[Música] Olá super jovens tudo bem Bons dias para vocês boas tardes para vocês Boas Noites para vocês importante que todos vocês estão aqui hoje comigo Professor Silvio seu professor de matemática fazendo aqui algumas dicas algumas revisões para o exame nacional que é o ENEM Ok seja muito bem-vindos aqui e vamos que vamos Então olha só a minha intenção com vocês aqui hoje é mostrar um pouco dentro da Matemática a parte da geometria plana tá pontos fundamentais sempre recorrentes em nossas provas de Enem e vestibulares também concursos também públicos seja doério Municipal federal estadual sempre tem
alguma coisa ali acontecendo na matemática dentro do universo encantado da geometria plana Ok tópicos importantes áreas figuras planas perímetro apótema polígonos regulares circunferência e círculo essa é a nossa proposta aqui hoje durante essa nossa pequena aula aqui bonitinho vamos lá então Don ó Lembrando que além de se ter uma incidência muito alta no ENEM né A geometria PL serve como referência base para que você também tenha um bom desempenho no exame onde envolve provas questões de geometria eh no nosso caso aqui espacial que são os poliedros né aquelas figuras bonitonas lá tudo bem Bora lá
então né competência já está aqui para você e aí eu vou começar aqui ó bem legalzinho na condição de que área perímetro e apótema área a gente já sabe que é de grande importância grandeza importante da geometria que representa a medida de sua superfície o perímetro e a soma né dos lados de um polígono Ou seja é a medida que você tem do Contorno de um polígono já comentei isso com vocês também tá e a ptma é o segmento que liga o centro do polígno regular até qualquer um dos seus lados de forma que você
vai visualizar aqui perpendicular tá bom Bora lá então Ó vou começar com você pelo quadrado pelo quadrado bem bonitinho aqui sim esse é o quadrado tenho aqui essa tábua muito bonitinha tá essa tábua a gente conhece ela como gel plano e aqui você visualiza Exatamente esse pensamento que eu tenho com vocês aqui ó o quadrado uma de suas características é exatamente ter os quatro lados iguais observem aqui quatro lados ó quatro quatro quro quatro né então que você visualiza Por que o professor n s saav assim olha gente a área do quadrado que é toda
essa região que está aqui no centro né é o lado vezes o lado porque se eu contar meus pontinhos 1 2 3 4 1 2 3 4 4 x 4 16 será que é professor silv como tá para mim aí 4 8 12 16 Fechou então a área de um quadrado é o lado vezes o lado e o perímetro é todo esse Contorno que você está a ver aqui ó tá eu somo esses quatro pontinhos somo esses quatro oit com 4 8 com 12 com mais 4 16 percebe então trazendo aqui pra nossa lousa bonitona
super chique show de bola Então tudo isso aqui ó eu só voltar aqui bonitão tal caneta apontador marca texto ó Então essa aqui é a nossa área bem legal deixa eu só colocar uma cor preta para ficar bonitinha tá E essa área aqui então vai ser lado ao quadrado esse espaço todo nosso aqui assim ó tá esse Contorno que a gente está vendo aqui ó bonitinho na lousa né esse Contorno é o perímetro então caso eu queira calcular essa área eu faço simplesmente lado ao quadrado ou lado vezes lado então eu tenho o tamanho l
tamanho l comprimento L comprimento L 1 2 3 4 o perímetro nesse casa aqui tá Professor Silva senhor escreve perío todas as vezes na sua prova não né Eu coloquei assim só para uma questão didática com você agora na verdade o perímetro ele é conhecido nesse formato aqui ó 2 pi aí 4 X L ah Professor mas eu tava pensando aqui e se eu colocar só o p como é que fica essa conversa nossa entre nós dois aqui como é que fica essa relação Olha ela fica um pouco diferenciada porque para nós somente o p
ele representa o semi perímetro assim como tem a circunferência semicircunferência essas histórias todas tá então o perímetro tá aqui assim Outro ponto importante que a gente não pode esquecer é a diagonal a diagonal ela vai ligar esses dois esses dois vértices aqui ó não consecutivos atravessando aqui bem bonitinha essa linha legal e o mais interessante que essa história da Diagonal nos mostra também que o quadrado né ou o triângulo é a metade de um quadrado Tá ok tanto é que se eu pegar aqui de novo né olha que legal tô cheio de liguinhas aqui hoje
