Salve salve universo narrado. Hoje a gente vai construir do zero da onde que vem a bendita fórmula da aceleração centrípeta V²/ R. Eu acho que vai ser um passeio bem interessante que vai te possibilitar.
Dá uma recapitulada boa nesse assunto. Se você nunca ouviu, eu acho que você vai sair daqui entendendo muita coisa. Independente do nível de domínio que você tenha disso, certamente você vai sair daqui sabendo algo que você ainda não sabe.
Beleza? O nosso objetivo aqui é demonstrar, é construir a equação, saber de onde ela vem. Para quê?
Primeiro para que você não fique dependendo da confiança cega do seu professor, de que aquilo é uma fórmula mágica que alguém te contou que funciona e você tem que simplesmente aceitar e acreditar que ela funciona. A gente vai entender de fato por que ela funciona. E eu acredito que quando você entende da onde a equação vem o processo, beleza?
Ainda que você não seja alguém muito cético, né? que que desconfie de tudo que te dizem. O processo de construí-la nos engrandece intelectualmente, né?
O processo de construí-la exige que a gente domine vários aspectos da teoria e fazer esse passeio, essa caminhada, é, é muito engrandecedor. Você sempre termina essa travessia um pouquinho mais inteligente do que você começou. Daí eu acho que tá o grande valor em fazer esse tipo de procedimento.
Beleza? Que o que a gente vai fazer aqui hoje? Então, recapitulando, né?
Nosso objetivo é falar de aceleração centrípeta, mas lembrando rapidamente aqui, como eu disse, né, eu quero que independente do seu seu nível, você consiga de algum modo acompanhar essa nossa conversa. Então, existem dois tipos de aceleração. Na verdade, aceleração é uma coisa só, né?
A gente separa ela em dois tipos diferentes para facilitar o estudo. Então, o primeiro tipo é o que a gente chama de aceleração tangencial. é a que tá associada quando você tem um movimento de modo geral numa única dimensão.
Essa aceleração ela faz variar o valor da velocidade. Beleza? Então eu tô vendo o cara se movendo numa direção horizontal, a velocidade dele tá aumentando de valor, o módulo da velocidade tá mais intenso.
A gente chama essa aceleração de aceleração tangencial, beleza? Ela é sempre paralela à velocidade, portanto tangente à trajetória. OK?
Existe um outro tipo de aceleração que tem a ver com o fato da velocidade mudar, não o valor, ou seja, o tamanho desse vetor é igual ao tamanho desse vetor, né? O valor da velocidade é o mesmo. Essa esse tipo de aceleração, nessa componente de aceleração que faz a velocidade mudar a direção, é o que a gente chama de aceleração centrípeta.
Beleza? Então essa aceleração ela sempre aponta pro centro da trajetória. Então nesse caso ela estaria aqui.
Então ela apontaria exatamente pro centro e por isso ela é chamada de aceleração centrípeta. Em qualquer ponto do movimento desse camarada você tem que ter essa aceleração apontando para o centro, né? Então a gente diz que essa componente de aceleração é a que é responsável por variar a direção do vetor velocidade e, portanto, possibilitar com que esse cara faça curva.
Beleza? Ele é semiperpendicular à velocidade, ok? É esse cara que a gente quer estudar, beleza?
É a componente da aceleração é responsável pelo objeto fazer curva. Ã, tá? De modo geral, eu posso ter um corpo no movimento curvilíneo, nem precisa ser circular, tá?
curvilío, digamos que o centro de curvatura é aqui. Eh, e esse cara pode ter as duas componentes de aceleração, tá? Então, esse camarada ele pode ter uma componente de aceleração que tá para cá paralela ao movimento dele.
Então, tá fazendo o valor da velocidade aumentar, aceleração tangencial. E esse camarada pode ter também, nesse caso, ele tem que ter, né, a aceleração centrípeta, que aponta pro centro e garante que ele tá numa trajetória curva e linha. a aceleração centípeta.
Então, nesse caso, o que a gente chama de aceleração do cara seria a soma vetorial dessas duas componentes. Beleza? Então, aqui elas são perpendiculares, como eu já tinha destacado.
