Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 11 - Veja a Descrição em Detalhes!

o boné se lembrar que o enunciado e com faltando fazer a prova do caso a versão Global do teorema O que é a seguinte a a gente que tem uma superfície S já é se uma superfície orientado E aí dentro de essa a gente escolhe uma região R contido em S é uma região e com Fronteira em uma fronteira pode ser desconecta pode ser uma união de de curvas Vamos ser um o CN orientada positivamente a a pintada a positivamente a Então vale a seguinte fórmula e a integral da curvatura de Gauss é sobre a

região R mais integral da curvatura geodésica é sobre a fronteira Dr e onde essa integral que é a soma das integrais sobre cada um dos Arcos Lembrando que as coisas podem ser diferenciadas por parte é mas a soma dos ângulos externos e até aí é só q = 2 p vezes característica de Olé da região em cartaz são os ângulos externos Quem são os ângulos externos ao Frontera o Ok Então esse foi anunciado E é claro anunciado aqui na aula passada eu falei sobre a característica the other e uma região que era obtida através da

escolha de uma triangulação e observei que de fato ela não depende da triangulação portanto leva invariante topológico da da região Erna o dado uma triangulação vocês lembram que isso aqui era o número de vértices menos o número de arestas mas o número de faces e é muito bem no enunciado anterior da versão local a gente falava de regiões que eram meu amor fazer o disco tem característica de olho é um Portanto o lado direito era 2 pia no no teorema anterior onde passa aqui uma uma generalização da versão local e para provar esse teorema O

que foi fazer é vai usar os resultados topológicos que Eu mencionei na aula passada sobre a existência de triangulações é né então a demonstração do e do teorema consiste em primeiro escolher uma triangulação a região é a triangulação aqui é uma união de triângulos não a triangulação o número de triângulos é exatamente o número de faces a triangulação triangulação da da região R de tal maneira que cada triângulo caiba dentro de uma parte da imagem de uma parametrização ortogonal tá ok G1 não existe existem parametrizações e ortogonais uma para cada triângulo XJ a superfície e

cuja imagem E ontem um triângulo TJ me passa as triangulações sempre existem Como Eu mencionei na aula passada dela qualquer cobertura aberta da superfície ou da região é possível escolher os triângulos pequenos o suficiente praticada triângulo esteja contido em pelo menos um dos abertos da cobertura e você certamente pode cobrir a região R com abertos parametrizadas por parametrizações ortogonais que a gente já fez isso aqui a gente mostrou que na vizinhança de qualquer ponto P de uma superfície é se existe sempre um sistema de coordenadas ortogonais não posso escolher essa essa triangulação tá você tem

a sua região e ela pode como falei a fronteira dela pode ir ter mais uma componente né e nesse caso você tem que parametrizar de maneira positiva ela estaria parametrizada A5 E aí a gente vai triangular a escolher uma série de triângulo e assim por diante da região é e como cada triângulo da triangulação está contido e na imagem o e uma parametrização ortogonal e eu posso usar então sobre aquele triângulo o teorema de Gauss boné local e a ideia então É somar os resultados sobre todos os triângulos então pelo o teorema os degraus boné

o local né ela versão local do teorema a gente sabe então o que a integral da curvatura de Gauss sobre cada triângulo mais a integral da curvatura geodésica sobre a fronteira do Triângulo mas a soma dos ângulos externos de um triângulo ah ah sei lá J o que criado tem 3 verso tem três ângulos externos me chamar de outro meu nome é que eu vou chamar de terra mesmo é isso aqui é igual a dois p e e eu tenho local não triângulo amar uma região simples e o Ok Então essas são os ângulos internos

do triângulo e agora a gente faz somar isso e são maus resultados e vai lembrar aqui essa triangulação aqui se a superfície orientada O que é o caso aqui e o triângulo então cada triângulo de maneira positiva a gente viu o que triângulos adjacências estão orientado de maneira positiva triângulos adjacentes induzem é sobre a aresta comum orientações Opostas a como vocês podem ver aqui pela figura as orientações induzidas pelos triângulos adjacentes se cancelam na aresta comum então esse fato a gente vai usar somando Então essas essas identidades né para cada um dos triângulos somando é

sobre J que vai de um F ou temos o seguinte uma a soma das integrais da cobertura de galos vai dar integral total é porque lembrem que dois triângulos sempre se intersectam longo de uma aresta ou de um de um vértice comum que eles não têm não existe sobreposição portanto os interiores dos triângulos são de juntos e essa soma que vai dar a integral da curvatura de Gauss sobre a região inteira É porque quando eu somar as integrais sobre as fronteiras os triângulos e vou ter exatamente que essas fronteiras essas arestas internas a os termos

correspondentes essas arestas internas vamos cancelar portanto fico só com o as integrais sobre as arestas que são externas a triangulação que correspondem exatamente a a fronteira da região é um é só que é uma aresta externa Você tem uma interna Tá certo então fico com precisamente a integral da curvatura geodésica na fronteira da região wi-fi O bom do lado direito a gente vai ter dois três vezes o número de triângulos que o número de faça ó e aqui a gente vai ter então a soma sobre todos os ângulos internos a Nós temos duas formas Portanto

o J varia de um F e o que varia de 1 a 31 bom então programa Agora é puramente combinatorial problema se coloca como analisar a soma que desses ângulos externos certo alguma dúvida porque É sim e a gente vai a gente vai usar a seguinte propriedade a eu vou logo lembrar aqui que é possível provar G1 e por indução que não há como é que é a três vezes o número de faces e é igual a duas vezes o número de arestas internas mais uma vez o número de arestas externos e vamo dá nome