cabelo né A minha tábua minha tábua mágica Olha só diagonal tá Professor como que eu calculo essa diagonal hein Professor essa diagonal tem esse lado tem esse lado estamos diante de um triângulo retângulo teorema de Pitágoras Então essa diagonal é a hipotenusa desse triângulo retângulo e outra coisa também né Essa diagonal aqui ó ela representa a bissetriz desse ângulo reto aqui ou seja dividir esse ângulo em duas partes iguais em dois valores iguais a 45º cada Ok então posso calcular a diagonal a diagonal usando o teorema de Pitágoras né é como se fosse aqui ó
L qu + L qu então L √2 E aí a gente segue a caminhada dentro do universo Encantado de um quadrado Ok tudo certo eh poderíamos também calcular aqui a apótema né a apótema é sempre essa essa reta aqui ó que vai ligar o centro do quadrado tá a um dos lados formando aqui um ângulo de 90º essa aqui no caso é é a nossa apotem Zinha não é professor silv como que eu calculo essa P pera aí se se trata de um quadrado né Eu estou bem no seu centro e esse comprimento aqui ele
é L ó quando eu faço o traço da apótema está exatamente o quê no meio do caminho desse lado exatamente a metade desse lado então caso eu queira calcular a apótema basta tomar o valor do lado e dividir por quanto dividir ele por dois e assim a gente segue a caminhada rumo ao sucesso Ok tudo certo ó desenhar aqui ó um estantezinha aqui ó esse aqui é o meu retângulo então 4 x 3 12 né então o retângulo é a base vezes a altura tá como o triângulo é metade dessa base vezes altura é por
isso que a área de um triângulo aquela que resolve qualquer tipo de triângulo digamos assim né é a base vezes altura dividido por do tá então o triângulo de uma forma geral uma forma assim que eu quero calcular a área dentro dessas condições a área sempre será a base vezes a altura dividido por dois Belê Só que nesse caso aqui jovens eu tenho aqui um triângulo equilátero né E esse triângulo equilátero ele tem uma características diferenciadas dos demais por que Professor Silva primeiro os três lados dele aqui ó apresentam-se com a mesma medida oks se
os três lados se apresentam com a mesma medida quer dizer que seus três ângulos internos também se apresentarão com a mesma medida que é o quê igual a 60º professor seu por que 60º hein essa é uma pergunta clássica que a gente escuta muito de nossos estudantes em sala de aula ao vivo presencial ali né É porque ali a soma dos ângulos internos de todo e qualquer tipo de triângulo sempre será igual a 180º como eles são iguais três 180º por 3 é igual a quanto a 60º cada um Tá bom mais alguma coisa que
eu posso fazer com você aqui pode professor olha só a altura né a altura ela vai desse pontinho aqui ó desse vértice A atravessando todo o corpo do Triângulo até fazer um contato aqui ó com o seu lado oposto formando aqui um ângulo de 90º essa aqui é a nossa altura sabe o que é legal é que essa linha que faz o papel de altura né ela se apresenta como uma bissetriz porque ela divide o ângulo lá em cima lá no verse a ao meio 30º para cada lado né e também também faz o papel
aqui ó de cortar de fazer um corte aqui cirúrgico legal desse lado em duas partes exatamente iguais então caso eu queira calcular a altura em especial né de um triângulo equilátero Tá novamente usando as regras do teorema de Pitágoras vai ser L aqui ó faço uma continha aqui bonitinha né então L Quad só para você visualizar viu vai ser só a metade desse lado aqui assim ó porque Eu dividi ele exatamente ao meio né então L so 12 elevado Quad mais a altura ao quadrado isso é teorema de Pitágoras a hipotenusa ao quadrado é igual
a soma do quadrado desse cateto com o quadrado desse outro o mais é fazer continhas né então L qu - L qu so 4 por que Professor Silvio eu já fiz essa conversão do L2 L qu 2 qu = 4 né e aqui a gente faz uma continha muito maravilhosa muito romântica que vai ser assim ó H qu tá tira o mínimo múltiplo comum né 4 x 1 4 - 1 3 então 3 L qu se o foco encontrar o valor dessa altura eu simplifico assim ó esse h vai ser a ra qu 3L elevado
qu sobre 4 né tirando esses elementos que são possíveis tirá-los de dentro da raiz temos então L ra3 sobre 2 ok então essa é a diferença que se tem né a respeito do triângulo equilátero em relação aos demais tem uma altura especial qualquer figura que vê a sua a sua mente a vossa mente que trata de um equilátero né a altura Será o quê L √3 so 2 passa a régua e fecha a conta e corre pro Sucesso Fechando assim tá bom É então área base vezes altura sobre 2 Lembrando que então a área a
