Fundamentos da Matemática Elementar - Operações com polinômios

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas nessa aula nós vamos tratar agora um pouquinho sobre operações com polinômios e na última aula discutimos um pouco sobre o a cara de um polinômio né algumas das suas propriedades o que faz dele ser um polinômio e vamos pensar aqui essa possível ação de um polinômio nesse caso vai ser um polinômio de grau n né usando uma variável X e nós vamos denotar ele dessa maneira o P maiúsculo né de x e ele tem essa forma geral né com an elevado a 1 xn mais 1 an - 1 elevado

a 1 xn - 1 e vai assim por diante até A1 elevado a X1 a 0 elevado a x0 considerando sempre aqui que esse n né Ele é um número inteiro positivo e esses an são números reais e aqui também não pode ser o o zero né porque se eu tiver zero eu anulo esse esse termo Eh vamos pensar agora essas operações eh a partir de um exemplo vamos começar pela adição então Vamos considerar aqui dois polinômios é o ax e o BX o ax ele é descrito dessa maneira 2x cu + x + 1

e o BX Ele é x c + 4x qu + 2x não seria a adição a + b desses dois polinômios a e b bom escrevendo essa expressão né Colocar entre parênteses só para deixar organizado E agora como é que a gente faz essa operação eh para adicionar dois polinômios nós temos que buscar os termos que são semelhantes entre cada um deles O que que significa o termo semelhante ele precisa ter a mesma variável o x nesse caso e precisa ter o mesmo expoente eh nesse caso como nós estamos trabalhando polinômios eh em x eu

não tenho outras letras né outras variáveis então aqui eu só vou trabalhar com X então isso é tranquilo agora eu preciso olhar pro expoente desse x eu não consigo somar x qu com x x c com x qu eu consigo somar o quê o os blocos digamos assim que tem x qu com blocos que tem x qu blocos que tem x c com blocos que tem x c e é isso que a gente vai fazer e 2x C né que é aqui do nosso polinômio a eu vou somar com o x c que está ali

no nosso polinômio B 2x c com x c vai dar 3x c e o 4x qu ele tá aqui né do meu polinômio b não existe nem nenhum termo do polinômio a que seja x qu então ele vai ficar sozinho aqui É como se eu tivesse somando com 0 x qu então 4x qu agora o x eu tenho aqui um um termo que tem X no polinômio a e um termo 2x no polinômio B nós vamos somar esses dois x + 2x 3x e o 1 assim como ocorreu no caso do 4x qu eu não

tenho nenhum eh termo aqui do B que seja só um número né então por isso que ele vai ficar aqui sozinho como se tivesse somando zero bom então só tirando esses parênteses né Eh escrevemos essa adição dessa maneira 3x C + 4x + 3x + 1 eh a propriedade interessante da gente vê na adição de polinômios é que ela é comutativa né ou seja o ax + BX Ele é igual a BX + AX vamos fazer o teste né na no na última no último slide a gente pensou em a + b aqui nós vamos

testar b + a seguindo a mesma ideia de agrupar os termos que são semelhantes então x c com 2x C vai dar o 3x C 4x qu vai continuar ali sozinho 4x 2x + x 3x e o 1 né + 1 também vai continuar aqui sozinho escrevendo né essa expressão 3x C + 4x + 3x + 1 que é o mesmo que nós já obtivemos antes né então é por isso que a propriedade comutativa da adição entre polinômios agora vamos pensar a subtração né Eh A ideia é a mesma agrupar termos semelhantes e vamos continuar

com os nossos dois polinômios que começamos tomando como exemplo vamos fazer o a men o b dessa vez agora é importante prestar atenção né porque nós temos aqui o menos né que está multiplicando todo o polinômio B significa que a gente precisa pensar uma distributiva desse -1 em relação a todos esses esses termos ali do b então é importante ficar esperto esperta aí com a questão dos sinais Então o a ótimo vai continuar como ele já estava agora o b né vai ficar - x c - 4x - 2x e agrupando os semelhantes 2x C

