bom estamos de volta e como de costume vamos resolver o problema deixado no encontro anterior e a proposta era descobrir qual é a condição né entre os algarismos A B e C deste número de três algarismos escrito na base 6 para que ele seja divisível por 5 então a ideia que a gente vai usar aqui é parecido com a que a gente usou no último encontro para mostrar que aquele número da base 3 era divisível por 2 agora a gente vai mostrar que um número na base 6 é divisível por 5 não sei se vocês
perceberam a correlação vou repetir na outra a gente pegou um número na base 3 e mostrou o que era necessário para ele ser divisível por 2 agora T pegando um número na base 6 e tentando descobrir o que é necessário para que ele seja divisível por 5 né Existe alguma correlação aí bom quando eu tenho lá o número a BC na verdade isso representa a x 6 qu + b x 6 + C e usando a técnica que a gente usou no último encontro eu vou escrever o 6 na forma 5 + 1 e aqui
elevado qu mais B que multiplica 5 + 1 + C E aí nós vimos Em algum momento que vou escrever aqui para relembrar a + 1 elevado a n corresponde a um múltiplo de a mais 1 portanto isso que tá aqui corresponde a um múltiplo de 5 mais 1 e isso que tá aqui corresponde a um múltiplo de 5 mais 1 Então nós vamos escrever isso assim ó múltiplo de 5 mais 1 né De novo não podemos usar o mesmo símbolo porque eu não sei se são as mesmas quantidades então eu criei uma distinção aqui
Botei um índice Então como é que fica isso a que multiplica 5 k1 + 1 + B que multiplica 5 K2 + 1 + C Vamos fazer uma distributiva aqui e aqui isso vai ficar 5 x a x k1 + a e aqui 5 ve B X K2 mais b e mais C de novo isso aqui é múltiplo de 5 e isso aqui é múltiplo de 5 quando eu juntar essas duas coisas na soma eu vou ter um múltiplo de 5 um múltiplo de 5 acompanhado de mais a+ b+ C ou seja para que esse
número seja um múltiplo de C esse bloco já é múltiplo de C A condição é que essa soma seja também um múltiplo de C Ou seja é a soma mais uma vez a soma dos algarismos do número então o critério que surgiu aqui foi exatamente o mesmo para o outro problema em que nós tínhamos um número na base 3 e descobrimos que para que ele seja divisível por 2 que é uma unidade menor bastava que a soma dos algarismos fosse divisível por dois aqui eu tô pegando um número na base 6 e descobrir que para
que ele seja divisível por cinco uma unidade menor basta da mesma forma que a soma dos algarismos seja um múltiplo de cinco então se a soma dos algarismos aqui for um múltiplo de cinco esse número todo será divisível por C um número que tá escrito na base seis bom vamos aproveitar que a gente já fez dois problemas parecidos um na aula anterior e outro na aula de hoje vamos generalizar essa ideia mas antes eu quero que você entenda essa essa representação aqui que parece assustadora mas você precisa se acostumar com ela né o que nós
estamos fazendo aqui é representar um número que tá escrito na base n numa base n qualquer cada um desses azinhosa um algarismo diferente desse número então da direita pra esquerda o primeiro algarismo é o a0 o segundo algarismo da direita paraa esquerda é o A1 como eu não sei se eles são iguais ou diferentes eu não garanto que eles são iguais eu usei uma distinção entre eles que foi o índice Esse era o a0 Esse era o a1 e o seguinte chamei o algarismo seguinte de a2 e o algarismo seguinte de A3 por que que
eu fiz desse jeito começando pelo a0 depois pro A1 pro A2 pro A3 porque na verdade esse algarismo tá associado à potência n que é da base elevado a z0 e esse algarismo A1 tá associado a n elevado a 1 e esse algarismo A2 está associado a n elevado a 2 e o algarismo A TR está associado a n elevado a 3 então fica fácil porque o índice que a gente colocou aqui para fazer a distinção entre esses representantes dos algarismos esses índices já indicam pra gente qual vai ser a potência que vai est associada
a ele e aí como eu não não sei exatamente se eu tenho 10 15 30 ou 1000 algarismos nesse número que tá escrito na base n eh eu generalize também a quantidade de algarismos então eu coloquei uma quantidade R né da mesma forma que aqui antes do A3 apareceu o A2 eu fiz aqui ó ar e antes dele aparece o a R - 1 e antes do ar - 1 o ar R - 2 e antes do Ar - 2 que eu não escrevi seria o a r-3 e assim por diante essa é uma maneira
de representar isso o mais genérico possível né De qualquer forma a ideia vai ser a mesma porque e o ar agora você já sabe né nessa representação aqui quando eu passar pra base 10 isso vai ficar o ar vezes a nossa base que é n elevado a r lembra que o dizia pra gente qual era a potência da base depois eu vou ter o a r- 1 vezes a nossa base elevada a R - 1 e assim por diante não precisa escrever todos até por exemplo chegar ao A3 que está associado a n elevado a
3 o A2 ve n elevado a 2 o A1 x n e o a0 escrevemos na forma de potências o resultado disso vai me dar essa quantidade já passada para a base 10 e agora nota uma coisa né usando aquele nosso resultado esse n aqui cada um desses representantes aqui n n n n poderá ser escrito eu vou fazer só com um deles ó isso que tá aqui poderá ser escrito assim ó a r que multiplica eu tô repetindo a nossa técnica eu tô escrevendo o n agora como n - 1 + 1 eu já
fiz isso com o 3 escrevi 2 eu fiz ISS comevi 5 1 agora fazendo com n n n- 1 mais só que isso aqui elevado r n isso que foi feito aqui eu posso eu posso devoe aqui aqui aqui aqui até o fim B qual er vantagem disso você deve lembrar nós concluímos em algum momento que isso aqui será um múltiplo de n - 1 mais 1 fizemos isso lá com 3 quando abrimos em 2 + 1 concluímos que era um múltiplo de 2 + 1 quando a gente fez na base 6 abrimos isso em