altura L √3 so 2 né então você pode colocar assim ó a área desse triângulo no nosso caso aqui assim a base Vai ser todo esse L né todo esse L tá então L que eu vou ter l L3 so 2 sobre 2 Então essa área aqui jovens ó L qu ra qu 3 sobre 4 e assim a gente fica fechando a ideia de como se calcula a área de um triângulo equilátero tá a respeito do perímetro que já é do nosso conhecimento 2p deixa só tirar aqui um pouquinho esse monte de informação né aqui
então a respeito do perímetro como cada lado Med L cada lado m l então o perímetro é o qu 3 x l e fecha a conta também tá reforçando um pouco o apótema está aqui a altura então a a a o apótema é a distância desse lado até o centro do Triângulo se fizermos a conta bem legalzinha vamos perceber que isso aqui é 1 ter da altura Tá ok e aqui são 2/3 ficando para trás então aqui ó tá o centro do Triângulo 2/3 ficam por aqui e 1 ter fica de cá então caso eu
queira calcular o apótema desse triângulo equilátero basta que eu faça o quê a altura dividida por 3 Ok fechou Beleza beleza de crios tranquilo tranquilo mesmo tá então vamos seguir a nossa caminhada aqui assim né vou tirar daqui de novo bonitinho e passar para o próximo slide que é o hexágono eu coloquei o hexágono Na verdade tem outras figuras Aqui também tá a gente sabe que tem o quadrado o triângulo né que é só pegar essa parte S bonitinha tá temos aqui ó o retângulo tá bem legalzinho também que eu posso calcular inclusiv a sua
diagonal as características são bem parecidas quando do quadrado A diferença é que a base e a altura não tem a mesma medida só os lados paralelos apresentam assim né OK tem o paralelogramo que a gente faz o mesmo cálculo que é feito na questão do retângulo viu então a base vezes altura dividida por e é não base vezes altura apenas tá já ia falando de triângulo aqui para vocês tá temos o trapézio né que é a soma dessa base maior com essa base menor vezes a altura dividida por do Então temos outras figuras aqui além
dessas que eu estou passando para vocês tá E aí eu trouxe o hexágono irregular em particular porque muita gente fica decorando como é que faz essas contas esquisitas de exag regular não é aí eu sempre lembro de uma caixa de pizza a caixa de pizza ela tem esse formato geralmente ela são Simos são depois vocês conferem comigo e comentam por aí tá eu vou ligar aqui ó esse vértice até esse outro bonitinho Então essa aqui vai ser a nossa né diagonal aí eu vou ter essa outra diagonal bem legalzinha essa aqui e se vocês observarem
eu tenho seis triângulos curiosamente Como regular seis triângulos equiláteros então o tracejo de todas as diagonais e visualizo 1 2 3 4 5 6 triângulos equiláteros então calcula a área de um triângulo equilátero que nós percebemos isso agora a pouco no no no slide anterior no ponto anterior não é E aí seis vezes ele então é área total do hexágono quanto ao seu perímetro sendo ele regular apresenta-se com todos os lados de mesma medida 1 2 3 4 5 6 então seis vezes esse lado aqui pronto não tem tanto segredo né Tá faltou alguma coisa
faltou professor Silvio a respeito da da apótema né do apótema É só você ligar aqui jovem ó do centro dessa figura desse hexágono regular até o lado oposto a esse vértice e a gente percebe que literalmente é a própria altura olha só que legal é a própria altura né do nosso triângulo equilátero então o apótema aqui ó de um hexágono regular o apótema dele viu ó vai ser o qu a altura literalmente né do triângulo equilátero que você está tá aqui ó que os seus olhos permitem de enxergar o que está sendo escrito aqui Belê
beleza de crios tranquilo quanto a isso ok ok jovens Olha só se até aí tá tudo bem né eu vou seguir o passo com vocês aqui ó Nessa condição do losango o losango eu coloquei também por quê Porque o losango ele é ele é o nosso amiguinho do do quadrado Cadê o meu a minha a minha tábua mágica aqui né só que assim ele ele é um rapazinho mais ou menos que eu falo assim ele é uma espécie de de de de quadrado cansado você entendeu aqui ó tá os lados dele se eu não não