- x 2 - 1 x c - 4x qu e aqui nós vamos somar esse essa operação né de X - 2x tem um X perdi 2x fiquei com - x e aí esse menos com o mais aqui de fora vai ficar em menos e o mais 1 né o mais 1 tava aqui no polinômio a continua isolado Então reescrevendo essa expressão chegamos a x c - 4x qu - x + 1 e vamos testar se ela é comutativa assim como era a adição né para isso vamos fazer o cont vamos fazer o b Men

o a já que aqui fizemos o a menos o b e logo de cara eu já vou adiantar que não a subtração de polinômios a gente diz que ela é antic comutativa então o a- b é diferente do B Men o a Mas vamos testar para ver como é que isso acontece então seguindo a nossa nossos procedimentos né primeiro distribuir esse menos aqui o men1 que está multiplicando o polinômio a dessa vez né então nós vamos obter x c + 4x qu + 2x agora - 2x - x - 1 agrupando temos - x c

+ 4x + x - 1 eh a gente percebe aqui se vocês lembrarem lembrarem do nosso último resultado que não só é diferente mas tem algo interessante que é o que faz dessa chamarmos né essa propriedade antic comutativa que é o qu o b Men o a ele na verdade é menos o a men o b isso aí é a chamada propriedade antic comutativa né que está aqui na subtração dos polinômios agora vamos pensar vamos prosseguir aqui pensando em outras operações né Vamos pensar a multiplicação de polinômios dessa vez Vamos tomar dois polinômios Diferentes né

para variar um pouco Então vamos pegar o c de x que eu chamei de 3x e o d de x que vai ser o x - 2x + 1 como é fazer C x d esses dois polinômios a multiplicação desses dois polinômios em x bom assim como nós fizemos aquela operação distributiva com o -1 né nos últimos exemplos nós vamos aqui fazer a operação distributiva utilizar a propriedade distributiva mas com esse termo o 3x Então nós vamos fazer 3x x x qu 3x x - 2x 3x x o 1 então isso vai ocorrer aqui ó

3x x x qu é 3x C Lembrando das propriedades das potências né tem o x elevado a 1 o x mesma base elevado a 2 a gente soma os expoentes 3x + 3x x o Men 2x não pode esquecer desse menos aí que ele é importante então o 3x x o - 2x nós vamos ter - 6x qu + 3x x 1 que vai ficar 3x né reescrevendo tudo isso nós temos 3x C - 6x qu + 3x eh assim como nos outros casos Vamos pensar se é comutativo ou seja C x d é a

mesma coisa que D x c em termos de polinômios vamos fazer o teste agora D x c mesma ideia só que tem muita gente inclusive para vocês que vão trabalhar né no e no ensino médio mesmo no ensino fundamental alguns desses contextos desses conceitos eh que faz a distributiva sempre partindo aqui da esquerda paraa direita né Então vai fazer x qu 3x - 2x x 3x 1 x 3x eh em termos de organização é interessante para pensar a ideia de ser comutativo ou não é interessante também seguir essa essa estratégia mas muita gente às vezes

prefere pegar um termo pequenininho né em termos de tamanho assim de formato Então faz a distributiva de trás paraa frente mas se a gente fizer a distributiva de trás para frente já é o spoiler de que sim é comutativo é a mesma coisa que nós fizemos anteriormente Então vamos seguir esse essa primeira estratégia mas tanto faz né então x qu x 3x 3x C - 2x x 3x - 6x e 1 x 3x 3x E chegamos a essa expressão que é exatamente igual à expressão anterior Ou seja a multiplicação de polinômios É sim comutativa eh

a gente tá falando de de multiplicação eh produto né né então vamos entrar aqui num num tema que é chamado produtos notáveis né Por que que é notável eh são alguns tipos de produtos que Eles seguem sempre um padrão né bem fácil de se identificar e por usar muitas vezes você acaba de uma certa maneira memorizando isso né então antes de memorizar é interessante usar e entender um pouco de onde vem mas no fim são produtos que você muita muitas vezes para resolver um problema de bate pronto você já identifica e fala Ah estou nesse

