16 MEF1 AULA 7 ETAPA 2 012

Então nós já comentamos né que o nosso grande objetivo é a partir do deslocamento do nó calcular os deslocamentos de dentro do elemento usando a técnica matemática da interpolação vamos falar um pouquinho sobre interpolação você já conhece isso desculpa até tem comentar nisso mas lá na matemática muitas vezes para abrir o raciocínio a gente Estudava Como fazer uma interpolação por exemplo Imagine que você tem um ponto aqui um ponto a né que tem as coordenadas X1 e y1 e aqui tem um outro ponto b cuja coordenada é X2 e Y2 são pontos conhecidos aí você

vai fazer uma interpolação entre os pontos a e o ponto b porém porém tem uma palavra Chave que é vital em todas as formulações de elementos finitos por um motivo físico que nós vamos comentar daqui a pouco essa interpolação tem que ser única ela tem de ser única isso tem um motivo por dois pontos só passa uma única reta Então eu vou uma reta e vou fazer a interpolação o que eu quero dizer é o seguinte dentro da hipótese da interpolação linear se eu conheço esse ponto e eu conheço esse ponto Só existe Uma única

reta que passa por esses dois pontos e a gente conhece a equação da reta né que é do tipo AX mais o b por exemplo aí a gente substitui nos pontos conhecidos por por exemplo neste ponto nós conhecemos y1 = ax1 + b e nesse outro ponto nós conhecemos Y2 = ax2 + b então nós conhecemos este cara este cara este cara E este cara nós temos duas equações a duas incógnitas e nós determinamos essa única reta que passa pelos dois pontos Isso é uma interpolação geométrica né para abrir o raciocínio por uma por dois

pontos só passa uma única reta esse conceito de único é vital em elementos finitos aí o cara chega e fala assim ah não Mas eu vou passar uma parábola por dois pontos aí chega um outro cara fala assim ah se você pode passar uma parábola Eu também passo Ah mas eu também posso eu passo uma parábola Ah mas eu também quero passar uma parábola por esses dois pontos Eu também passo uma parábola dois pontos eu passo infinito aí virou Festa da Uva isso aqui né quer dizer por dois pontos só passa uma única reta se

eu quiser passar uma parábola do segundo Grau eu preciso de um terceiro ponto que é esse ponto C aí eu vou conseguir passar uma única parábola cuja equação seria Y é um ax2 mais o BX e mais um C E aí eu teria de forma semelhante o mesmo raciocínio né eu pego X1 y1 X2 Y2 e X3 y3 se você substituir na equação você vai ter três equações a três incógnitas E você só tem uma parábola do segundo grau única somente uma que passa paraa aqueles três Pontos se você colocar quatro pontos você vai ter

uma parábola cúbica e assim por diante Por que que esse termo único é absolutamente importante em elementos finitos porque esse é um conceito físico nós não estamos falando só aqui de matemática para abrir o racioc nós estão falando do mundo físico se Imagine que você tem uma viga ali na estrutura e a viga olha só a viga aqui ela tem um deslocamento e tem um deslocamento e ela Se deforma isso daqui é uma função que nós queremos escrever matematicamente ó essa função vai est num yx por exemplo Tá certo ou não Ou seja a partir

do deslocamento do nó nós vamos querer calcular o deslocamento dentro do nós estamos interpolando deslocamento só isso como aqui a partir do conhecimento dos dois pontos a gente determina a posição dos pontos intermediários a partir do deslocamento nodal Eu Determino o campo de deslocamento dentro do elemento Então vamos supor que a viga tá deformada o quero dizer o seguinte se eu aplicar um deslocamento nodal conhecido só tem uma única forma da Viga se deformar Então imagina que nós aqui estamos decidindo o futuro da Viga né né Aí eu olho para aquela deformada eu falo assim

ah não eu acho que isso é um polinômio do segundo grau aí o outro fala não eu acho que é do terceiro grau aí o outro cara fala Não eu acho que é do quarto grau daqui a pouco a viga para lá e fala assim ô dá para decidir aí como é que eu vou me deformar porque eu preciso me deformar eu preciso eu preciso que vocês decidam Qual é a maneira que eu vou me deformar porque só tem uma maneira dela deformar quando você aplica uma viga precisa combinar com ela né você já combinou

com a viga como é que vai deformar porque quando você tem o deslocamento nodal imposto só tem uma maneira da Viga Deformar com aquele deslocamento nodal imposto por isso que ela tem que ser única não é qualquer uma é única então o conceito de interpolação única é absolutamente fundamental para você formular um elemento finito e em particular o elemento de viga que nós vamos usar como um pretexto para entender um conceito muito maior tá Claro essa palavra única em elementos finitos tem um conceito físico diria assim pessoal e intransferível porque para cada condição que eu

imponho de contorno de deslocamento Noal eu tenho uma única forma da Viga deformar a gente não precisa ficar aqui querendo Decidir sobre a maneira que ela vai deformar precisa combinar com ela né Se ela concorda então aí nós vamos começar a dar o nosso primeiro passo usando o Elemento de viga como um pretexto para entender como que se interpola em elementos finitos em elementos finitos você tem duas grandes tarefas vou falar novamente porque isso o cara tem que ter no sangue se não tem tem que fazer uma trans de sangue o cara que trabalha com

elementos finitos tem que saber isso você tem uma estrutura essa estrutura você divide em elementos os elementos estão conectados nos nós a Partir da rigidez de cada elemento você monta a rigidez da estrutura o determinante é zero fatal erro você aplica a restrição aplica os loads os carregamentos você calcula o deslocamento dos nós e as reações aí começa a segunda etapa que nós vamos fazer agora a partir do deslocamento nodal você vai calcular o deslocamento dentro do elemento usando a técnica matemática de interpolação E isso tem uma regra para fazer da mesma maneira Que na

matemática tem uma regra para você fazer interpolação única em elementos fnos também tem dado que você conhece o deslocamento noral só tem uma única forma daquele elemento se deformar e que nós vamos fazer essa busca usando a técnica de interpolação nós vamos usar o elemento de viga para entender isso Então olha só nós vamos fazer a representação Aqui de um elemento de viga Aliás daqui pra frente nós vamos cansar de fazer isso né Nós vamos juntos formular a biblioteca de elementos do software é como se a gente tivesse desenvolvendo o software de elementos finitos cada

elemento tem a sua função de interpolação cada elemento tem a sua Particular forma única de a partir do deslocamento nodal calcular o deslocamento dentro do elemento e o que que é isso que nós estamos fazendo aqui isso aqui não está isolado do mundo nós já falamos sobre isso nós estamos admitindo que a primeira parte já foi resolvida quando você pega um modelo de elementos finitos depois que você calculou o deslocamento dos nós agora você quer fazer o que Acontece no âmbito de um elemento isto que nós vamos desenhar aqui é um diagrama de Corpo Livre