desenhei bem bonitinho aqui sen tô quase chegando lá ó é mais ou menos aqui aqui assim isso é que a minha tábua ela é um pouco pequenininha né ela não encaixa aí Ache que achei o ponto aqui ó aqui ó esse é o meu losango tá vendo os quatro lados dele né são iguais O que diferencia o um quadrado de um losango Tá ok é que o quadrado os quatro ângulos internos aqui ó aproveita essa essa essa essa parte da tela né isso aqui é um quadrado o quadrado ele tem os quatro lados com a
mesma medida ok né aqui assim tá ele tem os quatro ângulos internos chamados de ângulos retos Ok o nosso losango ele tem os quatro lados com a mesma medida bonitinho também né só que esses dois ângulos aqui ó são ângulos agudos ou seja são ângulos menores do que 90º se os dois são ângulos menores que 90 para compensar a ideia de que a soma dos ângulos internos tem que ser 360º então esses dois ângulos aqui ó eles são ângulos maiores do que 90º são ângulos obtusos e isso é o que diferencia o quadrado do do
do do losango né em termos de ângulos internos aí no caso eu queira calcular a área Enquanto aqui no quadrado ó esses essas duas diagonais elas se apresentam com a mesma medida aqui não eu vou ter uma diagonal uma diagonal maior uma diagonal maior tá aqui bonitinho para você tá e uma diagonal menor Então eu tenho o cálculo dessa área será o produto de desão desinho dividido por 2 dedão dedinho por do então desão diagonal maior diagonal menor eu divido por dois o cálculo do perímetro mais uma vez é como o perímetro do quadrado basta
pegar um de seus lados e multiplicar por quanto multiplicar por quatro fechou a conta correu pro abraço também sucesso para todos em relação é isso aí tudo bem jovens Então essas são as as figuras assim digamos mais importantes né do universo encantado da da geometria plana viu assim Claro que tem outras não vou tirar o dia para isso aqui com vocês que o temp não permite né mas então eu tenho eh quadrado retângulo trapézio paralelogramo né triângulo tá e as suas características equ lário isósceles Tá ok escaleno né e tamb lá o comprimento dessa circunferência
ó 2 pi vezes o raio ponto assim o raio é a distância que vai desde o centro aqui ó até qualquer ponto desse anel tá bom caso eu tenha uma situação como essa que atravessa essa Praça passando pelo centro aí é o diâmetro do círculo aí já é diâmetro né então o nosso diâmetro aqui ó ele vai ser duas vezes o valor do Raio fechou Professor Sil beleza de Creusa e a questão da área a área é tudo isso aqui ó essa região interna que eu estou a rabiscar aqui para vocês tá é o jardim
da rotunda é o jard da praça né Então essa área aqui olha só para fazer o cálculo dela pi raio quadrado ah professor que massa hein Que bacana super fixe isso aí mas eu tava pensando aqui E esse pi que que eu faço dele nada é apenas um pi tá se ele falar assim ó que o pi considere o seu valor 3.14 você considera considere que o seu valor é 3.1 Então você considera considera seu valor três apenas três você considera se nada é dito então é simplesmente pi Rai quadrado simplesmente 2 pi vezes o
raio beleza OK tranquilo fechou essa continha nós vamos então de ENEM vamos brincar um pouquinho aqui para fechar eu trouxe para vocês duas questõe zinhas Enem Tá mas vou dar uma atenção especial é pelo menos um aqui com vocês agora viu essa aqui é o Enem de 2023 né da PPL e ele assim dicas nós sempre começamos a responder é só uma dica tá você segue o seu jeito seu caminho né o seu jeito de de de entender as coisas interpretações mas eu falo assim comece pelo comando da questão o comando é onde tá ali
a pergunta sabe o que que ele tá querendo né tá aí você vai no comando ali bonitão Verê como é que tá aquilo ali em seguida dê uma olhadinha dá ó texto principal texto secundário texto suporte né comando da questão viu e Aqui nós temos aqui ó ó os itens dos quais um a apenas um é o gabarito os demais são distratores Fechou então conforme eu disse para vocês eu vou começar aqui assim pelo comando da questão de acordo com as extremidades especificadas no texto e na figura a distância ef tá entre as extremidades do
arco de círculo é então ele quer saber isso aqui ó as extremidades e f do arco de círculo é isso que ele quer da gente não é aí eu vou então segundo as regras da FIFA em um campo de futebol área penal é região limitada pelo retângulo a b CD conforme v o desenho indicado na figura cujo lado AB mede aproximadamente 11 M ó cujo lado AB Tá ok eh a e CD fica localizado a 11 M do lado AD aqui ó Então esse aqui lado AB e CD fica Ah repito aproximadamente 16 m o