caso aqui e eu já jogo direto um resultado né mas também acho não Acho interessante sair memorizando mas trabalha bastante problemas e e situações que uma hora isso aí acaba sendo memorizado quase que naturalmente então para explorar um pouco essa ideia considerar outros dois polinômios aqui como exemplo né o a x que é o x + 1 e o BX que é o x - 1 Vamos pensar o que seria o quadrado né que seria o a x qu e depois o b x qu se é o quadrado significa que eu estou multiplicando né então

AX qu eu posso escrever como x + 1 qu e que é a mesma coisa que x + 1 x x + 1 eh podemos de novo pensar na distributiva né x x x vai dar x qu x x 1 né vai dar aqui x 1 x x x e 1 x 1 1 né somando tudo né a gente pode reescrever essa expressão como x qu + 2x + 1 eh o por que que eu digo que tem um certo padrão se a gente pensar bem olhando para essa expressão final e olhando pro nosso polinômio

x pro nosso polinômio Ah desculpa que é o x mais 1 nós percebemos que fazer ao quadrado significa o primeiro termo elevado ao quadrado mais duas vezes x x 1 duas vezes esse primeiro elemento vezes o segundo mais o quê o 1 quadrado né que vai dar 1 então é por isso que eu dig que segue um certo padrão vamos ver o que aconteceria com o b o b Quase igual só que tem um menos aqui ele é x - 1 mesma coisa vamos multiplicar X com X X qu X com -1 - X -1

X X - X e -1 -1 menos com menos vai dar 1 né Mais Positivo Então a gente vai reescrever essa expressão como x - 2x + 1 de novo a gente percebe esse padrão que tinha antes só que aqui tem uma pequena variação por conta do menos que estava ali entre o Né o x - 1 então nós temos o quadrado do primeiro quem que é o primeiro esse x aqui esse elemento aqui o x menos duas vezes o primeiro que é x pelo segundo que é 1 mais o segundo quadrado né -1 qu

menos com menos mais por isso temos + 1 e de uma maneira a generalizar isso né esse tipo de produto e você pode pensar isso eh em termos numéricos né posso pensar como M como fazer eh 4 qu eu posso pensar 1 + 3 tudo isso ao quadrado né a gente tá trabalhando em polinômios mas essa ideia dos produtos notáveis dá pra gente pensar em outras situações eh então de uma maneira geral nós dizemos que o quadrado de uma soma né então De quê De a e b então nós temos o primeo quadrado mais duas

vezes o primeiro pelo segundo mais o segundo quadrado e o que seria o quadrado da diferença né o a - b tudo isso ao quadrado seria o primeiro ao quadrado esse azinho aqui ao quadrado menos o a x o b mais o segundo aqui B quadrado então isso a gente consegue pensar uma uma forma de generalizar esses resultados esses produtos e notáveis e vamos pensar agora um outro produto interessante Aqui nós fizemos a qu depois fizemos B qu agora vamos pensar multiplicar o a vezes o b e lembrando que o a era x + 1

e o b é x - 1 então Eh representando dessa maneira vamos fazer a distributiva x x x x x x -1 - x e mais o x - 1 x o - 1 Men com com com mais menos Então nós vamos obter x qu - 1 e de novo vamos generalizar isso quando nós tivermos uma situação um produto desse que é a + b x a- b nós conseguimos sempre obter essa essa cara aí geral que é esse primeiro ao quadrado menos o segundo ao quadrado tá e a gente vai usar agora um pouquinho

