Fundamentos da Matemática Elementar - Função Logarítmica

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas à continuação da nossa discussão sobre funções exponencial e logarítmica E hoje é o dia de trabalhar a ideia de função logarítmica Eh vamos relembrar um problema que nós iniciamos na aula sobre função exponencial que era o daquela cultura de bactérias né então ali nós modelamos né uma situação em que eu partia de 100 bactérias e elas iam dobrando de hora em hora chegamos a essa formulação e a essa regra né que descreve o número de bactérias em função do tempo e ótimo dá para trabalhar em cima dessa dessa função

e obter uma série de informações Mas e se a minha pergunta sobre essa situação for f em quanto tempo essa cultura terá x bactérias tantas bactérias por exemplo 1300 agora a minha pergunta é essa sobre o tempo eu tô perguntando sobre esse T aqui não número de de bactérias que eu voltei mas quanto tempo eu levei para chegar a tal número de bactérias como que eu responderia essa pergunta bom se eu substituir o número de bactérias né o n de T por 1300 cheg a essa equ dividindo ambos os lados por 100 chegamos a isso

e a você se pergun como é que eu resol isso e é a que vai entrar a ideia do logaritmo o logaritmo vai nos ajudar Justamente a responder esse tipo de questão esse tipo de pergun resolver tipo Dea Então vamos lá a ideia do logaritmo né só pra gente começar uma uma conversa [Música] ela veio eh de uma longa data de longo discussão de estudos né A gente vai ver um pouquinho mais para frente mas hoje a gente já utiliza ess essa ideia para modelar por exemplo a magnitude de um terremoto né não vou entrar

em tantos detalhes mas a magnitude de um terremoto que a gente fala da Escala Richter né Ela é dada por uma expressão que envolve a ideia de logaritmo a gente pode perceber aqui agora não um só de tragédias né vive o o logaritmo né eu posso pensar o nível sonoro também calcular o nível sonoro utilizando também o logaritmo dado por essa fórmula aqui então o logaritmo ele vai aparecer em diversas situações eh no dia no nosso dia a dia mas eh a sua origem ela não foi para pensar em terremoto não foi para pensar em

nível sonoro ou outro outras situações foi para facilitar os cálculos eh nessa época quem mais eh desenvolveu E trabalhou em cima disso foi uma figura chamado John napier que Ele viveu aqui ó se a gente olhar de 1550 a 1617 se a gente lembrar na história esse período era um período das grandes navegações né então o homem tava se lançando ao mar né Eh empreendendo aí viagens longas Isso significa que era necessário realizar cálculos muito eh grandes com números grandes porque você olhava as estrelas você definia uma rota que iria atravessar um oceano Então os

cálculos ali não só envolviam números grandes como tinham que ser precisos né um erro de cálculo ali literalmente seria fatal para aquela expedição né para queela viagem e o napier foi um cara muito é um grande matemático mas um cara também muito criativo um cara muito inventivo né e ele criou uma série de artefatos que ajudavam a calcular né Ele criou por exemplo eh um artefato aqui que é chamado de bastões de napier que não vou entrar também no nos seus detalhes mas os bastões de napier possuíam marcações com números e você consegui organizar esses

bastões de tal modo a calcular multiplicações né o pro o o resultado de uma multiplicação de números grandes né E essa ideia inclusive chegou a ser aprimorada né mais paraa frente como um um uma caixa mecânica né que eu podia girar esses bastões para obter né um o o resultado da minha multiplicação e não só multiplicação ele ajudava a a realizar divisões e até raízes né então o napier foi uma pessoa assim realmente muito criativa e muito important né nesse momento da história da da matemática agora os logaritmos né De onde vem a ideia do

logaritmo e onde que o napier entra nessa história pensando lá né matutando maneiras de realizar cálculos com números grandes de uma maneira ágil né de uma maneira mais precisa e de modo a evitar os erros Ele pensou da seguinte maneira vou fazer aqui só uma alegoria né ou uma interpretação não é exatamente isso que ele pensou mas é a base do que estava ali no pensamento do do napier eh a ideia de potência já era muito bem trabalhada nessa época se conhecia muito bem e ele pensou o quê bom vamos pensar aqui uma uma sequência

