Geometria Diferencial - Prof. Fernando Codá Marques - Aula 09

G1 o Ok vamos lá na aula passada a gente construiu eu aplicações exponencial o que fazer o seguinte né se você tem uma uma superfície s é um ponto pé E aí você desenha e aqui do lado esquerdo o plano tangente à superfície essa no ponto P A gente construir chamada de equação exponencial que o que ela faz é já explica isso aqui cada direção Radial e a digamos ver e você anda aqui vocês ao longo da geodésica com aquela direção e ano o comprimento Norma de ver o é tão sério essa aplicação tá bem

definido em alguma e em algumas vezes antes da origem e eu posso tomar de tal maneira que ela seja um dia que é o morfismo inclusive né se você quer o MS fala sobre imagem não G1 Hoje é um dia que eu se o delta é pequeno E aí e eram consequência do teorema da função inversa não é e esse pode olhar por exemplo para o ciclo de raio r dada uma distância R aqui da na origem não pode olhar para os círculos dia é de raio r e vou desenhar aqui Amarelo e você pode

olhar para a imagem desses círculos né Isso vai me dar uma certa curva e aqui contida na na superfície é E aí E você tá essa família de a família de curvas são chamadas de círculo geodésicos é um círculo círculo geodésico é simplesmente a imagem de um círculo pela aplicação exponencial centrada na origem tô pegando o círculo centrado na origem com ciclo geodésico de raio r e em torno de que vai ser simplesmente a imagem pela correspondencial a da Fronteira da bola de raio R centrada na origem a O que são Secos geodésicos e por

outro lado cada reta que sai da origem aqui e é mandada pela e pela aplicação exponencial numa geodésica é assim que a geodésica foi construída e essas coisas aqui são chamadas de geodésicas radiais eu só tô introduzindo terminou hoje né fixado o ponto P geodésicas radiais são aquelas que saem do ponto P podem ser vistas então com uma imagem correspondencial de semi-retas que saem da origem é bom que a gente vai ver agora e isso é uma propriedade chave para mostrar que as rédeas são as curvas de menor comprimento Pelo menos localmente é a propriedade

de que essa essas duas famílias de cubos aqui é geodésicas radiais e o círculo geodésicos são perpendiculares e claro que elas são perpendiculares aqui na geometria e dublado mas eu faço que a gente vai mostrar na aula de hoje que elas são perpendiculares também na superfície Se você olhar para as duas tangentes As Curvas na superfície essas gerações são perpendiculares entre si sendo que 90 graus C eu e mais ainda se eu pegar ah ah eu chamei esse vetor de de ver né e essa ponto ver só se eu pegar qualquer vetor a Radial no

ponto ver brigarmos após pagar por exemplo próprio próprio ver a origem quando olhar para a imagem pela derivada desse vetor aqui na superfície E aí é essa aqui vai ser então a derivada da exponencial no ponto ver calculado em ver esse vetor aqui vai ter exatamente o mesmo comprimento que o comprimento o cotidiano de ver certo o verdadeiro a derivada da aplicação exponencial lá vai fazer com que os cumprimentos radiais sejam preservados e com que o o ângulo de 90 graus Entre a direção Radial e o circo também seja preservado só chamado lema degraus que

eu vou anunciar agora a anunciar agora em seguida eu me afirmação é que a norma a desventura que Ah tá e é igual a norma de ver o que que é o lema de graus C a Anna de galos vai dizer o seguinte eu vou combinar essas duas informações numa só vou simplesmente dizer o seguinte a que para todos a ver e no plano tangente de essa e onde eu tô imaginando aqui que eu ver tá no domínio da aplicação exponencial gato vê pertencente ao domínio e da aplicação é Alô especial ao invés de escrever

sim deixa eu dizer que E aí e ele vai tá pertencente a essa e essa bola quer E aí E aí e na verdade vale a demonstração não vai fazer uso disso ela vai só fazer o uso de que a que é exponencial está definida até lá até o ponto b certo Oi e para todos Então vale a seguinte igualdade O Vale E se eu fizer o produto está lá da derivada da exponencial do ponto veículo eu estou fixando o ponto ver aqui bom então e eu olho para isso aplicado a ver e depois faço

produto Skala a derivada aplicada qualquer vetor da Bíblia Só que vai ser igual ao produto escalar de VW é só que Qualquer que seja e o W caso tangente no ponto ver ao plano tangente de S é claro que isso aqui sempre com seus passos vetorial isso é pode ser e naturalmente identificado com com s então w se ele Digamos um vetor qualquer aqui e no ponto ver não necessariamente Radial tão produto Skala das imagens é igual para todos calados vetores originais e a isso não tá me dizendo que ela é uma uma isometria porque

eu tô para que isso seja vale eu estou especificando que um dos vetores seja o Radial seja isso me diz que e a em outras palavras o problema de Gauss Disk a exponencial é uma isometria Radial a Tu sabe se a observação importante aqui não é para qualquer ver né inventa ficado de início mas aí eu tenho que aplicar na própria direção de ver para funcionar certo para sempre em particular que a as curvas que são imagens dos círculos vão ser perpendiculares essa geodésicos né porque se eu pegar o w tangente ao círculo para buscá-la

original é zero portanto produtos tá lá na imagem você zero também e vai ser lembra que a gente gostaria de ir de provar é uma pergunta sobre anunciado o Ok vamos parar de mostrar sol é uma demonstração consiste no seguinte consiste em quebrar em dois casos 1º caso em que o w é o próprio ver o e segundo caso em que o w é perpendicular ver como os passos você vai Isso terminou demonstração né bom então a gente vai fazer o seguinte vou desenhar aqui de novo é a que estamos com a origem a gente

