um vetor de coordenadas 60 porque o j não parece menos três na terceira posição o que multiplica carro então o produto vetorial de o pv deu exatamente o vetor 6 0 - 3

tá sem produto natural tem propriedades importantes parecida com a do produto escalar mais uma delas vai se destacar que eu vou mostrar pra vocês daqui a pouquinho o que significa essa propriedade vou colocar aqui e nós vamos estudar melhor ela pra ver que o que disseram para nós primeiro o produto vetorial não é como taxativo se trocar o óleo dos vetores troca o sinal do vetor resultante o vetor vê igual - de victor se eu tiver um carro explicando um dos vetores eu posso jogar esse carro explicando o outro vetor jogar para fora igual fazer

um produto escalar não tem problema nenhum só fiz é o skala o vetor ver isso do vetor nulo isso equivale a dizer que o en-v em um conjunto l d então se eu for fazer o escalar o o produto vetorial desculpa com não vai dar o a norma de um quadrado quem era no produto escalar o victor é o da zero do vetor lulu dizer o vetor ver é o vetor nulo 6 somente esse conjunto é l de um é músico do outro são paralelos o vetor o véu produto vetorial com vn ortogonal ahú e

também o tribunal a ver é um novo vetor que ele vai ter a propriedade de seu tribunal aos dois vetores que você usou esse vetor resultante ortogonal ao primeiro a u esse vetor resultando também ao tribunal o segundo que ao ver ea propriedade quinta falou o seguinte isso é um vetor o cumprimento desse vetor a norma desse vetor é dado pela norma de u norma de ver cena do ângulo teta no produto escalar era cosseno e lá era o número real aqui não aqui cumprimento desse vetor é o cumprimento de um compromisso de veio selo

do ângulo teta onde o teto o ângulo entre os setores 1 e vê essa propriedade aqui é interessante a gente tentar identificar o que ela está dizendo pra nós é uma propriedade geométrica bonita pra nós do produto vetorial toma analisar melhor esta propriedade 5 acima norma de o vetor ver é norma de uvas dama de ver sendo do ângulo teto pra isso eu vou fazer um desenho em que eu vou pegar o futuro vou pegar o vetor ver a partir de um ponto a uma cópia de cada um agora vou pegar mais uma cópia vamos

chamar de tétano o ângulo formado entre os dois vou pegar mais uma cópia do vetor u começando aqui no ponto b e uma outra cópia do vetor ver começando no ponto de que com isso eu fechei um paralelogramo né para lograrmos lado o som paralelos e tem mesma medida esse vetor é igual a esse então são paralelos mesma direção e mesmo comprimento esse vetor também o mesmo vetor tem lá paralelos e de mesma medida o que seria o cumprimento do cumprimento do dever e sendo do ângulo teta quando eu olho nesse paralelogramo bom chamei de

abc os pontos dos vértices do paralelogramo e aqui eu vou traçar altura relativa ao lado a bebê chamado de h1n1 paralelo grama a gente calcula assim como qualquer outro tamanho da base que o cumprimento do vezes altura já tá bom pô vamos tentar disse o lá quem é o h em função do teto pra ver o que acontece olha vou chamar dp esse ponto que é o pé da altura da particular aqui eu tenho que no triângulo a bp em um triângulo retângulo porque isso aqui o tribunal do ângulo teté o cateto oposto h dividido

pelo poder usa que é o cumprimento do dever portanto só isolada aqui olha h vai ser norma de ver com o primeiro dever ser de teta então h é norma de vercillo de teta então como é que ficou a área a área desse paralelogramo ficou cumprimento de hu vejo a garra cumprimento de vecino teta ou seja ficou exatamente essa expressão essa expressão que aparece aqui é a área dispara logan portanto o produto vetorial um vetor cujo cumprimento dele o módulo dele a norma dele conhecido com a área do paralelogramo definido pelos vetores o que vê

lá é se vai ser o cumprimento da base vezes altura e isso é exatamente produto o módulo do produto vetorial cumprimento do produto vetorial de o poder bom por exemplo um cálculo da área do paralelo grama determinado pelos vetores o ev1 preço nem desenhar eu faço o que o cálculo o vetor ver e calcula norma desse vetor o vetor ver tá aqui ó e jk condenadas no coordenadas dever de um vetor 13 - cnj mas k vão calcular norma dele ele é o 3 - 3 1 lembrando que está em jk essa aqui são os