toda vez que nós desenharmos um diagrama de Corpo Livre de qualquer elemento finito eu tô partindo do princípio que a primeira parte já foi resolvida ou seja os deslocamentos nodais são conhecidos eu não posso ter dúvida sobre isso a primeira parte da montagem subdividir em elementos é para calcular o deslocamento dos nós agora nós vamos Entrar na segunda parte que a partir do deslocamento no Dom no D calcular o deslocamento dentro do elemento então eu vou mostrar aqui um elemento finito de viga ó esse elemento de viga eu vou mostrar o elemento aqui antes de

deformar Ó aqui tá esse aqui é o famoso nó um esse aqui é o famoso nó 2 isso aqui representa o elemento antes de estamos falando Disso agora eu aplico o deslocamento nordal o elemento tá deformado antes depois antes depois então eu vou representar aqui o elemento depois de deformado isso é o diagrama de Corpo Livre é amente importante que a gente tenha em mente essa técnica que nós estamos desenvolvendo juntos aqui porque isso será utilizado para todos os elementos finitos com algumas adaptações isso aqui nós vamos Transportar para o mundo bidimensional e tridimensional este

nó estava aqui ele veio para cá este nó estava aqui ele veio para cá Qual é o objetivo a partir do conhecimento do deslocamento do nó nós queremos calcular o deslocamento de qualquer ponto dentro do elemento por isso que nós estamos falando formule a função de deslocamento que é a função de interpolação para o Elemento finito nós vamos escolher uma função que determin o campo de deslocamento dentro do elemento a partir do deslocamento nodal e essa função tem que ser única agora Me responde uma coisa nós já sabemos isso mas é só para só para

fixar a ideia né eu vou pegar uma viga aqui que ela tá bloqueada aqui e vou fazer isto ó eu vou aplicar um deslocamento por exemplo de 30 mm 30 mm esse 30 mm é a mesma coisa que esse 30 mm é a mesma coisa que esse 30 é a mesma coisa que esse aqui não é obviamente é só olhar pra viga deformada o que eu quero dizer é que quando você pega uma viga e ela tá sofrendo flexão no plano num dos seus planos de flexão Eu tenho um deslocamento e um ângulo Eu tenho

2 graus de liberdade para definir a Condição que eu imponho no nó que são os graus de liberdade que são os deslocamentos dos Nós o que eu quero dizer é o seguinte olha só aqui estão os graus de liberdade Esse é o deslocamento aqui que nós temos no eixo Y e pela teoria da elasticidade todo o deslocamento no eixo Y A gente chama de v e esse é o tal do ângulo né que a gente acabou de mostrar agora Olha aqui eu tenho o deslocamento e eu tenho o ângulo eu posso ter diversos ângulos se

eu definir um deslocamento e um ângulo eu tenho de forma única definindo a condição de contorno desse nome só que nós já vimos na teoria de viga que esse ângulo é dado pela derivada primeira do deslocamento que eu quero dizer com isso é o seguinte a partir do deslocamento nodal para qualquer Ponto X nós queremos descobrir qual é esta Função vx a função que permite calcular o deslocamento dentro do elemento a partir do deslocamento dos nós então isso daqui é a primeira derivada do deslocamento Ou seja eu tenho uma função que dá o campo de

deslocamento esse aqui é o valor do deslocamento no nó um e esse é o valor do ângulo como os ângulos são pequenos porque nós estamos trabalhando na análise linear o valor do ângulo e a sua Tangente são aproximadamente iguais são quos mesmos né velinha um e aqui V linha V2 perdão né Aqui nós temos o V2 e Aqui nós temos o ângulo que é o velinha 2 né então Aqui nós temos o deslocamento V2 e temos o ângulo velinha 2 o objetivo nosso é o seguinte a partir dos deslocamentos no que são os graus de

Liberdade nós queremos calcular a função que descreve o deslocamento dentro do elemento o que nós vamos demonstrar Juntos você não precisa acreditar nisso da mesma maneira que Na matemática o número de pontos define o grau do polinômio em elementos finitos para que você tenha uma função de interpolação única o número de graus de liberdade é que define o número de coeficientes do polinômio de interpolação e como consequência o seu grau porque o polinômio tem coeficientes como todo polinômio que vocês sabem então aqui nós chegamos agora numa Parte crucial de toda a interpolação e de toda

a formulação de elementos finitos a partir do deslocamento nodal nós queremos calcular o deslocamento dentro do elemento Qual é o grau do polinômio de interpolação eu tenho que fazer uma pergunta sempre quantos graus de liberdade o elemento tem o número de graus de liberdade do elemento é que vai definir o grau do polinômio que vai fazer a interpolação é a única maneira que eu Consigo garantir que esse polinômio seja único mas já falamos da Viga né se combinar com ela se ela concorda com o jeito que nós estamos só tem uma maneira dela deformar dado

os deslocamentos não dais Então essa é a questão central a partir do deslocamento dos Nós nós queremos determinar essa função que dá o deslocamento dentro do elemento por intermédio de um polinômio tem que ser único Qual é o grau do polinômio isso Vai vir a partir da resposta a uma pergunta quando você quer formular um elemento finito Qualquer que seja unidimensional bidimensional tridimensional você vai fazer uma pergunta quantos graus de liberdade o elemento tem o número de graus de liberdade é que vai definir o número de coeficientes da função de interpolação e como consequência o

seu grau você não precisa acreditar nisso que nós vamos demonstrar isso agora Matematicamente o motivo disso é físico Só que tem um outro detalhe importante o polinômio tem que ser completo por um motivo físico também que nós vamos demonstrar agora ou seja a formulação do elemento de viga que nós estamos formulando agora vamos formular junto ela transcende a viga ela é muito mais importante do que a viga A viga é um elemento importantíssimo mas a ideia da interpolação que nós vamos usar na viga Como um pano de fundo vai ser aplicada para todos os elementos

finitos se a gente entender isso na viga nós vamos expandir pro mundo B tridimensional usando né um pouco de astúcia e matemática no bom sentido né tá claro é o que nós vamos fazer agora então nós vamos dar o grande primeiro passo o primeiro passo para formular qualquer elemento finito é escolher a sua função de deslocamento ou função de interpolação é a função que a Partir do deslocamento nodal permite calcular o deslocamento dentro do elemento Ok então vamos fazer isso agora Então vamos começar né até Vou colocar aqui ó a primeira grande tarefa ao formular

um elemento finito é estabelecer a sua função de Deslocamento O que é a função de deslocamento de interpolação que permite calcular de forma única a partir do deslocamento nodal o deslocamento dentro do elemento como é que eu garanto isso então repetindo na matemática pelo número de pontos conhecidos você determina o grau da função única de interpolação em elementos finitos é o número de graus de Liberdade que define a função interpolação este elemento aqui 1 2 3 4 ele tem quatro componentes de deslocamento que são 4 graus de liberdade então o elemento ele tem 4 gra

