Pré-Cálculo - Aula 26 - Função Modular

o olá pessoal eu sou o professor douglas maiores vamos continuar com nosso curso de pré-cálculo na aula de hoje vamos falar sobre funções modulares ou seja funções que envolve módulo e o que que é o módulo aqui você a gente tem o número real x o módulo ou valor absoluto nesse número x é o seguinte seu x é maior ou igual a zero positivo o módulo desse número é o próprio x agora se os dias for negativo o módulo desse número é menos x a x menos 1 por que isso acontece porque no modo a

gente quer que tudo seja positivo sempre coloco alguma coisa no módulo ele tem que sair positivo então se ele é positivo não acontece nada se ele negativo e o multiplico por menos um para trocar o sinal para tornar ele positivo ok então por exemplo se eu tiver lá módulo de cinco quanto que é módulo de cinco os cinco já positivo então o modo de cinco é o próprio 5 oi e o módulo de -4 o modo de -4 é o seguinte como -4 negativo eu vou pegar o -4 e multiplicar ele pelo menos um né

colocar um sinalzinho de menos na frente porque porque aqui fica menos com menos mais fica quatro positivo ou seja módulo de -4 é quatro positivo tô módulos sempre positivo sempre positivo já dentro do módulo ele sai sem mudar nada agora se o que tem dentro do modo negativo tem que multiplicar pelo menos um trocar o sinal de tudo que está dentro do módulo para deixar esse as coisas positivo quem esse eu tenho uma função modular no caso que o f de x é módulo de x vocês vão ver que geralmente quando a gente tem módulo

a gente pode modificar essa função para trabalhar sem o módulo só quando a gente vai trabalhar seu modo geralmente a gente trabalha com duas né ou três funções e umas como assim a gente tem uma função que ela se divide em duas funções para lembrar para um intervalo é uma expressão para outro intervalo vale outra expressão por exemplo módulo de x a gente não tem que módulo de x é x se x for positivo e menos xx foi negativo então ninguém trabalhar com moto x a gente pode trabalhar com essas duas expressões aqui então seja

minha função f de x vai ser igual ao o próprio x se você for positivo ou igual a menos x o negativo que ela tem duas expressões uma expressão para este dispositivo outra expressão para x negativo vão tentar construir o gráfico dessa função um modo dx então vou pegar como já tem tem duas separação maior quiserem menor que zero eu vou pegar duas separação primeiro maior que 0 homem a coisas maior igual a zero por exemplo 0 o seu tipo jogo zero que o f-zero é o próprio zero por aqui também modo de zero e

zero você vai ver que tanto faz eu usar essa função ou essas duas aqui por exemplo um se eu jogar aqui fica módulo de 1 milhão né ou como x1 é maior algo a zero eu jogo aqui que fica o que o próprio um não próprio valor que eu joguei no x como x é um fica o próprio um e para x negativo né se eu pegar o zero é mas eu próprio zero se eu pegar menos um né que eu posso jogar aqui ó módulo de menos um é o que é um positivo oi

oi eu posso pensar nessa função aqui nessa desse dessa forma que é o que o menos um negativo então joga que fica no lugar de x menos 1 fica menos menos um que fica um independência jogo ao menos um modo ou menos um nessa segunda parte porque ele negativo vai ficar um positivo e aí a gente vai construir o gráfico né eu vou colocar aqui ao ponto zero zero aqui o ponto 11 porque um eu vou pegar esse ponto menos um e aqui que eu vou fazer que eu tenho duas retas a reta da função

igual a x que essa daqui e a reta da função igual menos x que essa daqui percebo o seguinte em que a função é módulo de x se não tivesse módulo seria função só f de x = x como que ficaria o gráfico esse x aqui ó y = x continuaria para o negativo né essa reta aqui continuaria para baixo só que como é módulo de x que que a gente tem a gente tem que rebati aqui não e quando ele vai virar negativo quem essa parte que é negativa que que acontece ela rebate e