aqui o ar e Vai representar o número de arestas e internos e como nessa figura que a carta é seresta a interna né na prova não né e a fronteira de dois triângulos a dia sete é uai é o número de arestas externas arestas externos e como na figura que você tá se a região era uma coisa simples exemplo pode ter uma festa aqui tá assim né a passar Esta é a externa Tá certo não Só tem frango de um lado né instalado necessariamente tem que estar na fronteira da região e a vamos aproveitar e

dá o nome do dividir os versos em casos também então ver e vai seu número de vértices a e internos e por exemplo Como nessa figura que ah ah ah e Esse verso aqui ele é interno e a o ver é o número de versos e externos o que você pode dividir em dois tipos eu tenho vs que são os versos nós estamos em além da Fronteira Dr eu sei o que significa que ela é da curva E aí a fronteira Dr é um exemplo que seria uma coisa assim né então se a fronteira Dr

faz isso e esse veste aqui ele é um vértice que já vinha da região ele não foi introduzido pela triangulação ele ele já tava na na região de de origem né O que você pode ter uma aresta interna que tem outra é mas estivesse aqui ele é um verso de fato ele não foi produzido depois é e talvez ser um vértice stand da curva e temos também os ventos externos que são introduzidos pela tendo ação interna da triangulação Oi e aí por exemplo nessa mesma figura e pode ter um veste aqui então aresta que tá

outra Olá eu sou grato e ele não é um verso da região né conversa da triangulação Portanto o ver é naturalmente a soma e tu vem até com ver até a fazer isso esses dois tipos de versos externo o ok então afirmou a gente vai usar é isso aqui depois tá depois eu começo então sobre isso uma forma puramente nam sobre sobre triangulações vamos continuar que o demonstração depois eu volto ela igualdade muito bem então preciso analisar a soma dos ângulos externos é conveniente então introduzir os chamados ângulos internos então a gente definir né e

a tomamos é chamado de quê o Jota Que bom que que é o ângulo interno F menos um ângulo externo é simplesmente porque os ângulos internos são mais fáceis de o de analisar em cada uma daquelas figuras Ah tá então fiz ah tá que são os ângulos internos portanto a fórmula e fica assim né o repetir integral da curvatura de Gauss sobre a região R mais integral da curvatura a geodésica sobre a fronteira eu tô vou somar os ângulos externos a isso equivale a somar então a pe menos um aguentar o J vai de um

F que vai de uma 31 Tá certo um montão de coisa mais simples ó trabalhar com e ser não vou fazer mais uma linha aqui então agora a só eu tenho exatamente 3f termos aqui e aqui tá errado né Já estou adiantando é dois pief por enquanto não é característico de ainda hoje vai para essa sombra aqui vai eu tenho três vezes essa temos você me dá três PF passando para lá eu fico com menos pief então isso implica igualmente que essa integral Ah mas essa é sobre a fronteira Jerry a e isso é igual

a e isso é igual a quanto o amor - PF e mais a soma dos ângulos internos e G1 e agora a gente olha para a soma dos ângulos internos e Analisa caso a caso que que vai acontecer fazer um ângulo e aparece um vértice né então você vai analisar o que que vai acontecer se o vértice interno Celeste interno da curva ou se ela está numa triangulação em cada um dos casos os vai analisar o que que a soma dos ângulos internos e a por exemplo E se o silveste forro interno E aí Ah

tá com a fazer agora análise um dos ângulos internos nós estamos vídeo em três casos 1º caso é o caso em que o vértice é interno na figura é assim que tá o Vert Ah tá essa situação Só se você soma os ângulos internos sobre um vértice interno vai dar dois PE Oi aqui é a soma um dos ângulos internos é igual a do sp1 e depois a gente tem o caso de um vértice externo da triangulação da triangulação E aí o desenho Era assim que tava fronteira da região e a gente tem digamos uma

aresta aqui outra esta aqui Oi e esse é o é o vértice em questão né e portanto quando ele é um vértice introduzido pela triangulação que ele não era um vértice da região r a soma dos ângulos internos quanto que dá pena nesse caso você tá dando a volta começa a curva é diferenciável né nesse ponto que ele não era conversa da região Então você tá andando pe não vai parar o outro lado em relação a p a Oi e aí finalmente analisa o caso entre um vértice A externa da curva e como aqui por

exemplo Esse é o vértice externo que eu quero analisar Oi e aí vocês verificam é o seu soma que os ângulos internos o que eu tenho é o vértice é o ângulo interno da curva só que o ângulo interno da curva epp - o ângulo externo certo passa essa soma aqui é o terceiro caso mdape menos o ângulo externo é o ângulo externo da curva né e naquele. Certo agora é só somar os resultados bom então somando os resultados a gente conclui que aquela soma que eu quero calcular que essa soma de ângulos internos aqui

tu vai me dar o seguinte e logo é a soma do Fi jq o quanto que me dá isso que o primeiro vai me dar 2p vezes o número de versos internos é mais pe vezes o número diverso de externos a triangulação é mas é a soma de Pi - o ângulo externo e onde essa soma que é feita sobre os versos da curva eu concordo com isso E aí Tá certo G1 e o número de vértices da curva tinha um nome né era o vs bom então isso me dar dois pim II mais se

vê é ter mais pvs ou menos a soma dos ângulos externos né que aparece no teorema como uma soma de uma cá E aí e como vocês podem ver aparecer o último termo né a soma do lado esquerdo que a soma dos ângulos externos é o que resta agora é analisar esses essas quantidades aqui esses números de vértices e arestas E por aí vai e chegar na característico de óleo e eu ainda não usei a ainda não usei as arestas né o cara e vamos ver se a gente vai conseguir fazer isso E aí eu

