Qué tal amigos Espero que estén muy bien bienvenidos al curso de ecuaciones diferenciales y ahora veremos una pequeña Introducción a este [Música] curso y obviamente lo primero de lo que tenemos que hablar en este curso pues es de Qué es una ecuación diferencial que es lo primero que tenemos que ir reconociendo una ecuación diferencial obviamente primero que todo es una ecuación acordémonos que una ecuación es una expresión en la que hay un igual por ejemplo si tenemos 5x = a 7 esto es una ecuación no es una ecuación diferencial pero es una ecuación por qué
porque todas las ecuaciones tienen el signo igual y tienen variables o sea tienen letras al igual que la ecuación diferencial Entonces es una ecuación que relaciona una función o sea dentro de esa ecuación diferencial bueno Esta no es diferencial Pero dentro de la ecuación diferencial vamos a encontrar funciones que la función es la variable dependiente Además vamos a encontrar su variable o sea las letras ya les voy a hacer un ejemplo o variables porque eh acordémonos que se puede trabajar con una o varias variables que son las variables independientes y además lo más clave de
todo es que obviamente en la ecuación diferencial tenemos que encontrar sus derivadas eso es lo clave para reconocer más que todo una ecuación diferencial que vamos a encontrar en algún lado derivadas vamos a verlo aquí con ejemplos Entonces ya sabemos que una ecuación diferencial relaciona la función con la variable y con las derivadas Cómo se reconocen las funciones en matemáticas pues la forma más típica de escribir una función es así F de x o F de T cuando trabajamos Generalmente con el tiempo o F de alguna letra Generalmente las más usadas son la x la
t eh la u y la v o sea encontraría F de u o F de V o también puede cambiar la letra no por ejemplo puede ser otra función la función G de X Sí pero Generalmente lo más usado es esto además acordémonos que F dex es lo mismo que decir Y sí Entonces si ustedes encuentran en una función FX igual a algo ustedes pueden fácilmente borrar F dex Y en lugar de F de X escribir y y no hay problema porque pues obviamente Eh Esto es igual no no entonces así se reconoce una función
Cuáles son las variables como miren que aquí dice F dex Pues aquí nos está diciendo que la variable va a ser la letra x o por ejemplo aquí nos dice ft esto quiere decir que la variable en esa función va a ser la letra T aquí como dice GX tiene la misma variable la variable x y generalmente cuando encontramos la letra y generalmente lo más probable un 99% de las veces está con la variable x Aunque podemos encontrarla con otras variables Generalmente vuelvo a decirles cuando encontramos la y es la x pero ustedes pueden encontrar
también otras letras lo más probable es que sea la X ahora también vamos a encontrar sus derivadas Entonces cómo se escribiría la derivada de esta función acordémonos que se escribe esta misma función pero con una comita en la parte superior Esta es la derivada de esa función obviamente aquí escribiríamos F de T pero derivada lo mismo aquí G derivada con una comita o la y cuando derivamos la y acordémonos que escribimos y derivada otra forma de escribir la derivada por ejemplo F dex es lo mismo que si escribimos derivada de y con respecto a x
sí o Esto es lo mismo no como F dex es lo mismo que Y entonces también al igual la derivada de f dex o la derivada de y es lo mismo que si decimos derivada de y con respecto a x entonces si en una función encontramos o más bien si en una ecuación encontramos todas estas características ya sabemos que nos enfrentamos a una ecuación diferencial lo más la forma más fácil de verla es que en algún lugar va a aparecer esto la derivada Sí si no aparece la derivada obviamente también puede aparecer la segunda derivada
la tercera o la cuarta derivada por ejemplo puede aparecer en algún lugar de la ecuación la segunda derivada o por ejemplo la tercera derivada que se designa con tres comillas no en la definición de ecuación diferencial Generalmente los libros la dan de esta forma sí es una ecuación en la que vamos a encontrar las variables las funciones y cualquier derivada la primera derivada O la segunda derivada o tercera o cuarta o quinta hasta cualquier tipo de derivada la derivada n Sí bueno Esto es una n y ahora vamos a ver algunas ecuaciones para que aprendamos