tem aqui um ponto em Ponto V O que é que tá a superfície é que tá o pé aqui para imagem de ver a então que eu vou fazer o seguinte vamos fazer a primeira de maneira mais a primeira mais simples né porque ela simplesmente usa que a imagem da da semirreta é uma geodésica da superfície S sem vou fazer primeiro eu caso 1 O que é o caso em que w = v Tá certo E aí nesse caso você pode observar que esse daqui vai ser exatamente o vetor velocidade da geodésica que sai de

p com velocidade ver é só observar que se eu pegar e a curva né é definida por pela exponencial o etv por definição da da exponencial e chama geodésica exatamente a geodésica e satisfaz grama Verde zero igual up e Gama velhinha de zero igual a ver mas como ela é uma geodésica a gente sabe que é Norma e do vetor velocidade é constante Oi gato o ok em particular a norma do vetor velocidade no tempo um tem que ser igual a norma do vetor velocidade eo tempo 0 implica aqui Norma de Gama velhinha de um

é igual nome de ambiente de zero é mas quem que é o a derivada do tempo um mas isso aqui por definição você exatamente a derivada dessa aplicação é calculada em table1 seja no próprio ver aplicada a velocidade dessa curva no tempo um que é o próprio ver certo e portanto a norma desse vetor é igual a norma de ré e acabou o caso certo o não cumprimento Radial e preservado pois se faz sentido porque a definição geométrica da exponencial era dado exatamente por você medir o comprimento do vetor ao longo da geodésica Ok então

caso dois é o caso em que o w é perpendicular ao ver o sexo caso dois a gente tem um vetor w sim e ele vai ter uma imagem aqui que eu quero mostrar que essa imagem também é perpendicular aí se vê por aqui a imagem do veneno eu quero localizar onde que tá a imagem de w e a ideia vou pegar uma curva no plano tangente O que passa no tempo zero pelo ponto ver tem velocidade w como W ortogonal ao ver que a direção Radial mas sempre tomar essa curva como Seco não pegar

aqui a curva o alfa de volta de é se chamar confunde essa e você exatamente Aquela aquele pedacinho não tá aparecendo não né mas é um círculo tá e como sendo aquele pedacinho de seco ali que passa pelo ponto ver com velocidade dado não tomamos a curva Alpha pode ser definida por exemplo de menos Epson Epson a planta gente GS com as seguintes propriedades Alfa de 0 é igual a haver Alpha linha de zero igual e a w ela percorre o círculo seja Norma do Alpha de Essa vai ser igual a a norma de verniz

constante igual a norma de ver o bom então gostaria de olhar para a imagem dessa curva aqui e analisar o que acontece com o ângulo mas para isso é conveniente introduzir eu fiz isso aqui no tempo um mas eu posso fazer isso não tem que ter qualquer também você já posso considerar a seguinte a aplicação definir agora definimos o em x como sendo e a o de menos Epson Epson ver como é que eu vou fazer isso ah ah ah o show da definição dela logo né Eu gostaria de fazer o seguinte xst eu vou

olhar a imagem tela exponencial É como se eu tivesse olhando para a imagem desse pequeno setor aqui nenhum de um. é um ponto aqui seria o que é é um ponto do tipo de Alpha Gerson diteta entre 0 e 1 gostaria de fazer aqui ó é exponencial de pé de alface e agora O Wesley está definido o de menos Epson Epson e o t já tá definido de ir é bom a Jéssica está definido até tempo um nessa você pode aumentar um pouquinho e se quiser pode colocar ter 301 é chato vai ser uma aplicação

que vai de um subconjunto do plano r13 na superfície de fato o quê é muito bem e aí a ideia analisar quem é derivado disse com respeito a essa e quem a derivada disso com respeito a ter uma derivada disso com espeto até vai ser exatamente o vetor velocidade da geodésicas radiais copo de esta fixo isso aqui é a imagem de uma semi-reta que sai da origem então o xt vai ser então fazer o desenho aqui e os seus ter uma coisa assim né E aí o metrô velocidade da da geodésica radial por outro lado

o XS é o que eu quero de terminar né eu quero ver sua velocidade a a imagem do círculo o seu aqui ó o que eu gostaria de mostrar então é que o produto escalar desses dois vetores a zero eu vou fazer isso mostrando que na verdade esse produto escalar é constante e que tem limite zero quando eu faço o tender para zero essa estratégia a pior eu não sei nada sobre o produto escalar aqui mas eu vou calcular derivada dele com respeito a ter depois vou tirar o limite quando T vai para 0 Oi

tá bem se você já eu gostaria de fazer o seguinte é apegado que estão todos calados XS pelo XT não é isso é uma função de TS e vou calcular isso calcular derivada então com respeito a terra Tá certo É mas você faz isso daqui é uma aplicação diferenciar viu isso vai ser produto está lá na da derivada o x ST né Oi, Chester É mas o XS, xtt certo é mas aí eu pergunto quem que é esse vetor aqui é o melhor que eu posso fazer com esse evento aqui em um só a escrever

os leitores né ah o XS E aí e quem SP e ele é a derivada dias com espeto Aécio tanto ele vai ser isso aqui é uma aplicação então a derivada da exponencial no ponto em questão é aplicada a derivada disso com espeto a esse que é o te vezes ao farinha de Essa é Olá eu sou XS bom então a transformação linear posso tirar o te para fora só que é igual a ter vezes é sobre vag-com o Inter ao fies aplicada ao fim de S bom então esse é o XS não Oi e

