Fundamentos da Matemática Elementar - Função Exponencial

[Música] Olá sejam bem-vindos e bem-vindas a mais uma aula do nosso curso continuando a discussão sobre funções exponencial e logarítmica né na última aula nós falamos de modo geral de funções inversas e hoje de fato entraremos no tema função exponencial bom a função exponencial ela é é interessante pra gente modelar trabalhar estudar fenômenos que apresentam um crescimento né ou decrescimento que são eh muito acentuados né a gente no jargão do cotidiano a gente costuma até falar né Nossa teve um crescimento exponencial né significa que é algo que foi muito acentuado muito rápido né e isso

significa né crescer muito grande ou diminuir muito grande muito rapidamente né significa que eu tô trabalhando com número muito grandes né ou muito muito pequenos e as funções exponenciais vão trabalhar justamente com situações como essa um exemplo que é um exemplo bastante comum bastante clássico quando se trabalha né esse tema é da cultura de bactérias então Imagine que a gente tem uma cultura de bactérias no laboratório E e essa cultura apresenta ali na placa de Petre inicialmente sem bactérias e verificou-se que a quantidade de bactérias ela Dobra a cada hora né ou seja vamos dizer

assim logo que eu começo a minha observação né no tempo zero eu tenho 100 bactérias passada uma hora eu dobrei o número de bactérias Então agora eu tenho 200 Passei mais uma hora dobrei de 200 fui para 400 e assim por diante então dá pra gente perceber observando esses esses Val aqui da quantidade de bactérias como cresce rapidamente né do Inicial que eram 100 na minha primeira observação passadas 6 horas nós já temos 6400 bactérias né então a função exponencial ela vai trabalhar justamente situações desse tipo eh vamos continuar com esse nosso esse nosso exemplo

a gente pode escrever esses valores aqui em como uma potência como essa minha min bactérias minha cultura de bactérias ela dobra né a cada Ou seja eu faço vezes do a cada hora eu consigo pensar e uma maneira de escrever esses valores como uma potência de base 2 então 100 eu posso escrever como 2 elevado a 0 que é 1 x 100 200 2 elevado 1 2 x 100 200 e assim por diante a até 2 elevado 6 x 100 que vai dar 6400 eh eu consigo também a partir dessa ideia pensar uma Regra geral

né para essa para essa situação ou seja o número de bactérias em função do tempo é isso que eu quero dizer como n de T ele é o quê 100 vezes 2 elevado ao tempo transcorrido né então Eh por exemplo como eu poderia saber qual o número de bactérias após 24 horas não está aqui na minha tabela né mas eu posso usar a minha regra para obter esse valor como é que eu faço isso substituindo T por 24 então n de 24 vai ser 100 x 2 elevado 24 fazendo esses cálculos né usando a calculadora

porque é um número muito grande obtemos esse valor então depois de uma de um dia de 24 horas nós iremos sair de 100 para essa quantidade gigantesca de bactérias então uma maneira da gente eh expressar né definir a função exponencial ela pode ser a seguinte pegando um subconjunto dos reais ou os reais levando a um outro subconjunto dos reais de tal modo que a minha f ela pode ser escrita como B número B xes A elevado a x sendo que o A e B são números reais o a que é a minha base maior que

zero e o a também diferente de 1 isso aqui é importante agora eh podemos também pensar uma formulação e pura que a gente costuma dizer né que é sem considerar esse B esse fator B aqui então é a mesma a mesma formulação Mas seria uma formulação da do que seria uma exponencial pura né que seria só FX = a a elevado a x eh qual que seria o gráfico de uma função exponencial bom uma um um tipo né uma possibilidade para esse gráfico seria essa curva aqui depois a gente mais para frente vai explorar um

pouquinho algumas variações disso bom que que a gente pode eh tirar de informação daqui bom primeiro sempre que eu tiver um a que é aquela minha base né o a elevado a x né já dissemos tem que ser diferente de zero e esse a for maior que 1 né temos essa essa cara geral se o meu x for zero significa que tá falando a elevado a x né então se o X é 0 a elevado a 0 é 1 ou seja qualquer a que eu escolher 1 2 qualquer a um não falei que não pode

é 2 3 4 qualquer a que eu escolher eu elevei a zero Dá o quê Dá um é por isso que aqui sempre cruza o gráfico de uma exponencial sempre vai cruzar aqui esse eixo no um que é o quê quando eu pego x = 0 eu levo aonde Em Um independente da minha base e quando o X Ele é menor que z0 bom pensar em termos de de um exemplo se eu pegar o -3 tá peguei um a vou chutar aqui como exemplo meu a ser 2 e elevar a -3 isso significa o quê

significa que eu tenho 1 so 2 c e 1 quanto maior for esse meu X no sentido aqui negativo maior vai ser esse denominador então quanto maior o denominador essa divisão um por esse denominador Vai cada vez ser menor chegando muito muito muito próximo de quê De zero mas nunca sendo zero é por isso que essas curvas né a curva da exponencial ela se aproxima tanto aqui do eixo dá impressão que tá até tocando no eixo mas não está ela se aproxima muito mas nunca Toca Ela nunca chega a zero essa aqui seria uma cara

geral eh como exemplo tem aqui eh funções com bases diferentes com as diferentes né então por exemplo eh essa daqui nós temos 5 elevado a x teria esse essa esse comportamento essa cara aqui nós temos o 4 elevado x essa Verde aqui seria o 3 elevado x e essa laranja amarela 2 elevado a x então a gente percebe que quanto maior for esse valor né de a maior for a base mais ele vai se aproximando do eixo Y O que que isso significa significa que tá crescendo cada vez mais rapidamente né E essa é a