de liberdade se o polinômio definido ele é único necessariamente ele tem que ter quatro Coeficientes eu preciso acreditar nisso não porque nós vamos demonstrar isso agora o que eu tô querendo dizer é o seguinte Qualquer que seja o elemento finito se ele tiver um número n de graus de liberdade se o polinômio de interpolação ele quiser ser único e tem de ser único ele tem que ter n coeficientes Essa é a condição que nós Temos que respeitar na formulação de todos os elementos finitos o número de graus de liberdade tem que ser igual ao número

de coeficientes particular no elemento de viga nós temos 4 graus de liberdade então nós vamos usar quatro coeficientes tá claro Só que tem uma condição adicional que essa é física além do polinômio tem de ser único o polinômio tem que ser Completo O motivo disso é um motivo físico Por que que o polinômio tem que ser completo que que eu quer dizer que o polinômio é completo Um polinômio completo ele começa do grau mais baixo qual é o grau mais baixo que o polinômio pode ter o grau mais baixo que um polinômio pode ter se

ele é completo é o grau zero vamos escrever eu vou escrever esse polinômio aqui olha a função aqui essa é A função V Dex que para cada x Eu tenho um deslocamento V Dex como o deslocamento só ocorre nesse eixo no caso da Viga inflexão não há deslocamento aqui porque o deslocamento axial e o deslocamento vertical são independentes Então essa é uma função unidimensional ela só tem uma variável que é o x então eu vou colocar aqui nós vamos descrever o polinômio que tem quatro coeficientes e É completo O que que é o polinômio completo

ele vai começar com o primeiro coeficiente que é o C1 esse C1 o grau é zero porque isso aqui é C1 x x elevado a 0 que é 1 mais o C2 x x mais olha grau z0 grau 1 o C3 x X2 já usei três coeficientes e agora Aqui nós temos o 4 coeficiente que é C4 x X3 isso é um polinômio do terceiro grau que é o que eu consigo fazer com quatro coeficientes Por que que o polinômio tem que ser completo vamos ver fisicamente Olha [Música] só entre a carga e o engastamento

nós temos a viga no formato de uma curva se a viga tem o formato de uma curva necessariamente eu tenho ação de momento eu tenho deformação por por flexão por flexão existe se existe Curvatura e entre a carga extremidade livre ó a carga e a extremidade livre a viga deslocou deslocou Mas ela é uma reta ela não tem deformação por flexão aonde é que tá isso tá aqui ó essa é equação da reta por isso que o polinômio tem que ser completo o polinômio que descreve um elemento finito ele tem que ter de primeiro representar

as formas mais simples do elemento deslocar Qual é a Forma mais simples de qualquer elemento finito deslocar é deslocar sem deformar é isso aqui entre a carga e a extremidade livre houve deslocamento sim houve deformação por flexão não quem é que garante isso é a parte do polinômio que é o grau mais baixo por isso que ele tem que ser completo tem uns caras que gostam de queimar etapas na vi já viu o caraa já quer começar Advance de lá na frente né ou seja o cara já queria vamos supor Que o cara tem a

vontade de já começar no segundo grau o polinômio para poder ter um polinômio mais rico não eu vou meu polinômio já começa lá na frente eu já queimo etapas na vida acontece isso né cara que é um queimador de etapas ele não quer ele quer pegar atalho não caminho o que que acontece se você formular um elemento a partir daqui com quatro coeficiente é você vai fazer isso daqui como você não tem a parte linear vai aparecer uma tensão na ponta da Viga Né porque aqui ó Isso aqui é curva tem segunda derivada quer dizer

se você construir um software assim você pode jogar no lixo né ou manda um e-mail lá pro pro cara que desenvolveu o s e falou ó esse negócio aqui vou jogar no lixo que não save para nada Como diria o pod o poeta as ideias não correspondem aos fatos né você pegar você pegar uma uma aqui e apresentar uma tensão na ponta da Viga o cara abraçou a derrota ou ficou louco né pô não existe Isso é por isso que o polinômio tem que ser completo duas coisas eu vou formular um elemento finito eu tenho

que fazer uma pergunta qual é a pergunta quantos graus de liberdade o elemento tem o número de graus de liberdade define o número de coeficientes que você vai usar na função de interpolação pro polinômio ser único você garantia que o polinômio é único sempre vale para todos Ah eu preciso Acreditar nisso não porque nós vamos demonstrar agora que isso é verdade e segundo polinômio tem que ser completo Por que que o polinômio tem que ser completo ele começa no Grau mais baixo porque ele tem que representar Primeiro as formas mais simples do elemento se deslocar

e a forma mais simples do elemento se deslocar é deslocar sem deformar eu vou mostrar uma viga aqui ó Imagine que um cara chegasse assim né Na nossa conversa agora o cara que chega atrasado que aí na janelinha né manja eu faço isso aqui ó ó deformou não isso aqui é um polinômio do terceiro grau é que é um polinômio do terceiro grau em que C3 e C4 vale zero se eu tiver uma viga que faz isso ela deslocou mas ela não deformou agora eu posso ter isso daqui e ter uma deformada desse tipo isso

aqui é um polinômio do terceiro grau em que o C1 e C2 vale zero agora eu posso ter isso ao mesmo tempo Que eu tenho isso eu tenho isso eu tenho uma parte que é deslocamento sem deformação e tem uma parte que é deformação Esse é o polinômio que tem todos os coeficientes Essa é a ideia da formulação do elemento finito nós vamos provar isso por diversos caminhos mas nós já falamos isso lembra que a gente comentou que o elemento infinito de viga é um elemento dentro daquilo que a teoria de viga calcula Por que

que o elemento finito é Exato nós mostramos até um diagrama aqui de momento fletor lembra mostramos no software com quatro elementos cinco e com um elemento só o resultado era o mesmo por quê Porque na teoria de viga quando você pega uma viga e você impõe deslocamento de contorno e ângulo a função que dá de forma exata o campo de deslocamento dentro a partir do deslocamento ndal é um polinômio do terceiro grau então se você tá formulando por interpolação um polinômio Do terceiro grau você já tá propondo a função exata Essa é a diferença do

elemento Bi e tridimensional o elemento finito b tridimensional a função de interpolação nunca vai ser exata sempre vai ser aproximada e lá você vai ter que regular o tamanho da malha Tô fazendo uma revisão do Futuro hein mas ess isso que vai acontecer essa é a diferença dos elementos por isso que muita gente fala Assim né ah agora mesmo que eu vou entrar em elementos finitos o elemento finito de viga não é bem um elemento finito porque ele é exato dentro da teoria de viga ele é exato mas só por causa disso porque na teoria

de viga a função que dá o campo de deslocamento dentro do elemento a partir do nodal eu não tô falando de elemento S tô falando da teoria de viga é um polinômio do terceiro grau mas aqui você tá formulando a interpolação como um Polinômio do terceiro grau então o elemento finito de viga é um elemento exato função de deslocamento função de interpolação do elemento de viga Essa é a tarefa mais importante que a gente vai fazer em todos os elementos finitos é isso que nós vamos fazer juntos para formular todos os elementos finitos do software