vou copiar isso aqui embaixo 3 f = 2 e mais zoar né o ok então agora eu posso escrever e o lado esquerdo que a integral da curvatura de gás é mas é grau de cobertura Gilberto a é mas a soma dos ângulos externos Olá você que é igual a conta e aqui a soma dos ângulos externos aparece aqui com o sinal de menos se você lá do que quando eu trago para esquerdo fica com sinal de mais então fico com menos pief que vinha de lá é mais isso aqui mais dois pia e v

i o Masp o Veet mais firme veia Ah tá certo isso quem gosta mais aqueles estrela só para não ter que ficar repetindo seu lado esquerdo aqui bom então vamos continuar A análise né que a gente pode fazer com esse com esse sistema aqui do lado direito né é uma sugestão aí e por exemplo que a gente tem o número de versos estamos a triangulação mais o número dos versos dentes da curva com o mesmo coeficiente não posso juntar esses dois temos aqui dá o número de vértices externos total eu penso aqui vai ser menos

pief mais dois ppiv e mais pi pi vezes versus estamos total Ah tá certo a e agora que eu posso fazer E aí é é é E aí é uma sugestão é a pode fazer é como tentar isolar característica de óleo para ficar mais claro né então seu somo e três PF e subtrai depois eu fico com dois pe-efe menos três pe essa isso é menos pief e depois aqui eu tenho que para obter dois pivetes número de vértices e eu tenho que somar 2p vezes o número de vértices externos a eu fico com dois

p vezes número de versos - 2p vezes o número de vértices externos Mas como eu já tinha pia aqui fica - p eu tô querendo só isolar característico de orla e é uma estrela fica igual e a2 pief eu quero terminar aqui aí o próximo temos se eu quiser aparecer aquela criança que o dia Olha tem que ser menos dois pia Ah então tem que lembrar de chamar ele de novo e a tenta me aqui os dois pivetes número de vértices a Oi e aí fica então com menos três pief ou menos pi vezes o

VR as cartas e com seu somar esse termo conheci e conheço eu tenho dois pisos vezes a característica de Hora da religião R aí eu fico com o resto que 2 e a menos três PF - P versus externos portanto esse resto aqui o que eu tenho que mostrar aqui é igual a zero o café da minha conta aí G1 Oi tudo bem Oi e aí o que eu faço agora eu uso a identidade bom então repito aqui dois pisos a característica de ó ela mas 2p vezes o número de arestos - 3 PGS CEF

portanto são multiplicados a identidade pelo menos pe eu fico com menos 2 pi vezes aí - pi vezes a ela E aí depois eu tenho sistema o quê Olá meus pivete é G1 a e agora que que eu faço E aí E aí não existe uma relação entre o número de versos externas e o número de arestas externas que relação é essa e essa digamos é mais alta do que aquela ela tem que chegar mas essa essa segue direto da figura 1 E aí E aí a cada aresta externa tem dois versos externos mas as

máscaras humana é um verso externo Ele conta como duas são iguais né Você tem uma curva fechada fechada eu tô com ela fechada você dividir aqui em pontos o número em diversos é igual o número de arestas para seus dois números são iguais aqui e a outra relação é essa aqui que o número de áreas externas é igual ao número de vértices Terra portanto isso me dá aqui dois e vezes a característica de orla e mais dois Picos a começa os números são iguais eu posso escrever tudo em termos de ah ah é então fico

menos dois Piauí - 2 E aí é mas agora o aí mais o Ah é É o próprio a sistemas cancel a o Benfica era o resultado final Oi ok o único único ponto que digamos não é não segue de imediato é chegar que vale essa relação para qualquer triangulação é uma pergunta e por exemplo você pega um triângulo assim se essa for a triangulação então o número de faces é um o número de arestas externas é 3 e Eu interno 0 a relação três vezes três do lado direito a gente vai ter o número

de arestas externos que é três mas se você pega uma triangulação assim se você tem o número de faces é dois a três vezes ff6 o número de arestas externas é 4 a vigiar estas internos é um e não se fica aqui 12 aí mais a era da dois mais quatro pessoas Tá certo é como eu falei essas tem que provar isso por indução E aí tá em pé que você supõe que essa Safadão esboço aqui é a prova desse desse fato aqui para completar a prova do teorema bom então a ideia que você vai

provar que isso vai supor que isso vale para todas as triangulações comendo com menos com um número menor ou igual a Qaeda elementos vai provar que isso vale para uma triangulação com cá mais um elementos elemento digo faça fazendo são sobre o número de faces e e são sobre e o número de é fácil no caso em que a face é um demonstração é essa que tá aqui ó Ah tá se você quiser fazer o passo da indução que eu tenho que analisar você tem que imaginar que você tem aqui uma triangulação e de Caio

é mesmo você pode ter um triângulo assim Ah vá e a pode até ter um triângulo assim também sou outro você imagina que já tem uma triangulação com cá mais um elementos Olá eu sou subtrai um triângulo fica com uma triangulação com carne mesmo para qual você sabe que a relação é verdadeiro tá você precisa subtrair um triângulo aí o que você analisa é que tipo de triângulo e esse né É pode subtrair um triângulo solto E aí você vai dividir em casas é o caso é o caso que você subtrai um triângulo que não

não intercepta os demais né Tá certo e o até pode pode ser até 47 mas não não veste né aí nesse caso quando você subir traz esse triângulo que que acontece com o número de faces E você começa com uma triangulação pé E aí você suraya em um triângulo é que fica com uma triangulação telinha para qual você sabe que vale essa essa relação é tão pronta que qual vai ser o número é subtrair triângulo solto o número de faces cai uma unidade 1 e o número de arestas externas que acontece o subtrai 3 né