a reconocer cuáles son y cuáles no son ecuaciones diferenciales como les decía lo más básico para saber qué es una ecuación diferencial pues primero es ver que sea ecuación O sea que esteé el signo igual Todas estas son ecuaciones porque tienen el signo igual y obviamente además tienen letras Pero además deben encontrarse en algún lado de la ecuación alguna forma de escribir la derivada entonces Esta es una ecuación diferencial porque es una ecuación en la que encontramos una derivada aquí es una ecuación diferencial en la que encontramos también una derivada aquí otra ecuación diferencial porque
es una ecuación Esta es una diferencial pero ya esto quiere decir la segunda derivada no se puede escribir con el número dos aquí arriba o con dos comitas como incluye alguna derivada entonces Esta es una ecuación diferencial Esta no es una ecuación diferencial Por qué Porque es una ecuación Pero en ningún lado está escrita la derivada de una función Entonces esta no es una ecuación diferencial y esta sí es una ecuación diferencial porque relaciona la función con la derivada incluso con la segunda derivada ahora vamos a hablar de otra cosita que nos interesa mucho que
es resolver una ecuación diferencial Qué es resolver una ecuación diferencial eh Bueno antes de hablar de esto les voy a recordar por ejemplo si yo quiero resolver una ecuación por ejemplo x + 3 = 5 Qué es resolver esta ecuación resolver esta ecuación es encontrar un valor para la x que haga que esto sea verdad sí que esto que está escrito sea verdad por ejemplo yo puedo decir que una respuesta o la respuesta más bien de esta ecuación Es que la x es igual a 2 Y por qué esa es una respuesta de la ecuación
Pues porque esto satisface esta ecuación o sea yo estoy diciendo que si reemplazo la x con el número 2 Esto va a ser correcto Entonces cómo hace uno para verificar si sí está bien resuelta la ecuación pues simplemente verificando que esto es verdad yo estoy diciendo que si la x vale 2 esto es verdad pues reemplazo la x con el número 2 aquí nos quedaría 2 + 3 = 5 2 + 3 es 5 que eso es obviamente ig a 5 Entonces estamos viendo que esta sí es la respuesta de este esta ecuación Pero obviamente
estas eran ecuaciones sencillas que son ecuaciones de primer grado pero en las ecuaciones diferenciales ya no vamos a encontrar el valor de una letra sino lo que vamos a hacer es encontrar una función que satisfaga dicha ecuación Entonces vamos a realizar un ejemplo de cómo mirar si una solución sí es solución de una ecuación diferencial aquí tenemos una ecuación diferencial que cómo se reconoce Pues porque tiene la derivada acordémonos que esto se se puede escribir más fácilmente como acordémonos que F dex es lo mismo que Y entonces voy a escribirlo como y derivada es igual
a 3 y sobre x entonces Esta es una ecuación diferencial y esta es exactamente la misma ecuación supongamos que ya resolvimos la ecuación Que obviamente eso lo vamos a ver en los siguientes videos Cómo resolver una ecuación diferencial supongamos que ya la resolvimos y el resultado me dio que y era igual a x c Entonces cómo hacemos para saber si esto si es la solución de esta ecuación diferencial pues tenemos que mirar si esto sí satisface esta ecuación cómo lo haríamos al igual que con lo de la x lo haríamos reemplazando en esta respuesta acá
pero miren que aquí no dice Bueno Esta es la función que yo estoy diciendo que es respuesta de esta ecuación Pero entonces cómo haríamos para verificarlo aquí dice y derivada entonces aquí tengo que escribir la derivada de la función que yo estoy diciendo que es la respuesta bueno Este es un ejemplo cortico a esto me voy les voy a explicar más detenidamente esto de cómo verificar una ecuación diferencial en el siguiente video donde voy a hacer la segunda parte de la introducción entonces aquí rápidamente como yo quiero reemplazar aquí con la función que dije que