nós vamos fazer um diagrama de Corpo Livre isso tá isolado do mundo não como aqui eu não tô isolado do mundo isso aqui é um elemento eu faço um diagrama de Corpo Livre e trago para cá Aí eu coloco ele em equilíbrio porque ele troca forças com vizinhos é isso aqui isso aqui não tá isolado no mundo isso aqui faz parte do uma estrutura maior mas eu tô estudando ele aqui isso aqui tá ligado a outros elementos vizinhos eu tenho os Deslocamentos dos Nós eu tenho os graus de Liberdade nós vamos calcular o deslocamento dentro

do elemento Essa é a função interpolação aliás Deixa eu fazer o seguinte né ó se você tiver a deformada em cada ponto você tem a primeira derivada que dá o ângulo né Deixa eu até calcular ela aqui não tem nenhum sério né ó ó o velinha de X aqui ó esse velinha de X aliás é importante porque aqui eu preciso conhecer o deslocamento e o ângulo para calcular os coeficientes como é que seria o velinha de X Isso aqui é uma constante a derivada de uma constante Quanto dá zero derivada Med taxa de variação A

constante não varia então é zero c2x lembra que é a primeira C2 mais ó aqui o 2 pula aqui para baixo 2 c3x e Mais 3 C4 X2 Nós temos duas funções aqui uma que dá para cada X o valor do deslocamento e a outra que para cada x dá o ângulo de inclinação acabamos de formular o elemento finito de viga Essa é a tarefa mais importante que vocês vão fazer na formulação de todos os elementos finitos da biblioteca do software agora tem uma pergunta que vai Ocorrer sempre isso aqui tudo é armazenado dentro do

software vai lá no software de elementos finitos existe uma questão administrativa que não tem nada a ver com elementos finitos na Essência já falei isso para vocês é a mesma coisa de um cara que estuda física e o outro que estuda Educação Física não tem nada a ver uma coisa com outra se o cara chegar e falar para você O que que é o método dos elementos sinos é um método matricial não para pelo amor de Deus interno cara ele não tá no juízo perfeito o método dos elementos finitos é um método de discretização de

sistema contínuo quando você faz um modelo de 1 milhão de Nós Você não tá calculando o deslocamento dos infinitos só daquele 1 milhão se você fizer um modelo de 10.000 nó você só tá representando o deslocamento do 10.000 e não dos infinitos Mas você julga que aqueles são Suficientes agora como é que eu armazeno isso no computador Isso é uma questão administrativa usando Matriz então Matriz é a maneira mais compacta e elegante de você representar o que você desenvolve é por isso que que que que é meio assustador né o cara começa por exemplo falar

de elementos sinistros ele desenha uma matriz consideremos uma matriz Fala pô Como assim cara o mundo não nasceu matricial Pô Você não vê uma matriz andando na rua né você vê Isso é uma técnica matemática então eu vou fazer o seguinte nós vamos pegar essa equação aqui e nós vamos representar de uma maneira compacta que convém que convém pro armazenamento que é isso aqui ó eu posso dizer que o v Dex é o produto de duas matrizes 1 x X2 X3 e aqui são os coeficientes C1 C2 C3 e C4 ó o produto disso por

isso dá isso aqui qual é a vantagem de fazer isso é que quando você determinar os coeficientes dessa equação você não vai ficar catando o milho resolvendo você resolve na forma de Matriz em lote Então isso é uma questão administrativa né agora isso não tem nada a ver com a Origem da formulação do elemento essa é uma questão física e que usa o recurso matemático como uma um benefício na matemática você aprende interpolação para abrir o raciocínio pô não deveria mas muitas vezes você aprende para abrir o raciocínio agora aqui tem nome endereço e CPF

Você tem o deslocamento do nó e você quer calcular o deslocamento dentro do elemento a técnica matemática é interpolação aí surgiu a função interpolação o que eu Quero dizer é o seguinte de uma maneira compacta em elementos finitos você faz isso aqui né ó se você representar na forma h Dex né muitas vezes você vê isso aqui O cara chega e fala assim consideremos um elemento finito cuja função de interpolação é dado por e Põe esse negócio na frente do cara pô o cara que faz isso aí tem que pegar um gato morto e bater

no cara quando o gato meça e para pô o cara não pode fazer um negócio Desse e Isso é isso é porco é anti-higiênico cara o cara não pode fazer isso a função de interpolação é essa isso começa aqui isso aqui administrativamente é apenas uma maneira matricial de você colocar dentro do computador mas não me fala que isso aqui é formulação do elemento isso é antii isso não funciona assim isso é a formulação do elemento em todos eles primeiro nós vamos começar com problema físico discretizado depois nós vamos Passar pra maneira compacta Isso é uma

questão administrativa por favor Então vamos continuar né Nós vamos mostrar agora por que o número de graus de liberdade tem que ser igual ao número de coeficiente pro polinômio ser único porque completo A gente já sabe por que que é porque o cara não pode pular etapas né Tem cara que adora pegar atalho mas não quer pegar o caminho né Não bom hein não bom então vamos continuar e vamos passar pro item dois vamos calcular os coeficientes dessa função Ok beleza então olha só nós tomamos um certo cuidado ao fazer isso porque esse é o

caminho que vai ser usado para formular todos os elementos finitos sem exceção não tem mistério é assim que funciona tô partindo do princípio que a primeira parte já foi resolvida rigidez de elemento rigidez da estrutura sistema Adequação determinante zero aplica a restrição calcula o deslocamento no nó começamos aqui agora a partir do deslocamento do nó nós vamos calcular o deslocamento dentro de elemento você vai gerar uma função de interpolação essa função tem que ser única como é que eu garanto isso que nós vamos demonstrar agora que o número de graus de liberdade tem que ser

igual ao número de coeficientes isso garante que o polinômio é único e o polinômio tem que Ser completo né Por uma questão física sempre eu tenho que representar Primeiro as formas mais simples do elemento se deslocar e a forma mais simples de um elemento deslocar é deslocar sem deformar depois é que vem os termos de ordem superior tá claro bom então nós já fizemos isso e agora nós vamos fazer o cálculo dos coeficientes desse polinômio como se faz na matemática né Na matemática você substitui nos pontos Conhecidos y x + b X1 y1 X2 Y2

e aqui são os graus de liberdade então a segunda etapa da formulação de todos os elementos finitos é é substituir os valores nodais né que são os valores conhecidos que veio da primeira parte Resumindo você vai pegar os Deslocamentos dos nós e substituir nas equações que você desenvolveu Tá certo ou não então Aqui nós temos ó o diagrama de Corpo Livre ó v1 V linha 1 V2 V linha 2 já aproveitei e coloquei aqui as forças que justificam o equilíbrio do elemento né que são as forças nodais como nós sabemos a relação entre as forças