é a ideia agora vamos pensar aquelas condições que nós colocamos né Por que que o a tem que ser diferente de um Vamos pensar eh a é a base não é seria o a elevado a 1 x se a fosse 1 1 elevado qu 1 1 elev 10 1 1 elev é 1 ou seja eu não tenho uma função exponencial eu tenho o qu uma função constante aqui passando pelo 1 ou seja por isso que eu não posso ter o o minha base o a ser1 porque eu não teria uma função exponencial e sim uma

função constante como a gente pode ver por isso que tem essa restrição e E por que que o a tem que ser maior que zero Aí vem uma uma questão vamos imaginar que não fosse e Se a gente pudesse aqui fazer que o a fosse menor que zero que que acontecer vamos olhar como se comportariam os valores da minha função Então como um exemplo nós vamos pegar aqui Vários valores para x e a minha FX vai ser -2 elev x podia ser menos qual número aqui qualquer base elevado a x escolhi o 2 - 2

como ilustração como exemplo -2 elevado 0 1 beleza -2 elevado 1 é o qu -2 -2 Quad é 4 -2 elevado cu -8 então percebe que sempre que o meu expoente for um número par valor da minha função Ele é positivo né 1 4 16 64 mas sempre que o expoente né o meu X é ímpar eu obtenho o quê uma fx com valor negativo ó -2 -8 - 32 isso é é é fácil da gente verificar porque -1 x -1 1 positivo então tenho aqui um número par né né -1 -1 E se eu

pegar e fizer Men vezes -1 então eu tenho positivo multipliquei por negativo volto pro negativo multipliquei de novo por um negativo volto pro positivo multipliquei por um negativo vou pros negativos multipliquei de novo volto pro positivo Então a gente vai fazendo essa alternância entre positivos e negativos né os valores aqui da minha F E como é que ficaria um gráfico por exemplo disso eu coloquei aqui somente os esses pontos né que representam aqui a esses pares aqui que nós calculamos Olha só nós temos um primeiro ponto aqui se a gente olhar o segundo ponto ele

tá um pouquinho abaixo por ele tava ali né no um foi pro menos do E aí ele vai ele sobe e desce sobe desce esses pontos como é uma exponencial né tô fazendo potências cada vez maior eu cresço cada vez mais rapidamente e eu vou ter nesses pontos ó ora um lá no Positivo ora no negativo ora num positivo o próximo provavelmente vai ser lá embaixo depois o outro lá em cima e assim por diante eu fujo inclusive daquela cara Inicial que eu tinha da função exponencial né que tinha aquela curva que é bem característica

e não só é não só isso um grande problema mesmo vai est aqui se eu escolher um X meio por exemplo posso escolher né dentro do meu domínio e o que acontece se eu elevar meio a um a pegar a minha base e elevar a meio significa que eu estou tirando a raiz quadrada e se a minha base é negativa significa que eu tô fazendo a raiz quadrada de um número negativo e o que que isso significa também que eu furei eu estou fora dos números reais né e por isso que eu não consigo definir

a minha função exponencial dessa maneira se com a base ali sendo negativa e e se NS aquele primeiro exemplo aquele aquela curva que né característica que a gente Mostrou ela era pensada para bases né para as ali maiores que um mas se ele tiver entre o zer e o 1 nós vamos ter agora não uma curva que cresce exponencialmente mas aqui como nós podemos ver ela cresce exponencialmente também passando pelo um então nesses exemplos que eu dei essa curva aqui é seria a me2 elevado a x né a próxima seria 1/3 elevado a x eh

depois teríamos a 1/4 elevado x e por fim essa última aqui mais próxima do eixo Y aqui seria 1/5 elevado a x tá então em termos de resumo da Ópera eh a função exponencial ela vai ter esse comportamento aqui né um a elevado a x esse comportamento decrescente sem sempre cruzando no um mas sem nunca tocar no zero apesar de visualmente parecer que está tocando no zero mas ela nunca toca ela chega muito próximo mas nunca toca aqui no zero e nesse caso aqui em que o a a minha base tá em entre 0 e

1 e no caso da minha base ser maior que um eu tenho essa outra curva aqui teria essa outra cara pra minha curva mas agora um crescimento exponencial bom é isso por enquanto espero que tenham gostado e até a [Música] próxima [Música] ah Y