5 + 1 e concluímos que era um múltiplo de 5 mais 1 a mesma coisa aqui então em todos eles né isso vai acontecer de modo que lá no final quando eu multiplicar o ar por isso o ar Men o ar - 1 por isso que vai ser a mesma coisa aqui eu vou poder dizer que esse cara é um múltiplo de n- 1 mais 1 quando isso acontecer em todos eles né que que vai acontecer lá no final você vai ter uma soma de coisas que vai D um resultado múltiplo de n - 1
e do lado da mesma forma que aconteceu nos dois problemas anteriores você vai ter uma sobrinha que é o ar mais ar - 1 mais ar-2 que eu não tô escrevendo + A3 + A2 mais a1 + a0 e a sua conclusão vai ser rigorosamente a mesma que você teve nos dois problemas anteriores esse número aqui escrito na base n só é divisível por n - 1 se a soma dos algarismos for divisível por n - 1 porque se essa soma for divisível por n - 1 esse pedaço já é ele todo será divisível por
n- 1 agora se essa soma aqui não for divisível por n - 1 ao se juntar com o múltiplo de n - 1 o resultado inteiro Deixa de ser um múltiplo de n - 1 E aí não dá para ser não dá para dividir por n - 1 então resumindo a nossa conclusão com esses três problemas e essa generalização aqui que foi o terceiro problema é concluir que todo número escrito numa base n será divisível por n - 1 se a soma dos seus algarismos também for divisível por n - 1 isso era a conclusão
era onde a gente queria chegar uma consequência bacana disso que a gente acabou de de demonstrar né são critérios de divisibilidade né Por exemplo é aplicando o que a gente acabou de descobrir para um número escrito na base 10 né a gente conclui que um número escrito na base 10 é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é divisível por 9 né esse o critério similar ao critério que a gente usa pra divisibilidade do número por três né E curiosamente algumas pessoas conhecem o critério por três né divisibilidade para três mas não conhecem
o critério de divisibilidade para nove né então aqui a gente provou que o número na base 10 será divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for divisível por 9 né Então imagina que esse aqui é um número na base 10 isso tem que dar necessariamente um múltiplo de nove vou destacar isso aqui né se o n se a nossa base for 10 isso aqui será um múltiplo de 9 adicionado dos seus algarismos né então se o número tá escrito na base 10 ele necessariamente dá um múltiplo de 9 mais a soma dos seus
algarismos E aí esse número será divisível por 9 se a soma desses algarismos também for divisível por 9 a gente consegue estender essa ideia pro critério divisibilidade por trê porque esse pedaço aqui é um múltiplo de nove então necessariamente também é múltiplo de TR E aí o meu número agora tá sendo escrito da seguinte forma um múltiplo de TR mais a soma dos seus algarismos e se a soma dos algarismos for agora um múltiplo de três como que vem antes já é um múltiplo de três por ser múltiplo de 9 se a soma desses algarismos
for um múltiplo de TR o número inteiro é divisível por 3 Então tá aí estabelecido também né o critério divisibilidade por TR ou seja se a soma dos algarismos der um múltiplo de três ele se junta a esse múltiplo de TRS e o número todo será divisível por 3 bom depois de resolvido esse esse problema para a divisibilidade por 9 é chamar atenção Para um fato Sutil e interessante que é o seguinte é a gente mostrou né que um número escrito na base 10 será divisível por 9 se a soma dos seus algarismos também for
divisível por 9 né Essa Ideia Sutilmente será estendida pros divisores de nove por exemplo o 3 e aí como o 3 é é divisor de 9 se isso isso aqui é um múltiplo de nove se esse bloco é um múltiplo de nove ele será necessariamente um múltiplo de TRS E aí você testa de novo aquela história da soma dos algarismos só que agora em vez de testar para nove você testa se essa soma é divisível por três você fez uma adaptação a mesma coisa se tivéssemos escrevendo um número na Base 7 nós saberíamos que esse
número na Base 7 na verdade é um múltiplo de seis mais a soma dos seus algarismos né portanto esse número da Base 7 será divisível por se se a soma dos seus algarismos também for divisível por seis agora como o 2 e o TR são divisores do seis Você pode adaptar essa técnica para o dois e para o três porque se isso aqui é múltiplo de se também será múltiplo de dois e aí você passa a testar a soma dos seus algarismos para ver se essa soma é ou não divisível por 2 pensando no três
se isso aqui é um múltiplo de seis também é um múltiplo de TR E aí você passa a testar a soma dos seus algarismos para ver se ele é um múltiplo de trê Então essa é uma extensão interessante para os divisores de n - 1 você sempre vai escrever o número na base n como um múltiplo de n - 1 mais a soma dos seus algarismos se você quiser testar isso para algum divisor de n - 1 esse bloco já tá garantido porque o múltiplo de n - 1 será o múltiplo desse divisor de n-
1 esse bloco tá garantido para esse tal divisor D que que eu tenho que fazer agora em vez de testar se a soma aqui é ou não múltipla de n- 1 Eu agora vou testar se essa soma é ou não múltipla desse divisor D né E aí eu sugiro que você faça né testes com isso aí mude as bases e verifique essas coisas que a gente acabou de falar para você fica isso como uma proposta de exercícios até a próxima
