गुड मॉर्निंग एवरीवन नमस्कार गुड मॉर्निंग गुड मॉर्निंग गुड मॉर्निंग चलिए स्वागत है आप लोगों का इन इन द क्रैश कोर्स फॉर गेट 2026 गुड मॉर्निंग गुड मॉर्निंग और आज की क्लास में हम कवर करने वाले हैं मोमेंट ऑफ इनर्शिया एंड इंपॉर्टेंट टॉपिक मोमेंट ऑफ इनर्शिया दो टाइप के होते हैं एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया ये टॉपिक एग्जाम के पॉइंट ऑफ व्यू से तो इंपॉर्टेंट है ही क्योंकि इससे डायरेक्ट क्वेश्चंस आते हैं गेट मैकेनिकल में खासकर लेकिन इसलिए भी इंपॉर्टेंट है क्योंकि मोमेंट ऑफ इनर्शिया का कांसेप्ट आप अलग-अलग सब्जेक्ट्स में देखते हो। जैसे
आप स्ट्रेंथ ऑफ मटेरियल्स में, मशीन डिज़ाइन में, थ्योरी ऑफ़ मशीनंस में। इवन आगे जाके इंजीनियरिंग मैकेनिक्स के ही दूसरे चैप्टर्स में आप मोमेंट ऑफ इनर्शिया का यूज़ देखोगे। तो यू शुड नो व्हाट इज़ मोमेंट ऑफ इनर्शिया, हाउ टू कैलकुलेट इट, व्हाट इज द फार्मूला फॉर डिफरेंट शेप्स ऑफ अ डिफरेंट ज्योमेट्रिकल शेप्स ऑफ मोमेंट ऑफ इनर्शिया। तो, आपको ये सारी चीजें इस क्लास में मैं बताने वाला हूं। एक सिंगल क्लास होगी। इसमें हम मोमेंट ऑफ इनर्शिया के सारे कांसेप्ट्स पढ़ने वाले हैं। गुड मॉर्निंग। चलिए तो आज की क्लास में हम लोग क्या-क्या कवर करने वाले हैं?
एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया क्या होता है? मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया क्या होता है? ठीक है? फिर रेडियस ऑफ जरेशन उसके बाद पैरेलल एक्सिस थ्योरम। उसके बाद मोमेंट ऑफ इनर्शिया के कैलकुलेशंस के ऊपर क्वेश्चंस फॉर्मूले जो जो आपको याद रखने हैं वो सारे मैं आप लोगों को बताऊंगा। तो सारी चीजें इस क्लास में कवर करेंगे। अगर आपको मोमेंट ऑफ इनर्शिया का कांसेप्ट बिल्कुल भी नहीं पता। वैसे तो हम लोग इसको स्कूल में पढ़ चुके होते हैं। बट अगर बिल्कुल भी नहीं पता तो भी कोई दिक्कत वाली बात नहीं है क्योंकि इस क्लास में सब कुछ जीरो
से कवर होने वाला है। सो आई होप यू गाइस आर रेडी। चालू करें। चलिए गुड मॉर्निंग। तो बेटा देखो मोमेंट ऑफ इनर्शिया दो टाइप के होते हैं। एक एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया होता है। दूसरा मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया होता है। लगभग दोनों सिमिलर कांसेप्ट्स हैं। यूज़ दोनों का अलग-अलग है। सिग्निफिकेंस दोनों का अलग-अलग है। ठीक है? तो पहले एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया कवर करेंगे। देन वी विल बी मूव ऑन वी विल बी मूविंग ऑन टू मास मोमेंट ऑफ़ इनर्शिया। ओके? सो व्हाट इज़ एरिया मोमेंट ऑफ़ इनर्शिया? अंडरस्टैंड दिस पॉइंट। एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया किसी एरिया
की वो प्रॉपर्टी है, वह पैरामीटर है जो बताता है कि वो एरिया किसी एक्सिस से कितना दूर तक फैला हुआ है। एरिया एक्सिस से जितना ज्यादा दूर तक फैलेगा उसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया उतना ज्यादा होगा। एक एग्जांपल के लिए लेट्स से आपके पास दो एरिया है। ठीक है? एक ये एरिया है। एक सेकंड। ओके। सेम एरिया एक बार ऐसे रखा हुआ है। ठीक है? नाउ आई एम कैलकुलेटिंग मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट दिस एक्सिस। मोमेंट ऑफ इनर्शिया जो होता है ना वो किसी पर्टिकुलर एक्सिस के अबाउट कैलकुलेट किया जाता है। यानी इस एक्सिस से यह एरिया
कितना दूर तक फैला हुआ है? तो दोनों एरिया सेम है। दिस इज़ a दिस इज़ आल्सो A. ठीक है? दिस इज़ द फर्स्ट केस। दिस इज़ द सेकंड केस। मोमेंट ऑफ इनर्शिया को I से डिनोट किया जाता है। तो इन दोनों केसेस में अगर हम x एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया कैलकुलेट करते हैं तो किसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपको ज्यादा मिलेगा? सी यह जो एरिया है इस x एक्सिस से ज्यादा दूर तक फैला हुआ है। एंड यह एरिया एक्सिस के क्लोज है। सो ऑब्वियसली i x1 विल बी ग्रेटर देन i x2 i मोमेंट ऑफ
इनर्शिया। x मतलब x एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया। तो इस एरिया का x एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया ज्यादा होगा क्योंकि इस एरिया का x एक्सिस से डिस्टेंस ज्यादा है। इस एरिया का x एक्सिस से डिस्टेंस कम है तो इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया कम होगा। सो ix1 विल बी ग्रेटर दैन ix2। सो इट्स अ ज्योमेट्रिकल प्रॉपर्टी व्हिच इंडिकेट्स हाउ इट्स पॉइंट्स आर डिस्ट्रीब्यूटेड अबाउट एन एक्सिस। जितना ज्यादा डिस्टेंस उतना ज्यादा मोमेंट ऑफ इनर्शिया। इट इज आल्सो नोन एज सेकंड मोमेंट ऑफ एरिया। अब सेकंड मोमेंट ऑफ एरिया मतलब देखिए आप मोमेंट लेते हैं किसी
फोर्स का तो क्या करते हैं? फोर्स * डिस्टेंस। एरिया का मोमेंट भी ऐसे ही लिया जाता है। एरिया * डिस्टेंस। डिस्टेंस कहां से लिया जाता है? उस एरिया के सेंट्रोएड से। अब सेकंड मोमेंट ऑफ एरिया मतलब आप दो बार मोमेंट ले लो। तो एरिया * डिस्टेंस का स्क्वायर। ठीक है? तो यहां अगर मैं एरिया * डिस्टेंस का स्क्वायर करूंगा तो ज्यादा वैल्यू मिलेगी क्योंकि डिस्टेंस ज्यादा है। यहां डिस्टेंस कम है। ओके? अब सवाल ये उठता है कि व्हाट इज द सिग्निफिकेंस ऑफ मोमेंट ऑफ इनर्शिया? दोनों टाइप के मोमेंट ऑफ इनर्शिया का सिग्निफिकेंस अलग-अलग है। इफ
यू टॉक अबाउट एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया। इसका सिग्निफिकेंस आता है स्ट्रेंथ ऑफ मटेरियल्स जैसे सब्जेक्ट में जहां हम बेंडिंग और ट्विस्टिंग वाले कांसेप्ट्स पढ़ते हैं। किसी बॉडी को बेंड या ट्विस्ट किया जाता है। तो हम मोमेंट लगाकर करते हैं। अगर आपको किसी बॉडी को बेंड करना है। जैसे लेट्स से वी हैव दिस बॉडी। इसको मैं बेंड कर रहा हूं। किस एक्सिस के अबाउट कर रहा हूं? इस एक्सिस के अबाउट मोमेंट लगा के इसको बेंड कर रहा हूं। ट्विस्ट कर रहा हूं इस तरीके से इस एक्सिस के अबाउट मोमेंट लगा के। तो बेंड या ट्विस्ट करते
टाइम हम मोमेंट लगाते हैं। उस मोमेंट को इस बॉडी का एरिया कितना ज्यादा रेजिस्ट कर सकता है ये उसके मोमेंट ऑफ इनर्शिया पे डिपेंड करता है। जितना ज्यादा एरिया का मोमेंट ऑफ इनर्शिया होगा वो उतना ज्यादा बेंडिंग या ट्विस्टिंग को झेल पाएगा। जैसे ये एरिया इस एक्सिस के अबाउट मोमेंट को ज्यादा रेजिस्ट करेगा। कंपेयर टू दिस एरिया। तो दिस इज द सिग्निफिकेंस ऑफ एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया। इसका यूज आप स्ट्रेंथ ऑफ मटेरियल्स और मशीन डिजाइन में बहुत ज्यादा करने वाले हो। खासकर स्ट्रेंथ ऑफ मटेरियल्स में। ठीक है? अब एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया को अगर आप
कैलकुलेट करना चाहते हो तो कैसे करोगे? तो लेट्स से दिस इज x एक्सिस एंड दिस इज y एक्सिस। ये कोई एरिया है जिसका हमें मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है। तो सबसे पहले हम क्या करेंगे? हम एक छोटा सा एक छोटा सा एरिया कंसीडर कर लेते हैं। लेट्स से ये एरिया इतना छोटा है कि ऑलमोस्ट एक पॉइंट पे कंसंट्रेटेड है। ठीक है? इस एरिया का x एक्सिस से डिस्टेंस जो है वो y है और y एक्सिस से डिस्टेंस जो है वो x है। ठीक है? एक सेकंड। तो मैं इस एरिया को बहुत छोटा कंसीडर कर रहा
हूं कि ऑलमोस्ट ये कंसंट्रेटेड है एक पॉइंट पे और उसका y एक्सिस से डिस्टेंस x है। x एक्सिस से डिस्टेंस y है। तो अगर मैं इस छोटे से एरिया का x एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालूंगा तो कितना आएगा? द मोमेंट ऑफ इनर्शिया ऑफ दिस वेरी स्मॉल एरिया अबाउट x एक्सिस विल बी इक्वल टू हाउ मच? इसका एरिया da है। औरकि ये इस पॉइंट पे कंसंट्रेटेड है जिसका डिस्टेंस यहां से y है। तो ये हो जाएगा y² * da एरिया * डिस्टेंस का स्क्वायर। सेकंड मोमेंट ऑफ एरिया यानी एरिया * डिस्टेंस का स्क्वायर। और