o xt a derivada com espeto ats vai ser então a derivada da exponencial lá no ponto te aflijas aplicado o vetor velocidade dessa curva seja derivado com respeito a ter que é o próprio Alpha de S e isso e é isso aqui emprestar mente ele é derivada hoje na curva do tempo tem né da curva exponencial a deter Alpha de s com s fixo né mas isso aqui é uma é uma geodésica não seja XT ele é o vetor velocidade e da geodésica e com essas fixado né Oi para todo essa é e novamente que

que eu posso fazer com essa aqui E aí E aí O que que significa ser geodésica né e a superfície né é isso seja se ser uma geodésica significa que a derivada covariante do vetor velocidade que é o próprio XT e com espiritual parâmetro da geodésica aqui é o parâmetro T zero o fato é equivalente Ah mas isso aqui é simplesmente o projeção tangente da derivada usual E você só quer que Valente a dizer como ele falou que ia derivada usual que seria o meu xtt é perpendicular à superfície o apendicular e a superfície é

aquele. Ali ó e você como esse Vitória tem gente se eu quisesse eu poderia colocar componente tão gente aqui mas isso aqui seria derivada covariante velocidade que é zero porque a curva mas é o desce Então esse termo desaparece aqui é tão portanto e a gente conclui que essa derivada e é igual a isso o quê a e agora que a gente faz com isso Eu já falei aqui na aula né O que é que eu geômetro faz quando vê duas derivadas mexas esquina cômoda né se a ideia é que será que são duas derivadas

usuário você pode comutar tô colocando te por último aqui aí eu boto Oeste por último é mas agora eu vejo isso como é como um meio A derivada com respeito a essa do XT xt1 e aqui ó Olá tudo bem é que eu posso então dizer sobre isso aqui E aí E aí e é constante a constante porque porque a curva Alpha DS tem Norma constante você que é exatamente o vetor da geodésica né Observe o seguinte que ele é você vetor velocidade de uma geodésica ele tem Norma constante ao longo da geodésica mas é

que eu tô derivando com respeito a essa que a outra direção Mas de fato da maneira como eu como eu fiz a construção essa função também é constante em essa porque ela nada mais é do que a norma do Alpha de essa pelo caso um Eu já vi que a derivada da exponencial preserva os cumprimentos radiais né é mas só que pelo caso 1 e implica que a norma do XT e em qualquer SP é a norma do Audi s qual foi dessa aqui tá na direção Radial e por outro lado isso aqui era Norma

de ver Não sai constante em termos é constante em essa também então você quiser era e quem aproveita o produto instalados dois vetores variacionais é constante ao longo da geodésica logo a conclusão é que se eu quiser calcular e esse produto escalar quando o tempo é um e o tempo é a segunda variada né e o se01 os0 corresponda a curva original é só que é igual como a derivada em t0 a mesma coisa que fazia conta no no tempo 0 é chato Ah tá tá certo isso aí e a quanto que dá esse aqui

ó é só olhar para as formas né esse aqui é o xt esse aqui é o XS Mas eu pensava que eu fizesse tem um te na frente quando te 000 é porque eu XS essa aplicação x ela ela deixa de ser uma é uma parametrização na origem né porque eu a derivada com respeito a essa da da série aqui ó e não tem problema né conta que faz sentido então a derivada a zero eu faça que eu concluo que o produto que ela é zero você exatamente o que eu queria porque isso aqui é

exatamente produtos calada é só agora faço tempo um eu vou ter aqui o Oi Val cadê zero quero ver e o a farinha de zero que é o w e tem que quando eu faço t = 0 você quer me dar o e não tem igual a 1 e o s = 0 novamente isso me dá ver isso aqui me dá ver também é isso aqui é igual a e a e as Ela acabou Então essa é uma expressão tá é uma pergunta a treinar o xsl tá diminuindo ensino e não dá um like aqui

ele é 01 o ok então resumindo né quando você olha para exponencial você tem que o comprimento Radial é preservado o ângulo né entre o Radial e o círculo também é preservado só que o ponto importante entender é que é o comprimento tangente ao círculo perpendicular o rádio não é preservado não precisa ser preservado que se tudo fosse preservada então a geometria intensifica seria geometria no plano e eu não teria nenhuma graça então é é esse comprimento Amarelo aqui que que pode ser distorcido quando você olha para exponencial certo e o ângulo não EA Radial

não mas o comprimento dos círculos Ele Pode Ele vai variar com a superfície oque é é muito bem e E aí em alguma dúvida aí mas aqui e agora a gente pode provar que de fato geodésicas minimizam comprimento e o temos a seguinte proposição e aqui fala sobre as propriedades e o minimizante o feijão Basics e a proposição diz que e a seja S uma superfície regular tem um ponto o s a superfície regulado R3 o IP é um ponto de S então e a existe a irmã termino minha notação aqui vai existir um Epson

positivo E tu vai ser menor do que se Delta aqui e tal quer e a Oi para todo e como fazer um limpar o desenho aqui E aí e novamente aqui tá superfície é que tá o ponto P ao vai existir um é um a pula E aí o Talk para todo ponto que contido nessa bola aqui Oi aqui é a bola de raio épsilon centrada na origem essa imagem E aí e assim como a imagem de círculos não do Círculo se chama de circo geodésicos isso aqui você chama de bola geodésico e o disco

geodésico E aí existe um Epson positivo toque para todo o que contido nessa bola geodésica para todo o que pertencente a imagem pelas comercial da bola o raio épsilon Oi e para toda curva o alfa que pode até eventualmente sair mas para toda a curva Alpha que liga pq Oi e para toda a curva o alfa ah ah ah E aí o que liga tem a que temos que o comprimento de Alfa e é maior igual ao comprimento de grama o comprimento de Alpha maior igual ao comprimento de grama e onde Gama é a geodésica

