Matemática - Aula 01 - Resolução e elaboração de problemas matemáticos envolvendo matrizes

e [Música] [Música] Olá pessoal sejam todos bem-vindos a mais uma aula de matemática sou o professor Tiago Silva professor de matemática aqui do centro de Mídias e esta é a nossa aula de número um que tem como objeto de conhecimento resolução e elaboração de problemas matemáticos envolvendo matrizes e determinantes incluindo condição de alinhamento de três pontos equação de uma reta e área de uma região triangular detalhamento matrizes então pegue seu material Organize tudo e Anote tudo na nossa aula e vamos à nossa aula [Música] e essa será a nossa aula de matrizes então aqui a

gente vai ver o que são matrizes vamos ver os tipos de matrizes Tá além das nossas operações de adição e subtração utilizando as matrizes Então vem comigo matrizes Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n ou m por n onde M representa o número de linhas que vai ficar na horizontal e n o número de colunas que é o que fica na vertical Tudo bem então linhas sempre vai estar na colunas na vertical a função das matrizes é relacionar dados numéricos por isso o conceito de Matriz não é só

importante na matemática mas também em outras áreas Já que as matrizes tem diversas aplicações então representação de uma matriz em matemática as tabelas são representadas por matrizes nas quais os dados que nós também chamamos de ou termos são dispostos em filas horizontais que são as linhas e filas verticais que são as colunas Ok esses elementos que geralmente são números ficam entre parênteses ou entre colchetes que Como podemos observar a seguir na representação matricial então uma Matriz m por n Observe aí como é que tá escrito Ó m por n tá então meu m vai ser

meu número de linhas meu n meu número de colunas então caso eu queira saber quantos elementos há na minha Matriz basta eu multiplicar meu número de linhas pelo meu número de colunas então aí o meu m e meu n pertencem ao conjunto dos meus números naturais sem o zero por quê Porque eu não posso ter zero linha ou zero coluna aqui ó uma matriz m por n onde a gente vai ler né m por n exatamente como eu estou falando é composta de m x n elementos ou seja vamos ver aqui Quantos elementos tenho aqui

né quantas linhas eu possuo então linhas tá uma linha duas linhas três linhas e quatro linhas OK estará na horizontal então aqui ó minha primeira linha segunda linha terceira linha e quarta linha e n OK tá colunas então aqui ó vertical uma coluna duas colunas e três colunas Então como é que eu sei quantos elementos há na minha Matriz basta eu multiplicar meu número de linhas pelo meu número de colunas então se eu tenho que quatro linhas e três colunas significa que a minha Matriz possui 12 elementos Ok as linhas de uma matriz São numeradas

de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita tudo bem como né mostra o exemplo a seguir tudo bem então como você pode observar aí ó tá as linhas a gente vai começar a conferir sempre de cima para baixo tá então a gente tem primeira linha segunda linha terceira linha quarta linha Ok coluna certo a gente sempre começa da esquerda para a direita então primeira coluna segunda coluna terceira coluna Ok Deu para entender direitinho como é que funciona vamos lá vamos acompanhar aí os elementos identificá-los aí essa Matriz tem quatro linhas e

três colunas Ok então ó Observe ó linha a gente sempre vai conferir de cima para baixo então aqui primeira linha ó primeira linha segunda linha terceira linha quarta linha sempre de cima para baixo coluna sempre a gente vai conferir certo da esquerda para a direita então primeira coluna segunda coluna e terceira coluna essa Matriz tem quatro linhas e três colunas dizemos então que é uma matriz do tipo ou da ordem quatro certo por três ou seja ela possui quatro linhas e três colunas certo aqui o primeiro sempre Vai representar as linhas segundo sempre Vai representar

número de colunas tudo bem E os números que a que a constituem são os seus elementos ou entradas então cada um aqui ó são os elementos da nossa Matriz tudo bem as matrizes geralmente são nomeadas com uma letra maiúscula e para indicar os elementos dessa Matriz usamos a mesma letra porém minúscula acompanhada de dois índices que representam respectivamente a linha e a coluna em que o elemento está localizado por exemplo considerando a matriz Então vamos observar aí a matriz A tá então aí temos aí a matriz A Observe que tem um elemento né que é