esse ângulo que tá aqui é o mesmo que tá aqui ou seja ele usou x como se fosse um espelho essa parte que tá negativa rebati nesse caso aqui ela é simétrica ok esse gráfico ele é simétrico ok então essa é a função lá dentro do módulo mas como moda é só coisas positivas que acontecem essa força essa parte que é negativa elas vai refletir então eu posso pensar refletindo ou eu posso pensar desse jeito aqui né fazendo duas funções em uma só e vamo continuar aqui ó tá lembrando o domínio dessa função é o

r qualquer eu posso colocar no lugar x qualquer número real porém a imagem é só os reais positivos não negativos né porque o zero também tá incluso porque olha só o grave com o gráfico ali fica todo em cima do eixo x existe o 0110 tá na imagem 10 também major fd0 quem então você reais são todos os reais não negativos né partir do zero em diante oi e essa daqui ó x menos 1 agora olha só vamos ver e quando dentro do módulo ele é positivo e quando negativo ou seja quando que ele vai

sair sem trocar o sinal e quando ele negativo que ele sai trocando o sinal para eu ver quando dentro do modo positivo negativo tem que fazer o estudo do sinal lembra que o estudo do sinal primeira coisa que eu faço é encontrar as raízes tomou fazer o estudo do sinal dessa coisa pra dentro do módulo vou encontrar as raízes a encontrar a saída é igual a zero aqui tá fácil né esse menos um passa para lá fica um aí eu vou colocar aqui ó a raiz um isso daqui x menos 1 é uma função do

primeiro grau né quem que é o álcool e sentiam goulart não tá aparecendo aqui do lado do x ninguém então é um que é positivo então a função do primeiro grau com coeficiente angular positivo ficou sentindo lado positivo é uma reta crescente né lembra a gente vai simular que uma reta crescente aqui tá acima do eixo x é positivo aqui tá baixo do eixo x é negativo aqui que a gente tem oi gente vai separar em dois intervalos antes do um e depois de um ok vão pensar que antes do um como que a minha

função minha função o que é módulo de x - 1 quem só que antes do um essa coisa linda módulo é negativo é negativo então se a negativo o que que vai acontecer eu vou tirar ele o x menos 1 só que eu vou multiplicar por menos um em tudo daqui a todos daqui tava tendo módulo tudo aqui negativo quando eu cheguei menos oito eu vou pegar todos daqui x menos 1 ou seja vou trocar o sinal de todo mundo aqui fica menos x menos com menos mais 1 menos x mais um então precisa aqui

ó quando x é menor que um essa função módulo fica menos x mais um e quando x for maior que 1 é como se informar que um que a gente tem a função é positiva o que tá dentro do modo é positivo então o que que a gente tem ó a função é módulo de x - 1 só que quando x é marquinhos essa coisa que tá dentro do modo de positiva se é positiva ela sai sem mudar nada ou seja função vai ser x menos 1 eu pensei avó que a gente tem agora a

função módulo de x - 1 é o que é x - 1 quando x é maior igual a 1 e menos x mais um quando o cês tão vendo aqui um então tem agora duas expressões uma expressão para maior igual um outro pressão para menor que um tem duas expressões vão conseguir gráfico agora pensando nessas duas expressões então lá partes maior ou igual eu vou jogar aqui ó um e aqui tá no maior bom humor toda essa daqui olha essa parte aqui o maior igual um quem tu vai jogar coisas no órgão um se eu

trocar no x1 ficar um menos 10 ok vamos pegar coisas marquinhos dois joga no lugar desse daqui 22 - 1 então quem se eu jogasse esses valores aqui dar a mesma resposta daria troca que os por 11 - 10 módulo de zero troca esses por 22 - um modo de um é um quem agora vamos pegar para x menor ou igual a 1 eu vou pegar também na intersecção quer um é bem onde um é bem onde quiser era essa função modular né então um vai ser a tanto aqui como aqui ó pode ver que

