Noções de Conjuntos Parte 1

Olá retomando então nossos conteúdos de matemática a gente vai falar agora sobre noções de conjuntos interseção União diferença complementar relembrar pertence contido relação de inclusão e de pertinência São assuntos cobrados aí nas questões de prova sobre esse de conjuntos estamos na página 46 do material e a gente começa então Relembrando as operações união de dois conjuntos é formada pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou pertencem ao conjunto B escrito em símbolos então este U de união lembrando esse símbolo de pertence o de União x pertence ao conjunto A ou x pertence ao conjunto B

quer dizer que tudo que faz parte do conjunto A ou do B vai fazer parte da da União Então faz parte só do a faz parte da união faz parte só do B faz parte da união faz parte dos dois faz parte da União também então a união é formada por qualquer elemento que esteja no conjunto A ou no conjunto B inclusive o que faz parte dos dois conjuntos simultaneamente intersecção ou interceção é formada pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente é o que faz parte do conjunto A e do conjunto B as duas

coisas então intersecção ou interseção x pertence ao conjunto a e x pertence ao conjunto B então eu que faz parte de ambos quando a gente fala em diferença antes de falar em diferença vamos falar em conjuntos disjuntos quando não tem intersecção entre dois conjuntos Ou seja quando a intersecção for vazia a gente diz que esses conjuntos são disjuntos então conjuntos disjuntos é quando a intersecção for vazia então a intersecção B é igual ao vazio por exemplo o conjunto A que tem os elementos 1 e 2 o conjunto B tem os elementos 4 5 e 6

Então olha o conjunto a 1 2 Olha o conjunto B 4 5 e 6 Quais são os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B ao mesmo tempo não tem né então a a intersecção B é vazio vazio a gente pode representar então com as chaves vazias sem nenhum elemento dentro ou também a gente pode representar com a bolinha cortada então vazio não há intersecção entre os conjuntos a e b então eles são chamados de disjuntos tá conjuntos disjuntos quando a intersecção for vazia diferença entre dois conjuntos é o que faz parte de

um conjunto e não faz parte do outro é aquilo faz parte somente de um conjunto por exemplo a diferença a- B é o que faz parte somente do conjunto A então apenas a somente a a está no a mas não está no b então tudo que faz parte do conjunto B cai fora A diferença é formada então pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B no texto vai falar assim somente a apenas a pertence ao a mas não pertence ao B essa a ideia de representar a diferença porque quando a

gente fala em União intersecção diferença isso pode até aparecer com conjuntos com símbolos pra gente fazer a intersecção a união a diferença mas a maior parte dos problemas sobre este conteúdo são historinhas são problemas são aquelas situações que diz por exemplo tantas pessoas gostam de futebol outras tantas gostam de basquete tantas pessoas gostam de ver futebol e basquete as duas coisas quantas pessoas não gostam nem de futebol nem de basquete Então a gente tem o conjunto dos que gostam de ver futebol o conjunto dos que gostam de ver basquete pode existir intersecção entre esses conjuntos

pode ter pessoas ali que gostam tanto de futebol quanto de basquete pode ter pessoas fora desses conjuntos que não gostam nem de futebol nem de basquete e a gente trabalha isso com conjuntos quando anunciado diz assim tantas pessoas gostam de ver futebol e basquete intersecção tantas pessoas gostam de ver somente futebol é diferente de dizer que gostam de futebol Então quem gosta de futebol é todo aquele conjunto do futebol quem gosta somente de futebol são os que gostam de futebol mas não gostam de basquete é a diferença entre dois conjuntos tá então aqui a diferença

entre dois conjuntos é o que faz parte de um conjunto Ó pertence a um conjunto mas não pertence ao outro Essa é a definição de diferença entre dois conjuntos por exemplo Dados os conjuntos a e b determine União a união B Quando falar em união é tudo não importa se faz parte só do a se faz parte só do B se faz parte dos dois a união é formada pelos elementos que pertencem a um conjunto ou ao outro somente um somente o outro os dois tudo isso faz parte da União Então nesse caso o um

