Matemática Básica - Noções iniciais de Conjuntos – Parte 1 (LIBRAS)

[Música] Olá pessoal Estamos aqui na nossa disciplina de matemática básica e nessa aula nós vamos tratar das noções iniciais de conjuntos muitas dessas noções provavelmente Vocês já viram ao longo da sua trajetória na Educação Básica Mas nós vamos retomá-las aqui porque elas vão ser importantes ao longo de várias disciplinas que vocês terão no seu os cursos Então vamos começar falando eh de três noções né que são essas três noções que pertencem aí à teoria dos conjuntos E essas três noções a gente não costuma defini-las porque elas são noções que a gente chama de noções primitivas

elas são aceitas eh mesmo sem essa definição precisa os matemáticos gostam muito de definir as coisas e nesse caso a gente vai ter mesmo aquela noção que é primitiva que a gente entende aí no nosso dia a dia Então primeiramente são né desses três elementos o conjunto o elemento e a relação entre o elemento e o conjunto a noção matemática de conjunto é a mesma noção que a gente tem no nosso dia a dia então é um agrupamento é uma coleção são classes são sistema e alguns exemplos a gente tem aí vários né Eu trouxe

aqui dois que é o conjunto de algarismos romanos e o conjunto dos números positivos primos cada membro ou cada objeto que entra na formação de um conjunto é ele que a gente vai denominar então de elemento então nos exemplos que eu dei né dos algarismos romanos nós vamos ter esses elementos então o um o 5 o 10 né representados aí de outra forma né que é na forma dos algarismos romanos vejam que cada um desses representa então um elemento desse conjunto assim como a gente falou dos números positivos e primos então o 2 o 3

o 5 S e assim vai um elemento de um conjunto ele pode ser de diferentes formas Então ele pode ser uma letra ele pode ser uma palavra e claro ele pode pode ser um número é importante perceber inclusive que o elemento de um conjunto pode ser um outro conjunto certo não necessariamente o elemento precisa ser um número por exemplo no caso né numérico mas pode ser um conjunto de números a relação entre conjunto e elemento é aquela relação que a gente dá o nome então de pertinência esse nome faz aí uma fácil relação com a

ideia do do que a gente quer trabalhar que a ideia de pertencer A então se eu tenho um conjunto a e x é um elemento desse conjunto A então a gente fala que x pertence a a da mesma forma se ele não pertencer se ele não é um elemento desse conjunto A então a gente diz que esse elemento x não pertence a a o símbolo certamente Vocês já viram é o símbolo do né do e Eh claro esse e simbólico específico do pertence e quando a gente cruza é o não pertence nós temos aqui também

ã o uso de círculos Às vezes a gente usa um formato não tão eh preocupado né em ter essa representação tão circular assim mas a ideia é essa para representar esses conjuntos é o chamado diagrama de euller ven a gente usa na verdade diagrama de ven mais comumente né E aí é que a gente tem um exemplo em que eu tenho três eh círculos né então representaria aqui três conjuntos e nesses três conjuntos eu posso ter elementos nesse caso aqui pertence aos três conjuntos elemento que pertence só a um deles a dois [Música] deles quando

eu vou descrever um conjunto Eu tenho dois recursos para isso eu posso se for um número né um conjunto numérico eu posso enumerar porque um conjunto numérico eu consigo ter essa ordenação alguns conjuntos eu não consigo fazer isso então por exemplo times de futebol quando eu pego alguns times de futebol eu não tenho uma ordem eu tenho aí um conjunto de nomes né Então nesse caso eu também vou colocar esses nomes representando E aí então sem uma ordenação Mas eles podem ser normalmente elementos de um conjunto representados eh dessa maneira e a outra maneira é

eh darmos propriedades características desse conjunto então quando eu disse um time de futebol essa do Estado de São Paulo da primeira divisão por exemplo eu tô fazendo aí uma descrição do meu conjunto sem de de fato dizer que elemento é esse Eu estou descrevendo esse conjunto Essas são as duas formas ou eu digo Quais são os elementos ou eu digo uma propriedade desse conjunto quando eu faço essa são dos elementos eu vou colocar então esses elementos representados entre Chaves nesses que a gente viu como exemplo eu posso né tem aí as duas representações juntas agora

uma entre Chaves em que eu tô dizendo Quais são os elementos e outra pela descrição desse conjunto segundo a sua propriedade observem que quando esse conjunto ele é finito eu começo e termino com a chave e tudo bem Se ele for um um conjunto infinito como por exemplo aí dos números primos positivos eu indico com reticências quando queremos escrever um conjunto A por meio de uma propriedade das que seja característica desse conjunto A gente então nomeia essa característica de p dessa propriedade né uma relação entre as palavra e a letra de seus elementos que a