अगर मैं पूरे एरिया का निकालूंगा इस पूरे एरिया का तो यह हो जाएगा इंटीग्रेशन y² da है ना? ठीक है? सिमिलरली अगर मैं y एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालूंगा तो मेरे को क्या मिलेगा? y एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालोगे तो डिस्टेंस x हो जाएगा। तो इट विल बिकम इंटीग्रेशन x² da यूनिट क्या होगा? अगर मैं x एसआई यूनिट की बात करूं तो मीटर टू दी पावर 4 एसआई यूनिट विल बी मीटर टू दी पावर 4 क्योंकि एरिया का यूनिट मीटर स्क्वायर है। डिस्टेंस मीटर है तो ये भी मीटर स्क्वायर हो गया।
तो मीटर स्क्वायर * मीटर स्क्वायर मीटर टू दी पावर 4 ओके। अब यहां ध्यान देने की बात यह है कि हमने सिर्फ x और y एक्सिस लिए हैं। बट सर एक और एक्सिस भी है। कौन सा एक्सिस है? z एक्सिस है। राइट? अगर आप x एक्सिस और y एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालते हो तो उसको हम लोग i से डिनोट करते हैं। लेकिन जब हम z एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालते हैं तो उसका अलग नाम है। उसको हम अलग नोटेशन यूज करके दिखाते हैं। जिसको हम बोलते हैं पोलर मोमेंट ऑफ इनर्शिया।
इसको हम लोग j डिनोट करते हैं। ओके? अब सवाल यह है कि ऐसा क्यों सर? Z एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया अलग से क्यों? तो बेटा x और y एक्सिस जो है वह एरिया के पैरेलल एक्सिस हैं। आप देख सकते हो x एक्सिस एंड y एक्सिस दोनों इस एरिया के पैरेलल है। लेकिन अगर मैं z एक्सिस की बात करता हूं तो वो इस एरिया के परपेंडिकुलर एक्सिस है। सो इट्स अ कंप्लीटली डिफरेंट थिंग। उसका सिग्निफिकेंस भी अलग है। तो बेटा z एक्सिस के अबाउट जो मोमेंट ऑफ इनर्शिया होता है उसको पोलर मोमेंट ऑफ इनर्शिया
बोला जाता है। अब उसका अगर आप कैलकुलेशन करोगे तो क्या आएगा? ध्यान से देखिएगा। तो लेट्स से वी वांट टू कैलकुलेट मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट z एक्सिस। ठीक है? अब x और y एक्सिस से तो डिस्टेंस हम लोगों ने ले लिया। z एक्सिस से जो डिस्टेंस होगा वो यह वाला डिस्टेंस होगा। आपका z एक्सिस ये है। ठीक है? यहां से एरिया का डिस्टेंस जो है ये r है। लेट्स से। ठीक है? तो मैं यहां लिख सकता हूं r² = x² + y²। यह एक राइट एंगल ट्रायंगल बन रहा है। पाइथागोरस से लिख सकते हैं। r²
= x² + y² अब अगर मैं z एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालूंगा तो वो क्या हो जाएगा? इंटीग्रेशन r² da यानी इंटीग्रेशन x² + y² da अब इंटीग्रेशन x² da और इंटीग्रेशन y² da क्या होता है? ix और iy तो iz कैन बी रिटन ऐ ix + iy ठीक है? इसको हम लोग J से भी डिनोट कर सकते हैं। ओके? पोलर मोमेंट ऑफ इनर्शिया को J से डिनोट किया जाता है ताकि एक अंतर समझ में आए कि हां भैया ये पैरेलल एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया है। ये नॉर्मल एक्सिस के अबाउट मोमेंट
ऑफ इनर्शिया है। ठीक है? क्योंकि दोनों काफी डिफरेंट हो जाते हैं। अब मैं आपको सिग्निफिकेंस में अंतर समझा देता हूं। तो देखिए जब आप मोमेंट लगाते हो ना किसी बॉडी के ऊपर तो अगर आप पैरेलल एक्सिस के अबाउट मोमेंट लगाते हो जैसे ये x एक्सिस है पैरेलल एक्सिस है तो बॉडी बेंड होती है। y एक्सिस के अबाउट भी लगाओगे तो भी बॉडी बेंड होती है इन दोनों केसेस में। लेकिन अगर आप नॉर्मल एक्सिस के अबाउट मूवमेंट लगाते हो तो बॉडी ट्विस्ट होती है। तो ix और iy जो है वह बेंडिंग के अबाउट रेजिस्टेंस बताते हैं।
ix ज्यादा है बेंडिंग से रेजिस्टेंस ज्यादा है। iy ज्यादा है बेंडिंग से रेजिस्टेंस ज्यादा है। लेकिन जो j है iziz है वो ट्विस्टिंग के अबाउट रेजिस्टेंस बताता है। तो अगर j ज्यादा है मतलब यह ट्विस्टिंग को ज्यादा झेल सकता है। बात समझ में आ गई? चलिए। अब आ जाइए रेडियस ऑफ जरेशन के कांसेप्ट पे। तो रेडियस ऑफ जरेशन क्या होता है? देखिए, मान लीजिए हमारे पास एक एरिया है। ठीक है? इसका हमें इस एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है। अब वैसे तो मोमेंट ऑफ इनर्शिया हम सेकंड मोमेंट ऑफ एरिया बोलते हैं। यानी एरिया
* डिस्टेंस का स्क्वायर। बट बेटा यह जो एरिया है किसी एक सिंगल डिस्टेंस पर तो रखा नहीं है कि मैं सीधे एरिया * डिस्टेंस स्क्वायर करके इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकाल दूं। है ना? इसके अलग-अलग पार्टिकल्स जो हैं वो इस एक्सिस से अलग-अलग डिस्टेंस पे हैं। सबका डिस्टेंस अलग है। तो आप सीधे एरिया * डिस्टेंस स्क्वायर करके इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया अभी नहीं निकाल सकते। इसको इंटीग्रेट विटीग्रेट करके सॉल्व करना पड़ता है। बट इमेजिन करो कि यह जो पूरा का पूरा एरिया है एक पतली सी स्ट्रिप में कन्वर्ट हो गया है। ठीक है? पूरा एरिया
जो है लेट्स से यह एरिया A है। तो यह भी एरिया A है जो एक पतली सी स्ट्रिप में कन्वर्ट हो गया है। अब इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया इस एक्सिस के अबाउट मान लीजिए i है। और हमें इस स्ट्रिप का मोमेंट ऑफ इनर्शिया भी i रखना है। तो इस एरिया को इस एक्सिस से कुछ डिस्टेंस पे लेना पड़ेगा। इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया I है। इसका भी मेरे को I चाहिए। तो इस एरिया को इस स्ट्रिप को इस एक्सिस से जितने डिस्टेंस पे रखना पड़ेगा उसको हम इसका रेडियस ऑफ जरेशन बोलेंगे जिसको K से डिनोट किया
जाता है। अब इस एरिया का मोमेंट ऑफ इनर्शिया जितना ज्यादा होगा इसको उतने ज्यादा डिस्टेंस पे रखना पड़ेगा। यानी K की वैल्यू उतनी ज्यादा होगी। ठीक है? अब क्योंकि मैं अस्यूम कर रहा हूं कि पूरा का पूरा एरिया एक पतली सी स्ट्रिप में कन्वर्ट हो गया है। तो इस स्ट्रिप के सारे पार्टिकल्स का इस एक्सिस से डिस्टेंस K ही है। तो इस स्ट्रिप के लिए मैं सीधे मोमेंट ऑफ इनर्शिया लिख सकता हूं I = AK²। इसका मैं डायरेक्टली नहीं लिख सकता था। एरिया * डिस्टेंस का स्क्वायर क्योंकि इसके पार्टिकल जो है वो फैले हुए हैं।
बट इसके पार्टिकल्स कंसंट्रेटेड हैं। तो ये स्ट्रिप जो है इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया i क्या हो गया? a के² तो यहां से k क्या आ जाएगा? रूट ओवर i / a तो ये हो जाता है रेडियस ऑफ जइरेशन का फार्मूला। मैं आपको बता दूं रेडियस ऑफ जरेशन के ऊपर भी सवाल आ चुका है। ठीक है? एक एग्जांपल के लिए मान लीजिए एक कोई शेप दे दिया। जैसे एक जो क्वेश्चन एग्जाम में आया था उसमें क्या दे दिया था? एक स्क्वायर दे दिया था। उसका रेडियस ऑफ़ डायरेशन पूछ दिया था एक एक्सिस के अबाउट। तो आपको
i का फार्मूला पता होगा। a का फार्मूला पता होगा। तो आप k निकाल लोगे आराम से। ठीक है ना? तो इसके ऊपर भी डायरेक्ट क्वेश्चन आते हैं। अब सवाल उठता है रेडियस ऑफ जरेशन का सिग्निफिकेंस क्या है? इसकीेंस क्या है? तो रेडियस ऑफ जरेशन का अलग-अलग केस में अलग-अलगेंस है। जैसे आप कॉलम्स जब पढ़ोगे स्ट्रेंथ ऑफ मटेरियल में एक चैप्टर है कॉलम्स। तो उसमें सिलेंडरनेस रेशियो एक प्रॉपर्टी होती है कॉलम्स की। वहां आपको K का सिग्निफिकेंस समझ में आता है। शायद आप में से कुछ लोगों ने पढ़ा होगा। पढ़ा है आप लोगों में से किसी