era se eu jogar aqui ó ficar um menos 10 seu jogo x aqui um fica menos um mais um também era né em todo caso 1 a 0 mas eu tô pegando coisas menor que um que eu vou pegar o zero tem menor que eu vou pegar o zero troca 10 aqui menos 100 mais um a se eu trocar o xp-10 aqui também dá menos um dar um positivo assim 01 - 1 da menos um modo menos um saiu um positivo tem tanto faz jogar aqui vou jogar aqui mas se jogar que eu tenho que

prestar atenção que se hoje for maior que 1 é o de cima e o seu menor aqui umas baixo aí eu vou fazer o gráfico mesma coisa né vou colocar ó no x-180 então no x-180 aí a gente tem ó que no x 2 o y é um e a gente tem que ir no x0y também e eu vou fazer as duas né eu tenho uma reta o negão eu tenho essa reta aqui que é o x menos 1 que é quando x for maior que uma perceba que aqui um mas x maior que um

vale a reta x menos 1 x mark uma olhada x 1 x menor que um vale a função menos x mais um preste atenção de novo que aqui a gente tem a x menos 1 dentro do módulo então a gente poderia ter feito também o gráfico da função x menos 1 que é isso daqui ó x - 1 e ela continuaria para lá ok porém como tá isso dentro do módulo ele seria refletido para cima quem ficaria também e esse gráfico aqui quem é mesmo que essa parte aqui ó não existe né porque não é

x - possível ser essa mas como é modo de x menos 1 ele vai vir aqui quando bate no x ele vai refletir ok nesse caso a gente também tem que a função é simétrica ok e o domínio é real porque eu posso colocar aquele lugar desses qualquer número real ea imagem continua sendo os reais não negativos né do zero em dia é nós vamos pegar aqui ó e o módulo de x + 1 como que fica como eu posso dividir em duas funções porque o modo como eu só tenho um módulo de x 1

não tá dentro do modo só um modo x lá dentro do módulo que que a gente tem como é só o x é só ver se ele é positivo ou negativo porque se utiliza positivo lá dentro do módulo vai ser uma coisa positiva ele vai sair sem multiplicar por menos um nada porque já é positivo agora se o x for negativo dentro do módulo tem uma coisa negativa aqui que eu tenho que fazer eu tenho que pegar essa coisinha do modo que eu x100 x menos 1 para ser positivo tem cuidado que não é tudo

que tem que ser positivo é só o que tá dentro do móvel que tá dentro modo que vai sair sem ser positivo e ela tem que ver que se o que tá dentro do modo negativo eu troco sinal no caso aqui ó se este for negativo troca o sinal doces oi e aí eu tenho de novo duas expressões de novo eu posso montar a tabelinha né então fiz a tabelinha de novo do x maior igual a zero joguei zero dá um joguei x1 daí são dois joguei também do y-2x menor igual a zero né também

joguei 10 que dá um joguei o menos um que dá dois né então seja e esse x 0 e 1 se você joga aqui dá essa resposta e esse daqui se você joga aqui obtém essa resposta de y e aí você pode montar também o gráfico ela 10 é num um vai no dois e o menos um vai no dois né oi e aí a gente vai ter aqui a nossa o nosso gráfico perceba que o módulo de x e a gente fez o gráfico do modo x 1 módulo de x tava aqui ó se

deu bem aqui o módulo de x é só que no caso a gente tem modo de fiz mais um tom que a gente pode também pensar pega o módulo de x que é esse daqui e sobe ele tudo bom todos os pontos sob um fica desse jeito aqui e esse daqui é o módulo de x fecha módulo mais quem é bom continuar de novo dominus reais só que nesse caso a imagem ó onde que começa a imagem ao começa num né então é do 1 até o infinito feito por que qualquer y que for tiver

abaixo do um não vai ser resposta pois é para 10 tem algum x um número real que se você colocar no lugar aqui essa resposta vai dar zero que o módulo de x + 1 da zero não é impossível né na verdade só vai ter resposta para qualquer número que seja um ou maior igual que um tem vão continuar aqui ó e esse daqui ó o módulo de x menos 2 menos 1 eu vou estudar o sinal sol que tá dentro do módulo que é o x menos hoje para mim estudar o sinal de disso

primeira coisa cálculo a raiz aqui tá fácil né esse menos dois passa para cá dois positivo eu vou colocar o 2 isso daqui uma equação do primeiro grau que é uma reta o coeficiente angular que acompanha o x é um pouco que é positivo vai ser uma reta crescente aqui fica positiva que tá cima 2x aqui fica negativo que tá abaixo deixes aí que que a gente tem eu vou pegar aqui ao x menor que 2 x menor que 2 o que está dentro do modo negativo só a função é módulo de x - 2