de potências base CCO podia ser qualquer outra eu tô colocando a base cinco aqui pra gente pensar um pouquinho que que é essa sequência bom eu tenho quando meu n é ig a 0 5 elevado a n 5 elevado a 0 é 1 5 elevado a 1 é 5 5 qu 25 5 c 125 E aí vai eu escrevo uma tabela Com todas essas potências E aí o que que isso me ajuda bom imagina que eu quisesse calcular 625 X 15.625 Ele pensou bom eu sei que 625 é 5 qu certo 5 a quarta desculpa

certo e 15.625 é 5 à se ele também nessa época já sabiam das propriedades da das potências como eu tenho a mesma base a multiplicação de potências de mesma base eu somos expoentes então 4 + 6 10 5 elevado a 10 quanto que é 5 elevado a 10 é aqui esse número aqui ou seja eu calculo de uma maneira bastante rápida 625 X 15 625 utilizando propriedades das potências e né sabendo que essa essa minha tabela tá correta eu garanto que o meu cálculo vai est correto evito Os erros né na na hora de calcular

uma trajetória de um navio né uma distância utilizando as estrelas e tudo agora qual que é o problema desse método eh olhando para essa tabela e se eu quisesse calcular sei lá vamos ver 127 x 900 127 não aparece na minha tabela 900 também não ou seja não adiantou nada né Por quê Porque ela é muito esburacada essa minha tabela significa que entre cada número eu tenho muitos os outros valores aqui no meio que não a minha tabela não contempla que que o napier pensou se eu escolher uma base que não seja CCO mas uma

base bem eh pequena mas próxima de um por exemplo 0,9999 e eu vou obter números aqui cada vez mais próximos uns dos outros então a chance de eu encontrar os números que eu preciso para fazer a minha multiplicação é muito maior e foi isso que ele fez Ele desenvolveu uma base que fosse realmente muito próximo de um sem ser um né porque afinal de contas um elevado a qualquer coisa vai dar um e conseguiu criar tabelas né de desse tipo enormes mas ele criou muitas mesmo é algo realmente fora do comum a quantidade de tabelas

que ele produziu isso revolucionou né aquele a matemática daquela época né os cálculos daquela época e uma coisa é interessante da gente pensar é que usando essa base que o que o napier pensou e realizando né esses cálculos naturalmente surgia o quê o número de oiler né o número e é por isso que depois né quando a gente vai estudar aqui um pouco os logaritmos os logaritmos que usam a base e o número de oiler acabam levando o nome de logaritmos neperianos né o neperiano é em homenagem ao napier que chegou né teve essa contribuição

enorme aqui para pra matemática bom falei do logaritmo né mas e os logaritmos aqui nessa história os logaritmos seriam justamente e estaremos olhando justamente para quê para esses expoentes E aí que vai entrar o logaritmo bom vamos falar um pouquinho da definição de logaritmo a gente já comentou muito rapidamente lá na primeira aula dessa semana mas o a definição para um logaritmo seria essa né se eu tenho um número a maior que 0 elevado a x iG A B também maior que z0 então aqui o meu x né esse meu meu expoente ele pode ser

escrito Ele é igual ao logaritmo de B na base A E lembrando que esse a né além de ser maior que zero ele precisa ser diferente de um também então alguns exemplos 2 elevado cu é 8 isso significa o quê que o logaritmo de 8 na base 2 é 3 né a pergunta pode ser feita assim 2 elevado a que número resulta em o essa pode ser a pergunta que a gente faz né para poder pensar nos logaritmos né sempre indo e voltando entre a potência e a notação aqui como logaritmo então por exemplo que

seria o logaritmo de 1024 na base 2 seria 2 elevado a Que número dá 1024 nesse caso é 10 2 elev 10 1024 10 elevado a Que número dá 0,01 né então logaritmo de 0,01 na base de na base 10 é -2 e assim por diante a gente pode escrever logaritmo na base e né E que abrevia-se pode se escrever também como LN invés de escrever log com base e eu posso escrever LN né então o que seria o log ou o n o LN de 1 pergunta e elevado a Que número dá 1 bom

e ou qualquer outro número elevado a z0 dá 1 então LN de 1 é zer né LN log na base e então e elevado a que número vai dar e é o 1 o log na base 10 a gente também pode escrever dessa maneira né Eh não escrevendo não representando 10 ali na base A gente considera quando aparecer algo desse tipo que é base 10 então novamente o que seria o log 10 né 10 elevado a 1 é 10 então log de 10 na base 10 é 1 voltando ao nosso problema Inicial 13 = 2