ponto penal P reforçando a leitura segundo as regras da FIFA é um campo de futebol área penal reg limitada pelo retângulo ABCD indicado na figura cujo lado AB mede 16 m aqui ó a correção viu o ponto penal que é o ponto P equidistante dos lados AB e CD fica localizado a 11 M do lado eh AD a 11 M do lado AD aqui ó do lado AD Ok o arco de circunferência exterior região penal tem centro em P Opa tem centro em p bem aqui assim ó centra em P Ok e o raio mede
aproximadamente 9 m então a pergunta é seguinte de acordo com as medidas especificadas no texto da figura a distância ef entre as extremidades do arco do Círculo é então ele quer saber o seguinte ó Qual a distância entre as extremidades ef aqui ó desse arco bonitinho não é jovens vem comigo aqui no desenho tá o desenho Tá aqui legal deixa eu só tirar essa primeira parte aqui assim ó vou apagar aqui assim né E vou colocar de ver ó segundo texto né o ponto A e C fica localizado aqui ó o ponto P equ distante
do lado AB e CD fica localizado a 11 M do lado AD então o lado tá aqui AD né então fica localizado a 11 M desse lado aqui ó então Aqui nós temos 11 M colocar aqui para você viu Outra coisa o ponto P ele serve de centro ó centro dessa circunferência como um todo tá vendo ó então tem centro em P ó o arco circunferência exterior a região penal tem centro p e o raio méde aproximadamente 9 m Então temos o raiio aqui assim bem legal tá de 9 m né ele quer da gente
o seguinte qual é a distância ef entre as extremidades desse círculo ele quer isso aqui ó Opa volta aqui ele quer isso aqui tá vendo bem esse pedacinho aqui assim ó que vocês estão vendo Ok vamos pensar o seguinte Olha só se eu traçar isso aqui ó Opa se eu traçar esse outro raio aqui e vou trazer essa figura para cá nós temos literalmente um triângulo aqui ó tá com o mínimo desses dois lados terem a mesma medida pode observar tá E aqui ó é a altura posso pensar assim também posso pensar assim né se
eu for Deixa eu só só girar essa figura vou fazer aqui um um giro legal com ela então med9 med9 essa aqui é a altura né então como os dois lados são iguais nós temos aqui ó bem no centro aqui bonitinho tá vendo e a gente consegue enxergar essa conversa viu então assim ó eh abcd o lado AB mede aproximadamente 16 m indicada na figura cuj lado da AB M 16 m AB 16 não é E aí ó como eu tô olhando exatamente aqui ó viu 16 m é tudo isso aqui segundo texto é 11
então aqui é 5 tá vendo ó cin é exatamente o tamanho dessa altura viu então a gente pode correr aqui pro triângulo bacaninha retângulo usando o teorema de Pitágoras E aí eu encontro Exatamente esse ladinho x aqui aqui ó tá vendo Então a nossa hipotenusa elevada ao quadrado vai ser o quadrado desse cateto somado com o quadrado desse outro cateto aqui assim ó tá bom 9 qu 9 elevado à segunda potência Quad 9 81 25 qu 5 x qu o valor desse x quadado aqui jovens ó passa vem para cá né 81 - 25 -
2 então o valor do X qu é igual a se fosse 80 - 25 né seria 55 + 1 56 então nosso objetivo x ra 56 e professor mas eu não tenho essa essa medida não né tava pensando aqui é não tem mesmo não mas vamos pensar juntos aqui eu sempre faço assim ó eu sei que a raiz quadrada de 49 ela é 7 eu sei que a raiz quadrada de 64 ela é igual a 8 Então esse jovem ra Quad de 56 tá por aqui ó nesse intervalo posso dizer isso entre 7 e 8
né eu já tenho uma ideia então que é um valor aima de 7 e abaixo de 8 não precisa fazer essa conta como ele quer toda essa medida aqui ó que representa Exatamente esse x mais esse x esse valor então el vai ser aproximadamente ente 7 vírgula alguma coisa vou colocar assim para você e duas vezes esse valor é maior do que 14 2 x 7 alguma coisa é maior do que 14 pode não ser 15 mas é maior do que 14 aí eu vou observando essa aqui não serve essa aqui ó é superior a
s Não serve Opa volta aqui ó não serve essa outra aqui ó superior 19 não serve não serve letra c é o nosso qu o nosso gabarito viu gabaritei tudo bem jovens ó prazer Zão espero ter estado com vocês aqui nesse momento né pequeno mas assim de grande importância para você tá sucesso continue seus estudos ficai bem até a [Música] próxima oh [Música]