1/3 temos aí o outro elemento -1 o outro que é o zero o outro que é o 4 o outro que é o pi e o outro que é 5,3 então Observe que a gente pode ter número negativo a gente pode ter fração a gente pode ter número decimal a gente pode ter representação com letras ou também Aí no caso o pi que é o nosso número irracional então Observe que a gente representa a matriz utilizando uma letra maiúscula tá bom e os seus elementos nós vamos utilizar a mesma letra representando a matriz porém né

sendo minúscula e colocando ali os seus índices que representam a sua linha e a sua coluna observa comigo ó o elemento que está na primeira linha na primeira coluna Então qual é a primeira linha ó primeira linha tá e primeira coluna primeira coluna tá então quem é o meu elemento que está na primeira linha e na primeira coluna ó 1/3 Ok então ó exatamente né A1 1 que que significa o a11 que é primeira linha e primeira coluna Tá bom então ó lei a 1 1 que é igual a 1/3 é o elemento que eu

circulei aqui se eu quiser agora o elemento que está na segunda linha Ó segunda linha e na terceira coluna então terceira coluna então aqui é o meu elemento A2 3 então Ó segunda linha ó temos a primeira linha segunda linha terceira coluna ó primeira coluna segunda coluna terceira coluna então meu elemento realmente da segunda linha e da terceira coluna é 5,3 assim podemos representar genericamente a matriz A como então você vai observar o quê que tem aí ó a 1 1 e a 1 do Ó primeiro elemento primeira linha e primeira coluna né ao lado

dele primeira linha segunda coluna ao lado dele primeira linha terceira coluna Ok a mesma coisa serve pros elementos de baixo segunda linha primeira coluna segunda linha segunda coluna e segunda linha terceira coluna Ok então assim a gente pode representar qualquer elemento dentro da nossa Matriz Lembrando que a gente representa a matriz com a letra maiúscula e os seus elementos com a letra minúscula seguida ali do índice ao qual ele tá representando ali né A casa onde o elemento está situado Ok vamos lá assim podemos representar genericamente a matriz como então Observe ó sempre Ó primeira

linha então ó todos aqui eu estou né mostrando que ele está na primeira linha tá aqui o de baixo a segunda linha todos eu estou mostrando que está na segunda linha coluna aqui ó primeira coluna segunda coluna terceira coluna professor se tivesse mais elementos aí o que que eu ia fazer era só continuar por exemplo aqui ó o a seria o quê A3 1 por que a31 porque aqui vai ser a terceira linha primeira coluna aqui a 3 2 certo terceira linha segunda coluna e aqui seria o quê a 3 3 terceira linha terceira coluna

OK tá deu para entender como é que funciona como é que a gente consegue né localizar Aí cada elemento dentro da Matriz né então de modo geral ok uma matriz A com m linhas e n colunas né onde a gente representa ali m por n ela pode ser representada genericamente por olha aí ó né a gente vai né ali as linhas desde o um e a gente pode representar ali genericamente pelo M que é uma letra que pode ali né significar qualquer número né para fins de localização e a coluna A gente vai ali da

coluna desde a um até a coluna n tá bom para você entender melhor vamos lá acompanha aqui ele tá fazendo numericamente Como assim aqui serve pra gente conseguir localizar em qualquer Matriz tá Observe que as linhas ó 1 2 3 até um número de linha que eu não sei até qual vai então represento eu eu represento como M colunas ó vai 1 2 3 até a minha coluna n Tá bom então ah eu só vou a minha Matriz só vai até quatro colunas então aqui meu n vai ser quatro que vai ser até minha última