gente como sempre costuma aí representar bem usualmente de x nós vamos dizer então que a é um conjunto x tal que essa barra indica tal que não sei se todo mundo conhece essa representação então o conjunto A formado aí pelos elementos x tal que X tem essa propriedade P ou a é um conjunto dos elementos x que tem essa propriedade p são as duas formas aí de representar então eu tenho como exemplo aí eu trouxe dois exemplos né então um conjunto x tal que X é divisor de 3 então por exemplo o próprio 3 é

um elemento desse conjunto e x tal que X é um inteiro em que ele é maior ou igual a zero ou menor igual a 100 um conjunto agora nós vamos falar daquele que a gente vai denominar de conjunto unitário a gente vai ver alguns conjuntos primeiro deles aqui é o conjunto unitário como o nome já é aquele conjunto que possui apenas um único elemento então se eu tenho por exemplo a equação 3x + 1 = 10 se eu resolvo essa equação o que que eu faço eu vou ter 3x = 9 3x iG 9 eu

vou fazer o quê vou encontrar o x fazendo 9 so 3 certo e aí 9 so 3 dá 3 então só tem um único elemento que eu coloco nesse substituo pelo X que é o TR E aí eu faço 3 x 3 + 1 que dá 10 é uma solução única e aí para não ficar apenas no exemplo numérico eu trouxe outro exemplo que é o conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai eu só tenho um único e estado aquela pausa para ver se você lembra qual é que é o Rio Grande

do Sul um outro conjunto que a gente também eh costuma usar bastante vocês já devem também já ter visto que é o conjunto denominado de conjunto vazio o símbolo tomem cuidado Existem duas formas de representar o símbolo que a gente representa esse que parece um zero cortado né Mas a gente pode também representar com as chaves e dentro dessas Chaves não colocar nada esse conjunto vazio cuidado porque às vezes a gente confunde quer colocar por exemplo zero dentro dele o conjunto vazio é o conjunto vazio mesmo eu não tenho nenhum elemento que pertence a esse

conjunto eu uso justamente quando eu quero dizer que eu não tenho uma solução possível e portanto a resposta é um conjunto vazio porque não tem nenhum elemento que eu coloco dentro desse conjunto que eu resolvo né que eu tenho aquela característica P por exemplo por outro lado eu tenho o conjunto universo o conjunto universo é aquele que é o conjunto amplo de onde então eu posso escolher os meus elementos então quando eu vou desenvolver um certo assunto de matemática admitimos a existência de um conjunto u que é um conjunto Universo ao qual pertencem todos os

elementos utilizado nesse assunto que eu estou trabalhando esse conjunto então é o conjunto universo bom se eu quero por exemplo procurar soluções reais de uma equação Então nem todos os elementos do meu conjunto dos números reais vai ser solução da minha equação mas quando eu digo que eu vou procurar uma solução dentro dos do conjunto dos números reais esse conjunto maior onde eu vou buscar a solução da minha equação é aquele conjunto que eu chamo de conjunto universo portanto Quando vamos descrever um conjunto através de uma propriedade é fundamental a gente fixar qual vai ser

o nosso conjunto Universo em que a gente vai procurar ali as soluções para minha né que que tem essa propriedade P então eu costumo escrever dessa maneira né a vai ser igual a um conjunto dos elementos x esse X então pertence a u ou seja pertence ao meu conjunto universo e tal que ele tem a ainda algumas características nesse caso então tem a propriedade p como a gente estava representando até agora alguma característica do meu conjunto então dois conjuntos a e BS eles são iguais Então agora eu tô falando de conjuntos iguais quando que eu

posso considerar que dois conjuntos são iguais quando todo elemento de a também é elemento de b só nessas condições é que eu vou ter dois conjuntos iguais e claro reciprocamente todo elemento de b também é elemento de a Ok então aí também tá na representação matemática a vai ser igual a B ou seja o conjunto A igual conjunto B desde que né se somente C qualquer elemento x ele pertence a a e também pertence a b OK aí eu trouxe um exemplo se eu tenho lá um X pertencente aos reais tal que do x +

1 = 5 quando eu resolvo essa equação de novo eu vou ter uma solução única como eu dei no exemplo anterior que é o 2 então eu posso escrever essa igualdade x + 1 = 5 quem é a solução desse conjunto né é o 2 então eu dessa equação é o dois eu tenho a igualdade Entre esses dois conjuntos também tenho aqui o x inteiro positivo ímpar que a gente já tinha visto eu tenho aí também uma igualdade porque se eu coloco esses elementos eu estou aí né Falando de elementos que todos que estão num

conjunto e à direita aqui da minha igualdade também são elementos do conjunto que eu representei aqui à esquerda da minha igualdade observem uma pergunta que muitas vezes aparece eh essa repetição dos elementos então uma anotação que a gente chama aí de Inútil né Por qu eu não preciso representar o elemento a três vezes o elemento B duas vezes Quem são os elementos do meu conjunto é o a e o b certo não preciso indicar isso várias vezes vocês vão ver em estatística futuramente muitos dos cursos aqui T né a disciplina de estatística isso faz diferença