- um ok só que por x menor que 2 essa coisa que tá dentro do modo ali negativa então ela vai sair do módulo multiplicando por menos um para trocar o sinal como que vai ficar aqui ao menos desistir da menos x e menos com menos fica mais 21 o que que a gente tem menos x fica menos x né mais dois com menos um fica mais um ok ou seja essa função aqui quando x é menor que 2 dentro do modo negativo ou seja vou ter que trocar o sinal dele vou ter que multiplicar

por menos um portanto a função para x menor que 2 vai ser menos x mais uma agora e para x maior que 2 os testes mark2 olha essa é minha função o módulo de x - 2 - 1 essa é minha função para x-mark dois essa coisa que tá dentro do modo é positivo então ele sai sem mudar nada porque você positivo não muda nada ó e vai ficar aqui vamos ver x menos 2 comemos um fica menos três ok então olha só essa função modular vai virar essas duas funções aqui né que vai ter

também duas expressões uma práxis maior = 2x norte no igual dois fica x menos 3 e outra para x menor que 2 que fica menos x mais um então veja se o x é maior ou igual a 2 3 4 5 eu vou jogar essa expressão tão quanto que é um efeito e sim calcinha é maior que 2 então fica assim com menos três fica dois quanto que é um fd - 21 - 2 é menor que 2 então joga aqui né menos com menos fica mais 2 mais um resposta é 3 ok vamos fazer

o gráfico novamente né então vamos pegar de novo x maior igual a dois vale essa expressão aqui né então joguei dois joga dois aqui 2 - 3 ficar menos um jogo 3 ac3 - oi e para mim não água 2 ok então vou jogar também dois da menos um também vou jogar um porque eu só posso aqui pegar x menor que 2 vou pegar um joga um aqui menos um mais um da zero e eu vou construir o gráfico vou colocar os pontos então o x 2 aí no o x3 vai noite 10 e o

x1 vai também no it's on zero ok aí o traço gráfico aqui e aí o gráfico que que acontece esse daqui é a reta do x menos 3 essas retas do menos x mais um essa reta do menos x mais um vai até o dois a partir do dois começa a reta do x menos 3 quem perceba que a gente também poderia fazer esse buraco seguinte ó pensa só no x menos 2 contra o modo temos dois ficaria aqui ó é isso daqui ó seria o gráfico do módulo de x - 2 que seria o

que a reta x menos 2 quando ela fica negativa ela rebate vir para aqui para cima ok só que com muita subtraindo um fora do módulo ele de seriam aqui no caso domínio continua sendo reais mas agora a imagem é a partir do menos um método menos um porque o menos um também parte faz parte da imagem até o infinito quem vão continuar perceba vamos voltar aqui ó porque até agora eu só tinha um módulo ou no máximo um módulo com um número somando fora ou subtraindo fora percebe que até agora a gente tinha gráficos

simétricos só que agora mudou um pouco o que mudou eu tenho um módulo mas fora do módulo não tá somando subtraindo o número eu tenho variável fora do modo também então quando eu tenho variável fora do modo e aí não vai ser simétrico necessariamente ok a gente vai ver aqui um exemplo então primeira coisa é para eu ver qual quais são as funções que eu vou trabalhar com essa função modular eu tenho que ver dentro do módulo se ele positivo ou negativo lembra que porque se dentro do mal foi positivo ele sai sem mudar nada

se dentro do modo negativo ele sai x menos 1 então por isso eu tenho que ver quanto que é positivo quando negativo quando que eu vejo que o 2x menos um é positivo ou negativo tem que se dar o sinal lembra que se dá o sinal primeira coisa é encontra a raiz então vamos lá igual a zero para encontrar raiz esse menos um passa um positivo esse dois passa dividindo um sobre dois então a raiz é meio oi de novo dentro do módulo tem uma coisa que é uma função do 1º grau o ar que