Se eu fizer a soma desses dois vetores, eu vou obter esse vetor resultante. Esse cara a gente chama simplesmente de A. Beleza?
Então, a aceleração de modo geral de um cara, a definição dela é o seguinte. A aceleração ela é o tanto que a velocidade muda no tempo, só que no caso isso aqui é uma relação vetorial del V sobre del T. E a aceleração ela é a soma vetorial da componente centrípeta e da componente tangencial.
Então, deixa eu colocar elas aqui. A aceleração tangencial mais a aceleração centrípeta. Beleza?
Isso é a aceleração de um corpo por definição, variação da velocidade no tempo. E a gente costuma quebrar essa aceleração em duas componentes. A que faz o valor da velocidade aumentar.
Então, a componente que é paralela à velocidade e a que faz a direção da velocidade mudar, que faz o cara fazer curva, a aceleração centrípeta. É nesse indivíduo que a gente vai estar interessado. Então, beleza?
Então, de modo geral, pra gente talvez até eh simplificar o nosso estudo, já que eu tô interessado em estudar só essa componente da aceleração, vamos tentar escolher um tipo de movimento para construir essa equação, para facilitar a nossa vida, em que a outra componente não existe. É lógico que a equação que a gente vai construir, ela vai acabar valendo para qualquer contexto, mas isso aqui é um recorte que a gente escolhe fazer para simplificar o nosso problema. Então, seria interessante, então lembrar, aceleração é a soma dessas duas componentes.
Mas pra gente estudar, já que eu quero estudar só esse cara aqui, seria interessante eu escolher uma situação, um contexto, um tipo de movimento em que esse cara fosse zero. E que movimento que é esse aqui? Então é o que a gente chama de MC U, movimento circular uniforme.
Que que significa esse uniforme do MCU? Esse uniforme significa que o valor da velocidade é o mesmo o tempo inteiro. Seria tipo esse movimento aqui, ó.
Isso aqui seria um movimento, se fosse circular, né? Isso aqui seria uma boa representação de um MCU. Então, o valor da velocidade é sempre o mesmo.
Se o valor da velocidade é o mesmo, a aceleração tangencial, essa aceleração aqui, ó, é zero. Só existe a centrípeta. Ah, tá.
Então isso aí fica bom no MCU. Então, deixa eu colocar aqui, ó, a aceleração, que por definição é a variação da velocidade no tempo. Essa relação vetorial del V sobre del T, ela fica sendo exclusivamente a aceleração centrípeta, beleza?
Ela seria centrípeta, mas tangencial, mas a tangencial é zero nesse camarada, no MCU. Então esse cara vai simplificar a nossa análise, porque quando eu tiver estudando a aceleração como um todo, eu já vou estar falando apenas da aceleração sem trípula. Então esse é o recorte que a gente vai fazer, beleza?
Então pra gente estudar esse movimento, tá aqui, ó, essa aqui seria a nossa circunferência ou pelo menos um pedaço dela da partícula que vai estar no MCU. Beleza? Então vamos pegar dois instantes do movimento dela.
É claro que uma coisa importante de você ter em mente é o seguinte. Isso aqui calcula a aceleração média de um cara nesse intervalo de tempo del t. Para que eu pegue a sua aceleração instantânea, esse intervalo de tempo tem que ser muito pequeno.
Então, por exemplo, se eu te peço qual que é a aceleração entre t = 1 e t = 2, beleza? Você faz lá o del V em t = 1, t = 2, e divide por 2 - 1, segundo ao seu intervalo. Agora, e se eu não quisesse saber a aceleração média entre t = 1 e t = 2?
Mas se eu quisesse saber a aceleração instantânea, no instante t = 1, que que você teria que fazer? Você poderia fazer uma média entre t = 1 e t = 1,01 segundo. Então, ou seja, você vai ter praticamente a aceleração naquele instante, já que você deixou passar só 1 démo de segundo, entendeu?
Então, o que eu tô querendo convencer você aqui, isso vai ser importante em algum ponto aqui do nosso argumento. Você vai sacar, é que isso aqui pra gente vai valer quando esse tempo for muito pequeno. Pequeno.
