Парадокс производной | Суть Матанализа, глава 2

[музыка] [музыка] цель перед нами просто понять что такое производное надо сказать что в этой теме есть определенные тонкости а также почва для продуктов если не быть осторожным поэтому у своего рода второстепенная цель это понять что эти продукции себя представляют и как их избегать видите ли про производную часто говорят что эта мгновенная скорость изменения но если подумать что это фраза на самом деле означает то это оксюморон изменения это что то что происходит между различными мента времени если закрыть глаза на все кроме одного момента изменению особо некогда происходить лучше увидите что я имею ввиду когда мы чуть глубже это рассмотрим но если вы понимаете что фраза вроде мгновенной скорости изменения на самом деле лишена всякого смысла думаю это заставляет понять насколько умны были отцы матанализа которые заключили эту идею который эта фраза должна вызывать в очень полезно математическом инструменте производной как основной пример я хочу чтобы вы представили себе машину которая начинает движение в некоторые точки а затем разгоняется и потом замедляется до полной остановки в точке b в 100 метрах от начала и скажу что это все происходит в течение 10 секунд опираясь на эту схему мы будем приходить к тому что такое производная мы можем построить график это и движения на котором вертикальную ось будет обозначать расстояния горизонтальную ось будет обозначать время любой момент времени t который мы оба точкой на этой горизонтальной оси высота графика в эти точки обозначают пройденное расстояние к этому моменту очень часто функцию придающего расстояния называют с а т я бы использовал букву д от слова дистанция но у нее уже есть своя должность матанализе на первых порах кривая очень пологая потому что машина сначала идет достаточно медленно за это первую секунду расстояние пройденная машина не очень сильно меняется дальше за следующие секунды пока машина разгоняется расстояние пройденное за эту секунду увеличивается что соответствует более крутому подъему на этом графике и потом когда машина замедляется кривая снова становится пологой и если мы хотим под машина как функцию от проведенного времени она может выглядеть как вот такая горка начале пути и скорость очень маленькое так как машин только начало ехать в середине дороги машина разгоняется до какой-то максимальной скорости крыша относительно большое расстояние каждую секунду и потом замедляется обратно до 0 эти две кривые точно друг с другом связаны верно если вы поменяете функцию зависимости расстояния от времени функции зависимости скорости от времени тоже изменится то что мы хотим понять это специфика этого взаимоотношения как именно скорость зависит от функции расстояния от времени чтобы этапа полезно подумать не секунду что вообще здесь значит скорость интуитивно мы все знаем что из себя представляет скорость это просто то что показывает спидометр машины в этот момент также интуитивно вполне имеет смысл то что скорость больше когда у этой функции расстояния более крутой подъем когда машина приезжает больше расстояния за единицу времени но что забавно скорость в один момент времени не имеет совершенно никакого смысла если я вам покажу фотографию машины просто кадр одного мгновения и спрошу у вас как быстро она едет ну вы не сможете ответить вам нужно два разных момента времени чтобы их можно было сравнить тогда вы сможете посчитать разницу расстояния деленного на разницу во времени по сути это определение скорости это пройденное расстояние за единицу времени так что каким вообще образом мы собираемся находить такую функцию скорости которая берет только одно значение t лишь один момент времени странно не правда ли мы хотим ассоциировать каждый момент времени со скоростью но сама вычисления скорости требуют сравнение двух разных моментов времени если это выглядит странно и парадоксально это хорошо вы боретесь той же проблема с которой боролись отцы матанализа но если вы хотите получить понимание того как изменяются величины не только как ездят машины но и в принципе различные вопросы из науки вам нужно разрешить этот кажущийся парадокс сначала предлагаю поговорить о реальном мире уже потом а чисто математическом давайте подумаем о том что спидометр машины скорее всего делает в какой-то момент скажем три секунды после старта спит он так может измерить то насколько приезжает машин за очень маленький промежуток времени быть может расстояние пройденное между тремя секундами и тремя целыми одной сотой секунды потом он может вычислить скорость и метры в секунду как это небольшое пройденное расстояние деленное на крошечное изменение времени на ту самую сотую долю секунды таким образом физическая машина просто обходит стороной этот парадокс и считает расстояние не в один момент времени за очень короткий промежуток времени давайте назовем эту разницу во времени dt и это можно представлять как что-то вроде одной сотой секунды результирующие изменение расстояния д. с. таким образом наша скорость это дст лить на dt небольшое изменение расстояния на небольшое изменение времени графически можно представить как будто вы рассматриваете ваш график зависимости расстояния от времени вблизи над точкой t равно 3 gt это небольшой сдвиг вправо так как время находится на горизонтальной оси а д.