Radial o que liga pega quer o programa seria o que vende um ponto aqui seu tio né Vamos chamar de ver é a Jéssica Radial é aquela curva que a imagem para nós potencial da e você me reta de 0 a pena tá bom qualquer curva ao fica liga até aqui tem comprimento maior igual que eu comprimento de Gama e mais ainda se os cumprimentos foram iguais o seu comprimento de Alfa = comprimento de Gama então e a culpa Alfa é uma reparametrização de Gama seu traço é o mesmo o traço Bom dia Alfa conhecid

G1 o com traço o Sigma e com seus traços conhecida em você tem que fazer uma parametrização positiva né porque se você for e voltar você tá gastando mais comprimento e na verdade quando vale a igualdade Além disso você tem que os traços coincidem e Alfa é uma uma parametrização uma reparametrização positivo de Gama colocar em outras palavras aqui Alfa é uma ré parametrização e a colocar-se monótona de gala Ah tá bom então de fato isso disse que a curva que de menor comprimento entre os pontos fake é a geodésica Radial é isso se o

que tiver suficientemente próximo do Pedro é muito bem tá claro anunciado quem é a culpa que baixas e diferenciável por partes você quiser você pode fazer coisas mais do que isso mas chegamos diferenciado para o pátio é suficiente pro pros nossos propósitos né curva Alpha aqui diferencial viu e o Pati tudo e Jadson é muito bem então acho que a gente tem que provar agora o Ok então vamos lá o achava eu lembro de Gauss a moda desenha curva Alpha aqui como contida na bola geodésica mas a curva Alpha poderia sair também é uma outra

possibilidade de ao funk é só que a ideia é que bom se ela sair e ela vai ter que cortar antes a fronteira da bola geodésica quando eu esse pedacinho aqui então vai tá dentro e portanto o comprimento dele vai ser pelo menos é a pessoa que já é maior do que a distância de pequi trouxe ela sair pior ainda já não tem e não tem muito que fazer o comprimento dela já vai ser maior o assistente vai aumentar agora na na demonstração o ok então a gente tem uma é uma curva Alfa e eu

posso parametrizar ela de maneira eu posso pegar a por exemplo 01 e essa curva Alpha que liga P aqui Hum que bom a Gama e também pode colocar definida a 101 é só tomar seguinte definição dama de ter é exponencial de TV 1 o sexo o ver aqui é aquele ponto que satisfaz exponencial de ver igual que é e faça essas duas coisas que eu preciso considerar Oi e a ideia agora que eu vou É como se eu tivesse usando a exponencial e como sistema de coordenadas tal curva alguma vai ser a imagem de uma

curva ao fácil aqui ó E aí eu vou dividir em dois casos 1º caso em que ela sai da Bola e segundo caso aqui ela fica dentro da dentro da bola ou melhor vamos fazer primeiro caso que ela tá dentro da Bola certo Esse é o primeiro caso Esse é o caso um quando você Suponha que e a imagem de Alfa e está contida e na bola é de raio Delta fato o webson aqui Esse é o Apps onde a exponencial é Um Desafio morfismo que o Epson dado pela e pela vizinhança normal né o

pelo ter e manda para sua empresa vai ser o mesmo essa na prática então é chato e se você quiser eu posso trocar para Delta e eu poderia colocar assim Ah deixou só reformula esse um pouquinho para ficar até para ficar mais forte se você já é se uma superfície regular do r3p um ponto de S vamos supor então que é exponencial o IP é um GIF na bola de raio Delta 1 a dica e dicas sobre imagem né é é bom então Ah tá então vai ser o Delta que eu vou pegar Eu já

mudei todos aqui né o ok então você pode ligar primeiro que a imagem da curva Alpha está contida nessa bola nessa bola de raio Delta Tá certo o que você imagina a seguinte situação que fazer um desenho aqui né que tal da origem aqui Itaú Que tal ver tá tudo acontecendo dentro da bola de raio Delta com essa curva Alpha Ela poderia digamos voltar para origem por exemplo pois continuar por aqui voltar para origem de novo continuar por aqui para evitar tratar tipo de situação eu vou pegar o o último tempo em que ela passa

pela origem certo e aí vou tá esquecendo um pedaço da curva mas não tem problema porque quando eu faço isso o cumprimento cai então pego assim seja que zero como é que eu defino e ser e esse t0 olhar o sup e do conjunto dos textos onde o alfa shield t a reserva legal fácil de ter exatamente aquela curva e quer mandar em alfa pelas comercial é bem e agora eu posso esquecer então os pedaços a curva É eu sei que o comprimento da curva toda curva Alpha de 01 certamente a maior igual que o

comprimento da curva Alpha DT 01 Ah tá e agora curva sai da origem aqui mas ela nunca volta para origem Então esse vetor ele é sempre diferente de zero tá como ele sempre diferente de zero eu posso inscrever-se vetor de maneira única como um número real positivo vezes um vetor de Norma um exemplo né e eu posso fazer o seguinte E aí G1 e a para todo ter estritamente maior que o teu 0 E aí G1 a escrever mus é o alfa tio a deter Mas vai ser o que então vai ser um um RD

ter vezes um vetor do chamar de w além de ter um desse WD 3916 WD ter exatamente o o ao fácil de ter dividido pela Norma o sexo o ok então a curva Alfa é o alfa é simplesmente a imagem disso daí né o que é que eu tô fazendo isso é que eu estou escrevendo vetor como um número real vezes um vetor de 91 em qual conveniência disso O que é a razão que eu quero usar o lema de Gauss não quer usar o lema degraus leva de Gauss medida informações exatamente sobre o que

acontece com a direção Radial e com direção perpendicular tá certo é por isso que eu tô tentando quebrar na no Pedaço aqui que contribui com direção Radial e no outro que contribui com direção perpendicular que eu acho que eu tô fazendo essa escrevendo dessa forma o OK agora é só calcular o a derivada né o alfa além de ter o seu depois eu vou ter que integrar essa essa nova moda é derivado Só que vai ser então mas é derivada é exponencial nesse ponto o quê é aplicada a derivada dessa curva a derivada dessa curva