o dois o TR o quatro o cinco e o sete são os elementos que compõem que foram a união desses dois conjuntos intersecção vai se acostumando também com símbolo se você não lembrava disso an nota de novo ó união e aqui intersecção intersecção O que é comum que que tem nos dois conjuntos ao mesmo tempo o quatro tá nos dois o sete tá nos dois Quer dizer então que a intersecção tem os elementos quatro e sete a diferença a - b vou desenhar aqui os dois conjuntos conjunto A tem o 1 o 2 o TR

o quatro e o sete conjunto B tem o quatro o sete que já estão ali também no meio e o cinco então quando a gente vai representar esses conjuntos com diagrama o quatro e o sete que são na intersecção estão aqui no meio ó estão simultaneamente no conjunto A e no conjunto B agora o que que é a diferença A - B A - B é o que faz parte somente do conjunto A O que que está no a mas não está no b o 1 o 2 e o TR ó o 1 só o

1 o 2 e o 3 só estão no conjunto A não estão no conjunto B então a diferença a- B tem os elementos 1 2 e 3 e a diferença b - a que que é só do b o cinco ó o cin tá só no b então b - a tem o elemento 5 então União tudo intersecção O que é de ambos O que é comum diferença é o que é de um mas não é do outro pertence a um e não pertence a outro é só de um dos conjuntos a - b é

o que faz parte só do a b - a é o que faz parte só do B com complementar é uma operação específica para quando acontece o seguinte então para falar em complementar existe uma situação particular aqui a observar necessariamente um conjunto precisa estar contido no outro esse c achatadinho a gente Lê está contido tá B está contido no conjunto A então para falar complementar é necessário que um conjunto esteja contido no outro um conjunto dentro do outro a gente pode falar em complementar porque a ideia de complementar é a ideia de completar completar o

que falta completar o conjunto menor para que ele fique igual ao conjunto maior por exemplo conjunto a 1 2 3 4 5 e o conjunto B tem o 2 e o 4 então a gente tem um conjunto B com o 2 e o 4 no conjunto A além do dois e do 4 a gente tem o 1 o 3 e o 5 Então essa ideia de complementar complementar DB complementar o conjunto B em relação a outro conjunto em relação ao conjunto A o que que falta no conjunto B para ele ficar igual ao conjunto A

falta o um o TR e o c ó 1 o TR o c Esse é o complementar 1 3 5 Então esse complementar também é uma operação de diferença é o que faz parte somente do conjunto A mas para falar em complementar necessariamente um conjunto precisa estar contido no outro porque essa ideia de complementar é de completar completar o que falta aqui por exemplo ó voltando aqui nesse exemplo conjunto A tinha o um o dois o TR o quatro o sete o conjunto B tinha o quatro o c e o s aqui eu não posso

falar em complementar tá o b ó b não está contido no a não está contido se o b não está contido no a eu não posso falar em complementar aqui eu posso falar a diferença no a men b e posso falar na diferença b- a mas aqui não cabe falar sobre complementar complementar é uma operação de diferença é fazer um conjunto menos outro o que que tem um e não tem no outro é diferença mas necessariamente precisa acontecer essa relação de inclusão um conjunto contido no outro por falar em relação de inclusão já falei em

pertence já falei em contido vamos formalizar isso vamos relembrar e deixar registrado relação de pertinência e relação de inclusão símbolos para isso pertence não pertence então aquele Ezinho se lê pertence aquele mesmo e cortadinho não pertence pertence não pertence contido é um C achatadinho então C achatadinha está contido aquele mesmo C cortado a gente Lê não está contido agora muito importante quando é que eu uso pertence quando é que eu uso contido por que que eu disse que o x pertence ao conjunto A E por que que eu falei que o conjunto A está contido

no conjunto B porque são coisas diferentes Então essa relação de pertinência e de inclusão funciona assim elemento um elemento em relação a um conjunto e um elemento e um conjunto em relação a conjunto fazer separado assim um elemento em relação a um conjunto você vai dizer pertence ou não pertence tá elemento em relação ao conjunto você diz pertence não pertence por exemplo aqui olha aqui vamos pegar esse conjunto aqui ó pegar esse conjunto aqui o conjunto A nesse conjunto A o 2 pertence ao conjunto A o 5 não pertence ao conjunto A então se for