coluna Tudo bem então iria do 1 até o quro que seria a próxima então podemos representar genérica a matriz A como número de linhas e número de colunas ok a gente também pode representar aqui pelo i j i é linha Certo J coluna Lembrando que aqui é o número do tá situado no meu elemento tá bom aqui se eu se eu quero elemento a 31 certo ó o meu I se é 31 então aqui o meu I Vai ser 3 e o meu J vai ser um porque o i ó Observe que é sempre o

primeiro e o meu J será o segundo então se for a31 ok Então o meu i é o 3 e o meu J será o 1 tudo bem então quando eu tenho quando a matriz Ela tem todos os elementos iguais a zero nós chamamos ela de Matriz nula e a gente pode representar ela da seguinte maneira ó certo zer Ok E aí m vezes n tudo bem M linhas n colunas tudo bem Deu para entender seguindo em frente na representação expandida e também na abreviada o elemento aqui a está representando por a e j Ok

onde o meu I né representa a minha linha e o j a minha coluna Ok E como eu falei agora a pouco certo minha linha vai do um até o m e o J que é o me minha coluna irá do um até o n certo e quando é que eu utilizo isso vamos lá por exemplo se os elementos da Matriz olha aqui como a matriz está representada O que que significa esse 2 por 3 significa que eu tenho duas linhas OK e eu tenho três colunas tá entenda que sempre o primeiro será a linha

e sempre o segundo será a coluna tá E aí aqui eu vou representar né utilizando ali o azinho com i j e 2 por 3 que é a minha Matriz obtido pela lei de formação a e j Então olha aqui essa daqui será a minha lei de formação professor e o que que significa esse a j aí no meio dependendo do elemento certo que eu quero encontrar o valor dele dentro da minha Matriz vamos lá eu vou procurar o elemento A1 que que significa a 11 ó que no lugar do meu I eu vou botar

1 e no lugar do meu J eu vou colocar 1 também por que que eu vou colocar um em um porque aqui o meu elemento é a 11 tá então a minha lei de formação que é 3 i ou seja 3 x i + j Ok pro a11 no lugar do i 1 no lugar do J 1 E aí é só resolver ó 3 x 1 3 e aí 3 + 1 significa que o elemento a11 é 4 ó Observe que o a11 é meu primeiro elemento 4 isso eu vou fazer para todos ó i

aqui vai ser 1 J vai ser 2 Ó i é 1 j 2 res vendo Então significa que o meu elemento A1 é 5 ó primeira linha segunda coluna c e isso vai valer para todos Olha A3 é 6 melhor a 13 a21 será 7 segunda linha primeira coluna a 22 será 8 segunda linha segunda coluna e A23 será 9 segunda linha terceira coluna então aí eu já monto a minha matriz A certo que possui né duas linhas e três colunas seguindo esta lei de formação aqui ok então vamos lá matriz quadrada Quando é que

nós temos uma matriz quadrada tá matriz quadrada é exatamente quando o meu número de linhas é igual ao meu número de colunas ou seja meu valor de m é igual meu valor de n né lembra o que eu falei m é linha n coluna tudo bem então quando o meu m e o meu n forem iguais ou seja número de linhas e número de colunas iguais nós temos uma matriz quadrada tá aqui como exemplo duas linhas certo e duas colunas como é dois então significa que eu tenho uma matriz quadrada de ordem dois porque eu

possuo duas linhas e duas colunas aqui o próximo exemplo linhas são quantas ó três linhas colunas são quantas três colunas Tá três linhas e três colunas M está igual a n Então significa que é uma matriz quadrada de ordem TRS porque três linhas e três colunas Tudo bem então em uma matriz quadrada os elementos a e j para os quais I foi igual a j eles vão formar uma diagonal que a gente vai denominar como diagonal principal tudo bem os elementos a e j para os quais i + j for igual a m + i

melhor n + 1 formam uma diagonal chamada de diagonal secundária Ok isso aqui a gente vai utilizar para um cálcul de determinante tudo bem Quando I for maior do que j o elemento a e J está abaixo da Diagonal principal e quando I for menor que j o elemento a e j estará acima da Diagonal principal Professor senhor falou tanto de diagonal tanto diagonal que eu não entendi nada não tem problema não vamos visualizar quando é que melhor qual é a nossa diagonal principal exatamente quando i e j possuírem o mesmo valor ou seja olha