é derivado Dr às vezes w + RX a derivada o que w chato é o som eu quebro esse dois vetores o primeiro vai ser o Wesley a deter Às vezes a imagem e o w Oi e o segundo vetor vai ser então o rd ter Às vezes a imagem a dor w mesmo o papel pergunta agora o que que você sobre esses dois vetores né e não da Belina 1 a 0 não e tem Norma um mas no círculo eu vou gostar de você que não precisa ser 0 né E você o que que

você sobre da Belinha ah E aí e o W GT tem normam-11 então quê que você sobre Babilônia o clipe é normal W1 como Olá a todos calado dw.com w é sempre um nós estamos que.tw linha de ter é pênis perpendicular o w Ah mas eu tô olhando para exponencial exatamente no ponto na direção de w né então w em uma direção perpendicular Radial e quanto que é aqui eu estou usando exatamente o w se isso aqui é uma direção Radial Então esse vetor aqui a imagem de um vetor Radial e esse aqui é imagem

de um vetor perpendicular direção Radial portanto eles são o que é apendicular problema de graus e bom então lembra de Gauss me disse que essa decomposição ortogonal E aí o papel lema de Gauss é e esse vetores um são perpendiculares logo se eu quiser escrever a norma o quadrado desse vetor eu vou ter que se vai ser a soma quadrado das normas esses dois vetores o anônimo do família de t ao quadrado vai ser igual ao RN de ter e ao quadrado vezes a norma é desse vetor e ao quadrado é mas a soma e

do rdt e ao quadrado lá no esse cara e ao quadrado e a mãe tá a a ideia da prova essa que você usando o lema de gás você consegue decompor na parte Radial e na parte perpendicular Radial Já tem um mês tu não existe não bom então tô usando o que esses dois vetores aqui e ortogonais e e Então qual qual é a parte que vai contribuir para o compra comprimento então a se você quer comparar com uma parte rádio com a Jéssica Radial que aquela que só tem a parte Radial Então essa contribuição

aqui que vem da das direções perpendiculares as radiais eu posso simplesmente ignorar sejas implica que e a norma do ao farinha de t e ao quadrado é maior igual o tio Helinho do teu quadrado e é isso aqui só faz aumentar o comprimento se ela balançar só isso aumenta o comprimento é isso aqui a dabster quadrado tá perdendo Lourenço pedaço ele maior igual a zero vamos aqui eu tenho uma direção Radial portanto eu lembro que o galos me diz que as reações radicais têm o comprimento preservado portanto isso aqui é exatamente igual E aí linha

de hotel quadrado vezes a norma de WD teu quadrado é só que essa norma é um Ah tá então concluir no final de contas que se eu escrevo a minha curva assim se eu tirar a raiz quadrada e a norma do vetor velocidade é maior igual que o valor do soluto que a derivada The Air Oi chata é mas agora se eu se eu pego isso aqui e entrego né porque eu quero chegar no comprimento o seu íntegro isso DT 01 o comprimento da curva Alpha dt01 por definição integral da Norma de alcalina e até

101 e só que vai ser maior igual o integral do valor do soluto da derivada Dr o PT 01 é mas essas lembra que integral do valor do soluto e é maior igual que o valor absoluto da integral ó e aqui eu posso usar O Teorema Fundamental do Cálculo só que é o erd 1 - R o dt0 só que o valor de R1 é quanto é só olhar para esse daqui né e quanto que é o valor valor de R1 E aí e como é que é e vai usar o ao fácil né como

a curva Alpha macumba que liga pq né você que no tempo final Isso aqui vai ter que ser ver como Alfa tio o alfa de um o que é que eu tenho que o alfa tio nenhum é ver quero ver aquele vetou que por exponencial callink é bom então isso me disse começa vetor unitário isso me diz que o RD1 e é nome de ver o E aí Ah e por outro lado o rd 300 né é porque a curva e o t0 era aquele tempo onde o mundial fácil era 0 e como Alpha trio

Com certeza era já era o Hélio tá zero a zero então acabou né é só que é Norma de vez só que 0 chegou a norma de ver e observe que a norma de ver é exatamente igual E aí e ao comprimento da geodésica Gama o que era geodésica Radial que ligava zero avena o comprimento dessa geodésica aqui de 0 a 1 ou é a norma de ver a construção da geodésica Então mostrei que o cumprimento de qualquer curva se liga Happy aqui contida Na Bola Vai ser pelo menos o comprimento da geodésica radial e

não tem muito o que fazer é só para trabalhar esse truque de decompor dessa maneira aquele usar o lema de Gauss Oi gata e intuitivamente a ideia é claro né da é que a curva ela quiser minimizar o comprimento ela tem que ser Radial Porque se ela balançar assim o cumprimento aumento por causa da ortogonalidade E aí e oque tens que mostra o caso um teu caso em que a que a imagem da curva está contido na bola mas o caso dois agora fica fácil E aí e a o caso 2 o caso dois Cáucaso

geral não é fácil porque você reduçao ao caso um né que você pega e se chama de ter um não há como é que a gente define isso acho que seria o em cima né eu vou chamar de caso geral não vou pegar bolsa porque Alpha de 01 e não está contido e na bola de raio Delta essa aqui implica que tem que interceptar a fronteira no Tá certo a aceitação do termo e a Bom se você quiser ser ser preciso não é a que eu tô tô falando de bolas abertas faz aqui eu sempre