Oi e o número de arestas internas e não acontece nada Ah tá bom então aí vale a relação você chega aqui novamente você tem o quê três vezes 1 = 3 + 01 e assim por diante você considera o caso dois em que o triângulo que você subtrai é um triângulo que intercepta um outro em uma Face só esse segundo caso você subtrai esse triângulo aqui aí o que acontece com o número de faces do número de fácil me traiu o que acontece com o número de arestas externas aqui ó a subtrair esse triângulo aqui

então fiquei assim né eu acho que essas duas arestas que eram externos deixa um dia de semana só que uma que era interna passa-se externo então subtraia 11 Oi e o número de arestas internas que acontece G1 o subtrai um também né Essa esta era era interna e deixa de ser não passa externo há sempre uma lá é para pegar ceia bom então se você faz 3 f a menos 2 E aí é menos aí né isso não menos a é menos dois aí e isso é igual a três é filhinha mais 3 - aer

é o menos a Elinha - 1 Oi e o menos dois aí é menos dois aí linha mais 2 e peças tu o ou menos dois aqui né nós estamos ficando com menos dois faz para lá falta a certo né porque eu 3 - 1 - 2 e cancelo e você fica com essa expressão que era 0 e pela hipótese do são essas continuam aqui que o seu caso caso três seria o caso em que o triângulo que você vai subtrair E aí E aí e tem intercessão aqui em duas duas falsas e por último

caso quatro ser o caso em que o triângulo ele é todo o tramo que você é sua praia eu pensei que os três aqui cada um dos casos você chega conta te dar certo acha prova por indução de que isso aqui vai o OK pergunta sobre isso e passa a prova do Teorema de Gauss banner certo como falei um problema é muito bonito e profundo né geometria diferencial muito útil para uma série de coisas algumas delas eu vou me chamar aqui o Ok vamos ver algumas aplicações do teorema e a e deixa eu fazer uma

aplicação do da versão local né então é um caso mais mas simples e o que que ilustra se você conhece transporte paralelo que você tem informação sobre transporte paralelo de uma superfície Então você consegue calcular a curvatura de cálcio 1 G1 o motor de dar certo Qual é o qual é a ideia a ideia seguinte a lembrança vai ser aplicação número um a Vitória me digam os banner para você imagina que você tem uma superfície essa orientada eu pego um ponto P Oi e aí você pega uma curva fechada pequenininha aqui e a ser parametrizada

por uma Alpha de ter parametrizada de maneira positiva seja leva Fronteira de uma região simples bom e que dar uma volta em torno do pé certo e eu pego uma figura assim Oi e aí a ideia que você vai escolher você vai pegar um vetor Escolhe um ponto da curva você pega um vetor qualquer e se chama de w0 E aí você faz o transporte paralelo desse vetor w0 ao longo da curva certa bom então não há razão pela qual não tem porquê e o transporte paralelo conhecida com w0 quando você der volta completa pode

dar muito bem um vetor diferente e eu quero o determinar exatamente o que que acontece com esse vetor que eu vou pegar o transporte paralelo um WD até e ele vai voltar aqui um WD chá de bebê digamos só que o w de ar eu quero determinar então quanto que é esse ângulo aqui vocês quatro que há quanto quantos km de férias do vetor original certo eu como é que eu faço isso eu imagino que isso aqui uma coisa é pequena está contido na imagem é uma parametrização XX ortogonal Tudo bem não tem problema minha

culpa tá aqui E aí Oi e a ideia que você tem então esse esse ângulo né você quer medir então quanto que o transporte paralelo varia quando você dá uma volta você pode medir o ângulo com respeito dois vetores diferentes um deles é o vetor coordenado a chisu né e o outro Qual outra ver o que eu posso comprar e aqui outro Campo natural ao longo da curva seu tempo para usar aqui ó e o trajeto da curva não vetor velocidade e essa outra Campo eu também tenho é o alfa linha aqui né Tudo bem

então vamos lá o w de ter é o transporte em paralelo e ao longo de ser G1 e do vetor w0 eu pego é unitário e aí eu posso então medir o ângulo eu vou chamar de é de alfa alfa alfa alfa nambu letra chamar detecta o ângulo uma função ângulo orientada que mede o ângulo entalado entre o X1 sobre nome de Jesus e o transporte paralelo Então esse vai ser o meu ângulo teta então a gente sabe que que eu quero calcular é exatamente a variação total de teto eu não quero calcular nós queremos

calcular e o teto DP - teto de ar a O que é igual a integral do de teto BT A Tetê de haber un é chato e o campo shizune existem Toda Toda superfície né Então almedia essa taxa de variação do ângulo que mede de transporte paralelo faz com x o tô medindo variação total é chato a gente tem uma forma então a fórmula era que o valor algébrico da derivada covariante do w O que é zero porque o campo é paralelo é igual ao valor genérico da derivada covariante do X1 é mas a derivada

do ângulo essa é a primeira forma bom mas Eu mencionei aqui que tem um terceiro Campo que a gente pode usar que é o campo ou farinha então se eu comparo o campo farinha com novamente esse ângulo x 1 bom então eu vou introduzir Um Novo Ângulo aqui que o ângulo Beta O que é o angulo que o siso faz um e com farinha a gente sabe que e a valor gebrica da derivada covariante do Alfa linha igual novamente a isso daqui mas a derivada do ângulo de um ângulo que o ângulo Beta Ah tá

certo só que o que que é isso aqui né a curvatura geodésica é isso farinha pego parametrizada pelo comprimento de arco aqui é exatamente a definição da corretora Jéssica bom então se eu elimino nesse sistema aqui se eu elimino esse termo eu vou concluir então O que é que eu tinha zero né eu vou concluir então que o de teto de ter é igual a menos esse cara né você que é igual a menos curvatura geodésica menos a derivada do ângulo Aí tá certo aí tá errado e vamos continuar para ver se dá certo né

