[Música] hoje nós vamos desenvolver a ideia de limites eu estou vendo aqui representado graficamente uma função f de x eu tô notando aqui que no ponto 2 quando X for 2 a função Vale 3 então f de 2 é 3 sim porque isto aqui o y é a mesma coisa que f de x quando o X é 2 o f de2 é 3 é 3 aqui agora quando eu me aproximo de dois aqui ó eu vou pegar um valor hipotético aqui aqui eu vou estar aqui se eu me aproximar um pouquinho mais do número dois
aqui no x lá no Y eu estarei me aproximando cada vez mais do número 3 então quando eu tô bem pertinho do dois aqui vamos dizer que aqui eu já esteja em [Música] 1,99 lá eu vou tá perto do 2,99 uma coisa assim mas já é quase colado no três de forma que quando que o limite desta função aqui quando X tende ao número do pela direita pela esquerda quer dizer pela esquerda quer dizer Peg aqui né direita para cá esquerda para cá quando eu me aproximo de dois pela esquerda lá no i eu vou
estar tendendo a 3 me aproximando do TR de forma que eu nunca vou passar do TRS eu vou estar me aproximando do TR mas eu nunca serei o número TR eu só me aproximo do TR pois bem agora eu vou p aqui vocês vão ver que eu poderia me aproximar do dois pela direita aqui ó se eu estou aqui eu estou me aproximando lá ó mais pertinho do dois mais pertinho do TR de novo só que agora eu t indo por cima mais perto do dois mais coladinho no TR então eu posso dizer também que
o limite da função FX que é essa função aqui que eu representei aqui quando X tende a 2 pela direita e aí eu vou representar pela direita por um valor mais aqui em cima para dizer que é um pouquinho mais lá no Y eu me aproximo do 13 então tanto faz eu me aproximar por baixo eu me aproximo de TR e por cima eu também por valores superiores a 2 aqui por exemplo 2,01 depois 2,001 e tô cada vez chegando mais próximo do número dois lá eu estarei me aproximando do TR então vocês viram que
tanto me aproximando pela esquerda como pela direita é TR então eu posso dizer dessa forma que o limite da F Dex quando X tende ao número 2 é igual a 3 aqui é o limite bilateral aqui é o limite lateral à esquerda unilateral pela direita e aqui se os dois for iguais então o limite da FX quando eu me aproximo de 2 quando X se aproxima de 2 por qualquer um dos dois lados sempre vai ser TR Então é isso que é o limite Lembrando que eu nunca vou ser dois eu só me aproximo do
dois e posso posso me aproximar do dois aqui 1,9 1,99 1,999 cada vez mais próximo do dois lá mais próximo do trê vamos ver um outro exemplo [Música] agora bom neste exemplo aqui é a mesma função o único detalhe é que a função não está definida no ponto do então não [Música] existe f de x para x = 2 Tá então não existe fx X = 2 então no ponto 2 a função não está definida é um ponto que não tem definição não tem nenhum correspondente lá tá furado aqui bom agora lembrando aquilo que a
gente viu mas o limite existe eu vou me aproximar do dois aqui ó lá eu estarei aqui se eu me aproximar mais do dois aqui lá eu vou estar aqui se eu me aproximar mais do dois aqui lá eu estarei me aproximando do 3 e eu posso me aproximar tanto quanto eu queira posso ser 1,99 1,999 porque eu nunca vou ser o dois eu vou estar sempre me aproximando sem nunca chegar no dois então quanto mais próximo do dois mais próximo do 3 então eu posso colocar de novo que o limite quando X tende a
2 pela esquerda é 3 também só que não tem problema que não está definida dois porque eu não vou assumir o valor dois nunca eu vou só me aproximar dele então não mudou nada em relação ao exemplo anterior porque no exemplo anterior tinha o dois mas eu não vou usar o dois nunca eu vou ficar só na bordinha aqui me aproximando dele e a mesma coisa é se eu me aproximado dois por valores superiores a do tô aqui a função tem a resposta lá se eu estiver mais pró do do eu me aproximo de novo