Por que que esse tempo tem que ser muito pequeno? Porque se esse tempo for muito grande, você não vai ter aceleração em um instante específico, você vai ter aceleração média, sacou? E o que eu quero é calcular a aceleração num certo instante e isso vai ser igual a aceleração centríbet.
Eu quero saber quanto que vale a aceleração centrípeta nesse instante e não qualquer aceleração centrípeta média daqui até aqui. Sacou a diferença? Ah, tá.
Eu quero olhar para cá. Isso aqui é t igual a 1 segundo. Quanto que vale a aceleração centrípeta?
Na verdade eu quero saber quanto equivale a aceleração, mas eu já sei que ela equivale a centrípeta, porque eu escolhi um tipo de movimento em que a aceleração ela é integralmente centrípeta, ok? Beleza? Então isso vai ser importante pra gente em algum momento aqui.
Então tá, saber a aceleração em t = 1. Uma ideia só para você sacar é fazer uma média. Então é fazer essa conta entre t = 1 e t = 1,001.
Então eu deixei passar um centésimo de segundo. Então vou ter praticamente a aceleração naquele instante. Pegou a ideia?
Beleza. Então tá. Então vamos fazer aqui então o nosso então.
Beleza, tá colocado aqui o argumento. Você vai ver que isso aqui já já vai ser importante. Vamos lá.
Digamos que a nossa partícula ela começa aqui, beleza? Num certo instante. Então vou chamar aqui, ó, de t1 igual a, vou chamar só de T1, né?
Beleza? É, posso dar o nome aqui, ó. T1 = 1 segundo.
Beleza? Tá aqui a nossa partícula. Digamos que ela tem aqui uma velocidade V1.
Beleza? Ela tem uma velocidade V1. V1.
Passa um certo tempo, ela tá se movendo aqui. Parar, parar, parar, sei lá. Digamos que ela vem parar mais ou menos.
Deixa eu pensar aqui assim, ó. Beleza? Então, ela vai parar aqui assim.
Beleza. Tá aqui a nossa partícula. Vou colocar de uma outra cor, só para facilitar aqui e o nosso entendimento.
Eu vou chamar de V2 a velocidade dela. V2 a velocidade aqui, ó, no instante T2. OK?
O que que você sabe? O que você sabe é que como é um MCU, beleza? Deixa eu destacar isso aqui num certo canto aqui que vai ser importante.
O módulo de V1, ou seja, o tamanho desse vetor amarelo é idêntico ao tamanho do vetor azul. Ah, tá. O valor da velocidade é o mesmo, né?
Isso. O valor da velocidade ele é exatamente o mesmo. Então, o módulo de V1 é igual módulo de V2, que eu vou chamar aqui de V.
Ah, P. Então, V, né, o valor da velocidade. Perfeito.
Então, vou destacar essa informação. Então, isso aqui tem a ver com o movimento ser um MCU. OK?
Bom, vamos lá. Que que você quer calcular? Você quer calcular quem que é o seu delta V, né?
Que que seria o seu del V? Para você fazer essa conta aqui da aceleração, né? Vamos colocar aqui, ó.
O seu del V, por definição, ele é velocidade final. C de vermelho aqui, ó. Del V, ele é a velocidade final menos a inicial.
Então, ele seria velocidade final seria V2, no meu instante 2 V2 menos velocidade V1. Beleza? Vamos fazer essa conta aí.
Um vetor menos o outro, V2 - V1. Eu vou utilizar esse próprio desenho aqui, ó. O V2 é o cara que tá aqui, ó, ao longo dessa linha pontilhada, beleza?
E o V1 é um cara que tá aqui, ó, ao longo dessa linha pontilhada. Beleza? Vamos desenhar os dois aqui com a origem no mesmo ponto pra gente fazer aquela aquele cálculo, né?
V2 - V1. Então, tá, o V2, hã, vou colocar ele aqui, ó. O V2 seria esse cara que tá aqui ao longo dessa linha.
Então, vou só pegar e arrastar ele para cá, entendeu? Vou só desenhar ele aqui em cima, entendeu? Mas é o mesmo vetor.
Então o V2, opa, que ficou meio torto, né? É o mesmo vetor, tem que ter a mesma direção. Então tá aqui, ó.