ने? सिलेंडरनेस रेशियो जिसका फार्मूला होता है / K तो वो K क्या है? रेडियस ऑफ जरेशन। ठीक है? चलिए अब आ जाइए पैरेलल एक्सिस थ्योरम में जो कि बहुत इंपॉर्टेंट है। पैरेलल एक्सिस थ्योरम हम मोमेंट ऑफ इनर्शिया के कैलकुलेशन में यूज़ करते हैं। तो अभी मोमेंट ऑफ इनर्शिया के ऊपर जब हम लोग क्वेश्चंस बनाएंगे एग्जाम में क्वेश्चंस आ चुके हैं। गेट में वो वाले भी बनाएंगे। कुछ अलग क्वेश्चंस भी बनाएंगे। तो उन क्वेश्चंस को सॉल्व करते टाइम हर सवाल में आप पैरेलल एक्सिस थ्योरम लगाने वाले हो। तो इसको अच्छे से समझिएगा पैरेलल एक्सिस थ्योरम क्या
होता है? ठीक है? देखिए जब हम अभी मोमेंट ऑफ इनर्शिया के फार्मूले पढ़ेंगे ना तो हम मोमेंट ऑफ इनर्शिया के जो फार्मूले डिराइव करते हैं वो सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट डिराइव करके याद कर लेते हैं। सेंट्रोएडल एक्सिस मतलब वो एक्सिस जो सेंट्रोएड से पास हो रहा है। जैसे सेंट्रोएड से पास होने वाला x एक्सिस, सेंट्रोएड से पास होने वाला y एक्सिस। ठीक है? क्योंकि भाई हर एक्सिस के अबाउट आप मोमेंट ऑफ इनर्शिया का डेरिवेशन करके फार्मूला याद नहीं रख सकते ना। ऐसा थोड़ी है कि इस एक्सिस के अबाउट भी याद कर लो। इसके अबाउट भी
याद कर लो, इसके अबाउट भी याद कर लो। ऐसे तो अनगिनत एक्सिस हो जाएंगे। तो यूजुअली हमें मोमेंट ऑफ इनर्शिया की जो फार्मूले की जरूरत पड़ती है वो सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट पड़ती है। इसीलिए हम लोग सेंट्रोइडल एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया के फॉर्मूले डिराइव करके याद कर लेते हैं। सर्कल के लिए, स्क्वायर के लिए, रेक्टेंगल के लिए, ट्रायंगल के लिए। है ना? इन सबके फॉर्मूले हम याद कर लेते हैं। बट कभी-कभी आपको किसी दूसरे एक्सिस के अबाउट भी मोमेंट ऑफ इनर्शिया की जरूरत पड़ सकती है। डिपेंडिंग अपॉन द क्वेश्चन। भाई हर क्वेश्चन की
अपनी अलग डिमांड है। तो मान लीजिए एक एरिया है जिसका सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपको पता है। लेकिन आपको किसी दूसरे पैरेलल एक्सिस के अबाउट निकालना है। ये दोनों एक्सिस एक दूसरे के पैरेलल है। आपको xc के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया पता है। x के अबाउट निकालना है। इन दोनों के बीच का जो डिस्टेंस है वह d है। d इज द डिस्टेंस बिटवीन दीज़ टू पैरेलल एक्सिस। तो अकॉर्डिंग टू पैरेलल एक्सिस थ्योरम ix विल बी इक्वल टू ixc + ad² ठीक है? ix क्या होगा? इट विल बी इक्वल टू i अ xc
+ ad² वेयर a इज़ द एरिया ऑफ़ दिस एंड d इज़ द डिस्टेंस बिटवीन x एंड xc तो अगर xc के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया पता है तो x के अबाउट आप मोमेंट ऑफ इनर्शिया कैलकुलेट कर सकते हो। क्लियर है? अब यहां ध्यान देने वाली एक दो बातें हैं जो आपको याद रखनी है क्योंकि पैरेलल एक्सिस थ्योरम लगाते टाइम कई बार लोग गलतियां कर देते हैं। पहली चीज जब भी आप ये फार्मूला लगाओगे दो पैरेलल एक्सिस के अबाउट लगाओगे x और xc दोनों एक दूसरे के पैरेलल होंगे। ठीक है? दूसरी चीज xc हमेशा यहां आएगा।
मेरे कहने का क्या मतलब है? मान लीजिए आपको एक क्वेश्चन में ठीक है क्योंकि ऐसा क्वेश्चन जो है ना आ सकता है एग्जाम में मान लीजिए एक क्वेश्चन है ठीक है उसमें आपको x1 के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया पता है। ठीक है? x1 के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया दिया हुआ है। और x2 के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है। x1 और x2 दोनों सेंट्रोइडल एक्सिस नहीं है। ना तो x1 सेंट्रोएडल एक्सिस है ना तो x2 सेंट्रोएडल एक्सिस है। सेंट्रोइडल एक्सिस xc है। ठीक है? तो x1 के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया पता है। x2 के अबाउट
निकालना है। तो कुछ लोग क्या गलती करते हैं पता है? IX1 इज सॉरी ix2 = IX1 + A * D1 + D2 स्क्वायर ऐसा कर देते हैं। क्या ये सही होगा? नहीं, ये गलत है। ठीक है? आप सीधे X1 और X2 के बीच में पैरेलल एक्सिस थ्योरम नहीं लगा सकते। आप x1 और xc के बीच में लगा सकते हो। x2 और xc के बीच में लगा सकते हो। तो सबसे पहले आपको ix1 यूज़ करके ixc निकालना पड़ेगा। अब यहां भी गड़बड़ करते हैं बच्चे। क्या करते हैं पता है? ixc = ix1 + ad1² मुझे ix1
पता है। ix निकालना है। सीधे यह लगा दिया। भाई यह भी गलत है। आपको जब भी पैरेलल एक्सिस थ्योरम लगाना है यहां पर हमेशा सेंट्रोइडल एक्सिस आना चाहिए। तो ix1 विल बी इक्व ixc + ad1² तो यहां आप ix1 रखोगे और ixc निकाल लोगे। एक बार ixc आ गया तो फिर ix2 विल बी इक्व ixc + a * d² सो दिस इज करेक्ट दिस इज करेक्ट ठीक है ना तो यहां हमेशा क्या होना चाहिए सेंट्रोइडल एक्सिस होना चाहिए ठीक है तभी आप ये फार्मूला अप्लाई कर सकते हो ओके तो इसमें कई लोग गड़बड़ करते हैं।
अगर ये क्वेश्चन एग्जाम में आ गया कंसेप्चुअल क्वेश्चन कि x1 के अबाउट दे दिया, x2 के अबाउट पूछ दिया तो मुझे लगता है कि आधे से ज्यादा लोग इस सवाल में गलतियां करेंगे। ओके? चलिए, अब देखिए, मोमेंट ऑफ इनर्शिया के ऊपर जो सवाल आते हैं, उनको सॉल्व करने के लिए कुछ फार्मूलों की जरूरत पड़ेगी। कुछ बेसिक शेप्स हैं जिनके मोमेंट ऑफ इनर्शिया का फार्मूला आपको याद रखना है। जैसे सबसे पहला है रेक्टेंगल। सबसे ज्यादा जो सवाल आते हैं वो रेक्टेंगल्स के ऊपर आते हैं। तो रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया का फार्मूला देख लीजिए। तो मान
लीजिए एक रेक्टेंगल है। बेस उसका B है। हाइट उसकी H है। ओके? सेंट्रोइडल एक्सिस जो है उसके अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया का फार्मूला क्या हो जाता है? तो अगर आप ix निकालोगे x के अबाउट इट विल बी bh /1 और iy निकालोगे तो hb / 12 ठीक है? सो फॉर अ रेक्टेंगल द मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट सेंट्रोइडल एक्सिस इज bh /1 एंड hb / 12 मैं आपको टाइम दूंगा ताकि आप ये फार्मूले लिख सको लिखने लिखना चालू कर दो ठीक है क्योंकि अभी हम लोग कैलकुलेशंस करेंगे तो यू विल नीड दिस मोमेंट ऑफ इनर्शिया ठीक
है? नेक्स्ट इज सर्कल। सो लेट्स से एक सर्कल है जिसका डायमीटर d है। अब सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया x और y दोनों के अबाउट सेम ही आएगा। है ना? व्हाट विल बी द मोमेंट ऑफ इनर्शिया? ix एंड iy बोथ विल बिकम π / 64d टू दी पावर 4 कुछ जगहों पे रेडियस के टर्म्स में भी दिया रहता है। बट मैं हमेशा डायमीटर के टर्म्स में ही याद रखता हूं। तो डायमीटर के टर्म्स में मोमेंट ऑफ इनर्शिया इज़ π / 64 d टू दी पावर 4। अब यह तो हो गया सॉलिड सर्कल का। अगर आप
होलो सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालते हो तो कैसे निकलेगा? तो देखिए जब भी किसी ऐसे होलो का मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है तो आप क्या कर सकते हो? इस बड़े सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया माइनस छोटे सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया। है ना? तो ऐसे निकाला जा सकता है। सो ix एज वेल एज iy तो बड़े सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया हो गया π / 64 d पावर 4 छोटे का हो गया π / 64 di टू दी पावर 4 दोनों को सबट्रैक्ट कर दो। सो यू आर गोइंग टू गेट द मोमेंट ऑफ इनर्शिया
ऑफ़ दिस एरिया होलो सर्कुलर एरिया। ठीक है? अब ट्रायंगल की बारी। सो लेट्स से यू हैव अ राइट एंगल ट्रायंगल। ठीक है? राइट एंगल ट्रायंगल का जो सेंट्रोएड होता है वो H/ 3B/3 डिस्टेंस पे आता है। दिस इज़ B. दिस इज़ H. ओके? इसका जो सेंट्रोएड होता है कहां पर आता है? सेंट्रोइडल एक्सिस जो है वो B/3 और H/3 पे होता है। ये याद रखिएगा। दिस इज़ B/ 3 दिस इज़ H / 3. ठीक है? तो सेंट्रोइडल x एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया हो जाता है bh / 36 एंड सेंट्रोएडल y एक्सिस के अबाउट