do 3 por cima mais próximo do 2 mais próximo do 3 então igualmente o limite quando X tende a 2 pela direita também será 3 então igualmente nesse caso o limite da nossa função quando X tende a 2 por qualquer um dos l iG 3 não tem problema que no do não está definida porque eu nunca irei assumir o valor do No Limite eu ficarei só nas bordinhas vamos ver outro [Música] exemplo neste exemplo aqui nós estamos observando quando eu me aproximo do do por valores inferior 2 lá no eixo do Y me aproximo do
3 Então vamos colocar aqui ó quando o X tende a do pelo lado esquerdo é 3 a resposta entretanto quando eu me aproximo de dois por valores superiores a dois então por aqui ó eu estou ali [Música] me aproximo um pouquinho mais aqui do do dois aqui ó a minha resposta desce para cá se eu me aproximar bem próximo do 2 aqui no x lá no Y eu estarei próximo do quatro e quanto mais próximo do dois eu estiver mais próximo do quatro eu vou estar tão vendo que agora quando eu me aproximo Tem um
desnível aqui então quando eu me aproximo de 2 pela direita por valores superiores a 2 a resposta vai ser qu vocês vejam que a minha função ela é constitu de duas leis diferentes ela não tem uma continuidade então neste caso se eu me aproximar pela direita ou pela esquerda não vai dar o mesmo limite Então agora eu Poss dier que o limite da F Dex quando X tende a dois por qualquer um dos dois lados não não existe não existe porque para existir ele teria que ser igual existe o limite unilateral pela esquerda que é
TR e pela direita que é qu mas o limite bilateral não existe Então agora vocês viram que a ideia de limite graficamente é essa eu tenho que me aproximar aqui no eixo X e ver de quem eu me aproximo lá no y e essa aproximação lá no Y é que vai ser o limite quando eu me aproximo de alguém aqui no x Então tá A ideia é [Música] essa aqui nesse desenho eu fiz um uma função chamei de FX essa função que a setinha tá apontando e eu estou vendo que quando o x avança para
o Infinito Então vou colocar aqui que a pergunta é Qual é o limite da função FX quando X cresce para o mais infinito então vejam bem estou aqui eu tenho uma resposta Nessa altura aqui quando eu me aproximo mais me aumento mais o meu x mais próximo do C eu estarei essa função aqui que tá crescendo ela se aproxima dessa linha pontilhada que é uma assíntota horizontal ela se aproxima sem nunca chegar sempre vai ter uma titiquê pontilhada eu posso estar pensando aqui na minha visão que já alcançou mas não alcançou microscopicamente ela ainda não
encostou ela nunca vai encostar sempre ela vai se aproximar sem nunca sem nunca atingir a linha pontilhada então ela vai ficar sempre próxima mais próxima possível mas lá no infinito Ela será praticamente C essa função vai assumir praticamente o valor cinco Porque conforme ela vai avançando vai se aproximando vai faltar tão pouco que a gente diz que é cinco ou seja ela vai ficar se aproximando sempre dos Cinco sem nunca chegar cada vez vai estar mais próxima do C então o limite desta função quando o x cresce o limite que ela nunca poderá ultrapassar é
o cinco vai se aproximar do cinco a vida inteira sem nunca chegar lá então mais um exemplinho de limite no infinito [Música] pessoal então para reforçar a ideia de limite no infinito eu fiz mais um aqui Aqui está a nossa função com linha preta e ela vai avanando quando X cresce para o Infinito ela se funde se confunde com a linha TR então o limite da função quando X tende para infinito é 3 ela se aproxima cada vez mais da linha 3 igualmente eu fiz o limite quando da FX quando X tende a menos infinito
ora se o x vai tendendo pro menos infinito a função se aproxima dessa linha pontilhada - 2 então a nossa função se confunde com a linha pontilhada com a cinta horizontal -2 tá aí então mais dois Limites por [Música] infinito vamos resolver umas questões de limite Qual é o limite de 2x + 1 quando X tende a um a única coisa que eu tenho que fazer para saber qual é o limite é substituir dois dentro do um dentro do x mais um então onde tem o x eu ponho a tendência dele que é 1 Então