é o cor santiago é dois que é positivo então de novo a ser uma reta crescente reta crescente positivo aqui porque tá acima do eixo x negativo aqui que tá baixo da justiça então eu vou dividir o intervalo em menor que meio e maior que meio porque menor que meio que tá dentro do modo negativo então minha função é essa daqui ó o módulo de 2 x - 1 a menos x mais um ok como a gente está trabalhando no intervalo x menor que meio x menor que 1000 catarina do modo é negativo que que

a gente vai fazer a gente vai multiplicar todos aqui dentro do módulo pelo menos um para deixar ele positivo on o que que a gente tem agora menos com 2x da menos 2x menos com menos um dá mais 1 menos x mais 1 bom então vamos juntar aqui - 2x comendo x da - 3x mais um com mais um dá mais 2 ok então quando x é menor que meio essa expressão vir essa daqui ao menos 3x mais dois isso daqui esse gráfico sei construir porque é uma função do 1º grau por que que eu

tô fazendo até agora só colocando dois pontos em cada intervalo que tá ficando todo função do 1º grau função do 1º grau a gente viu o que é só colocar dois pontos em cada e você consegue construir a reta por isso que a gente tá colocando só dois pontos em cada intervalo aqui de novo eu uma função do 1º grau bom então fiz um intervalo x menor que 6 agora vou colocar um intervalo x maior que meio é a minha função é essa módulo de 2 x menos 1 menos x mais um como eu tô

falando dx mark meio x maior que meio que tá dentro do módulo daqui é positivo como que tá dentro do modo é positivo ele está ai sem mudar nada e quem percebe que a gente sempre do sinal só para ver o que está dentro do modo de positivo negativo porque quando ele positivo license muda nada quando ele negativo isso aí muito sendo x menos 1 por isso que muda a expressão agora que o dois x menos x fica x - 1 + 1 fica zero ok então olha só que a gente tem a nossa função

essa função que a gente pode escrever dessa forma igual xx uma marquinha então se os estão aqui meio a função é o próprio x ou menos 3x mais dois ou menos preciso mais dois e o x for menor que mesmo então tenho duas expressões vão construir o gráfico de novo ó então de novo vou pegar lá x marco e meio então vou colocar o meio a partir do meio o f de x é o próprio x então joga aqui meio tá meio joga um a resposta e se você jogar no meio aqui a resposta também

tá meio se você jogar no lugar do x 1 a resposta também não e vamos pegar para menor que meio né o seu jogar lá meio também da 60 também dá dois quem só uma coisa aqui tanto faz você colocar maior igual um cima ou menor igual no de baixo aqui porque o igual a meio essas duas expressões vão ser exatamente iguais quem se você jogar meio aqui da meio se você jogar meio aqui também da meio ok essas duas expressões exatamente por isso que eu tô jogando o ponto que divide nos dois quem que

tanto faz esse ponto que dividir tanto faz eu coloco aqui no aí eu coloco o maior igual ou aqui bom então vamos colocar lá meio no meio é meio né x meio é y meio no x1 y1 e no x0y é dois aí eu vou traçar o gráfico aqui que que a gente tem olha aqui ó essa reta aqui ó que é o meio depois do meio a reta x então depois do meio eu tenho essa reta aqui que a função é isso é igual a x que é só isso antes do meio tenho essa

reta aqui ó que é menos 3x mais dois essa reta do mesmo seus mais dois mas essa reta para no meio porque essa reta só vai até o meio ok perceba que eu agora eu não tenho mais simetria por que que eu não tenho mais simetria porque eu tenho dentro do módulo e dentro modo tem e fora do módulo eu tenho variável somando né você tiver variados humano explicando alguma coisa fora do modo eu perco a simetria assimetria só vale que em geral enquanto eu só tenho um módulo alguma coisa somando lá dentro do e

