A História do Cálculo - Parte 4 | Uma Não Tão Breve História do Espaço

E durante o Renascimento reviver o espírito grego nas ciências e nas artes A Busca Pela verdade científica exige um olhar crítico sobre as ideias dos antigos filósofos só que dessa vez os matemáticos não estavam preocupados com recuo arquimediano e o do oxoniano eles ficavam satisfeitos e manipular infinitesimais obter através deles fórmulas parecer os cálculos sem justificar a passagem infinito através do método de exaustão de eudoxo por exemplo quer pensava que figuras planas eram compostas de fatias com espessura infinitesimais assim ele partiu um círculo como simpatia uma pizza em muitos pedaços cada pedaço sendo como um

triângulo de base em frente e com isso ele notou que a área do círculo é igual à metade do retângulo de lado r&c onde r e o raio da circunferência e seu comprimento da circunferência e como sabemos Vale 2x Pires R Portanto ele conclui que a área do circulo de raio R vale pi R ao quadrado que médias eudoxo certamente não aceitaria uma essa construção como prova da fórmula para a área do círculo mas para os padrões da época estava de conta a mãe então apareceu em cena Bonaventura Cavalieri de seguiu a linha de pensamento

de tempo tô pensando sobre fatias com espessura infinitesimais ele fez uma grande descoberta o chamado método dos indivisíveis as fatias de espessuras infinitesimais é o que Cavalieri chamava de indivisíveis o método dos indivisíveis resultava de uma observação bastante em Curitiba por exemplo Considere um sólido como uma pilha de fatias com as pessoas as infinitas imagens todas elas bem empilhadas podem por exemplo formar um cubo um cubo tem volume dado pela soma das fatias Ele percebeu que desde que você não destrua o contorno suave dos lados do cubo o volume do sólido que é a deformação

do Gugu mantém o mesmo volume que o cubo original e na verdade isso funciona de maneira bastante geral o princípio postulado por Cavalieri e afirmado para áreas da seguinte forma se duas porções planos são Tais que toda a reta secante a elas e paralelo a uma reta dada determina nas porções segmentos de reta cuja razão é constante então a razão entre as áreas dessas porções é a mesma constante isso também pode ser escrito para os volumes da seguinte forma se dois sólidos são Tais que todo o plano secante a eles e paralelo ao plano dado

determina nos sólidos seções cuja razão é constante então a razão entre os volumes desses óleos e a mesma constante vejamos como Esse princípio formulado por Cavalieri aliado a geometria analítica permite calcular a fórmula da área de uma elipse com semi-eixos a e b consideremos as equações da circunferência de raio Ah e dá ele o creme eixos A e B primeiro tiramos Y em função de X em ambas as equações daí percebemos que a razão entre as ordenadas na circunferência e elipse é b sobre ar portanto pelo princípio de Cavalieri para áreas temos que a razão

entre as áreas do Círculo e da circunferência é b sobre a uma área do círculo é pi ao quadrado segue que a área da elipse é pi vezes a vezes B é isso mostra um pouco poder do princípio de Cavalieri com ele muitos cálculos de áreas e volumes podem ser omitidos mas essa técnica ainda tem suas limitações antes de continuarmos nossa história sobre cálculo de áreas e volumes Vamos considerar um assunto paralelo interessante e importante como vimos os problemas de cálculo de áreas e volumes geralmente nos conduzem a ideia de somar o número infinito de

coisas isso levou os matemáticos a se interessarem pelas chamadas séries numéricas ou seja só uma sequências infinitas de números e como exemplo vamos analisar o problema da soma a mais quadrado mais Ao Cubo e etc e ver uma aplicação interessante do resultado primeiro se olharmos para a soma infinita S = quadrado mais rápido aí podemos manipular essa forma de maneira a descobrir o que acontece com a sua infinita multiplicamos a Em ambos os lados dessa expressão temos o seguinte a vezes s = ao quadrado mais Ao Cubo mas a quarta até a elevado a n

mas a elevado a n + agora subtraindo SP vs temos que é se - avis.es menos a elevado a n + portanto s = - a elevado aí mais sobre menos olhando para essa fórmula perceber o seu número A número n menor assim fazendo extra população quando n tende ao infinito percebemos que neste caso é será no limite igual a menos Infinito ou seja se a for um número maior do que a soma explode ao ser a um valor Fini por outro lado se escusar entre 0 e 1 a soma resulta colorir o Thomas que