aí ó é um 1 2 2 3 3 e 4 4 isso vai formar a minha diagonal principal tudo bem todos esses elementos que ficam acima ó certo Ou seja quando o I for menor do que J certo ficam acima da minha diagonal principal e quando o meu i for maior do que J os elementos vão estar abaixo da minha diagonal principal Ok e a minha diagonal secundária quem é é exatamente ó se você fizer ao contrário ó essa daqui é a principal se você fizer o inverso Ó você vai obter a sua diagonal secundária

tá aqui vou representar com vermelhinho para ficar melhor para você visualizar será a diagonal secundária Tudo bem então aqui de azul a minha diagonal principal de vermelho a minha diagonal secundária tudo bem quando a gente possui ó todos os elementos da minha diagonal principal né quando todos os elementos dela são iguais a um e todos os meus outros elementos são iguais a zero nós possuímos a Matriz identidade tudo bem Aqui a nossa Matriz identidade quando todos os elementos da minha diagonal principal for igual a um né E todos os outros elementos forem igual a zero

a também pode chamar ela de Matriz unidade Ok E aí é só para você entender aí quando é que nós temos uma matriz identidade vamos agora ver igualdade de Matriz tá quando é que a gente tem né duas matrizes iguais considerando-se duas matrizes de mesma ordem os elementos que ocupam a mesma posição em cada uma delas ou seja que tem o mesmo índice são denominados elementos correspondentes Como assim vamos lá nós temos aqui duas matrizes ó matriz A e matriz b Quais são os meus elementos correspondentes ó a a 11 é correspondente a b11 porque

meus índices são os mesmos ó 11 né ou um tudo bem E E aí meu A1 é igual melhor é correspondente ao meu b11 ok e quando né o meu elemento de a for igual Observe bem ao meu elemento correspondente de B Ok significa Aqui nós temos duas matrizes iguais tá bom E aí sim a gente utiliza aí a igualdade de matrizes então ó A2 1 é correspondente a b21 A12 é correspondente a B12 Ok então só há igualdade de matrizes se a matriz A possuir exatamente né Eh se ela for do mesmo tipo da

próxima Matriz que é a matriz B Observe que aqui sim ó cada uma das duas matrizes possui duas linhas e duas colunas Ok então pode haver né a igualdade de matrizes Tudo bem indo agora para a nossa adição e subtração de matrizes uma livraria fez uma doação para a biblioteca né para as bibliotecas de duas escolas do bairro os títulos foram selecionados de acordo com a faixa visando atender a estudante dos anos ensino melhor dos anos iniciais do Ensino Fundamental um tá no caso que a gente tá representando aqui por ef1 né dos anos finais

do Ensino Fundamental que é o meu ef2 e do ensino médio que aqui eu estou representando como em nessa doação os exemplares eram livros de autores internacionais que a gente vai representar por ai autores internacionais e autores brasileiros que a gente vai representar por AB Tudo bem então Observe o número de livros doados para cada biblioteca né do bairro Então Observe aí que a gente vai organizar em forma de tabelas Ok e normalmente as tabelas a gente utiliza aí uma representação né matricial aí pra gente conseguir organizar e poder fazer até alguns cálculos utilizando então

Observe aí que temos duas bibliotecas Ok a biblioteca Cecília Meirelles e a biblioteca né Raquel de Queiroz e aí a gente pode representar aí ó autores internacionais autores brasileiros ensino fundamental 1 Ensino Fundamental 2 e ensino médio Ok E aí a gente organiza sabendo aí a quantidade de livros que cada biblioteca recebeu de doação entendido Então se a gente quiser saber aí quanto é que ao todo n Quantos livros foram recebidos aí né das bibliotecas somando tudo Quantos livros foram doados à bibliotecas a gente vai utilizar então a adição de matrizes Acompanha comigo considerando a