dessas ideias para quê para fazer um UMS passo um passo anterior né um passo inverso o que que eu quero dizer nós pegamos dois polinômios aqui chamei de e f e g nós até agora multiplicamos né dois polinômios e obtivemos um outro polinômio Então e xes o f Chegamos no g e se eu tiver o g e e que e eu quero voltar eu quero escrever esse G representar esse polinômio G como um produto né então eu quero representar esse G como uma multiplicação aqui um produto entre dois polinômios E é isso que nós vamos

fazer agora e fazer esse processo é que nós chamamos de fatoração de polinômios eh como exemplo vamos pegar aqui o h Dex que eu chamei de 5x 6 - 10x qu bom como é que a gente transforma nós temos aqui uma diferença né dois termos aqui e uma diferença Como Eu transformo isso num produto ou ou seja como eu fator esse polinômio H primeira coisa que a gente pode perceber é que 10 ele é 2 x 5 e por que que isso é interessante pra gente porque já aparece CCO aqui nesse termo então eu posso

reescrever esse polinômio dessa maneira 5x 6 - 2 x 5x qu então o 5 ele está ali multiplicando né Ele é um fator aqui desses dois termos então quando a gente fez a distributiva né a gente pegava por exemplo ali o CCO e vinha multiplicando agora nós vamos fazer o contrário nós vamos colocar em evidência esse CCO Então nós vamos colocá-lo dessa maneira reescrever essa expressão como esse produto 5 x né x 6 - 2x quado percebe que se eu fizer distributiva vai ser vou vou chegar em 5x A6 voltei ali para cima e 5

x -2 vai dar -1x qu voltei a a expressão Inicial então ótimo eu já consegui ali uma carinha de um produto mas a gente consegue um pouco além assim como eu coloquei em evidência o 5 eu consigo colocar também o x qu como é que eu vou fazer isso se eu lembrar das propriedades da potência né x à se eu posso reescrever como X qu x x 4 que eu mantenho a base e somo os expoentes podia fazer outras coisas podia podia ser x 1 x X5 agora isso me ajuda não me ajuda tanto x

c ve x x c vai dar x à se também mas me ajuda não ajuda aqui porque eu quero colocar em evidência Ou seja eu preciso de alguém que esteja né faça parte desses dois termos aqui e o x qu convenientemente faz parte dos dois e é por isso que eu vou fazer essa opção então colocando x qu agora em evidência ele vai vir aqui né para fora vamos dizer assim a grosso modo né desses parênteses vai ficar o cinco que já estava lá fora né vezes o x qu vezes o que sobrou aqui que

é o x qu - 2 então Eh se a gente voltar assim como fizemos anteriormente retomar essas multiplicações né esses produtos nós vamos voltar à formulação inicial do H Dex então nós fatoramos esse polinômio que é o o h Dex e isso é interessante em várias várias situações uma delas é quando a gente estiver trabalhando eh em algum problema alguma situação e eu chego em uma expressão por exemplo com essa cara eh se vocês lembrarem da aula anterior a gente disse que não dava para ter e vari noin n isso não seria um polinômio Mas

é uma expressão algébrica agora será que esse polinômio aqui dessa maneira quer dizer essa expressão dessa maneira ela seria um polinômio n a gente pode fatorar um pouquinho isso e entender como é que como é que fica a cara dessa expressão vamos usar a mesma ideia do colocar em evidência temos aqui essa formulação que é original x c ele eu consigo escrever o x à 5 de alguma forma que apareça x c consigo x c x x qu 3 + 2 5 então eu vou escrever o x c como X5 como x c x x

qu e a eu coloco x c em evidência e obtenho essa expressão Por que que isso foi interessante porque agora eu tenho um produto né no meu numerador envolvendo x c e no meu denominador eu tenho x qu e eu posso simplificar isso aqui também pensando nas propriedades e das potências né x c dividido por x qu vai dar só x E por que que é que eu posso fazer isso porque eu já disse aqui em cima tá escrito aqui em cima que o x qu é diferente de zer então eu posso fazer isso sem