हो जाता है hb / 36 ओके सेंट्रोएडल x एक्सिस के अबाउट bh / 36 सेंट्रोएडल y एक्सिस के अबाउट hb / 36 चलिए अब यह हो गया आइसोसेल्स ट्रायंगल। आइसोसेल्स ट्रायंगल मतलब कि इसके जो दो साइड्स हैं वो इक्वल है। लेट्स से दिस इज़ B. ये A है। ये A है। दिस टोटल हाइट इज़ h. इसका सेंट्रोएड जो है वह बेस से h / 3 डिस्टेंस पे होता है। कितने डिस्टेंस पे होता है? h/3 डिस्टेंस पर होता है। इसका आपको x के अबाउट ही मोमेंट ऑफ इनर्शिया बस याद रखना है। इसका y एक्सिस के अबाउट
मोमेंट ऑफ इनर्शिया का जरूरत नहीं है। अगर y एक्सिस के अबाउट निकालना है तो दो राइट एंगल ट्रायंगल बना लेना इसको। वैसे जरूरत कभी पड़ेगी नहीं। ठीक है? तो x एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया भी वही bh / 36 तो राइट एंगल ट्रायंगल आइसोसेल्स ट्रायंगल ठीक है तो बेटा ये कुछ फार्मूले हैं जो आपको याद रखने हैं। दैट्स ऑल। ओके? इसके अलावा एक और मैं बता देता हूं आपको सेमी सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया। क्योंकि ये भी आपको आज नहीं तो कल कभी जरूरत पड़ सकती है। हो सकता है किसी सवाल में आपको सेमी
सर्कल के मोमेंट ऑफ इनर्शिया की जरूरत पड़ जाए। तो सेमी सर्कुलर एरिया का मोमेंट ऑफ इनर्शिया लेकिन कौन से एक्सिस के अबाउट? इस x एक्सिस के अबाउट। ठीक है? ये जो बेस है ना इसके अबाउट? इसके सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया नहीं याद रखना है। ठीक है ना? सेंट्रोइडल एक्सिस जो होगा वो कितने डिस्टेंस पर होगा? तो इसका जो सेंट्रोएड होता है ना वो 4r / 3π डिस्टेंस पे होता है। सेमी सर्कल का जो सेंट्रोएड है 4r/ 3π पे होता है। तो अपन सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट नहीं देख रहे हैं। तो ये बेस
वाला जो एक्सिस है इसके अबाउट होता है π/ 128d टू दी पावर 4 अगर सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट निकालना है तो आप पैरेलल एक्सिस थ्योरम लगा लो ठीक है ना तो बेस एक्सिस के अबाउट π / 64 के का आधा हो जाता है π / 128 d टू दी पावर 4 ओके चलिए अब आते हैं सवालों पे सबसे पहला सवाल ये है मोमेंट ऑफ इनर्शिया ऑफ़ एरिया AB CD EF एक L शेप का एरिया है। अबाउट एक्सिस KK इज़ इस K के एक्सिस के अबाउट इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है। फटाफट से डायग्राम बना लीजिए।
इसके बाद कैलकुलेशंस हम लोग स्टार्ट करेंगे। मोमेंट ऑफ इनर्शिया ऑफ AB CD EF अबाउट KK एक्सिस। अब सबसे पहला काम आपको क्या करना है? देखिए, ये जो L शेप है, इसका मेरे पास कोई फार्मूला तो है नहीं। मेरे पास रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया का फार्मूला है। तो, हम क्या करेंगे? इसको दो रेक्टेंगल में ब्रेक कर देंगे। है ना? अगर मैं यहां से इसको स्प्लिट कर दूं। तो यह एक रेक्टेंगल हो जाएगा। ठीक है? एंड ये दूसरा रेक्टेंगल हो जाएगा। ठीक है? अब इन दोनों रेक्टेंगल्स का सेंट्रोएड कहां पर होगा? दिस विल बी C1 दिस
विल बी C2 है ना? ये पहले वाले रेक्टेंगल का सेंट्रोइडल y एक्सिस है। ये दूसरे वाले रेक्टेंगल का सेंट्रोएडल y एक्सिस है। क्योंकि आपको y एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया चाहिए ना। तो यह पहले वाले के सेंट्रोएड का y एक्सिस है। यह दूसरे वाले के सेंट्रोएड का y एक्सिस है। आपको इन दोनों रेक्टेंगल्स के मोमेंट ऑफ इनर्शिया का फार्मूला पता है अबाउट दिस एक्सिस। जैसे ये पहला वाला जो रेक्टेंगल है, इसके मोमेंट ऑफ इनर्शिया का फार्मूला इस एक्सिस के अबाउट पता है। बट निकालना किसके अबाउट है? इस एक्सिस के अबाउट। तो क्या कीजिएगा? पैरेलल
एक्सिस थ्योरम लगा दीजिएगा। तो इन दोनों के बीच का डिस्टेंस क्या है बेटा? व्हाट इज दिस? लेट मी कॉल इट D1? क्या होगा ये डिस्टेंस? यहां से यहां तक का डिस्टेंस 100 है। इसकी थिकनेस 40 है। उसका आधा 20 हो जाएगा। तो ये 120 हो जाएगा क्या? यहां से यहां तक का डिस्टेंस 100 दिया हुआ है और यह जो इसकी विड्थ है यह 40 है ना तो यह 20 हो जाएगा। तो यहां से यहां तक का डिस्टेंस 120 सिमिलरली ये जो सेकंड वाला रेक्टेंगल है इसके सेंट्रोइडल y एक्सिस से यहां तक का डिस्टेंस इसको मैं
d2 बोल देता हूं। तो यह 100 है। इसकी विड्थ 240 है। उसका आधा 120 हो जाएगा। तो यह 220 है ना? तो I अबाउट KK विल बी इक्वल टू i1 + i2 है ना? तो i अबाउट KK विल बी इक्वल टू सबसे पहले फर्स्ट वाले रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट दिस एक्सिस। P1 से जो पास हो रहा है वह एक्सिस। फार्मूला क्या होगा? hb / 12 है ना? H b h कितना है? 120 b कितना है? 40 तो 120 * 40 / 12 लेकिन अभी जो आया है वो इस एक्सिस के अबाउट आया है।
अपने को निकालना किसके अबाउट है? KK के अबाउट। व्हिच इज पैरेलल टू दिस एक्सिस। इन दोनों के बीच का डिस्टेंस 120 इसका एरिया हो जाएगा 120/40 तो एरिया * डिस्टेंस का स्क्वायर सिमिलरली जो सेकंड रेक्टेंगल है इसका इस एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया हो जाएगा hb / 12 h हो गया 40 b हो गया 240 तो 40 * 240 / 12 + एरिया 40 * 240 और इस एक्सिस से इस एक्सिस का डिस्टेंस 220 उसका स्क्वायर। सो i अबाउट KK विल बी इक्वल टू हाउ मच? फर्स्ट वाले का मोमेंट ऑफ इनर्शिया प्लस सेकंड वाले
का मोमेंट ऑफ इनर्शिया। जल्दी से बता दो कितना आ रहा है। 5 80 4800 mm टू दी पावर 4 क्योंकि ये एमएम m में दिया हुआ है। तो इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया mm टू दी पावर 4 आएगा। तो दिस इज़ द मोमेंट ऑफ इनर्शिया ऑफ दिस कंप्लीट एरिया अबाउट KK एक्सिस। वेरी गुड विभु। अच्छा नहीं विभू का तो आंसर गलत आ रहा है। 5804800 ठीक है। क्लियर है? कैलकुलेशन मिस्टेक हो सकती है कहीं पर भी तो आप लोग डबल चेक जरूर कीजिएगा इस कैलकुलेशन को क्योंकि यूजुअली कहीं ना कहीं आप कुछ गलत वैल्यू रख देते
हो एंड द एंटायर आंसर विल बिकम रॉन्ग। चलिए मैंने भी डबल चेक कर लिया है। माय सॉल्यूशन इज़ करेक्ट। 5804800 mm टू दी पावर 4। आई होप यह क्लियर होगा। मैं एक बार रिककैप कर देता हूं। सबसे पहले हमने इनको दो रेक्टेंगल में ब्रेक कर दिया। इन दोनों रेक्टेंगल का इनके सेंट्रोइडल एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया हमें पता है। इनके सेंट्रोएडल एक्सिस से इस एक्सिस का डिस्टेंस हम निकाल लिए। देन वी अप्लाइड पैरेलल एक्सिस थ्योरम वी गॉट द आंसर। ओके? अब ये गेट 2012 में आया था। नहीं 2012 में नहीं आया है यार। है
तो उसके भी बाद में 2000 212 का भी आया है यह शायद सवाल ठीक है ना एक बार मैं देख लेता हूं ईयर गलत हो गया तब तक आप लोग सवाल जो है वो नोट कर लीजिए ये गेट 2023 का सवाल है सॉरी वही मैं बोलूं यह तो रिसेंटली आया था गेट 2023 का सवाल है मतलब अभी 2 साल पहले ही आया है यह सवाल ठीक है ना तो फटाफट से इसको सॉल्व करते हैं। क्या बोल रहा है? एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट द y एक्सिस ऑफ अ लीनियरली टेपर्ड सेक्शन शोन इन फिगर इज तो
ये एक लीनियरली टेपर्ड फिगर है। इसका मुझे मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है y एक्सिस के अबाउट। ओके? चलिए अब टेपर्ड एरिया का भी कुछ तो भी फार्मूला होता है लेकिन उतना याद करने की जरूरत नहीं है। क्यों? क्योंकि इसको हम लोग क्या कर सकते हैं? देखो ये ऐसा रेक्टेंगल हो गया और एक ट्रायंगल हो गया। है ना? अब देखो अपने को है ना जो एरिया दिया हुआ है सिमिट्रिक है। अपने को दोनों का निकालने की जरूरत नहीं है। अपन क्या करेंगे? ध्यान से देखिएगा। एक ये एरिया ब्लू वाला और एक ये एरिया येलो वाला। एक