bola aberta e não se você quiser ser extremamente o rigoroso você pode pegar um Delta linha um pouquinho menor que Delta a companhia e para garantir que você tá no compacto né então isso implica certamente que e essa essa curva vai conter pontos fora do Delta da bola de raio Delta Lino isso daqui vai interceptar e a imagem a tela inicial e da bola de raio da Fronteira da bola de raio da Ucrânia o cartão do Delta linha menor Delta Oi e aí você pega o primeiro ponto que faz isso você definir o T1 e

como sendo o inferno lá e a dos tes a paz que o alfa de pertence a esse conjunto aqui Tá certo e você pega o primeiro. Em que ele chega ali Ah vá Oi e aí você simplesmente observa que o comprimento da curva toda e é maior igual que eu comprimento daquele pedaço o restritor de 01 e até um mas agora isso a imagem de uma curva que sai da origem e chega Nessa Fronteira aqui então pelo caso um o comprimento dessa curva tem que ser pelo menos o raio da Bola Dawn trailer se é

que você pelo menos Delta linha o certo pelo caso 1 É mas o da telinha um número arbitrário menor que Delta entrar em particular em maior igual a Delta cumprimento de Alfa o maior igual a Delta que é estritamente maior que a norma de ver né eu quero comprimento da Gama é a ideia é essa curva sai você tronca e aplica o caso 1 tu quer o que é que tá faltando provar e caracterizar o caso da Igualdade né já mostrou que o comprimento é maior igual o que que acontece Então se vale a igualdade

e você vai igualdade isso é uma coisa uma a coisa que aparece muito em geometria né você prova uma uma desigualdade com significado geométrico né E você quer entender o que acontece na no caso da Igualdade a em geral pra chegar naquela desigualdade você faz uma série de desigualdades antes então se você tem igualdade no final e significa que você tem que ter igualdade em cada um dos Passos O que é o caso aqui nossa observa aqui se vale a igualdade e no final né aqui é o caso da igualdade E se o comprimento de

Alfa igual e o comprimento Digamos que você olha para que você fez tenta analisar a mãe primeiro lugar o caso dois não pode acontecer não é porque aqui tem uma desigualdade de 30 né é chato O primeiro significa que nós estamos no caso um Ou seja a imagem de Alfa e está contida na bola de raio Elton o que mais que a gente pode dizer e você olha para o caso 1 e nessa cadeira de igualdades que mais se pode dizer e com todas as desigualdades aqui tem que ser igualdade em particular aqui né quando

eu passo aí daqui para cá eu estava ignorando esse termo significa que esse tema aqui tem que ser zero e não é tá certo mas como eu tô na região de exponenciar onde que é o morfismo esse vetor só pode ser zero se o w linha de terror zero bom Então essa é uma informação que w linha 0 o ou seja um WD T constante o que é que você tá me dando sobre a curva E aí Oi sumida exatamente que a curva Radial né se ver tô aqui é constante Qual foi tio é a

Radiola Ah então já sei que ela é Radial a gente já emprego aqui os traços são iguais né eu tenho que ser Radial e dá para dá para dizer mais né porque agora quando eu passo aí dá e quando eu passei daqui para cá tirei o valor absoluto para fora se vale a igualdade aqui significa que essa função é linha de ter e é não negativo o saco o ou pode até ser negativa mas não vai ser o caso porque o raio tá aumentando ela tem que ter um sinal único sinal possível aqui não é

sinal negativo se você é outra conclusão o que o R1 de perto é isso aqui já implica que a o que Alpha o Emo reparametrização é a Jéssica Radial é mas como eu sei que o rd ter é não negativo então eu também tenho que essa reparametrização é monótono e eu respondi para ela tem que ser a Gilberto Cardeal o módulo reparametrização comprimento vai invariante por parametrizações você pega a geodésica e anda não pode voltar mas se você anda com velocidade variável positivo comprimento é o mesmo quem é Bom dia E é porque na verdade

isso aqui uma são funções contínuas então se você tem uma função que é que é maior igual a zero e positiva no ponto integral dela positivo é Tá certo Tô faltando Esse passo aqui que na verdade eu teria que é integral disso é zero por e portanto isso é zero em todo tempo porque não negativo é o ok então pro vamos as propriedades geodésicos E aí E aí e quando eu não falei aqui mas com e você pode em geometria em três que também outro conceito que é importante o conceito de distância né há entre:

o diabo a ideia que você tem uma superfície S e tem: pq Então você quer definir a distância e entre esses: como pontos uma superfície que você faz é você pega o ínfimo um dos comprimentos de todas as curvas diferenciáveis por partes Alpha que ligam p a que a definição é ínfima os comprimentos de Alfa E aí e onde Alfa e é uma curva é diferenciado por parte Ah que legal Patcher E aí Oi e aí é fácil ver que isso é de fato uma uma distância ou seja se você coloca se olha para o

par formado pela superfície à distância dessa isso aqui fica no espaço métrico bom e que a topologia induzido por essa distância coincide com a topologia usual da superfície como subconjunto do R3 eu deixo isso como exercício para vocês é fácil ver que ela é simétrica né porque eu comprimento não depende se você vai de lá para cá o dica para lá e é sempre não negativa um certamente vale a desigualdade triangular né porque você tem... P Q e r bom então você pega qualquer curva que liga PR e qualquer curva que liga a ele aqui

se você junta as duas tem uma curva que liga pack portanto e a distância tô de pé que tem que ser menor igual que a soma desses comprimentos é mas aí você toma unha filme em cada um e obtenha as distâncias entre os pontos correspondentes a ah e também Vale á ao a situação em que a distância distância for zero. São iguais porque até é fácil checar que essa distância aqui ela é sempre maior igual Eu quero distância dos pontos como pontos do R3 é porque o comprimento de qualquer curva que liga a PEC vai