um dos elementos o um pertence o dois pertence o TRS pertence o quatro pertence o sete pertence então qualquer um daqueles caras ali é um elemento do conjunto então pertence ao conjunto A qualquer coisa diferente daquilo não pertence ao conjunto A o zero não pertence ao conjunto A o 5 não pertence ao conjunto A o o não pertence ao conjunto A e assim vai elemento em relação ao conjunto você diz pertence ou não pertence quando a gente fala de conjunto olha aqui esse conjunto Conjunto A conjunto B O conjunto B ele tá dentro do conjunto

A só que ele é conjunto ele não é um elemento o b é um conjunto então a gente diz que ele está contido um conjunto em relação ao outro você não vai dizer que um conjunto pertence a outro tá ele está contido ou não está contido então quando a gente tem um conjunto em relação ao outro conjunto A gente vai usar está contido ou não está contido é um C achadinho daí contido ou cortado não está contido a gente também pode dizer que um conjunto contém outro então a gente lê assim a botar aqui aar

no exemplo ali anterior que a gente fez b b está contido em a isso é a mesma coisa que escrever que o a contém o b tá é isso que tá escrito aqui aquele c viradinho pro outro lado a gente lê contém o mais comum é falar contido tá o conjunto B está contido no conjunto A mas aí é correto também dizer que o a contém o conjunto B para facilitar Rio Grande do Sul Brasil tá Rio Grande do Sul Brasil o conjunto dos Gaúchos está contido no conjunto dos brasileiros o conjunto dos nascidos no

Rio Grande do Sul está contido no conjunto dos brasileiros nascidos no Brasil o conjunto dos nascidos no Brasil contém os nascidos no Rio Grande do Sul o de dentro contido do de Fora o de Fora contém o de dentro certo Qual queer estado São Paulo São Paulo os nascidos em São Paulo está contido nos nascidos no Brasil os nascidos no Brasil contém o conjunto dos nascidos em São Paulo tá é importante só não misturar as coisas só vai usar pertence e não pertence quando for um elemento elemento em relação ao conjunto você diz pertence ou

não pertence quando você relaciona conjuntos só pode dizer contido ou não contido contém ou não contém por exemplo Dados os conjuntos a 1 2 3 4 7 e B 2 e 3 responda V ou f v ou f então primeiro o conjunto A está contido no conjunto B A está contido em B falso falso B está contido em a sim b está contido em a o conjunto B tem o do e tem o TR o dois e o TR também são elementos do conjunto A então o conjunto B está contido no conjunto A o sete

o sete pertence ao conjunto A sete tá aqui ó o sete pertence ao conjunto a verdade o sete não pertence ao B tem sete ali no conjunto B não tem então verdade o sete não pertence ao conjunto B o quatro está contido no conjunto A quatro ah o quatro é do a verdade ó quatro está contido no conjunto qu falso falso falso por quê Por que professora se o quatro tá ali ó tô vendo o quatro aqui porque o quatro é elemento o quatro é elemento do conjunto se ele se ele é elemento Ele só

pode pertencer ou não pertencer essa a diferença então elemento em relação ao conjunto você di pertencem ou não pertence só vai falar contido e não contido quando for relação entre conjuntos então cada um desses aqui ó cada um desses aqui que aparece entre vírgulas cada um desses aqui são elementos em qualquer conjunto tá qualquer um desses que aparece aqui entre as vírgulas são os elementos e elemento em relação a conjunto você diz pertence ou não pertence então o um pertence ao conjunto A o do pertence ao conjunto A o TR pertence ao conjunto A o