रेक्टेंगल हो गया। एक ट्रायंगल हो गया। इतने का निकालेंगे और उसको डबल कर देंगे। क्योंकि भैया यह सेंटर के ऊपर का जो एरिया है इसका y एक्सिस से जितना मोमेंट ऑफ इनर्शिया आएगा सेंटर के नीचे वाले का भी y एक्सिस के अबाउट उतना ही मोमेंट ऑफ इनर्शिया आएगा। अब मैं आपको बता दूं इसको सॉल्व करने का सिर्फ एक सही तरीका नहीं है। आप इसको अलग-अलग तरीके से अपने हिसाब से सॉल्व कीजिए। मैं अपने हिसाब से सॉल्व करूंगा। ओके? तो मेरा यह आईडिया है कि मैं आधे का निकालूं फिर उसको टू से मल्टीप्लाई कर दूं। और
उसके लिए मैंने क्या किया? इसको एक रेक्टेंगल और एक ट्रायंगल में ब्रेक कर दिया। ओके? अब देखिए जो रेक्टेंगल होता है उसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया सेंट्रोएड के अबाउट होता है। HB / 12 अगर मैं y एक्सिस के अबाउट देखूं। अब यह जो एक्सिस है यह इसके आप बोल सकते हो कि एज से पास हो रहा है। इसका डायरेक्ट फार्मूला हो जाता है hb / 3 अगर ये इस एज से पास हो रहा होता तो bh / 3 होता। इस एज के अबाउट होता है hb / 3 आप चाहो तो याद कर सकते हो नहीं तो
आप पैरेलल एक्सिस थ्योरम लगा लो ना भाई क्या दिक्कत है ओके तो रेक्टेंगल का तो डायरेक्टली आ जाएगा hb / 3 से नहीं भी तो आप सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट निकाल लो। चलो मैं सेंट्रइडल एक्सिस के अबाउट निकाल ही लेता हूं। तो इसको दो एरिया में डिवाइड कर देते हैं। लेट्स से दिस इज फर्स्ट एंड दिस इज सेकंड। ओके। यह फर्स्ट वाले का सेंट्रॉयड, यह सेकंड वाले का सेंट्रोएड। तो फर्स्ट वाले का सेंट्रोएडल एक्सिस ये है। सेकंड वाले का सेंट्रोइडल एक्सिस ये है। फर्स्ट वाले के सेंट्रोएडल एक्सिस से यहां तक का डिस्टेंस कहां होगा भैया?
इसका बेस कितना है? 12 मीटर है। तो ये 6 मीटर होगा। सेकंड वाले के सेंट्रोइडल एक्सिस से यहां तक का डिस्टेंस हो जाएगा 2b/3 ठीक है ना? यह टोटल b है ना 12 तो ये 2 * 12 / 3 हो जाएगा। ठीक है ना? 2b / 3 b / 3 तो बेटा ये कितना हो गया? आठ। ओके? नाउ i अबाउट y एक्सिस अपने को निकालना है। तो सबसे पहले तो टू से मल्टीप्लाई क्योंकि हम इस आधे का मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकाल के उसको डबल कर रहे हैं ना। तो सबसे पहले तो टू से मल्टीप्लाई। अब
रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया उसके सेंट्रोएड के अबाउट कितना होगा? hb / 12 h कितना हो गया इसका? 1.5 B हो गया 12 तो 1.5 * 12 / 12 प्लस एरिया इंटू यहां से लेके यहां तक का डिस्टेंस 6 ठीक है देन ट्रायंगल का कितना हो जाएगा इस एक्सिस के अबाउट HB / 36 तो H कितना है बेटा 1.5 B है 12 तो 1.5 * 12 / 36 प्लस एरिया कितना हो जाएगा इसका? 1/2 * बेस * हाइट मल्टीप्लाई बाय यहां से लेके यहां तक का डिस्टेंस आठ। तो यहां से मोमेंट ऑफ इनर्शिया आ जाएगा
y एक्सिस के अबाउट। ठीक है ना? तो, यह हो गया आपका 1.5 * 12² + 1.5 * 12 * 6² + 1.5 * 12 / 36 + 3 24 मीटर पावर 4 इतना आ रहा होगा। एक बार चेक कर लीजिएगा। 3024 मीटर टू दी पावर 4। राइट? मैं एक बार रिककैप कर देता हूं कि मैंने क्या किया। पहले मैंने क्या किया? आधे का मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकाल के उसको डबल करने का सोच लिया। इसलिए मैंने यहां टू मल्टीप्लाई किया। ठीक है ना? फिर मैंने इस आधे को एक रेक्टेंगल में ब्रेक किया और एक ट्रायंगल में
ब्रेक किया। रेक्टेंगल का सेंट्रोएड ये है। ट्रायंगल का सेंट्रइड ये है। रेक्टेंगल का तो सेंटर पे आता है। ट्रायंगल राइट एंगल ट्रायंगल है ना। तो ये 2b/ 3 ये b / 3 तो 2b/3 बोले तो 8 मीटर। बस उसके बाद तो फॉर्मूले तो दोनों के पता ही है। इसका hb / 12 इसका hb / 36 ठीक है? आ रहा है क्या? एक बार कंफर्म कीजिएगा। गेट 2023 का सवाल है। 2 साल पहले ही आया है। दो मार्क का क्वेश्चन था। ओके। चलिए आगे बढ़े। यह भी गेट का ही सवाल है। गेट 2015 में आया था
और दो मार्क के लिए आया था। ठीक है? इसमें होलो एरिया भी दिया हुआ है। तो जब होलो एरिया का मोमेंट ऑफ इनर्शिया लोगे तो नेगेटिव ले लोगे। ठीक है ना? तो क्या दिया हुआ है? द वैल्यू ऑफ़ मोमेंट ऑफ इनर्शिया ऑफ द सेक्शन शोन इन फिगर अबाउट द एक्सिस x एक्सिस। इस एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है। एक कंप्लीट रेक्टेंगल है। उसमें दो होलो रेक्टेंगल है। तो आपको आईडिया तो लग ही गया होगा कि करना क्या है। कंप्लीट रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया तो आप निकाल लोगे सीधे-सीधे bh /1 करके। है ना?
होलो रेक्टेंगल का उसके सेंट्रोएड के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकाल के दो से मल्टीप्लाई कर देना। सॉरी पैरेलल एक्सिस थ्योरम लगा देना। अब चूंकि इन दोनों होलो रेक्टेंगल्स का x-एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया सेम आएगा। क्योंकि यह भी उतना ही बड़ा है। ये भी उतना ही बड़ा है। ये भी उतने ही डिस्टेंस पे रखा है। ये भी उतने ही डिस्टेंस पे रखा है। तो होलो रेक्टेंगल में से किसी एक का निकाल के दो से मल्टीप्लाई कर दो। दोनों का निकालने की जरूरत नहीं है। किसी एक का निकालो। दो से मल्टीप्लाई कर दो। तो सबसे
पहले तो इस होलो रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया इसके एक्सिस के अबाउट निकाल लेते हैं। इसका एक्सिस बोले तो उसका जो सेंट्रोएडल एक्सिस है उसके अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया क्या होगा? होलो रेक्टेंगल का। इसका सेंट्रोएडल एक्सिस यह होगा ना? और यहां से यहां तक का डिस्टेंस कितना है बेटा? व्हाट इज दिस डिस्टेंस? ये 15 है। ठीक है? ये 30 है। दिस डिस्टेंस इज़ 30. तो दिस विल बी 15. तो 15 + 15 30. ठीक है ना? दिस इज 30 तो यह हो जाएगा आपका 15 और यह भी 15 तो 15 + 15 दिस टोटल डिस्टेंस
इज़ 30 है ना? सो नाउ आई विल कैलकुलेट मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट x एक्सिस। तो कंप्लीट रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया कितना हो गया? bh /1 तो b हो गया इसका 60 हाइट हो गई 120 / 12 है ना माइनस टू से पहले मल्टीप्लाई क्योंकि मैं एक होलो का निकाल के दो से मल्टीप्लाई कर दे रहा हूं। अब ये वाला जो होलो है इसका बेस के अबाउट इसके सेंट्रोएडल एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया कितना आएगा? बेस हो गया 30, हाइट हो गई 30। बेस भी 30 है, हाइट भी 30 है। ठीक है ना? तो
30 * 30 / 12 प्लस एरिया हो गया 30 * 30 और डिस्टेंस भी 30 बहुत सारे 30 हो गए हैं। तो कितना आ जाएगा मेरे दोस्त? 60 * 120 / 12 - 2 * 30 * 30 / 12 + 30 * 30 * 30² 688 500 mm पावर 4 जल्दी से देख लेते हैं आंसर मैच कर रहा है कि नहीं 688 500 mm टू दी पावर 4 तो ऐसा कुछ तो भी है। है ना? अगर हम इसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया ऐसे निकाल लें 6.885 * 10 टू दी पावर 6 हो जाएगा ना ये? यस।
तो 6.885 * 10 पावर 6 यानी बी इज द करेक्ट आंसर। मैच कर रहा है अपना आंसर बी से। है ना? क्लियर है? तो ये आसान सवाल था। इसमें एक सॉलिड रेक्टेंगल और दो होलो रेक्टेंगल दिए हुए थे। तो सॉलिड रेक्टेंगल का सीधे आ गया bh /1। दो में से किसी एक होलो रेक्टेंगल का हम लोग निकाल लेंगे। दो से मल्टीप्लाई कर देंगे तो 2 * इस होलो रेक्टेंगल का इस एक्सिस के अबाउट हो गया bh /1 और इन दोनों के बीच का डिस्टेंस 30 यस वेरी गुड तो गेट 2015 दो मार्क का क्वेश्चन था