elevado a t era aquilo que a gente tinha lá no começo da história das bactérias escrever isso em forma de logaritmo o meu t o expoente Ele é igual ao quê ao logaritmo de 13 na base 2 então para eu obter o t basta eu obter o logaritmo de 13 na base 2 aí você vai se perguntar tá E aí quanto é bom não sei agora ainda não dá pra gente calcular fal pô Então esse blá blá blá todo serviu para quê para nada olha não nenhum bem assim se nós tivéssemos aquelas tabelas lá do

napier talvez até desce para a gente já calcular isso a gente pode calcular na calculadora então ah pode mas se você olhar ali nas teclas da sua calculadora na grande maioria das calculadoras você não vai encontrar log de base 2 você pode encontrar ali a tecla que é o log na base 10 e o LN n né que é o log na base 2 então ah não dá mesmo para calcular né a gente vai pensar agora umas propriedades e obter um uma maneira de calcular Sim esse log de 13 na base 2 e finalmente responder

o nosso problema lá das bactérias só um pouco de paciência que a gente vai chegar lá existem algumas propriedades interessantes do dos logaritmos né E que a gente aprende na escola né discute e elas estão como não poderia deixar de ser muito relacionadas à propriedades das potências né E uma delas né que é o logaritmo do produto que seria uma formulação desse tipo né o log numa base a qualquer pensando sempre essas condições né que estão aqui em cima então o log numa base a de b x c pode ser escrito como essa soma log

de B na base A mais log de c na base A é de onde que isso vem vamos só trabalhar um pouco para ver por chegamos a esse a esse resultado vamos chamar esse primeiro membro aqui de X vamos chamar log B de a e log de B na base A de y e log de c na base A de Z então nós chegamos que x é igual a y + z só trocamos os nomes né daqueles termos chegamos então agora aplicando a ideia de logaritmo né se log de b x c na base A

é igual a x então a elevado x é b x c fazendo o mesmo pros outros dois a elevado Y igual a B tá aqui a elevado a z é igual a c tá aqui e agora vamos pensar essa primeira linha aqui a elevado a x = BC se eu substituir B por essa expressão e c por essa expressão nós vamos ter isso daqui a elevado x = a elev y x a elev z multiplicação com potências de mesma base mantenho a base e vou somar os expoentes Chegamos aqui em a elevado a y +

e então olhando aqui o resumo dessa dessa expressão toda essa equação toda temos que a elevado x é igual a a elevado y + z Então eu tenho a mesma base significa então que o x igual a y + z e a gente voltou para onde voltou justamente para essa primeira formulação que a gente fez e se o x = y + z então voltamos aqui a essa propriedade então não significa que isso é uma mostração significa só mostrar que a gente pega essa propriedade e consegue entendê-la a partir também n propriedades das potências vamos

fazer isso para outras propriedades dos logaritmos né quociente logaritmo do quociente muito similar a ideia do logaritmo do produto Mas agora eu tenho logaritmo desse quociente né B sobre c e o c tudo bem aqui porque já tá garantido que c vai ser um número maior que zero né não vai ser zero Então tudo bem de eu ter esse Z esse c aí no no denominador a formulação né dessa propriedade é essa daqui então o logaritmo de B sobre c na base A é o log de B na base A menos o log de c

na base A fazendo um raciocínio muito semelhante ao anterior chamando de x y e z cada um desses desses dessas pequenas expressões aqui e organizando dessa maneira temos que a elevado a x é igual a quê B so C né novamente a gente obtém isso aqui utilizando a definição de logaritmo E se eu tenho B sobre C eu posso substituir B por isso aqui a elevado a y e posso substituir C aqui nessa fórmula por a elevado a z é isso que nós vamos fazer chegamos a essa a esse resultado e Como as bases né

o a né é igual então a elevado a x ig a a elevado y - z a gente conclui que x iG y - z e novamente a gente retorna a essa ideia Inicial né voltamos a a nossa resultado e Inicial logaritmo de potência também é é uma propriedade bem em comum a formulação dela é essa né o logaritmo de uma potência B elevado a n por exemplo na base A Ele é igual a n vees o logaritmo de B na base A como é que a gente trabalha um pouquinho isso ver por que isso

funciona bom B elevado a n significa que eu tô multiplicando b x b x b x b x b n vezes bom se se eu estou fazendo isso significa que eu tô calculando o log de a de B mais o log A Log B desculpem na base A mais o log B na base A mais log B na base A somando somando somando quanto n vezes né então isso me chega a à conclusão nos leva essa conclusão de que o log de B elevado a n na base A é igual a n x log de