condenados o vetor direto por isso aquela base jk importante para nós o cumprimento desse vetor 9 + 9 mais um tiro raiz nós e 19 portanto a área daquele paralelogramo determinado por aqueles dois vetores e raízes 19 quem calcule a área do triângulo de vértices abc tá aqui ó conheça os restos no triângulo quer saber qual é a área desse triângulo no plano isso tem lá uma maneira de fazer meu papel determinante que opõe as coordenadas dos pontos que são duas a última coluna tudo um aqui não aqui no espaço mudou não é mais aquela

fórmula 1 então como é que eu faço como lembrar que o triângulo abc na verdade é metade de um paralelogramo você pega um paralelogramo abcd pega essa jornal aqui você tem um triângulo cuja área da metade de todo para lugar esses dois triângulos tem mesma área então eu posso escrever que a área vai ser metade da área do paraná programa que é quem a norma do do produto vetorial desse vetor a bp pelo vetor a ser são os vetores que definem os lados não paralelos do meu paraná no gama então basta calcular o produto vetorial

calcula nome / 2 vamos lá abc vão colocar o vetor a b vitória b1 - 32 - a diretora c20 - 16 - a não fazer a abertura se jk coordenada saber coordenadas e do vetor 13 mas 5j mês 6 k ou o vetor de coordenadas 356 norma desse vetor 95 quadrado 25 64 a 36 somando tudo dá 70 tira a raiz quadrada então a área do triângulo e metade desse valor aqui toda raiz 70 sobre dois essa área do triângulo abc determinado por aqueles três pontos sabendo os versos usando só quem produto vetorial toque

pessoal mas o último exemplo olha dados três pontos não alinhados à bc calcula a distância do ponto c a reta determinada por a e b eu não sei ainda nem como eu escrevo a equação da reta determinado por dois pontos distintos eu tô querendo saber qual é a distância de um terceiro ponto essa reta o desenho é isso olha tem três pontos que não estão alinhados dois pontos pertence determina uma única reta eu chamei o dr eu quero saber quanto vale esta distância aqui ó vice essa reta ou será que tem jeito de fazer isso

eu não sei nem passam da reta tenham a gente pode construir esse triângulo auxiliar o triângulo abc como que a área desse triângulo a distância que eu quero calcular descer até a reta vai ser exatamente à altura desse triângulo relativo à base ab a malu caiu na base não porque esse evento está deslocado né sul estivesse mais pra cá altura cairia no meio da base mas o deslocamento é a altura de um triângulo relação what's a 1 ao lado do triângulo é sempre o que a distância do vértice da reta suporte do outro lado do

triângulo ok então a distância que eu quero calcular a altura do triângulo ab ser relativo ao lado há de bom na gente sabe calcular e estrangular a metade de aberturas e aberturas e dividir por dois por outro lado a área do triângulo é sempre dado por metade da base desde a altura meio da base nessa altura da área do triângulo então tem duas expressões para determinar a área no triângulo vai rolar as duas igualando as duas só a área do triângulo ementário do produto vetorial ea metade de a b e h cancela meio com meio

vou jogar h-1h vai ser a norma de abertura ser / ag então com isso é possível calcular a distância do pontos e até a reta determinada por a b sem nem saber qual é a equação da reta por a de agora o exemplo no mérito bem rápido lá será 132 calcula a distância reta determinada pelos pontos a e b então a equação é essa norma do vetor abertura ser dividido por norma de a b ab 10 - um de meus a acc - a 121 faz o produto vetorial ao vetor 2 - 2 2 o

jogo coloquei mas em jk aqui embaixo porque ele vai dar 2 - 2 j mais dois casos já coloquei as coordenadas então a norma desse vetor é raiz e 12 raiz quadrada de seu quadrado mais esquadras mais quadrado 34 cuidadoso e lá dentro enquanto que a norma de a b é o nome da bp o óleo lá um vetor saber que a gente conclui aqui da raiz e 2 portanto a distância daquele ponto a reta que passa por aí b e raízes e 12 sobre reiss e dois que ganhou raízes 6 bom então o produto

vetorial serve pra gente para dar noção também calcular a área de figuras planas muito bem por hoje é só gente obrigado