बड़ा आसान सा अब ये गेट 2016 में आया था मतलब देख रहे हो आप लगातार दो साल आ गया एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया के ऊपर क्वेश्चन ठीक है ना तो 2024 और 25 में तो शायद नहीं आया है तो 2026 में आ सकता है। ओके? द फिगर शोज़ क्रॉस सेक्शन ऑफ़ अ बीम सब्जेक्टेड टू बेंडिंग एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट इट्स बेस। तो आपको इस बेस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया पूछा है। मैंने आपको क्या बोला था? रेक्टेंगल का बेस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया का डायरेक्ट फार्मूला है bh / 3. आप याद रख सकते
हो तो याद कर लो। या फिर आप पैरेलल एक्सिस थ्योरम भी लगा सकते हो। है ना? तो अगर मैं इस एक्सिस के अबाउट निकालता हूं तो bh /12 होता है। इस एक्सिस के अबाउट हो जाता है bh / 3 ठीक है? तो आपको इस बेस के अबाउट ही पूछ रहा है। अब देखो यहां पे आपको एक कंप्लीट रेक्टेंगल दिया है। जिसमें दो होलो सेमी सर्कुलर कट आउट्स हैं। है ना? दो सेमी सर्कुलर कट आउट्स हैं। बट अपने को इस एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया पूछा है ना। तो अच्छी बात ये है कि इन दोनों
सेमी सर्कुलर कट आउट्स को आप जोड़ के एक सर्कुलर कट आउट बना सकते हो। बना सकते हो क्या? यहां पे आपको जो दो सेमी सर्कुलर कट आउट दिए हैं इनको जोड़ोगे तो एक सर्कुलर कट आउट बन जाएगा लाइक दिस। सो दिस विल बी इक्वल टू दिस अकॉर्डिंग टू अस। मतलब अपने को इस बेस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है ना। तो बेस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया आप इस केस में निकालो या इस केस में निकालो। आंसर एक ही आना है। ठीक है ना? तो बेटा इसको मैं बोल देता हूं x ix निकालना है
तो रेक्टेंगल का तो हो गया सीधेसीधे bh / 3 अब ये जो सर्कल है इसका डायमीटर एट है और इसका जो सेंट्रोइडल एक्सिस है वहां से लेके बेस तक का डिस्टेंस कितना होगा व्हाट व्हाट विल बी दिस डिस्टेंस? तो बेटा ये सेंटर पे है एकदम आप अगर देखोगे ना एकदम सेंटर पे है तो ये फाइव हो जाएगा। है ना? सब कुछ एमएम में दिया हुआ है। ठीक है ना? सो i अबाउट x एक्सिस विल बी इक्वल टू सबसे पहले रेक्टेंगल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया bh / 3 किसी को नहीं याद है आप पैरेलल एक्सिस थ्योरम
लगा लो बेटा कोई दिक्कत वाली बात नहीं है ये मत सोचना कि सर आप बार-बार इतने सारे कैसे फार्मूला याद कर कोई दिक्कत वाली बात नहीं है आप इतने फ़ूले नहीं याद कर पा रहे हो मैं एक्सपेक्ट भी नहीं करता आप पैरेलल एक्सिस थ्योरी लगा लो तो bh / 3 मुझे याद है तो मुझे तो करने दो तो b h / 3 माइनस सर्कल का मोमेंट ऑफ इनर्शिया π / 64 d टू दी पावर 4 लेकिन वो आएगा इस एक्सिस के अबाउट यहां से यहां तक का डिस्टेंस फाइव है तो πr² एरिया हो गया इंट
इंट डिस्टेंस का स्क्वायर। ठीक है? तो यहां से ix कितना आ रहा है बेटा? यह कैसे हो गया? ओके एक गड़बड़ कर दी थी मैंने छोटी सी 1875 1887563 एमएम टू दी पावर 4 आई एम गेटिंग दिस आंसर 187563 mm पावर 4 आर यू गेटिंग दिस 1875 63 एक बार मैं कंफर्म कर लेता हूं। तो टोटल का हो गया b 10 h 10 तो b h / 3 यहां देखो बेस और हाइट दोनों 10 10 है। ये दिख नहीं रहा है 10 लेकिन ये 10 ही है। ठीक है ना? तो 10 * 10 /3 -
π/64 पावर 4 प्लस एरिया हो गया πr² r इसका रेडियस इसका चार है इंटू डिस्टेंस 5 1875.63 mm टू दी पावर 4 ओके। सो दिस इज़ द मोमेंट ऑफ इनर्शिया अबाउट दिस बेस गेट 2016 मैकेनिकल। डायग्राम ना गलत दिया हुआ है। डायग्राम में यह भी 10 ही है। तो थोड़ा ऐसा होना चाहिए था। थोड़ा स्क्वायरिश होना चाहिए था। ठीक है भाई। टू द स्केल है। ऐसा तो हमने बोला भी नहीं है ना। चलिए अगले सवाल पर चलते हैं। अगला अच्छा अगला सवाल नहीं है। अगला कांसेप्ट है। तो अब आ जाइए मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया पे।
एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया पे देखिए गेट के सवाल हम लोगों ने कर लिए। गेट में किस तरीके के सवाल आते हैं आपको समझ में आ गया है। है ना? 2 साल से आया नहीं है। तो इस साल आ सकता है। 2026 में आ सकता है एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया के ऊपर क्वेश्चन। अब आ जाइए मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया पे। देखिए एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया और मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया दोनों कांसेप्ट काफी मिलते-जुलते हैं। कैसे मिलते-जुलते हैं? एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपको बताता है कि कोई एरिया किसी एक्सिस से कितना दूर तक फैला है। एरिया एक्सिस
से जितना दूर फैला होगा उसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया उतना ज्यादा होगा। मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया भी लगभग यही चीज बताता है अबाउट मास। मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपको बताता है कि किसी बॉडी का मास किसी एक्सिस से कितना दूर तक फैला। मास एक्सिस से जितना दूर तक फैलेगा उसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया उतना ज्यादा होगा। अब आप बोलोगे कि सर जितना दूर एरिया फैला रहेगा मास भी तो उतना ही दूर फैला रहेगा। तो बेटा देखिए एरिया टू डायमेंशनल है। मास थ्री डायमेंशनल होगा। क्योंकि बॉडी थ्री डायमेंशनल है ना? तो उसका थ्री डायमेंशनल आपको पूरा प्रॉपर्टी कंसीडर
करना पड़ेगा। सो ये डिफरेंस आ गया। दूसरी चीज इनका सिग्निफिकेंस अलग-अलग जगह पे है। जहां एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपको बताता है कि कोई बॉडी बेंडिंग या ट्विस्टिंग को कितना रेजिस्ट करेगी। मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपको बताता है कि कोई बॉडी रोटेशन को कितना रेजिस्ट करेगी। जब आप किसी बॉडी को घुमाते हो उसको घुमाने के लिए आप उसके ऊपर मोमेंट लगाते हो टॉर्क लगाते हो उस टॉर्क को वो बॉडी कितना रेजिस्ट करेगी जितना ज्यादा उसका रेजिस्टेंस होगा उसका उतना कम एक्सीलरेशन होगा वो उतनी कम एक्सलरेट होगी एक सिंपल से एग्जांपल से आपको समझाता हूं मान
लीजिए एक इंक्लाइंड प्लेन है ठीक है ना? इस इंक्लाइंड प्लेन के ऊपर से हम एक सॉलिड स्फीयर को नीचे गिरा रहे हैं एक बार। और दूसरी बार एक होलो स्फीयर को नीचे गिरा रहे हैं। ठीक है? एक बार सॉलिड स्फीयर को और दूसरी बार एक होलो स्फीयर को नीचे गिरा रहे हैं। दोनों का मास सेम है। ठीक है? सॉलिड स्फीयर का मास मान लीजिए 10 किलो है। होलोस्फीयर का मास भी 10 किलो है। दोनों नीचे गिर रहे हैं। अब आपको बोला जाता है कि पहले कौन नीचे गिरेगा? तो जो जितना तेजी से आएगा वो उतना
जल्दी आएगा। है ना? तेजी से कौन आएगा? जिसका एक्सीलरेशन ज्यादा होगा। है ना? तो बेटा कौन ज्यादा एक्सलरेट करेगा? तो यहां मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया पिक्चर में आ जाएगा। ओके? जिसका मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया जितना ज्यादा होगा वो उतना कम एक्सीलरेट करेगा। ठीक है ना? यहां पे फार्मूला हो जाता है। m = i अल्फा। ठीक है? यह न्यूटन का लॉ है। जैसे f = ma है ना। f की जगह आ गया मोमेंट m मास की जगह आ गया मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया और लीनियर एक्सीलरेशन की जगह आ गया एंगुलर एक्सीलरेशन। ये आप काइनेटिक्स में पढ़ोगे