vai dar 2 x 1 é 2 + 1 3 pronto o limite ah né de 2x + 1 quando X tende a 1 é 3 tá calculado o limite neste caso aqui quando eu tiver assim o X tende a 3 substituir onde tem x pelo 3 Vai dar 2 x 3 + 2 sobre 3 + 1 ora 2 x 3 se eu não me engano é 6 6 + 2 é 8 e embaixo 3 + 1 é 4 resposta é 2 tá então esses limites que eu fiz são facilzinho mas nem sempre que eles serão
tão fáceis eu tô começando com os Bem óbvio vamos [Música] prosseguir nesse caso eu tenho o limite da F Dex quando X tende a 1 Só que o um aqui representado pessoal é um divisor de funções ele se divide quando for maior do que um quando eu me aproximo de um pela Dire Esta é a lei Quando eu for um pouquinho menor que um Esta é a lei Então eu tenho duas leis eu vou ter que abrir esse limite aqui ó em pela direita e pela esquerda porque vocês vão ver agora eu posso me aproximar
de um pela direita ou pela esquerda então aqui eu vou botar assim limite quando X tende a 1 mais é um pela direita Ora se el tende a um pela direita é porque ele é um pouquinho maior que o 1,01 então é esta lei aqui que eu vou pegar então quando eu me aproximo de um pela direita é 2x + 1 Esta é a lei e quando eu me aproximo a um pela esquerda então X tende a um pela esquerda está aqui representado Ó daí eu sou 0,99 venho me aproximando de um pela esquerda Então
esta é a lei que governa então eu posso estar me aproximando do número um que eu coloquei aqui nessa reta ó eu posso estar me aproximando por aqui então o x se aproxima de um pela esquerda e por aqui o x se aproxima de um pela direita então se eu tiver me aproximando por esse lado eu sou um pouquinho maior que um então a lei que governa é maior que um se eu tiver me aproximando por esse lado de um né então a que governa é menor que um então eu já botei pela direita aqui
agora pela esquerda é a de baixo menor que um pegando então colocando aqui X2 + 2 substitui esse 1 dentro do 2 Vai dar 2 x 1 mais 1 2 x 1 é 2 + 1 é 3 e aqui 1 qu + 2 resposta 1 qu dá 1 + 2 dá 3 bom como os 2 der igual a 3 der a mesma coisa eu posso afirmar que o limite da função quando X se aproxima de um por qualquer um dos lados vai ser o número 3 Exatamente porque ter iguais se eles tivesse dado números diferentes
daí eu poderia dizer que o limite quando o X tende a um não existe o bilateral né existe apenas o limite unilateral pela esquerda ou pela direita mas não existe o limite bilateral aqui no caso existe porque deu igual do Vamos ver outro [Música] exemplo nesse exemplo aqui que nós estamos vendo é muito parecido com o anterior eu tô querendo calcular o limite da F Dex que é essa função aqui quando o X tende a 2 ora só que o X tende a do pela direita e pela esquerda colocando aqui um comentário rápido né Aqui
está o do se eu me cim de 2 por este valor aqui tipo 1,99 então eu sou menor do que 2 esse símbolo aqui é x é menor que 2 e se eu me aproximar por aqui a 2 ó 2,01 2,001 aqui ó eu sou um pouquinho maior do que 2 então eu vou abrir agora o limite quando o X tende a do in pela direita e pela esquerda o limite quando o X tende a 2 pela direita ele é um pouquinho maior do que 2 e o limite quando X tende a 2 pela esquerda
el tá abaixo quando o X tende a 2 pela direita então ele é maior do que 2 é essa lei que governa Então deixa eu colocar aqui X2 + 3 x x Isto vai dar se eu substituir X tende a 2 bota 2 qu + 3 x 2 onde Ten o x eu boto 2 vai dar 6 4 aqui vai dar 2 qu 4 3 x 2 é 6 dá 10 um deles deu 10 quando X tende a 2 pela esquerda aqui então é porque ele é menor do que do então é essa lei aqui
que eu vou pegar 3x + 1 estão entendendo pessoal eu pego uma lei ou outra Depende se eu tender a dois pela direita ou pela esquerda E aí vamos ver o que que vai dar isso aqui substitui o o 2 dentro do X vai dar 3 x 2 + 1 3 x 2 é 6 + 1 é 7 vocês estão reparando que deu diferente então existe o limite unilateral tendendo a 2 pela direita é 10 pela esquerda é 7 mas não existe então não existe o limite da função quando X tende a 2 não existe
esse limite porque daí seria o bilateral só existiria se ele estivesse dado o mesmo número como deu diferente existe o unilateral pela direita e pela esquerda mas não existe o bilateral Então esse é um caso onde o limite não [Música] existe Y