matriz A formada pelos números de livros doados para biblioteca ceca Meires então aqui ó minha matriz A é a biblioteca Ok e a minha matriz b né é a minha biblioteca Raquel de Queiroz ok então nós temos ó aí aqui ó autores internacionais autores brasileiros a gente só fez organizar tudo bem tá aí as matrizes Então a gente tem ó Ensino Fundamental um n Ensino Fundamental 2 e ensino médio tá tanto para uma como paraa outra Mas se a gente quiser saber né Quantos livros foram doados ao todo Ok Então nesse caso para obter o

total de livros doados pela livraria as duas bibliotecas de acordo com as características especificadas nas tabelas basta adicionar os elementos correspondentes Olha aí Observe que a gente viu Tá das matrizes A e B ou seja determinar uma matriz nova aqui no caso que vai ser a nossa Matriz C essa Matriz C vai ser exatamente o resultado da soma da Matriz a com a matriz B da seguinte maneira Ok então já que a gente tá falando ó de elementos correspondentes que que isso significa que eu só posso efetuar a minha adição entre matrizes se elas possuírem

exatamente o mesmo tipo Ok então Observe que aqui minha matriz A ó são duas linhas e três unas a minha matriz B também são duas linhas e três colunas Ok como elas realmente possuem ali o mesmo tipo ok que é 2 por 3 Então significa que eu posso efetuar tanto a adição como a subtração entre essas matrizes basta eu efetuar aí né a adição nos elementos correspondentes então aqui ó 36 + 24 45 + 60 75 + 54 60 + 52 72 + 98 e 12 + 100 Ok E aí depois que eu criei aqui

essa daqui é minha Matriz C tá então basta efetuar minha soma né efetuando aqui a minha soma eu vou chegar aqui nos elementos ó 60 105 129 112 170 e 220 Ok Então essa é minha nova Matriz que é resultado da minha soma né da minha adição entre as matrizes a e matrizes B Ok então aqui eu sei que é autores internacionais e aqui eu sei que são autores brasileiros então por exemplo aqui ó Ensino Fundamental um foram recebidos foram doados 60 livros de autores internacionais e 112 livros de autores brasileiros Deu para entender como

é que funciona a nossa adição né entre matrizes Então vamos lá dadas as matrizes de mesma ordem Ok Lembrando que precisa ser de mesma ordem Ok então a gente vai ter ali uma nova Matriz que vai ser exatamente a soma né o resultado ali da soma das outras duas das duas matrizes onde o I número de linhas e j número de colunas tudo bem isso vale tanto para a adição como para a subtração só é possível efetuar a subtração entre as matrizes se elas também possuirem a mesma ordem tudo bem olha aí ó aqui por

exemplo uma matriz a matriz B nós vamos ter uma matriz C certo que será exatamente o resultado da minha subtração onde o meu número de linhas certo meu I será de 1 até m e meu J será de 1 até n Então vamos aplicar aí agora subtração utilizando as mesmas matrizes que a gente viu né lá no exemplo da adição Aquelas mesmas matrizes lá das bibliotecas então ó Observe que realmente possui né mesma ordem ou seja duas linhas e tr colunas agora vamos chamar aí de Matriz D né então a matriz D vai ser exatamente

o resultado da subtração da Matriz a menos a matriz B Ok então fazendo aí a subtração entre os seus elementos correspondentes ó 36 - 24 até o último lá elemento 120 - 100 então efetuando aí a subtração ó 36 - 24 12 45 - 60 - 15 75 - 54 21 60 - 52 8 72 - 98 - 26 e 120 - 100 É iG a 20 ok então aí a gente consegue né entender que só é possível né efetuar a adição e a subtração entre as matrizes se elas possuírem a mesma ordem tudo bem

se elas não possuírem a mesma ordem não é possível efetuar aí a adição e subtração Tudo bem pessoal Então pessoal Essa foi a nossa aula de matrizes espero que vocês tenham gostado e aprendido e a gente se encontra numa próxima oportunidade até mais [Música] [Música] e [Música]