आगे जाके। तो अभी टेंशन मत लेना। मेरा बोलने का मतलब ये है कि दोनों पे मोमेंट मैं अगर सेम लगा रहा हूं तो जिसका I ज्यादा होगा उसका अल्फा कम होगा। उसका एक्सीलरेशन कम होगा। तो I किसका ज्यादा होगा? किसका मास एक्सिस से दूर तक फैला है? इसका मास एक्सिस से दूर तक फैला है। इसका i ज्यादा होगा तो ये देरी से नीचे आएगा। इसका अल्फा कम हो जाएगा तो ये देरी से नीचे आएगा। ये जल्दी-जल्दी लुड़केगा। इसका रेजिस्टेंस कम है। पटपट पटपट करके लुड़केगा और ये जल्दी आ जाएगा। ओके? सो इफ दिस इज वन
दिस इज टू तो i1 या i2 इज ग्रेटर देन i1 क्लियर है? ठीक है? जिसका मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया जितना ज्यादा होगा उसका एक्सीलरेशन उतना कम होगा। वो उतना धीरे-धीरे नीचे उतरेगा। ओके? सो दिस इज़ द सिग्निफिकेंस ऑफ़ मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया। आपको मैं इसका प्रैक्टिकल एग्जांपल देता हूं। आपने बेले डांस देखा होगा या फिर आई स्केटिंग देखी होगी। आई स्केटिंग करते-करते लोग डांस करते हैं। उसको भी देखा होगा आप लोगों ने टीवी वगैरह पे। तो आपने देखा होगा कि जब डांसर को गोल-गोल घूमना होता है। है ना? उन लोग ऐसा जंप लेते हैं और
ऐसा गोल-गोल घूमते हैं अपने एक्सेस के अबाउट तो वह क्या कर लेते हैं? अपनी बॉडी को ना ऐसा सिकोड़ लेते हैं। अपने हाथों को ऐसा कर लेते हैं। इससे उनका मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया कम हो जाता है। तो उनका रेजिस्टेंस टू रोटेशन कम हो जाता है। वो तेजी से स्पिन करते हैं। फिर जब उनको रुकना होता है तो वो अपने हाथों को फैला लेते हैं। जब वो अपने हाथों को फैलाते हैं तो उनका मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया बढ़ जाता है। रेजिस्टेंस बढ़ जाता है। उनका एक्सीलरेशन कम हो जाता है। स्पीड कम हो जाती है। है
ना? तो तेजी से घूमना है तो मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया को कम कर लिया अपने हाथों को ऐसे करके और रुकने के लिए मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया को बढ़ा लिया अपने हाथों को फैला के। ठीक है? अब यहां कुछ डेढ़ होशियार लोग बोलते हैं अच्छा बैलेट डांसर लोग इंजीनियरिंग मैकेनिक्स पढ़ेंगे क्या? आइस कटिंग वाले इंजीनियरिंग मैकेनिक्स पढ़ेंगे। अरे भाई इन चीजों के लिए इंजीनियरिंग मैकेनिक्स पढ़ने की थोड़ी जरूरत है। क्रिकेट खेलने वाले को क्या पूरा प्रोजेक्टाइल मोशन पढ़ाते हैं क्या पहले? ये तो बॉडी का नेचुरल रिस्पांस है। ये तो भाई आपको कई सालों के एवोल्यूशन
से समझ में आ गया है कि भैया मैं ऐसा करूंगा तो मेरी स्पीड बढ़ जाएगी। ऐसा करूंगा तो मेरी स्पीड कम हो जाएगी। तो उनको पता है कि ऐसा-सा करने से ऐसा-सा होता है। बस उनको यह नहीं पता है कि ऐसा क्यों होता है। वो चीज आपको पता है। क्योंकि आप इंजीनियरिंग मैकेनिक्स पढ़ रहे हो। है ना? तो उन डेढ़ होशियारों को मैं ये बोलना चाहूंगा कि भैया ऐसा नहीं है कि किसी को अगर ग्रेविटी के बारे में पता नहीं है तो वो नीचे गिरेगा ही नहीं कूदने के बाद। अरे मैंने तो इंजीनियर मैंने पढ़ा
ही नहीं है। तो मैं जंप मारूंगा मैं तो हवा में उडूंगा। बिकॉज़ आई डोंट नो अबाउट ग्रेविटी। ऐसा थोड़ी है भाई। उसे भी पता है कि वो नीचे गिरेगा। बस उसे यह नहीं पता है कि वो नीचे क्यों गिरेगा। वो उसको पता है जो ग्रेविटी के कांसेप्ट को समझता है। है ना? चलिए तो मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया जो है उसका सिग्निफिकेंस अलग है। उसका सिग्निफिकेंस रोटेशन में आ जाता है। और ये चीज आप इंजीनियरिंग मैकेनिक्स और थ्योरी ऑफ़ मशीनंस में पढ़ते हो। थ्योरी ऑफ़ मशीनंस में भी आप रोटेशन के ऊपर जब सवाल बनाओगे तो I
यानी मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपको पता होना चाहिए। अब देखिए एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया के ऊपर आपको गेट में सवाल देखने को मिल रहे हैं। गेट के प्रीवियस ईयर क्वेश्चन आपको देखने को मिलेंगे। मतलब एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया के कैलकुलेशन के ऊपर डायरेक्ट क्वेश्चन आता है। ठीक है? लेकिन मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया के कैलकुलेशन पे डायरेक्ट क्वेश्चन कभी नहीं आया है। आपको मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया पता होना चाहिए। क्योंकि ये कांसेप्ट आप आगे जाके मैकेनिक्स और थ्योरी ऑफ़ मशीनंस दोनों में यूज़ करोगे। बट इसके ऊपर डायरेक्ट क्वेश्चन नहीं आएंगे। ऐसा कोई क्वेश्चन नहीं आएगा कि
एक बॉडी दे देगा और बोलेगा मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालो। अभी तक तो नहीं आया है और मुझे लगता है आएगा भी नहीं। ठीक है? इसका एक रीज़न ये हो सकता है कि मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया आपने स्कूल में ऑलरेडी पढ़ा हुआ है। इसके कैलकुलेशंस पे आपने स्कूल में ऑलरेडी बहुत सारे सवाल किए हुए हैं। लेकिन एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया स्कूल में आपने नहीं पढ़ा होगा। वो चीज़ आप यहां पढ़ रहे हो। तो उनका शायद यह सोचना होगा कि अगर मुझे मोमेंट ऑफ इनर्शिया से कोई सवाल पूछना ही है तो क्यों ना मैं एरिया मोमेंट
ऑफ इनर्शिया से पूछूं। जो कांसेप्ट इन्होंने नया-नया मैं इंजीनियरिंग में पढ़ा है। मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया तो ऑलरेडी पढ़ चुके हो। उसका टेस्ट ऑलरेडी आप दे चुके हो। तो उसी के ऊपर दोबारा सवाल क्यों पूछे? शायद ये सोच हो सकती है मेरे हिसाब से। तो मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया के आपको बस फार्मूले देखने होंगे। ओके? अब देखिए यहां पर रेडियस ऑफ जरेशन और पैरेलल एक्सिस थ्योरम का कांसेप्ट एकदम सेम है। जैसे अगर आप रेडियस ऑफ़ जरेशन की बात करते हो K विल बी रूट ओवर i / M ठीक है? यहां पे अगर मैं पैरेलल एक्सिस
मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालता हूं ना। जैसे मान लीजिए एक रिजिड बॉडी है। उसका मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है x एक्सिस या y एक्सिस के अबाउट। आप एक छुटु सा एरिया ले लेते हो। ओ सॉरी छुटू सा मास ले लोगे। उस मास का x एक्सिस से डिस्टेंस y है और y एक्सिस से डिस्टेंस x है। तो जैसे वहां जब हम ix निकालते थे तो इंटीग्रेशन y² da होता था ना। यहां y² dm होगा। एंड iy विल बी इंटीग्रेशन x² dm यूनिट क्या हो जाएगा? तो वहां यूनिट था मीटर टू दी पावर 4। यहां मीटर टू दी
पावर 4 नहीं होगा। यहां मास का यूनिट है केजी। डिस्टेंस का यूनिट हो जाएगा मीटर। तो केजी मीटर स्क्वायर। ठीक है? यूनिट क्या होगा? kg मीटर²। ओके? तो रेडियस ऑफ़ जरेशन में भी a की जगह m आ जाएगा। रूटवर i / a की जगह रूट i / m da की जगह dm पैरेलल एक्सिस थ्योरम का भी कांसेप्ट एकदम सेम रहेगा। अगर आपको सेंट्रोइडल एक्सिस के अबाउट मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया पता है और किसी पैरेलल एक्सिस के अबाउट मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालना है। तो यू कैन यूज पैरेलल एक्सिस थ्योरम अकॉर्डिंग टू दिस थ्योरम ix विल
बी इक्वल टू ixc + एरिया * डिस्टेंस का स्क्वायर करने की जगह क्या कर दोगे? मास * डिस्टेंस का स्क्वायर। दैट्स ऑल यू नीड टू डू। तो कासेप्ट आपके पूरे एकदम सिमिलर हैं। देख रहे हो? यहां पर भी एरिया की जगह मास। यहां पर भी एरिया की जगह मास। यहां पे भी एरिया की जगह मास। अब ये मत सोचना कि फॉर्मूले में भी सर एरिया की जगह मास कर देंगे क्या? ऐसा नहीं है मेरे भाई। फॉर्मूले यहां अलग होंगे। आपको अलग-अलग शेप्स के फॉर्मूले याद रखने पड़ेंगे। क्योंकि इंजीनियरिंग मैकेनिक्स में जब आप काइनेटिक्स पढ़ोगे काइनेटिक्स