Esse cara aqui, ó, é o nosso V2, correto? Então, esse mesmo vetor deslocado para cá. E aqui eu vou ter que colocar quem?
Eu vou ter que colocar o -1, né? -1 é esse mesmo vetor, porém agora espelhado, né? com sentido trocado.
Então o -1 seria esse camarada aqui, ó. Esse cara seria o menos v1. Concorda?
Ele é o v1, só que espelhado. Beleza? Então agora eu posso fazer a conta que eu quero, que é a conta do V2 - V1.
Quem que seria o V2 - V1? Então, regra do polígono aqui, né? é o vetor que sai da origem do primeiro e vai até a extremidade do último.
Então esse cara que você tá procurando, esse cara é o seu del. Ah, é verdade. Esse camarada é o nosso del V.
Faz sentido? Você fala: "Pô, maneiro, Delta V é V2 - V1". Você fala: "Pô, OK, mas quanto que vale esse cara?
Qual que é o módulo desse camarada? " Bom, o módulo desse camarada aqui a gente vai conseguir obter através desse triângulo, tá? Mas para isso, primeiro perceba o seguinte, se o tamanho amarelo é igual ao tamanho azul, que é o que tá observado aqui, então eu sei que esse triângulo ele é isósteres.
Você concorda comigo? Então eu já sei com certeza que esse ângulozinho aqui, ó, tem que ser igual a esse ângulozinho aqui. Vou chamar, sei lá, de gama, beleza?
Gama. Esses dois ângulos tem que ser iguais. Perfeito.
OK. Agora eu vou querer que você explore esse triângulo aqui, ó. Vou lá pro centro da minha circunferência, beleza?
A circunferência da partícula que descreve o MCU. Eu quero te mostrar o seguinte. Isso aqui é o quê?
Isso aqui é um raio, né, da circunferência. Aqui também é um raio da circunferência. Logo, se eu fecho esse triângulo aqui, vou chamar esse esse lado, sei lá, de D.
Pode ser. Chama ele de D. Distância entre esses dois pontos.
Sei. Esse triângulo também é um triângulo isóceles, concorda? Isso aqui vale R, um raio.
Isso aqui vale R, um raio. Esses dois lados são iguais. Um verdade?
Então esse ângulo aqui, ó, ele também tem que ser igual a esse. Não necessariamente igual ao gama, né? Mas esses dois são iguais entre si.
Então, só pra gente não confundir, eu vou chamar de alfa, ou melhor, beta. Ele deve chamar de beta. Então, esse ângulo é o beta e esse ângulo é o beta.
Beleza? Então, tenho dois triângulos isósis. Não necessariamente é o mesmo triângulo isóceles, só que na verdade vai ser o mesmo triângulo isóses, né?
É isso que eu quero provar. Observa bem, vamos parar para analisar, ó, esse quadrilátero grandão aqui, ó. Pode ser?
Olha esse quadrilátero. Como em todo quadrilátero, a soma dos seus ângulos tem que dar 360º. Beleza?
Aqui eu já tenho 90 porque a velocidade é tangente trajetória, então ela perpendicular ao raio. Então aqui, ó, é um ângulozão de 90º, beleza? Aqui também, ó, raio e velocidade tangente.
Então esse ângulo aqui, ó, também é de 90º. Então aqui eu tenho 90, aqui eu tenho 90 no meu quadrilátero, beleza? Então já tenho 180 nesses dois.
Então esse ângulo aqui, se eu chamo ele de, sei lá, teta, aqui tem que ser quem? tem que ser o suplemento de teta. Porque se no quadrilátero inteiro eu tenho que ter 360º e nesses dois já foram 180, esse mais esse tem que dar 180.
Ou seja, aqui tem que ser o quê? 180 - teta. Mas aqui, ó, esse ângulo aqui inteiro é um ângulo raso, é um ângulo de 180.
Se aqui é 180 - teta, então é porque aqui é quem? É teta. Ah, tá.
O suplemento do suplemento de teta é o próprio teta. Pode ser? Então aqui, ó, tem que ser o nosso teta.
Teta. Fechou? Então, deixa eu desmanchar aqui, então.
Beleza. Ali é o teta. Só que olha que interessante.