ser maior igual que o que o comprimento do segmento de reta né bom então sempre vai manter distância zero os pontos são iguais então todas perfis do R3 tem uma noção de distância e aí a pergunta natural se coloca é se dados: PT sobre uma superfície S se existe uma geodésica que liga pq e cujo comprimento seja igual a distância certa a mãe só entra na no conceito de superfície completa que aparece mais tarde no livro não fácil ver que isso não é verdade geral por exemplo se você pega se a sua superfície fosse um

um aberto do plano assim se essa for sua superfície você pega um ponto P e outro ponto porque aqui você tem uma noção de distância Ah mas essa distância não é realizada por nenhuma geodésica é porque como eu tô com mais perfeição pedaço do Plano A única geodésica seria essa daqui que sai da superfície e a versão um exemplo de uma superfície em que a distância não é realizada por uma geodésica A Carta é muito bem Oi ok bom então agora a gente pode ir como é que tá a preparar o terreno para provar o

teorema de Gauss banner 1 a começar o assunto da próxima na próxima semana É só para fazer isso é o primeiro passo quem é a interpretar de maneira em termos de ângulo o conceito de curvatura geodésica comecei o curso aqui falando de curvatura de curvas planas eu dei uma definição e depois observei que a curvatura de uma curva plana nada mais é do que se ela se a curva tiver parametrizada e o comprimento de arco nada mais é do que a taxa de variação e do ângulo é que a gente faz como horizontal essa definição

de e a Interpretação da a curvatura em termos de Angola né Eu gostaria de fazer encontrar algo parecido para superfícies e E no caso aqui cobertura vai ser substituída pela a curvatura geodésica eu gostaria de tentar entender essa cobertura geodésica como taxa de variação de algum ângulo certo esse objetivo então só observar o seguinte que se você tem você sempre pode falar de função ângulo né então vamos imaginar que você tem aqui ao longo de uma curva Alpha Você tem uma curva o alfa é uma superfície regular Digamos que ao longo dessa curva Alpha Eu

tenho dois Campos o vídeo Te o e WD te são Campos tangentes ao longo de Alfa e vamos que essas Campos sejam unitárias E aí Tá certo é o que eu gostaria de fazer é e tem uma representação para esse ângulo aqui que vai do verde ter pro Oi para o w GT Tá certo de fato esse ângulo sempre existe uma maneira de fazer escrever isso daqui a seguinte se a sua superfície a orientada né então Digamos que ela seja orientada o s orientada bom então eu posso pegar o único vetor que é perpendicular a

ver que a unitário e que faz com que ver esse vetor é normal formam a base positiva seja Posso rodar 90° no sentido anti-horário ditado pela orientação Eu Vou Chamar esse vetor de ver Bardi ter bom então vê barra de ter simplesmente produto vetorial da Normal pelo Verde ter posso fazer a mesma coisa com W barra de ter certo Oi e aí a minha observação é que sempre existe a chamada função ângulo e sempre existe uma função é diferenciável o atleta de pé talker e você pode escrever o w de ter e como cosseno de

teta de ter a ver os vídeos de mas seno cosseno de teta de ter vezes w de terra está funcionando ou sempre existe o que está por trás aqui é que você pode a chamar isso aqui a diário ter pode chamar isso aqui de o Pedro ter como essas vetores são formam uma base quer ver né e como esses vetores formam uma base ortonormal você tem que o ar de ter ao quadrado mais b de ter o quadrado é um O que significa que a curva HDTV e a macumba contigo no círculo de raio 1

aí toda toda curva que diferenciado eu não sei que você pode associar uma função ângulo que é diferenciado também ateus devem ter visto algo parecido aí algum algum dos cursos passado se não vocês fazem com o exercício né você sempre pode escrever essa curva como colocar no teto aí no teto Oi e aí a diferença habilidade do ângulo é a mesma diferenciabilidade da das funções certo essa função ângulo existe Oi e aí o que eu gostaria de fazer Comparar as derivadas com variantes um dvdw fazer uma é uma derivação geral aqui depois a gente faz

o caso particular para voltar na situação da cobertura geodésica você tem essa fórmula que se alderiva eu fico com o seguinte e não w linha de até = vamos lá isso aqui é menos sendo o teto de Deus Stephanie até vezes ver depois eu dei vou ver e eu cosseno teto de te vezes venit Oi e aí tem a derivada do segundo termo que vai me dar mais cosseno é perto de ter Catarina de pé o debate ter mais a cena perto de ter de balinha de teto bom então tem isso aqui bom como essas

vetores são unitários é o que que eu sei sobre esse sobre esse vetor aqui né novamente eu sei que como ww e é igual a um eu sei que o w linha é perpendicular o w certo o amor se eu quiser a derivada covariante eu coloco a componente tangente aqui tá certo E lembra que o W tem gente né se viu tanta gente superfícies e é mais implica que a derivada covariante DW e também é perpendicular o w o papel seguinte situação eu tô no plano tangente é normal tá contando para fora do quadro tem

esse vetor w que como a derivada covariante é tangente e perpendicular o w ela tem que ser um múltiplo do W barro eu vou tentar um lugar aqui né O que significa que a única coisa que eu preciso determinar para calcular derivada covariante é esse múltiplo Tá certo a calda uma definição que a definição do livro notação que o Alfredo use a seguinte e ele na nota Sim coloca colchete Oi aqui é exatamente aquele múltiplo ali Você já parou de ficar lá da derivada o covariante pelo w barra que é o n vetorial da brita