ऑफ रिजिड बॉडीज तो यह फार्मूले आपको यूज करने पड़ेंगे। ठीक है ना? तो फार्मूले देख लेते हैं। सो लेट्स से एक सिलेंडर रोड है। ठीक है? सिलेंडर रोड का ये सेंटर ऑफ ग्रेविटी है। इस सेंटर ऑफ ग्रेविटी से तीन एक्सिस पास हो रहे हैं। एक x-एक्सिस जो कि नॉर्मल एक्सिस बोल सकते हो आप। y एक्सिस और z एक्सिस को पैरेलल एक्सिस बोल सकते हो आप। तो y एक्सिस और z एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया जो है वो अलग होता है। x एक्सिस के अबाउट अलग होता है। अब यहां पे y एक्सिस और z एक्सिस
के अबाउट ही मोमेंट ऑफ इनर्शिया की जरूरत पड़ती है। क्योंकि रोड के ऊपर जो सवाल आते हैं उसमें रोड या तो ऐसेसे घूम रहा होता है या तो ऐसेसे। रोड ऐसा स्पिन नहीं करता। सिलेंडर रोड है तो इस तरीके से स्पिन करने का कोई इसका पर्पस होगा नहीं। आप सिलेंडर रोड को या तो ऐसा-ऐसा घुमा रहेगे या तो ऐसा ऐसा तो iy एंड i का फार्मूला क्या हो जाता है? m l² / 12 दिस इज द मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया ऑफ सिलेंडर रोड अबाउट दिस y और z एक्सिस। ठीक है? बट यूजुअली ना आप एग्जाम
में जब क्वेश्चंस वगैरह देखोगे उसमें आप देखोगे सिलेंडर रोड का जो सवाल दिया होता है उसमें रोड इस एक्सिस के अबाउट रोटेट कर रहा होता है। ठीक है ना? यहां से जो पास हो रहा है ये वाला एक्सिस। लेट्स से इसको मैं बोल देता हूं O। ये हो गया उसका G। ठीक है? तो यूजुअली जो सवाल आपको मिलेंगे ना जैसे आप अभी पीवाईक्यूस देखोगे काइनेटिक्स के तो आपको देखने को मिलेगा कि O के अबाउट ही रोड यूजुअली रोटेट कर रहा होता है। ओके? तो अगर मैं O के अबाउट मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालूंगा पैरेलल एक्सिस
थ्योरम से तो मेरे को क्या मिलेगा? देखो g के अबाउट हो गया ml² /1 और o से लेके g तक का डिस्टेंस हो गया l / 2 तो ml² /12 + ml² / 4 ये हो जाता है ml² / 3 इसको हम लोग याद कर लेते हैं क्योंकि रोड के मैक्सिमम क्वेश्चंस में आपको ओ के अबाउट ही मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकाल डालना रहता है। वहीं पर बॉडी जो है वो हिंज रहती है। उसी एक्सिस से रोटेशन हो रहा होता है। दैट इज द एक्सिस ऑफ़ रोटेशन। यूजुअली के सवालों में। ओके? हमारे साथ एक 11th
ग्रेडर भी जुड़ गए हैं। मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया का कांसेप्ट इन्होंने भी पढ़ा होगा। स्कूल में आप लोगों ने ये सब चीजें पढ़ी ही हुई है। है ना? बट इंजीनियरिंग मैकेनिक्स अपने को जो कांसेप्ट्स देखने को मिलते हैं उसमें मोस्टली स्कूल के ही कांसेप्ट हैं। चलिए थिन डिस्क का मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया तो डिस्क जब रोटेट करेगी तो भैया डिस्क x एक्सिस के अबाउट ही रोटेट कर रही होगी। डिस्क को ऐसा ऐसा घुमाने का कोई मतलब तो है नहीं। डिस्क को एक पहिए की तरह रोटेट करेंगे। x एक्सिस के अबाउट ही रोटेशन होगा। तो आपको
x एक्सिस के अबाउट मोमेंट ऑफ इनर्शिया पता होना चाहिए। क्या होता है दोस्त? mr² / 2 ठीक है? mr² / 2 ये हो गया थिन डिस्क। ऐसा ही फार्मूला सिलेंडर का भी हो जाता है। तो सिलेंडर में भी x एक्सिस के अबाउट रोटेशन होगा। अगर देखिए यहां y और z एक्सिस के अबाउट रोटेशन हो गया तो इसको तो रोड की तरह ट्रीट कर लेना। x एक्सिस के अबाउट रोटेट करेगा ये डिस्क के जैसा ही। तो इसका फार्मूला भी सेम होगा mr²/ 2 तो डिस्क और सिलेंडर एक ही चीज है। अगर आप यहां से देखोगे तो
दोनों एक जैसे ही दिखेंगे। दोनों ऐसे सर्कल की तरह ही दिखेंगे। दोनों का फार्मूला भी सेम है। बट जब होलो डिस्क या होलो सिलेंडर की बात आती है तो फार्मूला आपका कैसा रहेगा? तो यहां ध्यान देने की बात यह है कि होलो डिस्क या होलो सिलेंडर जब रहेगा तो उसका मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया जब आप निकालोगे ना तो यहां वो चीज नहीं कर सकते कि सॉलिड का माइनस होलो का क्यों क्योंकि एरिया का तो आपको फार्मूला पता है सॉलिड का एरिया होलो का एरिया लेकिन भाई मास थोड़ी पता है कि सॉलिड का मास कितना है
और होलो का मास कितना है। मैंने आपको जो मास दिया है मान लीजिए मैं मास बोल रहा हूं इस थिन डिस्क का 10 किलो है। तो उसमें से सॉलिड वाले पार्ट का और होलो वाले पार्ट का अलग-अलग मास आपको पता है क्या? नहीं पता है ना? तो इसीलिए यहां वो वाला कांसेप्ट नहीं लगता कि सॉलिड का माइनस होलो का। यहां पूरा फार्मूला डिराइव करना पड़ता है। और जब फार्मूला डिराइव होता है तो आपको एक आश्चर्यजनक चीज देखने को मिलती है। कई लोग सोचते हैं कि कहीं यह गलत तो नहीं लिखा हुआ है। तो मान लीजिए
छोटे वाले का होलो वाले का रेडियस r है और सॉलिड वाले का r है। तो फार्मूला हो जाता है m r² + r² डिवाइडेड बाय 2 अब यहां कई लोगों को लगता है कि मैंने गलती कर दी है। ये माइनस होना चाहिए। बट बेटा मैं फिर से वही दोहरा रहा हूं। आप वो वाला कांसेप्ट मत लगाओ कि सॉलिड का माइनस होलो का। मैंने आपको बताया ना उसका रीज़ जो मास है वो टोटल का मास दिया हुआ है। उसमें से सॉलिड का कितना होलो का कितना है आपको नहीं पता है। ओके चलिए स्फीयर का तो देखो
स्फीयर दो टाइप के होते हैं। एक सॉलिड और एक होलो। ओके? तो सॉलिड स्फीयर का मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया x yz तीनों के अबाउट सेम रहेगा 2 / 5 mr² और होलो वाले का हो जाता है 2 / 3 होलो में भी थिन होलो मतलब उसकी थिकनेस बहुत कम है तो सॉलिड वाले का 2/5 mr² और होलो वाले का 2/3 mr² तो आप जितने भी सवाल देखोगे ना मैकेनिक्स में या थ्योरी ऑफ मशीनंस में या तो रोड के ऊपर होंगे या तो डिस्क या सिलेंडर वो सॉलिड भी हो सकता है, होलो भी हो सकता है
या फिर स्फीयर। इसके अलावा आपको और कोई शेप का फार्मूला याद करने की जरूरत नहीं है। आप जितने भी सवाल उठाके देखोगे रोड, डिस्क या सिलेंडर या स्फीयर इनके ऊपर ही आता है। सो, यू नीड टू जस्ट रिमेंबर दीज़ फॉर्मूले। ओके? बाकी और कुछ याद करने की जरूरत नहीं है। ओके? चलिए तो इसी के साथ हमारा यह चैप्टर भी होता है समाप्त जिसमें हमने एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया भी पढ़ लिया। मास मोमेंट ऑफ इनर्शिया भी पढ़ लिया। एरिया मोमेंट ऑफ इनर्शिया के ऊपर आपको एग्जाम में डायरेक्ट क्वेश्चन आते हैं। इनकी जरूरत आपको स्ट्रेंथ ऑफ मटेरियल्स
और मशीन डिजाइन में तो पड़ेगी ही। बट इनके ऊपर सीधे-सीधे क्वेश्चन भी आ जाते हैं कि भैया इसका निकालो, उसका निकालो। मास, मोमेंट ऑफ इनर्शिया की आपको मैकेनिक्स और थ्योरी ऑफ़ मशीनंस में आगे जाके जरूरत पड़ेगी। उनके ऊपर डायरेक्ट क्वेश्चंस अभी तक नहीं आए हैं कि भैया इसका मास, मोमेंट ऑफ इनर्शिया निकालो या इसका निकालो। आएंगे तो आप बना लोगे। जैसे आपने एरिया, मोमेंट ऑफ इनर्शिया के सवाल बनाए, वैसे मास, मोमेंट ऑफ इनर्शिया के भी आप बना सकते हो। अगर आया तो वैसे तो इसकी संभावना मुझे कम लगती है। बस फ़ूले आपको याद रखने हैं।
कॉन्सप्ट आपको ध्यान में रखना है। रेडियस ऑफ़ जरेशन और पैरेलल एक्सिस थ्योरम दैट्स ऑल। ओके? तो मोमेंट ऑफ इनर्शिया के चैप्टर के साथ ही ये जो स्टैटिक्स का पूरा पार्ट है, ये हमारा समाप्त हो गया है। अब हम लोग डायनेमिक्स की तरफ कूच करेंगे। डायनेमिक्स को दो पार्ट में डिवाइड किया जाता है। काइनेमेटिक्स और काइनेटिक्स। ठीक है? तो कनेमेटिक्स पहले पढ़ेंगे क्योंकि उसके जो कांसेप्ट्स हैं वो काइनेमेटिक्स में यूज होते हैं। ओके? सो फर्स्ट वी विल कवर कामेटिक्स देन वी विल मूव ऑन टू काइनेटिक्स। चलिए तो इसी के साथ आज की क्लास की समाप्ति की
मैं घोषणा करता हूं। कल मिलेंगे सेम टाइम सेम जगह। ब बाय टेक केयर। जय हिंद दोस्तों।