nodais e os deslocamentos nodais é a matriz de rigidez do elemento Tá certo então A grande questão o que nós fizemos foi isso Resumindo Olha só o Elemento possui 4 graus de liberdade o polinômio escolhido deve ter quatro coeficientes o polinômio que tem quatro coeficientes é o polinômio cúbico o polinômio tem que ser completo aqui é o grau zero aqui é o grau 1 aqui é o grau do e aqui é o grau TR e aqui de uma maneira compacta nós chegamos nessa função H Dex = C acabamos de fazer isso agora qual é a

grande questão a questão é quanto vale esses coeficientes para aquela viga veja olha só ó cada viga tem Uma diferente condição de contorno né ó embora o polinômio seja sempre do terceiro grau a forma deformada dele depende da da condição de contorno então agora nós vamos fazer a substituição nos nós como é que eu faço isso daqui por exemplo para x = 0 Olha só vamos voltar lá na função Ó aqui tá o elemento aonde tá a função C1 + c2x + C3 X2 + C4 X3 quando eu pego x = 0 ó aqui é

o eixo X o deslocamento é v1 e o ângulo é vinha 1 o ângulo é igual a sua própria tangente o ângulo em radiano porque os ângulos são pequenos Então nós vamos fazer isso aqui ó vou substituir na equação quando x = 0 o deslocamento é v1 então eu vou colocar C1 mais c2x que é ser2 x 0 porque nós estamos falando do x = 0 + C3 x x qu e mais C4 x x c Tá certo est fazendo igual na matemática só que na matemática é uma função para abrir o raciocínio Tá certo

E aqui nós vamos colocar o v linha 1 o velinha 1 é a equação lá ó vai ficar C2 mais o quê 2 C3 x 0 e mais 3 C4 x 0 qu e agora agora nós vamos pegar para x = l para x = l voltando na nossa figura Olha só olha aqui para X = L esse aqui é o comprimento L da vía aqui é o x = l o deslocamento é V2 e o ângulo é V linha 2 eles são conhecidos veio da primeira parte vamos fazer isso então então aqui vai ficar

V2 é igual a C1 + C2 x l agora o x = l + C3 x l qu e + C4 x l c e o ângulo que é velinha 2 vai ficar c2 + 2 C3 x l e + 3 C4 L qu Olha só quantas equações nós temos aqui quatro quantos coeficientes desconhecidos nós temos na função de interpolação 4 então nós resolvemos Esse sistema é por isso que ao formular qualquer elemento Finito o número de coeficientes do polinômio tem que ser igual ao número de graus de liberdade polinômio tem que ser único por

um motivo físico que a gente já falou né não vamos combinar de novo com a viga com a viga lá né tá claro então isso aqui agora nós vamos resolver esse sistema Mas é claro isso aí é a função do software não é do usuário pô vamos tirar o emprego do software vem o o sindicato das matrizes aí quera problema Com a Gente pelo amor de Deus né me ajuda aí cara como é que faz isso Isso é uma questão administrativa na matemática romanticamente você resolve isso aqui à mão né Pega aqui substitui na outra

soma com a de baixo Nossa quem não lembra disso aí é que entra a função da Matriz a função da Matriz é exatamente administrar Esse sistema de equação é o que faremos agora certo bom nós substituímos os valores Nodais e Vimos que o número de graus de liberdade sendo igual ao número de coeficientes garante que a função de interpolação é única agora nós temos uma questão administrativa nós temos quatro equações a quatro incógnitos você imagine um elemento que tivesse 30º de liberdade e não 4ro isso vai acontecer adiante nós teremos 30 equações a 30 incógnitas

a maneira mais compacta de representar Isso e resolver isso num lote só é por intermédio de Matriz então nós fizemos fizemos isso olha só nós fomos a determinar os coeficientes E aí nós fizemos a substituição o que tá marcado aqui é exatamente o que a gente fez juntos aqui não tem nenhuma novidade a única coisa que nós vamos fazer agora é transformar isso daqui na anotação matricial porque é muito mais compacto e elegante Então vamos dar esse passo aqui olha só nós vamos pegar aqui v1 V linha 1 V2 V linha 2 estuda aqui é

conhecido isso nós conhecemos isso aqui são os graus de liberdade são os deslocamentos dos nós e Vamos separar isso daqui numa matriz dos coeficientes desconhecidos que nós queremos determinar né e aqui fica uma matriz que é uma matriz apenas com a característica geométrica da Viga como a viga tem um comprimento L conhecido essa Matriz é conhecida Observe bem aqui ó se você Fizer o produto linha coluna quem sobrevive desse produto é o C1 v1 = C1 o resto é tudo zero quem sobrevive desse produto esta coluna por essa linha é o C2 e assim sucessivamente

então agora nós vamos fazer uma representação compacta né não vamos tirar o emprego da Matriz Pelo amor de Deus né então eu vou colocar aqui o delta o que que é esse Delta isso aqui são esses deslocamentos nodais que são Conhecidos Aqui nós temos uma matriz A que é a matriz de geometria que é esse povo que tá aqui dentro e Aqui nós temos a matriz dos coeficientes Tá certo ou não Então essa é a vantagem da anotação matricial né Você pode inverter essa Matriz ou Multiplica pelo inverso Multiplica pelo inverso aquela conversa toda que

a gente já teve Então você determinando uma operação só você vai chegar à conclusão que o c é a a- 1 vezes o delta o que que É isso esse aqui são os coeficientes desconhecidos que você quer determinar essa é uma matriz conhecida E esses são os deslocamentos nodais Tá certo ou não você determinando uma tacada só você vai fazer operação matricial agora lembra Tá lembrado fizemos juntos aqui ó vamos voltar aqui ó olha só isso aqui representa o deslocamento dentro do elemento isso daqui é uma função que representa Que posição você está dentro Da

viga você vê que isso aqui é x x qu para cada posição que você tá numa viga isso aqui tá definido e esses são os coeficientes desconhecidos que a gente acabou de determinar agora olha só Se você pegar o c e colocar aqui nessa equação que a gente acabou de mostrar V de X HX ve c e o c você substituir por a- 1 ve Delta nós vamos ter isso daqui Esta é a relação mais importante dos elementos finitos Colocado de forma matricial a relação mais importante nós já falamos ó tudo surgiu aqui na função

de interpolação apenas que a gente está para um dado elemento ó olha aqui isso aqui é o deslocamento nodal isso daqui é o deslocamento dentro do elemento e isso agora é conhecido para cada posição x da Viga eu tenho vamos passar do deslocamento nodal para o deslocamento dentro do elemento Esse pacotinho aqui nós chamamos de n Dex que é a famosa função de forma Por que que ela é chamada de função de forma porque ela estabelece a forma segundo a qual o campo de deslocamento é interpolado para este elemento que tem esta condição de contorno

então eu vou representar aqui de uma maneira compacta é bom que a gente tenha isso em mente olha aqui ó de uma maneira compacta o elemento Finito ele é representado dessa forma aqui essa é uma equação que muita gente apresenta como a formulação Geral do elemento finito muitas vezes o cara já começa por aqui né Não vou falar do gato de novo né já já falei que eu tem que falar do gato que que é isso daqui isso daqui são os deslocamentos dentro do elemento Quando eu digo Dentro os Nós também fazem parte do elemento