bom aparentemente Tá certo ainda bom então agora eu quero calcular variação total do ângulo reto então eu entrego essa fórmula então integrando né não tenha Ah tá trocado e isso acho que tá cê tá certo quer mais né ou menos uns mais em tu mora para certa já estão integrando a gente tem que a variação total do ângulo teta é igual essa integral e vai ser igual a menos a integral do curvatura geodésica E como está parametrizada pelo comprimento de arco né então o te esta é sobre a curva C né é mas a variação

total do Beto e isso E aí E agora o que que é isso aqui e o Beta é o angulo que o campo condenado faz com a velocidade e esse é a fronteira de uma região simples que tá positivamente orientada então quanto que é a variação total da tangente quando comparado com o vetor coordenada a2p Esse é o problema doente de rotação Oi gente comentou nova passada um apelo o teorema a doença Rota Sol E aí e essa variação aqui a adesp e é chato e eu tô pegando aqui a a curva seco mostrando Fronteira

de uma região R1 Dr é uma região simples e acontecido numa imagem é uma parametrização ortogonal Oi e a fronteira tá positivamente orientada se passa à tangente da uma variação total de 2 p logo conclusão é que a variação do transporte paralelo é igual a menos a integral da curvatura geodésica sobre a curva C que é a fronteira da região R mais 2p só que pelo teorema de Gauss boné nesse caso a curva é é suave porque ela não tem não tem festa não tem ângulos internos pelo teorema de Gauss Moniz porque é exatamente igual

a integral e da curvatura de galos nisso é sobre a região sobre a região Air em algum erro aí né Qual que é o erro isso e a E aí E aí eu acho que tá certo e é isso mesmo então pergunto como é que Eu determino então a curvatura de Gauss a parte do transporte paralelo eu divido pela área de Edna é uma ideia que a conclusão como é que eu posso calcular a curvatura de Gauss um ponto P usando esse procedimento eu pego uma curva ser muito pequena em torno de p cor um

vetor ao longo da curva faz transporte paralelo eu vou medir essa variação total eu vou dividir pela área da região Oi e aí eu tomo o limite disco quando a região R vai para o. e pensa que é exatamente a integral da curvatura de galos e vida pela área quando a região vai para um ponto e se converge para o valor da curvatura no ponto perto o status e o Amaral da história que o conhecimento do transporte paralelo te dar o conhecimento da cobertura de graus C G1 a minha curvatura média o que você acha

G1 a minha pergunta é se transporte paralelo pode ser usado para calcular com outra média que vocês acham é sim ou não e as coisas 14 por baixo como E aí o acesso poder conseguir alguma coisa assim não e o valor valor preciso então do do a crença essa estimativa que você deu e ela ela vale mas só da Igualdade sua conta um bíblico que é uma propriedade ele está em 5 minutos E se eu quiser calcular precisamente a curvatura aí em média a partir do transporte paralelo é possível ou não é isso não né

qual o exemplo você for mais simples é o plano se lembra né lá no tem cobertura média 0 Eu já falei isso aqui né cilindro tem cobertura média no sobre E aí um pedacinho do claro e um pedacinho do cilindro tem o mesmo transporte paralela porque eles são localmente isométricos e transporte paralelo é um conceito intenso então não dá para chegar na cobertura média por aí porque a condutora média distinguiu-se lembro do plano e enquanto que o transporte paralelo não Oi ok é muito bem então vamos lá vamos continuar as aplicações essa é a primeira

que de fato uma aplicação do teorema local né que eu só usei regiões muito pequenos vamos agora versão global a aplicação dois já foi mencionada aqui na aula passada ela disse que seus superfície s é compacta e sem bordo e continuem R3 implica aquela é orientada então a integral da curvatura de graus = 2 p vezes a características horas Tá certo e eu já tenho mais nada aqui e a razão né que já beleza desse teorema não deu lado você tem a geometria do outro lado topologia da da superfície achar um exemplo de um problema

global e conecta as duas coisas sabe Ou seja você poderia imaginar Que e a curvatura do espaço como é um conceito local não deveria digamos afetado por hoje toda né Mas quatro sim afeta de uma maneira Sutil mas afeta a festa por exemplo característico de hora é a então um aplicação três que segue direto da 2 Essa é a de que se você tem uma superfície e e do R3 novamente compactas em bordo e esse você sabe que a curvatura de Gauss é estritamente positivo em todo o ponto Então essas superfícies é o meu mal

foi espera e tem que tomar coisa assim mas tem que ser o meu amor foi espera bom Meu Deus hein tá tá ruim porque eu tô supondo que a curvatura é positiva então todos os pontos deveriam ser umbilicus não também intuitivo você imagina uma superfície que todos os pontos são bíblicos ela vai ter que ser uma coisa conversa assim tipo um elipsóide né O que é o meu moffa a espero é só demonstração é é bom como a curvatura é positiva e a integral da curvatura também positiva e logo a característica de óleo é Positivo

pelo teorema de Gauss boné mas a gente usa o teorema de classificação das superfícies compactas sem bordo orientados que diz que a esfera é a única que tem característica de óleo positiva que a parte do touro é característico de olha passa a ser não positiva né uma das orientadas a única que tem característica positiva esfera 1 E aí e aqui não né falei antes e eu falei eu falei modelos E se eu falei falei errado essa Elite que eu queria dizer a todos os cobertura positiva empresa que todos os pontos são elétricos a tal figura