esse caso aqui eu não tenho simetria aqui nesse caso que eu tô domingos sociais ea embalagem é o que de meio até mais infinito porque perceba começa aqui no meio essa função aqui por exemplo ela tem raiz essa função não apresenta que ela nunca vai tocar no eixo x essa função não toca no eixo x então essa função não tem raiz que você vai perguntar calcula a raiz dessa função aqui a solução que vazia porque a imagem é do meio ou até infinito nada menor que e-mail um quarto um oitavo que um décimo zero ou

coisas negativas vai ter como resposta ok 0 qual o x que eu coloco aqui que a resposta 0 só de ver o gráfico já sabe que não tem solução porque minha imagem ó ou seja isso daqui vai sumir pode só cima e valores da parte do meu ok vamos continuar e aí no caso que a gente tá gente ela trabalhando só que funções do primeiro grau dentro do modo que se a gente tem uma função do 2º grau dentro do módulo olha aqui ó uma função do 2º grau no modo vamos pensar sem o modo

x quadrado menos 4x mais três o gráfico dessa função aqui do 2º grau vai ser essa parábola aqui testa e depois na sua casa e lá as raízes é um e três pega lá o basta você vai ver que raiz é um três pega a fórmula do vértice x do vértice e y vértice você vai ver que o x humberto é dois opção do verso é menos um quem fez o gráfico beleza o gráfico assim só que percebeu que o gráfico ó quando que ele é positivo antes do um o gráfico tá cima da justiça

positivo depois do 3 o gráfico está acima do chance de contigo então perceba aqui antes do um não muda nada é positivo ó não muda nada esses quadrado não podes mais três depois do 3 o gráfico volta você positivo não muda nada também porém entre um e o três o gráfico é negativo quem e como é negativo vou trocar o sinal de todo mundo esses quadrado ficar mesmo esses quadrado e esse menos quatro filhos fica mais 4x e esse mais três ficar menos três só seja entre um e três comuns daqui negativo eu multiplico menos

um ou seja troca sinal de todo mundo para construir agora o gráfico do módulo dessa função 2º grau o que que eu posso fazer eu posso pensar em fazer dessa forma aqui ó menos x quadrado menos 4x mais 3 até o x1 que vai ficar esse daqui essa equação do x mark 3 que vai ficar essa parte aqui e entre uma e três eu faço esse esse gráfico aqui esse gráfico ele vai ficar para cima aqui ou eu penso só em rebater que que tá para abaixo do eixo x o que tá baixo eu fiz

essa parte essa parte que vai acontecer ó eu vou tirar daqui e eu vou rebater para cima ok e essa parte aqui ó se você fazer o gráfico do menu esses quadrado mais 4x menos três essa é a parte do gráfico aqui ó que fica entre um e três exatamente o que eu posso pensar nessa parte aqui das equação entre um e três eu posso pensar só em rebater quem domínio é o ceasa eu posso jogar qualquer x real aqui e a imagem são os reais não negativos né a partir do zero qualquer um pode

ser resposta para essa função aqui mas se eu tenho esse daqui ó x quadrado menos 4x mais três que é o mesmo do exemplo anterior se agora eu tô somando dois fora que que eu posso fazer eu posso pegar aqui no exemplo anterior e somar dois em todo então que fica três mais 25 embaixo também três mais 25 e aqui fica menos três mais dois ficar menos um fica dessa forma aqui a fórmula ou eu posso pensar no seguinte faz o gráfico do módulo de x quadrado menos 4x mais tarde a gente aprendeu e lembra

que o x quadrado menos 4x mais três seria sim é só que como tá em módulo ele rebate a parte que tá baixo deixe para cima ok só que como é esse gráfico aqui o dessa função mais dois que que eu faço aí eu vou lá e vou subir duas eu percebo aqui ó isso daqui sumiu dois subiu dois subiu dois todos os pontos subir dois então vou lá e pego esse mesmo gráfico e subo dois em todos os pontos ok eu consigo obter o gráfico dessa função módulo de x quadrado menos 4x mais três