es la solución aquí dice y derivada esto es Y entonces cómo hago para encontrar la derivada pues hallo la derivada entonces y derivada sería igual a derivar esto acordémonos Cuál es la derivada la derivada de X cu es bajar el exponente y restarle uno entonces si reemplazamos en esta ecuación con lo que tenemos acá nos quedaría de la siguiente forma y derivada Qué es la y derivada la y derivada es 3x cu entonces aquí reemplazo 3x cu es igual si ven miren que estamos reemplazando aquí dice 3 * y o sea 3 por pero la
y es la función O sea la y es x c dividido entre x Entonces si al hacer esta operación me da esto O sea si me da una igualdad verdadera es porque esta si era la solución de esta ecuación aquí pues lo fácil es eliminar una x con una de las tres que están arriba Entonces aquí nos queda 3x cu igual y aquí nos quedaría 3 y al eliminar una de las x con esta de abajo nos queda x cu como nos dio 3x cu = 3x cu quiere decir que esta si es la solución
de esta ecuación porque qué porque esta es una función que satisface esta ecuación diferencial y por último vamos a hablar de una de las clasificaciones de las ecuaciones diferenciales las ecuaciones diferenciales eh con respecto al número de variables que que están derivadas dentro de esa ecuación se diferencian entre ecuación diferencial ordinaria que generalmente en los libros ya o uno ya se acostumbra escribir edo Sí para no escribir ecuación diferencial ordinaria y Qué es una ecuación dial ordinaria es una ecuación que contiene derivadas respecto a una sola variable independiente o sea contiene eh derivadas con respecto
a una sola letra y aquí tenemos algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias Bueno espero que no estén muy muy desordenado aquí tenemos una ecuación diferencial ordinaria porque aquí la derivada está Solamente con respecto a x no hay más aquí tenemos la derivada que generalmente como les decía esto es derivada de y con respecto a x lo mismo aquí tenemos solamente derivadas de la función y que generalmente es con respecto a x aquí Eh bueno algo que me acordé escribiendo aquí es que una de las ecuaciones diferenciales yo les escribí el cuadrado acá pero no el
cuadrado acá pues cuidado porque creo que lo escribí mal debí haberle escrito el cuadrado aquí a la x no el cuadrado no porque quiere decir segunda derivada no entonces aquí está la segunda segunda derivada con respecto a x aquí está la primera derivada con respecto a x y aquí está la y pues que es la función no Entonces como contiene derivadas solamente con respecto a una sola variable Estas son las ecuaciones diferenciales ordinarias que es obviamente lo que vamos a ver en la primera parte del curso y el otro tipo de ecuaciones diferenciales son las
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que se escribe de esta forma ecuación diferenciales parciales y son las ecuaciones que tienen derivadas parciales por eso se llaman parciales de una o más variables independientes y aquí les escribí dos ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que son estas Cómo se reconocen y miren las diferencias en este caso miren que esta derivada está con respecto a t y luego tenemos otra derivada con respecto a x entonces aquí ya se ve que son derivadas parciales una con respecto a una letra o a una variable y la otra con respecto
a otra variable aquí tenemos la segunda derivada de Z con respecto a x y aquí tenemos la segunda derivada de Z con respecto a Y entonces tenemos con respecto a dos variables por eso Esta es una ecuación diferencial o son dos ecuaciones diferenciales en derivadas parciales como les decía Los invito a ver el siguiente video para que veamos Cómo saber si una solución sí es solución de una ecuación diferencial para ya entrar eh en forma a ver las diferentes tipos de solución de ecuaciones diferenciales en este caso no les voy a dejar ejercicio de práctica
porque eso lo vamos a ver en esos siguientes videos de los que les hablo Bueno amigos Espero que les haya gustado la clase si les gustó Los invito a que vean el curso completo para que profundicen un poco más sobre este tema o algunos videos recomendados Y si están aquí por alguna tarea o evaluación Espero que les vaya muy bien Los invito a que se suscriban Comenten compartan y le den like al video y no siendo más bye bye ev