с. это санкций осуществить вверх так как расстоянии находится на вертикальной оси ds стелить на dt это сдвиг вверх деленный на сдвиг вправо то можно представить как наклон прямой проходящие через две очень близкие точки на этом графике и разумеется здесь нет ничего особенного значения тираном трем мы это можем применить к любому моменту времени так что мы можем рассматривать это соотношение как функцию от t не что где я могу дать вам момент времени t вы можете мне вернуть значение этого соотношения в данной точке то есть скорость как функцию от земли например когда я у себя на компьютере рисовал эту кривую эту горку которая обозначала скорость вот что попросил мою программу сделать сначала я выбрал маленькое значение для dtm вроде в этой ситуации это было 0,01 дальше компьютера смотрелся лук кучу момента времени между нулем и все сетью после этого компьютер вычислил разное значение функции с в точках t + d тыт другими словами он нашел разность расстояний пройденного к моменту времени t и моменту через сотую долю секунды после этого дальше вы можете просто разделить эту разницу на разницу во времени на dt и это дает вам скорости метра в секунду для каждого момента времени с такой формулы вы можете дать компьютеру любую функцию с а т обозначающую зависимость расстояния от времени и он может вычислить кривую обозначающую скорость сейчас лучше будет поставить видео на паузу и подумать убедиться что эта идея связи скорости с расстоянием через не большие изменения для вас понятно потому что сейчас мы займемся разрешением produces производные котором говорили в начале эта идея да исцелит на dt небольшое увеличение значение функции делить на небольшое изменение перемены которые его вызвало это практически то что из себя представляет производное и несмотря на то что спидометр в машине будет смотреть на конкретные изменения времени вроде одной сотой секунды и моя программа рисующая график смотрит на конкретные изменения переменной чистой математики производной это не соотношение ds делить на dt для какого-то конкретного значения dt вместо этого это то к чему это соотношение стремится пока дпс стремится к нулю к счастью есть очень красивый наглядный способ понять что значит вопрос чему стремится это соотношение напоминаю для какого-то конкретного значения dt наши соотношение 200 лет на dt это угловой коэффициент прямой проходящий через две разные точки на графике правильно и теперь пахан dt стремится к нулю хотя две точки становится все ближе и ближе друг другу коэффициент этой прямой становится все ближе и стремится к коэффициенту касательной проведенной через эту точку то есть самое что ни на есть настоящие математическая производная это не угловой коэффициент секущей проходящей через две точки k коэффициент касательной проведенной графику в одной конкретной его . итак заметьте что я не говорю я не говорю что производная это то что происходит если значение dt бесконечно малом чтобы это не значило также я не говорю что вы подставляете ноль вместо дтв каждый момент dt это конечно и ненулевое число все что она делает она приближается к нулю я считаю это гениально хотя изменения в одно мгновение лишено всякого смысла сама идея позволит это приближаться к нулю это действительно очень хитрый изящный способ начать обоснованно говорить о мгновенной скорости изменения функции это не прекрасно это способ красиво войти парадокс мгновенного изменения даже к нему не притрагиваясь и у него есть красивое визуальное объяснение это угловой коэффициент касательной проведенные в этой точке и так как изменения в один момент все еще не имеет никакого смысла я бы хотел чтобы вы думали об этом числе не каком гна венной скорости изменения а как а лучшим констант нам приближение для скорости изменения вблизи этой точки то есть таком приближение которое равно постоянной величине кстати говоря стоит сказать пару слов об обозначениях в течение этого видео я использовал dt для обозначения изменения переменной т который имеет конкретный размер адрес для обозначения не изменение перемены с который тоже имеет конкретный размер и это все потому что я хочу чтобы вы это так себе представляли однако в матанализе использование буквы д таким образом уже само по себе обозначает что вы собираетесь смотреть на то что произойдёт при dt стремящемся к 0-лю например та самая настоящая производная уже пишется как д-р стелить на dt несмотря на то что это не дробь само по себе оттока чему это дробь стремится при dt стремящемся к нулю я думаю здесь поможет конкретный пример вы можете подумать что вычисление значение этой дроби для все меньших и меньших значение dt будет намного сложнее но странным образом на деле это становится куда проще допустим у вас есть функция зависимости расстояния от времени который оказывается ровно т в кубе то есть через одну секунду машина приезжает один в клубе то есть один метр через две секунды напряжет 2 в кубе равно 8 метрам и так далее то что я сейчас буду делать может выглядеть достаточно сложно но вы увидите что все станет действительно проще и что немаловажно такая вещь которую в матанализе достаточно сделать один раз предположим вы хотите посчитать скорость ds делить на дтв какой-то конкретной .

например при t равным двум мне пока что скажем что у детей есть какой-то конкретный размер но очень скоро мы устремим его конем изменение расстояния между моментом две секунды и 20 секунд это с от 2 + д т минус cos a tough эту разницу мы делим на dt так как наша функция этот кубик наш числитель выглядит как 2 + d в кубе минус 2 в кубе и это уже выражение с которым мы можем работать алгебраически опять же потерпите скоро вы увидите зачем я показывал вам все детали если раскрыть скобки в числителе получится 2 в кубе плюс 3 умножить на 2 в квадрате на dt плюс 3 умножить на 20 dp в квадрате плюс b в кубе и от всего этого отнимается от 2 в кубе здесь много слагаемых и я хочу чтобы вы запомнили что это выглядит громоздко но это можно упростить 2 в кубе взаимо уничтожается а так как все оставшиеся слагаемые в нашей дроби тоже содержат себе д т а д то есть и в знаменателе многое из этого тоже сокращается таким образом все наше соотношение dsdt упростилась до 3 умножить на 2 в квадрате + ну два слагаемых которые содержатся ддт таким образом спрашивая что происходит пока dt стремится к нулю соответствуя все меньшем и меньшем изменению времени мы можем просто всем этим пренебречь избавляя себя от необходимости думать о конкретном значении dt мы также избавили себя от большого количества сложностей в нашем выражении и все что у нас остается это простое выражение 3 умножить на 2 в квадрате таким образом скорость нашей машины или угловой коэффициент касательной проведенной графику в .