quando eu tô falando de elementos por exemplo a idade de um conjunto de pessoas então aí sim faz diferença para mim se eu tenho 20 pessoas com uma idade de 25 anos e três pessoas com idade de 20 eu quero fazer uma média então aí eu faço a descrição de todos esses números mas esse é um caso específico que a gente vai representar dentro da estatística nessas condições aqui quando a gente trabalha com a teoria dos conjuntos a nós não não interfere a gente quer saber quem são os elementos desse conjunto o elemento é o

a e o elemento é o b não nos importa quantas vezes ele aparece né trazendo aí da sua situação de onde você obteve essas esses números no caso forem números aqui o a e o b representando alguma algum elemento genérico então se a não é igual a B A gente então vai ter o símbolo do diferente que a gente também já conhece né então a gente indica que a é diferente de B E aí nesse caso a gente tem um exemplo de dois conjuntos em que eles não são iguais porque o elemento D está em

um dos conjuntos e não está no outro conjunto então ainda que eu tenha três elementos que estejam né que pertençam aos dois conjuntos eu tenho que ter que todos de de um conjunto tem que estar também no outro conjunto E o d não está em um deles subconjunto então um subconjunto a é um o conjunto A desculpem é um subconjunto de um conjunto B C e somente C todo elemento de a pertence também a b então vejam que agora eu não tenho essa reciprocidade nem todo elemento de a precisa tá a b e de B

estar em a quando eu falo um subconjunto aí sim eu quero pegar alguns elementos do meu conjunto e formar Então o que a gente chama de subconjunto Essa é a anotação que a gente tem né A está contido em B E aí a gente também pode falar que a é subconjunto de B posso falar que a é parte de B e o símbolo né Esse aí que vocês provavelmente também já viram é na verdade o nome a gente chama de sinal de inclusão então a tá incluído no conjunto B ou ele está contido no conjunto

B se todo elemento de a também é elemento de b Então nesse caso aqui vejam ainda que o conjunto maior A B C D tenha mais elementos o AB né o conjunto dos elementos A e B também temos o a e o b no outro conjunto então ele é um subconjunto do conjunto maior assim como por exemplo o conjunto dos números pares ele tá contido no conjunto dos números inteiros certo conjunto dos números inteiros é mais amplo do que o conjunto dos números pares tem quando a tá contido em B também podemos escrever numa outra

forma que é o b contém o a e assim como a gente fez pertence e não pertence aqui eu também posso falar do contido e posso falar que o a não está contido em B isso por exemplo a gente pode ter aí um conjunto A BC e um outro conjunto a b d e e f nesse caso nesse primeiro conjunto que nós temos ainda que o a e o b estejam lá e também pertençam ao outro conjunto maior eu não posso falar que o conjunto ABC está contido n nesse conjunto maior por quê Porque o

elemento C está nesse conjunto pertence a esse conjunto e não pertence ao outro e como a gente viu todos os elementos deveriam pertencer vocês vão ver algumas propriedades aqui que vocês vão usar de forma intuitiva ao longo das disciplinas Mas elas são eh definidas né matematicamente então o primeira é que o conjunto vazio tá sempre conjunto eh contido em outro conjunto ou seja ele é sempre um subconjunto de qualquer conjunto o A tá contido dentro do a ou seja um conjunto tá contido dentro dele mesmo e o A tá contido em b e o b

contido em a significa que a é igual a B como a gente viu né A questão da igualdade e se o A tá contido em b e o b tá contido em um outro conjunto C então a gente por transitividade diz que o a também tá contido em C o conjunto das partes agora dado um conjunto A chama-se Conjunto das partes de a a gente faz tem essa notação P de a aquele que é formado por todos os subconjuntos de A então se eu tenho um conjunto A e B por exemplo então o conjunto do

elemento a só esse elemento dentro do meu conjunto ele é um subconjunto do conjunto que tem a e b como elementos e assim outros conjuntos que a gente pode encontrar né dentro do meu conjunto nesse caso a gente vai denominar de subconjuntos a representação então p de a observem que agora o x tal que x está contido em a ele tá em maiúsculo para indicar Justamente que ele é um conjunto né porque ele é Afinal um subconjunto do A então é um conjunto que é subconjunto de outro conjunto que no caso é o a e

por fim a diferença de conjuntos como o nome sugere né quando eu falo indem diferença é um menos o outro né Estou fazendo aí a ideia da subtração então quando eu tenho a diferença dos conjuntos eu tenho então dois conjuntos A e B conjuntos quaisquer a diferença de a - b é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a a e não pertencem a b e aí pra gente escrever também na fórmula na forma matemática eu vou ter a - b ele quem que tá nesse conjunto né quem são os elementos que per a esse

conjunto todo elemento x tal que o x pertence a a e o x não pertence a b a gente continua falando da teoria dos conjunto dessas noções iniciais de conjunto na nossa próxima aula vejo [Música] vocês [Música] h