caixa modo mais 2 ok o nome real só que nesse caso a imagem é dois em diante fechado tem novamente essa função aqui tem raiz não têm mais nenhum valor de x que você colocar aqui você vai ter como resposta zero pois é poque e nesse caso aqui que tem dois módulos aí eu vou ter que estudar o sinal dos dois modos ok eu vou jogar aqui direto já o varalzinho do estudo do sinal o que a gente fez bastante vou pegar o estudo do sinal dos dois x menos 4 e o estudo do sinal

do x por que que a gente tem um modo é o dois tivemos quatro e outro model x se a gente pegar aqui calcular raiz vai ser dois e aqui se a gente calcular raiz fizeram que que a gente vai ter quando a gente tudo o sinal e nesse caso que vai ser positivo depois negativo antes nesse caso esse negativo antes positivo depois ok eu já fiz direto estudo do sinal mas faz igual a gente tava fazendo durante essas aulas as outras aulas para fazer o estudo do sinal do 2x - 4x rock nessa hora

e outras a gente já fez tudo sinal que eu já fiz direto para a gente já o menino que interessa nesse exercício que que a gente tem agora a gente tem três intervalos com intervalo ó o zero como usar errado de baixo vai ser um limite do intervalo um quem tem como dois é raising de cima né ele vai ser o do outro intervalo do que a gente tem gente tem três intervalo antes do zero entre o 02 e depois do dois porque é importante explicar antes do zero o 2 x - 4 negativo e

x também negativo ou seja eu vou ter que trocar o sinal dos dois porque os dois são negativos eles vão sair do modo tô com sinal trocado para virar positivo e quando a gente está entre o 0 eo 2 o 2 x - 4 negativo e o x é positivo ou seja vou trocar o sinal só desse e depois os dois os dois são positivas sejam vou trocar o sinal de nenhum então vamos estudar o sinal então primeiro intervalo é antes do zero então x menor quiser minha função é essa daqui ó o módulo de

2 x - 4 - módulo de x em que que a gente tem a gente tem que quando x é negativo seja menor que zero tanto esse negativo começo negativo então como ia ser negativo que que vai acontecer eu vou multiplicar por menos um para deixar ele positivo e zac também negativa também vou multiplicar comemos um cuidado que aqui eu tenho esse sinal que a menos esse sinal eu só copiei agora assim ó esse x eu vou multiplicar por menos um pra deixar ele positivo ok por quê porque no x menor que zero ambos são

negativos então tem que tirar isso daqui com o sinal trocado e daqui que o sinal trocado a pescada ficar menos 2x menos com menos mais 4 e aqui menos com menos mais bom então a função vai ser - 2x com mais x a ficar menos x e mais quatro o ok chego aí ok com x menor ou igual a zero a função vai ficar - x + 4 nós vamos pegar no próximo intervalo que entrou 02 vão pegar entre o 0 eo 2 ou entre o 0 2 que que a gente tem que o 2

x - 4 e negativo agora o x é positivo então esse daqui vai sair com o sinal trocado e daqui a positivo vai sair normal então minha função é essa daqui né módulo de 2 x - 4 - módulo de x o que que a gente tem isso daqui a negativo entre os 02 ainda negativo então também sai com o sinal trocado e aqui a gente tem menos agora o x é positivo então ele sai sem mudar nada o módulo de x que o próprio x esse menos lembro que ao menos da forma que nem

da função troca o sinal sinal aqui menos 2x menos com menos mais quatro aqui - x1 bom então o que que a gente tem menos 2x comendo x vai ficar menos três xeo4 não tem que tomar fica quatro beleza falta um intervalo que é x maior que 21 oi e para o intervalo x maior igual a dois a função essa daqui né módulo de 2 x - 4 - módulo de x que que a gente tem gente tá no intervalo x mark 2 x moc 2012 são positivos tantos 2 x - 4 é positivo quando