4 pertence ao conjunto A Por isso tá errado aqui ó Tá correto dizer correto seria dizer que o quro pertence ao conjunto A contido não agora cada um dos elementos cada um daqueles elementos do conjunto A Se eu colocar Chaves eu estou formando subconjuntos então cada um daqueles elementos entre Chaves passa a ser um conjunto E daí eu uso contido e não contido então por exemplo o quatro entre Chaves está contido no conjunto A Isso é verdade Olha o conjunto a pegar aqui o conjunto A se eu pegar o um sozinho Assim entre Chaves o

dois sozinho o três sozinho o quatro sozinho o sete sozinho são subconjuntos posso pegar o um e o dois então o conjunto formado pelo um e pelo dois conjunto formado pelo um e o três conjunto formado pelo 1 e pelo Sete enfim são todos subconjuntos do conjunto A certo então sempre esse conjunto ele pode ser de figuras de caracteres né asterisco estrelinha bolinha não interessa o que é se é letra pode ser letra conjunto que letras a b c d cada um daqueles elementos que estão separados ali por vírgulas são os elementos tá cada um

daqueles caracteres pode ser letra pode ser número pode ser figura cada um daquelas figurinhas que aparecem ali entre as vírgulas são os elementos elemento em relação ao conjunto você diz pertence ou não pertence agora quando a gente pega aqueles elementos e forma subconjuntos quando coloco notação de Chaves ali aquela ali é notação de conjuntos a gente passa a falar de relação de inclusão Está contido ou não está contido contém ou não contém Por falar em subconjuntos coloquei aqui Conjunto das partes que é o conjunto formado por todos os subconjuntos de um determinado conjunto é mais

fácil do que parece então a gente vai começar com exemplo começa por aqui ó começa entendendo esse exemplo aqui considera o conjunto A que tem os elementos a b e c o a o b e o c são elementos do conjunto A tá conjunto A com os elementos A B e C Então isso é um conjunto o a é um elemento o b é um elemento o c é um elemento agora Quais são os possíveis subconjuntos eu posso pegar só o a ó só o a entre Chaves e um subconjunto só o b é um

subconjunto só o c é um subconjunto posso pegar os elementos A e B forma um subconjunto também posso pegar os elementos A e C forma um subconjunto também por exemplo aqui ó de pegar esse aqui ó B e C ó formei um subconjunto só um exemplo então eu posso pegar só o a e formar um subconjunto pegar só o b e formar um subconjunto posso pegar o a e o b e formar um subconjunto importante aqui que o vazio É sempre um subconjunto e o próprio conjunto também aqui ó vazio e o próprio conjunto sempre

serão subconjuntos isso também não importa se é com figura se é com letr se é com número importante importante importante quanto subconjunto quantos subconjuntos vai ter um certo conjunto Ah eu tenho esse conjunto aqui ó conjunto a 1 2 3 4 5 quantos subconjuntos vai ter Ah só o um só o dois só o TR só o 4 só o c um com dois um com TR um com qu um com c dois com TR dois com qu dois com C 1 2 3 1 2 4 1 2 5 2 3 4 Quantos são não

preciso saber quais atenção vai ser sempre 2 elevado ao número de elementos Então qual é o número de subconjuntos de um conjunto Vou Colocar assim ó número de subconjuntos é sempre 2 elevado a n onde n é o número de elementos n número de elementos do conjunto por exemplo um conjunto esse conjunto A aqui que eu botei aqui tem Quantos elementos 1 2 3 4 5 ele tem CCO elementos no conjunto A tá conjunto A tem cinco elementos então fica 2 elevado 5 2 na 5 é fazer 2 x 2 x 2 x 2 x

2 32 subconjuntos sempre assim Lembrando que o vazio É sempre um subconjunto o próprio conjunto também é sempre um subconjunto isso pode aparecer em prova perguntando exatamente assim quantos subconjuntos tem um determinado conjunto pode ser com cores n um conjunto formado com cores azul verde amarelo branco daí Quantos subconjuntos é possível formar sempre dois elevado ao número de elementos que aquele conjunto tem então se eu ten um conjunto que formado lá por três elementos vai ficar dois A TR Ah o conjunto é formado por sete elementos Fica dois na sete Ah o conjunto é formado

por cinco elementos que nem eu falei das cores pode ser azul verde vermelho branco e preto cinco cores então fica dois na CCO são 32 sub subconjuntos neste caso