culpa no cartório de consciência limpa e fazendo essa divisão essa simplificação chegamos nessa forma fatorada que é x x x qu + 1 e se eu quiser aplicar distributiva Chegamos em x c + x eles são equivalentes essas expressões né então eu posso dizer que P Dex É sim um polinômio e fazer isso é importante para outras situações né como a gente já comentou aqui alguns exemplos né que vocês podem pensar de aplicação dos produtos notáveis por exemplo na faturação Então esse primeiro exemplo n é e a gente pode identificar por exemplo que 4x qu

ele significa o 2x isso tudo elevado ao quadrado A gente o 9 ele é o quê 3 qu então parece que eu tenho né aquela cara dos produtos notáveis vamos ver se o 12x ele é duas vezes o que seria o primeiro pelo segundo bom o primeiro né que seria o 2x que eu vou elevar ao quadrado eh vezes o 3 né que é o 9 elevado qu 2 x 3 6 x 2 12 então eu consigo reescrever esse polinômio como 2x + 3 qu então A ideia é sempre procurar algum padrão que te ajude

a levar a um produto notável o mesmo pode ocorrer aqui só que aqui nós estamos pensando com aquela o quadrado do quê da diferença né A dica é esse menos que aparece aqui então a gente consegue reescrever 9x - 30x + 25 como o quê como 3x - 5 tudo isso ao quadrado e um outro exemplo que é aquele último que nós trabalhamos né que é esse produto né de uma de uma soma por uma diferença então o x a qu - 166 nós conseguimos manipular essa essas expressões até obter esse formato x qu +

4 x x - 4 fatoramos e se quiser dá para continuar fatorando isso daqui usando os produtos notáveis tentando buscar alternativas para criar mais né eu distribuir melhor esses produtos né abrir mais essas expressões aí depende do problema que você está resolvendo depende eh do que você quer comunicar com aquela expressão do que você quer analisar com aquela expressão e nós vamos agora pensar um outro caso né para eh fechar essa ideia de fatoração Eh vamos pensar esse polinômio aqui o p Dex eu não tenho ninguém Olha com atenção eu não tenho nenhum termo que

eu consigo colocar em evidência né que Facilite Talvez um X aqui eu consigo colocar em evidência mas o seis fica fica solto não me ajuda eh eu não consigo identificar nem o quadrado da soma nem o quadrado da diferença nem aquela né aquele produto da soma pela diferença como é que eu faço não dá para fatorar não dá sempre dá para faturar Vamos pensar uma estratégia aqui bastante interessante que é soma e produto e eu para eu resolver isso para eu conseguir faturar nós vamos pensar que no números né que possibilidades de números eu tenho

que a soma resulta em C e o produto resulta em seis bom E aqui nós vamos seguir uma estratégia que a gente chama de soma e produto o que que isso significa nós nossa ideia é buscar um número cuja soma seja c e o produto seja seis e eu tenho várias opções né Por exemplo uma opção de produto 5 5 x 1 né Eh eh que desculpa que a a soma seja 5 né Eh por exemplo o 5 + 0 5 + 0 vai dar 5 agora 5 x 0 o que que é ele não

dá seis então eu preciso achar um uma dupla aí de números que Case muito bem né que funcione que o produto nesse nosso caso seja cinco que é quem está acompanhando aqui a variável x e o produto seja 6 que é quem está aqui a variável independente nesse nosso caso o 2 e o 3 funcionam perfeitamente né 2 + 3 5 2 x 3 6 então quando eu obtenho esses números eu consigo fatorar esse polinômio na forma desse produto x + 2 que é um desses números que a gente obteve vezes tudo isso o x

+ 3 que é o outro número que a gente obteve né E com isso a gente chega a uma forma fatorada um produto desse polinômio seguindo essa estratégia que a gente chama de som produto tem que treinar bastante para conseguir afiar um pouco o olhar e identificar esses números que convenientemente né funcionam aqui mas é uma estratégia super interessante e resolve muitos dos nossos problemas bom por hoje é só e até a próxima k [Música] h [Música]