deve ser uma coisa tipo um o valor aí assim um elipsóide já tá já era intuitivo que deveria ser o meu amor foi espero mas essa é a prova né e usando é claro esse resultado de topologia II é chato e para esse tipo de aplicação na verdade é o exemplo mais simples de um retorno uma uma direção na que hoje o metrô se interessam quer entender é quer considerar o seguinte problema que você me dá a superfície ou a variedade topológica E aí eu quero saber quais são as geometrias né mas com as curvaturas

que aquele objeto pode assumir por exemplo se eu pegar um toque pode perguntar será que um touro admite uma geometria que a curvatura seja positiva resposta não viu pelo teorema de que o teorema de Gauss banheiro tá certo só ter uma das mulheres que só só a espera pode fazer isso então é só um exemplo é de uma situação que é muito um exemplo de o resultado E aí O que faz o seguinte você coloca se você tem uma informação sobre a curvatura da do objeto e na variedade da superfície e você consegue determinar o

tipo topológico dela E aí E aí Ah então pode ser estendido para a dimensão mais alta Ah e só para ilustrar que isso ainda tem muita coisa para fazer não se conhece por exemplo quais são as variedades quais são todas as variedades que tem uma geometria de curvatura positiva Sem problema em todo uma área de pesquisa em torno disso caso dimensão dois as coisas são mais simples o gás banner diz que só só espera Oi ok um monte de comentário que de fato o plano projetivo também tem uma geometria de curvatura positivo é só que

essa geometria não pode o vídeo uma superfície do r31 se você tem que e a você tem que dar um se você pensa no plano positivo com uma superfície nela mesmo né seja como a primeira forma fundamental que portanto pelo teorema de Gauss te dar uma uma curvatura degraus pode de fato também tem uma geometria no plano projetivo que tem curvatura positivo só que não consegue colocar ela no meio três consegue no dimensão mais alta mas não e não não r13 para ler para superfícies orientadas e como ela tá numa represa é compacta sem bordo

você já emprego aquela orientada E aí E aí o ok então essa aplicação 3 a aplicação 4 E aí e qual é a aplicação 4 e a aplicação quatro é seguinte e imagina que você tem uma superfície é assim uma superfície e com cobertura de Gauss não positiva menor ou igual a zero certo bom então e não existe a região é simples ó a r e cuja Fronteira e é a união é de dois Arcos geodésicos é a qual é a ideia imagina que você tem um desenho assim eu tenho uma geodésica gama um aí

tem uma outra geodésica a cama dois que ligam os mesmos pontos certo Imagine que elas formem a fronteira de uma região simples r e como desenho mostra aqui tá afirmação é que esse tipo de figura não é possível se a curvatura for menor igual usar porque o que você pode aplicar o boné então se aplica o e o galos bonés e vai ter que a integral da curvatura sobre a região mais integral da cobertura geodésica é mas a soma dos ângulos externos que no caso são dois né ângulo externo IP mas o ângulo externo em

que isso é igual a 2p vezes a característica ele olha que é um porque a região é simples mas é isso implica que a soma dos ângulos externos e é igual a bom primeiro a fronteira é uma união de arcos geodésicos a curvatura geodésica nesse caso a zero não existe tanto se me dá dois pe - a integral da curvatura de Gauss sobre a região Mas como eu tô supondo que a curvatura de Gauss é menor igual a zero só que fica maior igual a zero tanta essa soma é maior igual q2pa é só que

é um ângulo externo ele varia de menos Fiat tá soma de dois ângulos externos só pode ser dois PE e se ambos forem pe pe eu concordo mas o que acontece o ângulo externo e pin né que que tá acontecendo você tá andando como a geodésica aqui a cama dois aí você vai ter a velocidade dela e pegamos um tempo um o ângulo externo CEP significa que e o vetor velocidade da Gama um vai ser um menos e o vetor velocidade da Gama 2 em 1 né porque voltou-se para não pode né porque a gente

sabe que uma geodésica é determinada pelo ponto e pela velocidade isso implicaria que a jogar se quiser uma dois ter que ter o mesmo traço que dá não Tá certo então absurdo que não tem a região nenhuma nesse caso só que Gama dois linha de um é menos a cama da Gama 1 linha quem quiser mesmo e a E aí e na verdade é um aqui né E aí e para melhor usar para orientação positiva né pra colocar assim E aí nesse caso fica zero mesmo E aí E aí Ah mas isso implica que eu

traço me diga amadores é igual o traço Digamos um que é um absurdo né Ah tá é mas tipo de situação não pode acontecer e isso reflete uma intuição de que curvatura positiva faz a geodésicas convergirem quanto que curvatura negativa faz elas dvg1 a cobertura negativa ali ali ela não precisa não pode fazer isso e voltar casa e pode formalizar essa intenção tá e lembra de uma esfera né como controle positivo a Jéssica abre mas depois ela acaba voltando depois seja na Esfera aquele desenho é possível o Ok mais uma aplicação a aplicação 5 e

a e qual é a aplicação 5 e também para superfícies de cobertura negativa Imagine que essa é uma superfície e agora vou colocar curvatura estritamente negativa ó e vou pedir que é se seja o meu moffa é um anel o homem almofa o anel Tá certo então afirmação é que existe e no máximo uma geodésica tá fechada um simples minhas sempre da que significa que não tem auto-interseções e qual é a figura intuitivamente mais de um catenoide a E aí e não catenoide é uma superfície que tem curvatura negativa em todos os pontos que uma

superfície mínima né Então as coberturas principais que sinais opostos e elas nunca são 10 no caso do catenoide então dezembro até aonde você vai encontrar uma Jéssica Fechado aqui na cintura é fechado e simples a Gama e aplicação 5 dias que não tem nenhum outro o saco toma geodésia e é bom porque isso bom anel é o meu mofo é um plano - A Origem não é uma maneira de ver a seguinte a Copa logicamente equivalente ao plano menos a a origem Então você tem as seguintes situações imagina que e eu vou pegar uma Jéssica