Daqui eu tiro que teta + 2 g aqui, ó. Teta + 2 g tem que dar o quê? 180.
Pirra de anos. Desse outro triângulo aqui, eu tiro que teta + 2 beta, teta + 2 beta tem que ser também 180. Ou seja, subtrai uma equação da outra.
E você chegou aonde você queria. Teta - teta. Corta 2 g - 2 beta é 2 x γ - beta.
Pi - pi é 0. Isso ou seja, γma - beta tem que ser 0. Gama tem que ser igual a beta.
Eh, uma coisa menos outra dá 0. 2 x 0 0. Fechou?
Gama é igual a beta. Então, meu amigo, eu acabei de te provar que esse triângulo que tá aqui, ele é semelhante ao triângulo dos vetores. Concorda?
Então, esse triângulo aqui, ó, teta, gama gama, teta, gama, gama, são dois triângulos eh eh isóceles que são semelhantes, sendo eles semelhantes. Aí eu vou até redesenhar esse triangulinho aqui agora. Esse triangulinho aqui, ó, ele é o seguinte, ó.
Pá, tá? Aqui vale V, aqui vale V e aqui vale del V. Esse cara é o del V.
E o delta V você quer saber quem é ele, porque ele entra no cálculo da sua aceleração. Beleza? Eh, vamos destacar de novo, né?
Aqui é o ângulo teta e aqui é alfa. Alfa, como é? Gama, gama, né?
Gama. Gama, gama e gama. Beleza?
Então, esse triangulinho que tá deitado aqui, eu só trouxe para cá, ok? Um, um pedaço aqui seria amarelo, mas o valor dele é igual a V. O outro pedaço seria igual a azul, mas o valor também é igual a V.
Fechou? Beleza? E esse triângulo ele é semelhante a esse.
Perfeito. Qual que é a ideia aqui? Então, monto a semelhança de triângulos.
Então eu posso falar que del V, que é o oposto ao ângulo teta, nesse triângulo pequeno. Então vamos pra semelhança aqui, então ó, eh a semelhança vai dizer que del V está então oposto no ângulo teta no pequeno, oposto no ângulo teta no grande. Dδ del V está para D, assim como o oposto ao gama aqui que é V, oposto ao gama aqui que é R, V sobre R.
V sobre R. Beleza? Então, o delta V, que é o cara que entra aqui dentro, né?
Quem que é o seu del V? Seu V ficou sendo V sobre R x D. Beleza?
Vamos mexer nesse D aqui agora. Quem que é esse D? Lembra o que eu te falei?
Que essa relação ela vai valer quando o del T for muito pequeno? Se o delta t for muito pequeno, a distância real que o cara percorre é essa aqui, né? Ele percorre a distância ao longo da circunferência.
Ah, tá beleza. Isso aqui seria o deslocamento, né? Distância entre o ponto inicial e final.
Mas se o é muito pequeno, você concorda comigo que esse pedaço vermelho, ele é praticamente igual ao pedaço da circunferência? Ah, eu duvido aqui, ó. Te mostro agora.
Então, vou pegar esse outro desenho aqui, ó. Vou deixar esse cara andar só um pouquinho. Então, deixei passar um tempo muito pequeno, de modo que ele andou pouco.
Agora ele tá aqui. Qual que é a a o D de vermelho? O D de vermelho seria o ligar em linha reta esses dois pontos.
Que que é o D real dele? A distância que ele percorre é a distância longo da circunferência. Você percebe que essas duas coisas são praticamente iguais.
E quanto menor for o tempo que eu deixo passar, menos tempo eu dou pro cara percorrer distância. Então vai pegar, percorreu uma distância muito pequena. Se ele percorre uma distância muito pequena, ele não caminhou esse desenho todo aqui, esse essa distância inteira.
Esse aqui é o desenhou mais exagerado para você visualizar. Mas de modo geral o que a gente tá dizendo é o seguinte. Se eu tenho aqui, ó, um movimento curvení aqui seria o centro.
Meu camarada começa nesse ponto aqui. Se eu deixo passar um del T muito pequeno, que é para eu pegar a velocidade instantânea dele aqui, ele percorre uma distância então muito pequena que eu deixei passar lá. vai 1 centéso de segundo, foi o que eu falei no exemplo, né?