então eles estão dentro né isso aqui são os deslocamentos nodis todos os elementos finitos têm isso o que que é isso daqui isso aqui é a famosa função de forma Por que que ela é chamada de Função de forma ela é chamada de função de forma porque ela estabelece a forma segundo a qual o deslocamento nodal é transferido pro deslocamento dentro do elemento para aquele elemento finito tá claro o que eu tô falando como numa estrutura de viga cada viga tem a sua particular condição de deslocamento de contorno a função de forma para cada elemento

vai ser diferente não confunda é Sutil mas é Diferente função de forma é uma coisa a função de interpolação é outra a função de interpolação para um elemento de viga que você aplica deslocamento em ângulo é sempre um polinômio do terceiro grau Mas a forma desse polinômio do terceiro grau é diferente em função da de contorno vou falar uma coisa aqui né meio lúdica ou talvez fazer uma piadinha aqui eh não por um cara que é casado com uma mulher de letras que ela não vai Entender mas se você for casado com uma engenheira que

trabalha com elementos sinistros ela fala assim Ah vocês falam que todas as mulheres são iguais não como todas as vigas não são iguais tonas tem um polinômio do terceiro grau mas você é especial porque você Você tem uma função de forma única tá claro o que eu tô falando eu quer dizer o seguinte ó Isso aqui é um polinômio de terceiro grau isso aqui é um polinômio ter gra ISO aqui é um Polinômio de terceiro grau mas quando eu defino a condição de contorno da Viga eu tenho o polinômio do terceiro grau que se aplica

aquela viga com os coeficientes daquela viga Essa é a função de forma é por isso que não faz muito sentido né pelo menos eu vejo assim o caro começar a elementos fala consideremos um contínuo vamos dividir o contínuo em elementos o elemento tá conectado no nó seja por definição a Função de forma do elemento Como assim me ajuda aí cara vai falar do gato de novo né Isso é antio fazer isso a função de forma é a função que a partir do deslocamento nodal permite calcular o deslocamento dentro de elemento mas isso veio do desenvolvimento

veio da hipótese que você vai interpolar veio da condição que o número de coeficiente tem que ser igual ao número de graus de liberdade veio da condição que o polinômio tem que Ser completo todos os elementos finitos passam por isso então agora aqui nós chegamos nessa situação só falta mais um passo a Rigor um Um não dois mas um é consequente do outro para que que você tá fazendo isso imagina que você tá trabalhando numa empresa aí o diretor chama o cara e fala assim a como é que tá o nosso chassi e o chassi

tá bem aí o cara fala assim ah tá interessante eu vi eu vi lá no modelo tô gostando da deformada dele Hein tá uma deformada interessante o cara começa a ficar meio estressado né É mas como é que tá o chassi Ah não sim o a a a deformada dele tá tá bonita hein eu vi lá colorido na tela chacoalhava tal aí o cara começa a ficar meio estressado né como é que tá o nosso chassi Ah não para pelo amor de Deus O cara tá querendo saber o seguinte esse treco quebra ou não quebra

essa é a pergunta final que você quer em qualquer modelo De elementos finitos a estrutura vai atender os critérios de resistência ou não o que eu tô querendo dizer é que qualquer elemento finido que você formule e você coloque numa malha E você vai fazer o desenvolvimento do modelo é para responder uma pergunta singela Qual é a deformação dessa estrutura e atenção para eu tô fazer um julgamento se ele vai falhar ou por fadiga ou por escoamento o que for essa é a questão central ou Seja nós calculamos o deslocamento dentro do elemento a partir

do deslocamento nodal e achamos os coeficientes do polinômio Mas qual é o próximo passo o próximo cálculo é calculado deformação tudo isso nós estamos fazendo só para calcular a deformação Aliás o engenheiro só faz isso né o engo que trabalha com estrutura ele só calcula a deformação e às vezes uma Encarnação não dá pro cara Entendeu ele só faz isso Tá parecendo aquela história que falei para vocês né ô Professor você além de dar aula também trabalha é mais ou menos isso né então o terceiro passo que nós vamos fazer ao formular qualquer elemento finito

é calcular as deformações né Qualquer elemento finito objetivo é esse é o que o software faz por você automatizando tudo isso né agora deixa eu lembrar uma coisa aqui Que eu acho que é absolutamente fundamental eu vou mostrar uma viga deformada aqui né já vou mostrar ela depois de deformada né lá a gente mostrou antes e depois olha só se eu pegar esse cara aqui da maneira que eu tô olhando aqui eu posso jurar na Bíblia que aqui não teve deformação porque não tem curvatura e aqui aqui tem curvatura tem um Rô tá certo ou

Não olha só deixa eu pegar aqui o um trecho dessa viga aqui ó tá vendo a viga aqui deformação por flexão necessariamente envolve a curvatura que nós já falamos então eu vou pegar aqui por por exemplo um carinha aqui ó ó o DX aqui ó ó o DX antes que tá o DX e vou mostrar o DX depois lembra disso aqui é o DX e esse é O DX é o mesmo DX né porque na linha neutra não tem deformação aqui tem deformação ó isso daqui aqui é o famoso raio de curvatura nós já Vimos

que um sobre o raio de curvatura é a segunda derivada do deslocamento é isso que permite calcular deformação quer dizer se você tiver aqui por exemplo olha aqui ó aqui é a deformação máxima né que graças a Deus ocorre na extremidade né senão o cara Que vive de extensometria morrer de fome né ainda bem que é na superfície então o éon é calculado como sendo o quê depende da curvatura segunda derivada e depende da distância linha neutra Essa é a expressão que faz o cálculo da deformação que a gente já tinha visto por que tudo

isso porque a gente já tem né olha só nós já temos a função que dá o campo de deslocamento inclusive com os coeficientes que já foram calculados nós Já temos a função que dá a primeira derivada que dá o ângulo né Ó esse ângulo aqui que eu tenho cada ponta e a primeira derivada P se eu tenho a primeira derivada eu calculo a segunda vamos calcular a segunda então vou fazer o seguinte vamos derivar a primeira derivada vai surgir a segunda derivada derivada da Constante 0 aqui vai dar 2 C3 né E aqui o 2

ele vem para baixo a regrinha de derivação Vai D mais 6 c4x Esta é a função que dá a segunda derivada ao longo da Viga que está associada à curvatura e que está associada à deformação porque só tem deformação por flexão se tiver curvatura que tá associada à segunda derivada agora eu vou fazer aquela pergunta de sempre isso aí tem alguma coisa a ver com Matriz não não tem nada a ver com Matriz De novo né é o cara que estuda física e outra educação física cara não tem nada uma coisa com outra então agora