x é positivo ou seja sai tudo sem trocar o sinal se daqui saiu normal e esses também saiu normal e aí a gente tem o quê dois x menos x da x e -4 fica -4 ok e finalmente a gente conseguiu obter e isso daqui ó são três equações uma equação é para o x menor quiseram outra equação é pro x entre 0 e 2 ea terceira equação é preciso mark2 crushes menor quiser a equação e menos x mais 4 que a gente obteve aqui a cruz 6002 a equação e menos 3x mais quatro que

a gente obteve aqui e para os maior igual a dois a equação x - 4 que a gente obteve aqui vamos construir o gráfico então agora a gente sabe que essa função na verdade vira essas três funções em cada um intervalo essa função vale para o x negativo essa função vale para o x entre o 0 eo 2 e essa função vale croche depois dois então construa o gráfico então eu lavo x menor que 0 e menor que zero a zero essa daqui né troca 10 lá vai dar quatro troco menos um lá resposta vai

dar 5 e precisem 302 n302 é essa daqui troca 10 lá vai dar quatro troco dois lá vai dar menos dois quem só troca aqui ó trocar esses dois fica menos três vezes 2 da - 6 - 6 + 4 - 2 oi e para o x maior que 2 essa daqui né troco dois lá vai dar menos dois troca o 3 vai dar menos um né só trocar trocar esses por 33 anos 4 - um beleza e aí quando a gente for construir o gráfico da que eu construir no jeba que que a gente

tem ó brushes o negativo é essa daqui menos mais 4 que essa reta aqui essa reta do menos x mais 4 se fosse só menos x mais 4 para todos os reais essa reta continuaria só que a reta menos x menos mais 4 até o zero quando chega no zero vira a função - 3x + 4 a esse daqui é o gráfico da função - 3x mais quatro só que ela vai até o dois depois do dois aí ela já muda para a função x menos 4 é esse gráfica da função x menos 4 então

eu tenho três gatos o gráfico do x menos x mais 4 até 10 o gráfico do - 3x mais quatro do 0 até o dois e o gráfico do x menos 4 quando x for mark2 quem vamos agora para o geogebra que a gente vai brincar um pouquinho e aí eu vou deixar para vocês brincarem também com o geogebra com essa questão de funções modulares quem e aqui no geogebra é legal porque eu vou jogar a função que eu falei e ela constrói então quê que eu como que eu faço para construir uma função aqui

tá o jogo débora eu vou colocar aqui ó y como vou fazer uma função lembra que é y igual alguma coisa que tem x se eu jogar y = x ó ficou a reta do y = x agora se eu colocar módulo de x quem ó já ficou modo x se eu colocar lá dentro módulo de x + 1 o que que acontece veio para cá se eu colocar lá dentro módulo de x - 1 o que que acontece já veio para cá se eu somar um fora e subiu né se eu somar x fora

olha que que aconteceu pega esse gráfico aqui agora tenta tô sem casa pega esse daqui ó x módulo de x - 1 + x você vai ver que o x menos 1 aqui ele se divide em um ok antes de um ele negativo depois de um ele é positivo você antes de um eu vou trocar o sinal desse daqui depois de um ele sai normal percebeu que quando você trocar os nossos aqui você vai obter uma função constante então essa função aqui módulo de x - 1 + x por exemplo é a função constante até

um depois vira uma outra função linear ok agora pega o geogebra e vai brincando aqui ó vai colocando a coloca outros modos em casa que é o módulo de 2x eu te ver como que fica o gráfico ok se coloca aqui mais módulo módulo de - módulo de x + 3 ver como fica o gráfico quem aí você pode testando aqui colocando o que você quiser você já viu o gráfico na hora como fica né perceba que eu do jeito que tal a gente tem uma função constante de novo a entre os l1 a gente

também tem uma função constante ok então pega o josé abreu que é uma dica baixo um josé para no seu computador né eu pego aí no site do gerber e vai testando algumas funções quem não necessariamente mostrar mas como a gente tá falando de alta aula modular aproveita essa aula e testa alguns módulos aí e vai vendo como que vai ficando a função já começa a brincando com josé ver que ela vai o josé não pode ser bastante importante para o seu aprendizado ok então bons estudos a todos