B na base A e finalmente a útima uma propriedade que eu gostaria de de trabalhar aqui com vocês que é a mudança de base mudança de base tem uma formulação assim eu tenho o log de B na minha base a eu consigo uma base C de modo que eu tenha log de B nessa base C sobre o log de a nessa base C então eu consigo transformar um logaritmo que tá com essa cara aqui em uma numa razão aqui uma uma divisão entre esses logaritmos nessa nova base C que eu posso escolher né a base

C que me me interesse respeitados aqui né Sempre essas condições Por que que isso funciona vamos seguir o mesmo raciocínio vamos chamar isso aqui de X vamos chamar esse numerador de y denominador de z e utilizar a ideia novamente a noção de logaritmo e descrever como uma potência então a elevado a x dá b c elevado a y também dá b c elevado a z chega em A então nós temos esse conjunto de equações eh se a gente pensar eh da juntando essas equações aqui nós podemos OB essa nova equação que a elev x =

c elev y n porque as duas são iguais a b então eu só igualei essas duas só que o c a gente também né o c elevado a a z desculpa o a aqui eu posso trocá por C elevado zendo a aqui é Z Vou colocar aqui então C elevado a z elevado a x é igual qu a c elevado a y fazendo esse cálculo Chegamos em C elevado ZX ig a c elevado Y logo ZX é igual a y chegamos a isso e se nós só dermos um passinho adiante x = y so Z

que é de onde nós partimos e esse daqui sim é um resultado que é interessante pra gente resolver o problema Inicial Por quê eu sei que já soube né que eu não tenho a tecla log de 2 na minha calculadora mas e se eu mudar esse meu logaritmo de base e usar uma base que seja boa para mim qual que é uma base boa para mim alguma que eu tenha a tecla na calculadora pode ser o 10 pode ser o do o e eu vou escolher escolh o 10 aqui mas podia ter escolhido E então

usando a propriedade da mudança de base log de 13 na base 2 eu poderia descrever como log 13 na base 10 né e log sobre log 2 na base 10 escolhi o 10 interesseiramente os meus propósitos de cálculo calculando Agora sim na calculadora né obtive como uma aproximação esse valor para log 13 na base 10 e esse valor log de 2 na base 10 fazendo né também e esse cálculo na calculadora obtivemos aqui uma aproximação de 3,7 horas então o tempo que eu perguntei lá no começo a resposta é 3,7 horas aproximadamente agora só para

finalizar a gente falou muito do logaritmo e cadê a função logarítmica né Na outra aula falamos da função exponencial que é uma função que teria esse essa cara aqui de um modo geral e Falamos também que a função eh logarítmica e a exponencial elas são inversas entre si lá na na aula de função inversas a gente viu um jeito de obter a curva da da inversa como uma reflexão em relação a essa reta aqui a reta y = x então se eu pegar essa reta e refletir em relação essa curva desculpa e refletir em relação

a essa reta nós vamos obter essa curva aqui de baixo e essa aqui é a curva que descreve uma função logarítmica e qual que seria a formulação da função logarítmica bom eu parto dos de um subconjunto dos reais levo até um outro subconjunto dos números reais de tal modo que o os meus x desse meu domínio são levados a log de X na base A né Lembrando que o a tem que ser um número real Mas ele tem que ser maior que zero e ele também não pode ser um e por fim pra gente olhar

um pouquinho paraa carinha né comportamento dessas funções eh logarítmicas eh temos aqui por exemplo essa curva seria o log de X numa base meio né ele tem esse comportamento aqui decrescente e o que seria o log na base e né o LN LN de X teria essa curva e o log de 10 né de X na base 10 teria esse comportamento essa curva bom é isso espero que tenham gostado e até a próxima [Música] semana [Música] ah n