fechada simples Gama que tá o desenho demostração demostração e analisar alguns desenhos né Oi gente vai usar o teorema da curva de Jordan que o disco qualquer curva fechada simples no plano é a fronteira de uma região meu amor um disco bom então Digamos que a gente tem uma geodésica fechada nessa superfícies eu tô dizendo aqui só o desenho topológico né então Existem duas possibilidades essa geodésica fechada ela pode e ela limita uma região a Pode ser que essa região não contém a origem a ser o caso de uma curva assim aqui né o terceiro

caso 1 hoje ou ela pode a região delimitada pela pela curva Pode ser que contém a origem É eu sei que o desenho de uma curva assim né e esse aqui é o caso um esse é o caso 21 a Casa Branca caso 21 eu vou no caso um a gente pode usar os boné é que tá região simples é no caso muito vai ser um contradição Porque o gás burner me disse que a integral da curvatura de galo sobre r o tema de cobertura Jéssica não existe que eu estou supondo que ela é uma

geodésica também não tem ângulo externo porque ela é suave então graus boné me diz que isso aqui tem que dar 12 Pina é só que é um absurdo porque eu tô supondo que a curvatura é negativo e Tá certo eu sou rico a ser esse exemplo' e não pode acontecer tão de fato qualquer geodésica fechada simples tem que dar a volta do ponto aqui o seja o desenho original ela tem que dar uma volta na cintura aqui da superfície e Tá bom mas esse é o enunciado de de unicidade não tem o tempo isso porque

tem duas e mostrar uma contradição certo e eu já sei que aconteceria que aconteceu o caso dois né tem que acontecer o caso 21 o que que eu não posso ter dois então E aí você divide no caso dois ai no caso 2B o caso dois a o Digamos que eu tenho duas ao descascar uma dois as duas fechadas e simples então no caso dois ao tem uma assim ah e tem outra cena o quanto no caso 2B E aí e eu tenho uma sim e seria Gama um devemos a outra pode não interceptar Tá

certo que bom mas se acontece o caso 2 alças ela se intersectam então eu posso olhar e para um óleo um ponto de ela sente essa aqui depois eu pego o ponto do assento e saca de novo e a identifica então dois Arcos é de geodésica E aí e delimitando uma região simples que o meu amor fugiu de Ah mas isso é um absurdo pelo pela aplicação número 41 E aí Ah tá certo é a Então significa que tem que acontecer isso daqui ou seja elas e limitam é uma região o r que é o

meu mostra um anel Então nesse caso você aplica aos boné você vai ter que a integral da curvatura de Gauss É sobre esse anel e novamente cultura Jéssica não aparece né os ângulos externos só que é dois pisos vezes a característica de óleo mas quanto que é característico de óleo de um anel Mas sabe aqui é né Se quiser pode fazer triangulação a característica de óleo de um anel é 01 e novamente dá um absurdo porque eu estou supondo que a curvatura é estritamente negativo em todos os casos deram absurda né significa então que eu

não posso ter duas geodésicas vou ter no máximo uma e a figura têm que ser como no Café noite e isso é o seu permitiu sequer cobertura fosse menor ou igual a zero que que você acha E aí E aí G1 E aí e nesse caso que dá para dizer tu vai fazer alguma coisa E aí E aí bom então tem pensa nesse exemplo aqui esse exemplo aqui tem cobertura negativa né mas agora eu tô perguntando que ela ela pode ser menor ou igual a zero com motor de Gláucio e o que que você pode

fazer com esse exemplo aqui ó o exemplo 1 é parecido com esse dá para considerar e você lembra né se ele não tem curvatura legal zero né porque ele é isométrico localmente é um plano A ó e Aqui você encontra e o número infinito né de geodésicas fechadas simples né Cada todo paralelo a uma geodésica no caso do cinema foi importante que a corretora fosse estritamente negativo onde é que a prova falharia nesse último caso aqui né quando eu chegasse nesse último caso eu teria zero de um lado aqui e Menor igual a zero aqui

não daria para concluir é exatamente o que acontece com o cilindro aqui com uma curvatura zero esse caso é possível ok G1 E aí eu vou fazer mais uma aplicação uzinha aplicação 6 E aí como é que diz agora que se essa é uma superfície e a compacta e sem bordo Oi e a curvatura é estritamente positiva entrada tipo 1 o velório né Ela é o meu amor faz espero Como já vimos então e a duas geodésicas a quaisquer duas geodésicas quaisquer as duas lésbicas e fechadas um simples e a minha mãe uma dois têm

que sentar sentar a secção II é uma questão que é que apareceu não um exame de qualificação pouco tempo atrás aparecer esse problema então agora imagina uma esfera né se você pega uma é mais para redonda por exemplo na geodésicas são grandes secos dois grandes círculos sempre 107 que você gostaria que isso vale mais geralmente para geodésicas fechadas uma superfície de curvatura positiva a ideia agora essa gente já sabe né já sabemos que a superfície é o meu maior fã uma esfera E aí se você tem uma superfície eumofa a uma esfera e duas geodésicas

dá uma e amadores que não se intersectam e como a superfície tem topologia de uma esfera e elas têm que delimitar oh Manel certo é uma não é é isso porque eu usei que a esfera né se você tivesse uma coisa e assim por exemplo uma geodésica fechada fosse assim a outra fosse assim então isso não é verdade porque a superfície tenta Apologia de uma esfera duas dessas fechados que não se intersectam tem que delimitar um anel Oi e aí você aplica o galos mandei mais uma vez só e vai te dizer nesse caso que