é isso para Campos unitários e e ele chama esse o dia o valor algebrico e cadê Ivaldo Covarde e é então que eu gostaria de fazer agora é comparar o a derivada covariante do W quando ele vai lá com variante do V1 O que eu preciso fazer é tomar o produto escalar daquela daquela expressão com o w/ o certo seria você falou já é Branco AC e vai ser igual ao produto escalar a peça derivada covariante é um w/mas não dá para o bairro tem gente então posso pegar e levado ao hu é exatamente o

que eu tenho ali certo eu vou fazer o produto calado isso daqui por w/vão w/é fácil determinar né porque ele corresponda a rodar o w no sentir dor aplicar uma rotação ao WD 90° no sentido anti-horário mas a rotação a transformação linear Então você roda o ver Rodovia bar quando você roda o ver você fica com ver/a gente tem essa expressão aqui bom e quando você roda o verbal você tem menos o inverno eu fico assim G1 e essa expressão para o w barra de tempo certo o ok então agora a gente faz o produto

ficar lá e quanto que dá Eu morei lembrando tio veio ver barra forma uma base ou foi normal né e como é que faz isso aqui nós vamos pegar esse tema aqui primeiro por exemplo tá o ver barra com o ver da zero né então não interessa vai aparecer o ver/vezes velhinha aqui eu fico com cosseno ao quadrado é de barra a velhinha Tá certo e depois e o ver/conversar dá um bom então fico coçando o quadrado Catarina Oi e aí depois eu tenho ver/com ver/linha mas lembrem que novamente ou v-bar V/unitária né bom então

vê/barra linda zero então acabei com esse tema aqui e agora vou olhar para esse é a então tenho ver com o ve dá um né menos com menos a mais Ó ficou sendo o quadrado ver se a talinha E aí se aparecer um tratamento também e a depois ver com o velhinho da Zero da mesma forma que o ver Barbie é barrinho dava zero ver com ver bar da zero também e fico com você vê/linha menos sendo quadrado e não mais sendo quadradinho Opa menos você não quadrado ver/limpa fica menos aqui a ver trabalho e

não é essa expressão que dá o que não coça um quadrado com seu quadrado dar um portanto esse tema aqui já me deu até Tânia a é só que ainda preciso comparar esses dois termos aqui Ah mas isso é só lembrar que como veio ver/só fogo mais em e o velhinho ver/é o menos verbally não é o outro com sinal oposto certo e ovelhinha ver barra que ar de quem que é o velhinho bar é exatamente o valor algébrico da a derivada covariante de ver né E aí e toca boa a conta né gente mostrou

aqui a diferença entre esses valores é exatamente a derivada taxa de variação do ângulo entre os vetores u e como interpretar isso para terminar e vamos escrever essa proposição e tirar um corolário 1 e não proposição o ex eu tenho Verde twdt Campos e tangentes e unitários e ao longo de alguma curva Alfa e com tira na superfície s o Digamos que teto de te ver Olá seja uma função ângulo é um joguinho alto assim esse é o angulo que faz o ângulo que vai do ver por w Tá certo sabe que a função logo

ela está definida módulo múltiplos inteiros de 2 pilhas eu já mas existe uma pelo menos E aí bom então mas provou que a derivada covariante e o W Esse valor já é bico aqui é igual ao do V é mas taxa de variação do alvo Tá certo então agora qual é o corolário E se eu quiser voltar o o assunto da geodésicas né Me desculpe não geodésica curvatura geodésica como é que qual é o caso particular dessa proposição que vai me dar o que eu quero E aí E se eu quiser aproveitar essa fórmula aqui

um desses termos tem que me dar cobertura geodésica e já cobertura geodésica vai ser vai estar relacionada quando ele vai do com parente de quem E aí E aí em Qual farinha né a nossa você tem uma curva Alpha na superfície s e ela vem parametrizada pelo comprimento de arco e a gente definiu e a curvatura geodésica aqui e como sendo exatamente o produto escalar que faz a derivada covariante do ao faria com aquela normal o que nada mais era do que o n vetorial ou faringe esta é a direção da Argentina que tá o

farinha que tá online o ou seja cobertura geodésica é o valor algébrico da derivada covariante no ou farinha e se a curva tiver parametrizada comprimento de arco Ah tá Se eu pegar um dos vetores aqui como própria velocidade da curva um desses termos vai me dar curvatura geodésica o que é que eu faço então com outro E aí E aí e é uma curva a curva é qualquer né Eu quero interpretar curvatura geodésica de curvas e e como é que se chama esse Então como é que eu posso pegar o outro para aquele zero G1

e pega um campo paralelo que é exatamente um campo em que essa derivada covariante 20 é um corolário disso é o seguinte que se eu tenho Alfa em uma curva e parametrizada pelo comprimento de arco E se eu pegar um campo wds e a Campo tangente e unitária o e paralelo ao longo de Alfa a esse eu medi o ângulo se eu pegar alguma função Angola não entre e o campo paralelo o que o campo velocidade bom então concluo que é de um lado eu vou ter cobertura geodésica e do outro lado eu vou ter

zero mais taxa de variação do ano Tá certo Ou seja a interpretação de fato existe sendo que no plano Campos Paralelos são Campos constantes Então o que a gente pagava sempre horizontal e se você quiser ter essa interpretação no caso de superfície que você precisa fazer é comparar olhar sempre para o ângulo que a tem gente faz com um campo Paralela e tu pode até mover né é mas processo vivendo na superfície transferidos paralelas tá tá tá bom então essa interpretação da cobertura geográfica da taxa de variação que a tangente faz como direção Paralela é

bem é uma pergunta E aí é muito bem a isso vai ser importante para o Oi para o teorema de Lei de Gauss boné porque os ângulos vão os ângulos vão aparecer e a gente continua na próxima aula então E aí G1 E aí E aí