nós vamos transformar a maneira mais compacta e elegante olha aqui ó o que nós fizemos é isso a maneira mais compacta e elegante de representar isso é na forma matricial então isso daqui tá associado à deformação é a segunda derivada isso daqui ó se você multiplicar este cara por este este cara por este vai dar C1 x 0 C2 x 0 aqui vai Ficar 2 C3 né e + 6 c4x mas isso daqui é o coeficiente desconhecido que nós já determinamos que é a - 1 x Delta Tá certo se você substituir aqui vai ficar

que que é isso aqui isso aqui é a segunda derivada que está associada à deformação a menos da distância a linha neutra isso é o deslocamento nodal e isso daqui ó Isso aqui é conhecido isso daqui depende da posição que você tá na Viga o x ou seja você chegou numa relação que a partir do deslocamento nodal você calcula a deformação dentro do elemento que tá associada a segunda derivada então eu vou escrever isso aqui porque essa expressão é importante em toda a montagem de elementos finitos isso aqui representa a deformação a menos da distância

linha neutra isso aqui Representa o deslocamento nodal e essa função aqui no histórico de elementos finitos e que nós vamos fazer adiante ela tem um Vital ela tem um nome lembra que a gente falou que os elementos bit tridimensionais a matriz é determinado de forma aproximada esse carinha vai ali presente que que é isso daqui Isso aqui é uma função que permite Calcular a deformação dentro do elemento a menos da distância linha neutra né aqui isso daqui é o deslocamento nodal e que é esse carinha aqui importantíssimo este cara é que permite passar do deslocamento

nodal pra deformação dentro do elemento por isso que ela recebe um nome Importantíssimo que é a matriz deslocamento deformação Resumindo a partir do deslocamento nodal você calcula o deslocamento dentro do elemento função de forma a partir do deslocamento nodal você calcula a deformação dentro do elemento Matriz deslocamento deformação e agora agora nós vamos calcular a tensão dentro do elemento Essa é a sequência que todos os Elementos finitos vão fazer você formula o campo de interpolação então repetindo nós falamos que essa é a sequência que todos os elementos nós vamos formular juntamente vão fazer insistindo Nisso

porque o que nós estamos fazendo com elemento de viga é a essência de toda a formulação dos Elementos finitos Você tem uma estrutura você divide essa estrutura em elementos os elementos estão conectados nos nós partir da rigidez de cada elemento você representa a rigidez da estrutura você monta a matriz de rigidez da estrutura a partir do carregamento aplicado depois que você aplicou as restrições você tem a deformada da estrutura O que é que nós estamos Querendo dizer com a deformada da estrutura numa primeira instância são os deslocamentos dos nós a partir dos deslocamentos dos Nós

é que começa o trabalho interno dentro do elemento a partir do deslocamento nodal você determina o deslocamento dentro do elemento a partir do deslocamento nodal você determina a deformação dentro do elemento e agora nós vamos determinar As forças internas para chegar nas tensões Então olha só nós fizemos isso nós começamos aqui com a função de deslocamento nós substituímos noos nós aqui tem um ponto importante Esses são os deslocamentos nodais Esses são os deslocamentos dentro de elemento isso a gente chama de função de for isso aqui são os deslocamentos nodais isso aqui a menos da distância

linha lentra na viga é a deformação isso É a matriz deslocamento deformação agora finalmente o o último passo na formulação de um elemento é determinar As forças internas as forças internas que vão nos permitir chegar nas tensões e verificar se essa estrutura atende ou não o nosso critério de resistência nó nós já vimos nós já Vimos que num Elemento de viga deformado Se você pegar uma determinada S vou representar a São da Viga aqui né Ó você tem uma distribuição de de tensão em função do momento que ha nessa nessa são esse momento varia ao

longo do comprimento da Viga e isso faz com que você tenha uma distribuição de tensão em uma viga o momento fletor ele é dado pelo e pelo i e pela segunda derivada do deslocamento que a gente acabou de calcular Agora tá certo esse aqui é o famoso diagrama de momento que nós já abordamos então se você tiver o diagrama de momento você vai calcular a tensão a tensão é calculado pelo momento fletor que age nessa dividido pelo momento de inércia e pela distância a linha neutra então de uma maneira lógica nós estabelecemos como os elementos

finitos vão ser tratados né Ou seja a partir do instante que você tem o deslocamento de contorno a partir do Deslocamento nodal Você tem o deslocamento dentro do elemento quem é que faz isso é a função de interpolação quando você aplica para um elemento específico que tem definido a condição de contorno é a função de forma a partir do deslocamento nodal você chega na deformação dentro do elemento que é a matriz deslocamento deformação essa Matriz é importantíssima e a partir do deslocamento nodal você chega na tensão Dentro do elemento é isso que nós vamos fazer

para formular todos os elementos finitos neste exemplo do elemento de viga a gente fez muito detalhadamente para mostrar todas as etapas que a gente tem ao ser desenvolvido dentro do software todo o procedimento de armazenamento de informação pros elementos que vão vir em seguida que nós vamos passar pro mundo B tridimensional nós não vamos mais manipular essa Matriz como nós fizemos Aqui né Nós não vamos tirar o emprego da Matriz coitadinha da Matriz né Nós já entendemos a lógica disso então agora foi importante pra gente entender como é que o software trata essa questão do

armazenamento da informação nos elementos que nós vamos formular adiante Bi e tridimensionais o nosso grande foco vai ser o seguinte nós Já vamos direto no assunto qual é a função de interpolação Ponto Qual é a maneira de calcular a deformação então eu quero a função de interpolação como se calcula a deformação dentro do elemento e depois Como se calcula a tensão dentro do elemento a parte matricial nós vamos deixar pro software não vamos tirar o emprego das matrizes aí ela é paga para fazer isso tá claro Esse é o primeiro ponto segundo ponto é que

na formulação de todos os elementos finitos todos Você tem uma missão Clara A primeira é saber fazer a interpolação do campo de deslocamento você tem que fazer uma pergunta sempre Qual é a pergunta quantos graus de liberdade o elemento tem o número de graus de liberdade define o número de coeficientes pro polinômio de interpolação ser único e o polinômio tem que ser completo por uma questão física que a gente já comentou agora é importante você saber Uma coisa quem é que define o graus de liberdade de um elemento não é o elemento finito o elemento

de viga ele tem deslocamento e rotação porque a teoria de viga tem isso veio da teoria de viga Então esse esse é um ponto Vital porque as pessoas fazem Muita confusão sobre isso quando eu formulo um elemento finito a pergunta básica é quantos graus de liberdade o elemento tem de onde vem A resposta essa pergunta se eu tô formulando elemento de viga ela vem da teoria de viga na hora que eu vou calcular deformação numa viga a deformação tá associada à segunda derivada do deslocamento porque tá associada à curvatura de onde vem essa informação da

teoria de viga porque eu tô formulando o elemento de viga ele usa a teoria de viga eu sou estou apenas discretizado o conjunto tá Claro isso nos leva a fazer até uma expectativa do que vai acontecer na frente quando você formular uma placa você formular uma chapa de maneira geral você vai ter que formular o campo de deslocamento que ocorre numa Chapa que depende dos graus de liberdade quem é que define o número de graus de liberdade Dea Chapa é a teoria de placa e casca não é o elementos finitos quando você for formular um