isso aqui é igual e a2 pdf0 né e do espírito vezes a característica de óleo do anel que 0 só que como eu tô supondo que a curvatura de 30 mil dispositivo novamente te dá uma contração Ah tá um absurdo se você quiser considerar o caso cá maior igual a zero pode fazer uma coisa assim só um comentário pode pegar uma fazer uma superfície de revolução que aqui você pega uma reta depois que sua vida ela se e é que eu esse revolução é um pedacinho aqui uma reta Aí você faz a superfície revolução e

talvez alguns perfis que tem curvatura maior igual a zero em todos os pontos mais um pedacinho aqui é um se lembra né e como ela é um cilindro você tem geodésicas fechadas que não sinta secam aqui e novamente para importante a o fato da desigualdade 7:30 em alguma pergunta aí é uma série de aplicações do e do Teorema de um o legal do boné E aí e já que a gente tem há 5 minutos me deixa fazer uma última aí a aplicação 7 a peça aqui tem a ver com os desenvolvimentos recentes em E aí

é um aplicação aplicação 7 Essa é a seguinte né Imagine que você tem uma é se uma superfície e compacta sem bordo é o fato vou dizer mais sempre que ela ela é o meu mal foi espera o meu almoço e E aí Espero certo então eu não continuo r31 bom então o vale que você integra a cobertura média ao quadrado se você quer maior igual o que 4p a E aí e me falou ali a igualdade que permite provar isso é porque quase demonstração tem qual a motivação isso daqui talvez não seja viram alguma

das minhas palestras só que a chamada energia de humano a magia Oi meu amor se você bota a curvatura médio quadrado aqui que você quer uma uma energia que tem a propriedade que você pega uma superfície e faz um zoom e é que aquela energia fica igual eu quando você faz um um zoom na na superfície né Digamos que você multiplica a Holanda a área aumenta por lambda o quadrado que a área uma coisa quadrática na distância mas a curvatura média aumenta com o inverso da distância você bota o quadrado aqui para que os dois

se compensa e as energias fica em variante alergia deu ela tem essa propriedade que ela é Ela dá o mesmo resultado se você aplicar uma superfície s ou se você aplicar uma superfície que é duas vezes essa ou três vezes ou seja ela certa forma ela detecta a forma da superfície e aí você a pergunta é dado um tempo topológico por exemplo Digamos que a superfície em questão sejam mais fera Qual é a melhor forma de uma esfera de qual é aquela forma que economiza o máximo essa energia sistema interpretação física também temos de energia

de deformação é uma resposta é é a esfera Redonda né achar mais aquele dia wds1 e a resposta é espera Redonda porque se quatro pia aqui exatamente energia Ilmo é de uma esfera Redonda Hair o que se espera é redonda de raio R você sabe que a área é quatro pi R ao quadrado nisso Oi e a curvatura média é a média é um sobre é certo o que de fato Vale igualdade bom e vale a igualdade e se somente ser o s é uma esfera Redonda G1 eu conheci resultado aqui dá para você já

consegue provar usando dos bonecos é muito simples é e a e isso é uma observação Doeu mas na década de 60 me dá ideia que a integral de demonstração é é muita grau já dá o quadrado = integral que a curvatura média né a média das coberturas principais Tá certo é só que isso aqui você pode escrever assim e pode escrever com a a soma da diferença Tá mais calmo pescadores foram com isso e este por sua vez como esse terminal negativo é maior igual o que é grau de carro vai ficar dois que a

curvatura degraus produto das coberturas principais é chato que foi que ele tinha falado né em geral Vale com altura média quadrado é sempre maior igual que cá e vale a igualdade e se você conservar a igualdade esse tempo tem que ser no lar ou seja como atores principais precisam ser iguais Isto é o ponto tem que ser um bico o ponto é um bíblico Tá bom mas essa pelo teorema de Gauss boné igual a 2 pi vezes a característica de olha no caso mais fera estudar 4p e claro que você vale a igualdade Então esse

termo aqui tem que ser no lá em toda superfície seja superfície é todo um bíblica a gente já vê o que que tem que ser uma uma esfera redondo a igualdade e implica que essa é totalmente um bíblica todos os com são bíblicos e como ela é compacta né lá na Esfera ela tem que ser uma esfera Redonda a Santa Sé só o e o galos banner é bom na época o fez uma pergunta fez a pergunta não falei isso para observação do rio na década de 60 e aí ele perguntou um 4p o melhor

valor para uma esfera né então o que acontece é se for um touro a pane conjecturou aqui só quero conjectura o que se acha um Thor o meu monstro é a autônoma bom então o melhor valor deveria ser 12 peão ao quadrado e e não pode ser quatro pipa que a gente já viu que 4p só se for uma esfera uma esfera Redonda é mas só que a gente conseguiu fazer né ano passado mas só mencionar então que esse problema se você coloca a pergunta para uma superfície de Janeiro G e se é o meu

moffa é uma superfície assim e com gênero o maior igual a dois não então só quer problema o placar mente aberta no caso do tório a gente conseguiu provar que realmente só quero a verdade e de fato essa 2p quadrado é atingido por um toque você faz assim você pega um eixo de revolução aí numa distância perpendicular você médio raiz quadrada de dois você pega um circulo de raio 1 É centrado nesse ponto o quê lá e faz a superfície de revolução pega um toque de revolução em que essa proposição aqui da distância pelo raiva

raiz de 2 Então e se torna o que dá exatamente dois quadrados eu já dei o melhor touro do R3 né mas a pergunta qual é o melhor vitória do r13 isso aí está totalmente em aberto deu um problema aqui no caso de uma esfera é uma simples consequência do Gasômetro em