Ou seja, esse pedaçozinho curvo é praticamente retilínio, que ó, esse aqui, ó, o deslocamento é igual distância, né? Distância seria o comprimento curvo, deslocamento seria o comprimento retilíneo, conectar o ponto inicial ao final. Mas essas duas coisas coincidem.
Ah, tá? Então, se essas duas coisas coincidem por um tempo muito pequeno, que que eu posso dizer? Eu posso dizer que esse D aqui ele é igual a V del T.
Esse D ele é V xz del T, ou seja, distância é velocidade vezes tempo. Perceba que isso não é válido para esse desenho que eu te falei, porque o D que seria igual a VT, a distância percorrida seria de amarelo. Ah, tá.
Então, se eu fizer velocidade vezes o tempo que transcorreu, T2 - T1, se eu multiplicar a velocidade pelo intervalo de tempo, eu vou ter essa distância aqui. Ah, tá, da circunferência e não essa, correto? Mas como a nossa análise ela é para um del t muito pequeno, isso significa que sendo pequeno demais, aí eu tô aqui.
Essas duas coisas coincidem. A distância vermelha, o deslocamento, distância entre ponto inicial e final, coincide com a distância percorrida, que é de fato de amarelo, a coisa curva, entendeu? Tem um argumento importante é sacar, tá?
Então esse D, porque você poderia só vaiar a D, D igual VT, dão cuidado porque esse D nosso aqui é o deslocamento. Em geral, ele não é igual a distância percorrida. a distância percorrida, que é a velocidade vezes o tempo aqui nesse movimento uniforme, beleza?
Ah, tá. Então, enfim, se você tá convencido disso, então, se fez sentido, então isso aqui significa que del V é igual a V x V² sobre R x T, ou seja, V dividido pelo del T, dividido porΔ T dos dois lados, ficou sendo o quê? V²/ R.
V²/ R. Só o que que é del V sobre T, cara? Del V sobre T é a aceleração, que nesse caso é puramente centrípeta.
Na verdade, o módulo disso, né? Se eu pensar em mod igual o módulo da aceleração, seria o módulo de V sobre del T, né? Que eu tô pegando o módulo de V, né?
Qual que é o tamanho desse vetor? É isso que a gente tá pegando. Isso aqui.
Então, nesse caso, por definição, né? Isso aqui é a aceleração, mas que nesse caso é nosso, isso aqui seria o módulo dela, né? Nesse caso nosso, ela é puramente centrípeta, porque eu tô analisando um caso em que eu não tenho aceleração tangencial, eu tenho só esse cara.
Então esse cara é a nossa aceleração centrípeta. Então tá demonstrado a equaçãozinha que você conhecia. Hã, o valor da aceleração centrípeta é igual a V² dividido por R, quadrado da velocidade dividido pelo raio.
Claro que nesse caso aqui fica provado que a aceleração centrípeta tem esse valor de V² dividido por R quando eu não tenho uma aceleração tangencial, que é um caso específico do MCU que a gente analisou. Mas essa equação ela vai acabar valendo sempre. você tendo ou não a aceleração tangencial, você pode calcular a aceleração centrípeta dessa maneira.
Mas aí demonstrar isso fica um pouco mais complicado. A gente fez uma escolha legal, um recorte bom, que é um caso onde você não tem aceleração e aí a sua aceleração inteira vai ser puramente centrípeta. Então o que você tirar de aceleração do desenvolvimento vai ser o termo centrípeto.
Bonito isso, né? Tem outras formas de você provar isso, mas eu acho que essa é uma bem legal. é uma que eh dá para todo mundo compreender, eu acredito, né?
Tem alguns argumentos que não são tão simples, principalmente esse aqui do delta t pequeno, né? No fundo, a gente tá falando quase que de um infinitesimal, de você tomar uma derivada, um negócio que envolve cálculo, uma coisa mais complicada, mas eu acho que esse é um argumento legal e uma exposição geométrica que dá pra gente entender. me fala o que que você achou aí e quais outras fórmulas você gostaria de ver demonstradas e destrinchadas aqui.