sólido quem é que define o número de Graus de liberdade que um sólido tem não é o elemento sinito é a teoria da elasticidade lá do timochenko é por isso que cada vez que a gente vai formular um elemento essa é uma lógica de trabalhar quando você for formular o elemento de mola você precisou da teoria de mola mas a teoria de mola começou já acabou F = KX não tem mais nada para falar quando você formulou a teoria de viga aí o negócio ficou um pouco mais sofisticado você precisou saber como se Calculava a

deformação de uma viga devido à curvatura devido a flexão que tá associada à segunda derivada que tá associada à curvatura isso vem da teoria de viga quando você formular um elemento de chapa como esse cara aqui você vai ter que saber quais são os graus de liberdade que uma chapa admite isso não é definido pelo elemento finito é definido pela teoria de placa e casca Quando você vai formular um sólido se deformando a teoria da elasticidade é Que define é quem manda no número de graus de liberdade isso é importantíssimo Isso é uma questão de

sobrevivência em elementos finitos o elementos finitos o que ele faz não é inventar uma nova teoria de viga uma nova teoria de placa cáa ou uma nova teoria de elasticidade ele apenas discretização nós e a partir a partir do deslocamento nodal ele calcula o deslocamento dentro do elemento o Sucesso que eu vou ter nesse cálculo depende da formulação do elemento que eu proponho como no elemento de viga o campo de deslocamento é exato ele calcula exato como no caso da teoria de viga dentro das hipóteses que ela contempla o elemento de chapa vamos dizer assim

que nós vamos melhorar depois essa linguagem ele não faz isso sólido ele não faz isso o campo de deslocamento é sempre aproximado e o grau da aproximação do Resultado vai depender de como eu formulo o campo de deslocamento que depende do número de graus de liberdade aí começa eu vou fazer uma revisão do Futuro que nós vamos demonstrar ó eu tenho duas malhas Dea mesma Peça uma é retangular outra é triangular Esse cara tem quatro nós esse cara tem três nós se o cara tem mais nós Eu imagino que ele tenha mais graus de liberdade

o Polinômio deve ser diferente do outro então o grande problema de elementos finitos é que no âmbito do elemento você usa a teoria de elasticidade por exemplo a teoria de placa e casca o suspeito é o campo de deslocamento que você propõe que na viga é exato mas no b tridimensional não é é por isso que às vezes o cara roda um modelo de elementos finitos né mas isso tudo que eu tô falando nós vamos Demonstrar eu só tô preparando pro cara começar né a ficar meio esperto do que vai vir né as expectativas podem

ser meio frustrantes é por isso que é muito estranho que o cara use um software de elementos finitos aperte um botão e às vezes tem um software amigo que nem mostra a malha para ele ele fica dando uma chacoalhada lá assim fica uma corzinha que não não pro cara nem se preocupar com o tamanho da malha e o Tipo de elemento ele faz tudo automaticamente o sucesso da resposta em elementos finitos depende do elemento que você usa depende do campo de deslocamento que você tá propondo para cada elemento Então quando você vai usar um elemento

a priori Você já sabe o campo de deslocamento que aquele elemento usa e como consequência você sabe a resposta que ele vai dar mas isso você não precisa acreditar porque nós vamos fazer juntos então agora nós Estamos diante de um passo importantíssimo nós sabemos montar a rigidez de uma estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos Esse é um processo direto de montagem que equivale às equações de Equilíbrio e compatibilidade e nós sabemos também como a partir do deslocamento nodal se calcula o deslocamento dentro de um elemento através das funções de interpolação

fazendo uma Pergunta quantos graus de liberdade o elemento tem o número de graus de liberdade verdade tem que ser igual ao número de coeficientes do polinômio interpolação e o polinômio tem que ser completo Isso é uma questão física a partir disso surge a formulação E aí o resto é o qu análise você tem que analisar se aquela resposta Corresponde à realidade física ou não é isso que nos espera agora nós vamos dar um salto imenso nós vamos passar pro Mundo bi e tridimensional olha só entrar nos elementos né de chapa Vamos falar assim daqui a

pouco a gente vai melhorar essa linguagem e os elementos sólidos até porque isso já tem um contexto né Nós já falamos aqui dos quatro comportamentos da mecânica estrutural o comportamento de viga que é descrito pelos elementos de viga dentro das limitações que o elemento de viga te dá nós já falamos sobre isso depois tem o comportamento de chapa que são os Elementos de placa e casca que a gente também já falou o que ele fornece de informação depois nós falamos do comportamento de sólidos que é dado pela teoria da elasticidade e no software tem os

elementos sólidos que nós vamos formular juntos também e tem as vigas de parede fina que tem aquela questão do orpen né do empenamento que em vigas de parede fina perfis abertos ele pode apresentar tensão normal na torção quando a torção É restringida ela não é livre então agora nós estamos diante de uma de uma divisor de águas nós vamos começar a entrar no mundo bi tridimensional né Nós vamos formular os elementos E aí é é por isso que muita gente dá muita ênfase para essa questão porque aí é que nós vamos ver entre aspas as

barbaridades que você pode fazer nos modelos de elementos finitos Você pode ter resultados que ao comparar com o resultado exato dá cinco vezes Diferente por causa da formulação do elemento por causa da maneira pela qual você atribui o campo de deslocamento para aquele elemento quer dizer quando você compra um software o campo de deslocamento já vem pronto mas você tem que saber qual é porque é isso que vai determinar o tamanho da malha Tá certo isso é parte integrante do processo de análise que existe uma decisão de engenharia extremamente importante que é escolha do tipo

de Modelo e que tipo de resposta o modelo investiga E para isso você tem que conhecer a formulação do elemento porque a formulação do elemento que dá o campo de deslocamento a deformação e a tensão é que vai implicar no resultado mas uma coisa importante você já sabe antes não existe isso o cara fica Ah vamos tentar uma m agora vamos tentar outra Vamos tentar outra até descobrir a mole dela o cara não faz Isso Normalmente quando ele começa a formulação ele usa um tipo de elemento e uma malha que ele já sabe o tamanho

que ele precisa nós vamos fazer isso juntos aqui então nós estamos caminhando agora para abrir o cenário né e partir pro mundo bi e tridimensional olha só né mas o elemento de viga foi importantíssimo porque a metodologia a técnica de interpolar é a mesma apenas que no mundo bidimensional você não tem só o x o deslocamento da direção Y em função de X você pega uma chapa o deslocamento depende da posição que tá na chapa e a posição que tá na chapa depende do X e depende do Y Esse é o problema de duas variáveis

por isso que você aprendia no cálculo equação em que você tinha duas variáveis um f de x y não é era para abrir o raciocínio uma das aplicações era essa aqui que nós vamos começar a ver agora ok