neste caso a levado aí mais uma vai ficando cada vez menor à medida que ele vai crescendo quando n tende ao infinito a elevado a n + 1 ten da0 portanto para a em 30 a soma infinita dá um resultado finito s = a sobre 1 - a e dessa fórmula podemos justificar uma afirmação interessante a respeito do racional que é uma dízima periódica o 0,999 a 50 afirmamos que esse racional exatamente para ver porque isso é verdade sai dessa série numérica nesse caso a sua infinita será pela forma tivemos S = um resultado nos

permite mostrar que a dízima periódica é exatamente um basta perceber que a dízima periódica pode ser descrita como 9 vezes 10 elevado a menos um mas 9 vezes 10 elevado a menos 2 assim por diante que é obviamente igual a 9 meses a série numérica que estudamos ateriormente com a igual um defe e portanto temos nove vezes no que é igual e esse tipo de problema ensinou os matemáticos que sob certas condições somas infinitas tem de fato o significado e utilidade na matemática sob certas condições a passagem ao infinito pode ser justificada o resultado da

soma e uma quantidade vida e agora voltemos ao assunto principal novamente nossa história aparece em ser na Pierre de fermat ele sabe interessado no estudo da área sobre a curva y = x elevado aí delimitada pelo segmento com extremidades zero e aí a ser mais Flora o poder da geometria analítica para resolver esse problema primeiro ele procura para tirar a área da figura e vários retângulos restritos ele toca uma quantidade e menor do que um e com ela subdivide o intervalo de 0 a através de uma sequência infinita de pontos que começa com depois da

PG depois eu avisei ao quadrado A visível culpa e assim por diante o tendo feito essa subdivisão do intervalo ele consegue consumir o retângulos cujas alturas são dadas pela função y = x elevado a ele assim o retângulo maior por exemplo tem área da da p**** dói vezes a - abc o segundo retângulo tem área a vezes elevado a n vezes a 15 - a vezes é o quadrado e assim por diante observa que a série numérica das áreas de se você tango é uma boa aproximação para a área sob a curva e torna-se melhor

à medida que e se aproxima de um pois bem a soma dos retângulos resulta no seguinte podemos distribuir os ter então a somos se torna a seguinte e agora podemos isolar o termo a elevado a n + 1 e obtemos o seguinte e aqui temos uma série numérica dentro dos colchetes rearranjando os termos positivos e negativos percebemos que a série dentro dos colchetes pode ser escrita da seguinte forma e essa soma que temos dentro dos colchetes é semelhante àquela que estudamos anteriormente assim podemos estudar lá como já fizemos antes primeiro nós trabalhamos com a soma

infinita e concluímos que ela vale 1 - a elevado a n + 1 sobre 1 menos ar em seguida fazemos n tender ao infinito e concluímos que a sua infinita = 1 sobre 1 menos a essa soma infinita faz sentido Ceará está entre 0 e 1 e no nosso caso a = elevado a n + 1 o que compre a condição de finitude da semana e assim concluímos aquela soma se resume a um menos e sobre um menos elevado a n + 1 mas isso exatamente um sobre um mais Z mas eu quadrado para dar

para até ^ indo e agora que foi mal chegou essa forma para a próxima ele assume aqui e é igual a um retângulos nesse caso terão as pessoas infinitesimal e a soma coincidirá com a área abaixo da curva y = x elevado a n de 0 a nesse caso a conclusão que a água é dada por a elevado a n + 1 sobre ele mais um e notação moderna o que firmar descobriu pode ser escrito assim e essa cobrinha na fórmula é um s estilizado um SD soma soma de fatias com espessura infinitesimais que vai

de 0 a essa notação utilizada na matemática a partir de leibniz como veremos mais adiante mas firmar na verdade fez mais do que estudar a área sob a curva y = x elevado aí ele percebeu que esse método funciona para todas as curvas onde é o invés de e natural n é um número racional positivo ou negativo para ser mais preciso ele percebeu que havia uma exceção o método não funcionava como n = -1 caso em que a curva se transforma em uma hipérbole o problema para n = -1 ficou aberto por algum tempo e

será discutido mais adiante aqui é possível perceber um fato surpreendente para a função y = x elevado a n o problema da área e o problema da reta tangente e gera uma operações inversas sobre a função o corpo um eleva o grau da função e a dividir pelos corrente resultante a outra multiplica função pelo expoente e reduz seu grau infelizmente pelo que parece enfermar não percebeu este fato o primeiro a perceber essa relação foi o mentor de Isaac Newton Isaac Bell e inscreva-se no canal deixe seu like e comentário até a próxima