hola y bienvenidos a otro vídeo de mate fácil en este vídeo vamos a ver qué es una ecuación diferencial voy a explicarlo de una manera sencilla con varios ejemplos y les mostraré varios tipos de ecuaciones diferenciales es importante que sepamos lo que es una ecuación diferencial para distinguirla de otros tipos de ecuaciones como los que seguramente ya habrán visto hasta este momento ecuaciones algebraicas ecuaciones trigonométricas ecuaciones logarítmicas bueno pues en el caso de una ecuación diferencial ocurre algo un poquito distinto y es que en este caso ya no estaremos buscando números que satisfacen una ecuación
sino funciones completas bueno eso ya lo iré explicando a continuación para empezar podemos decir que una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función sus derivadas y sus variables bueno es importante aquí repasar lo que bueno son estos conceptos así rápidamente tenemos entonces tres conceptos que son importantes para una ecuación diferencial que es el de función el de derivada el de variable una función como ya seguramente habrán visto en muchas ocasiones la representamos como fx es una representación muy usual aunque muchas veces en lugar de poner fx la representamos como ye porque resulta pues
mucho más cómodo simplemente poner una ye y entender que esa y depende de la variable x en ese sentido la ye es una función utilizando estas notaciones nosotros representamos la derivada de una función como f prima de x o como ye primas y estamos utilizando la ye para representar la función o también la podemos representar como leyes sobre de x esto también representa la derivada de la función y respecto de la variable x y también podemos hablar pues de la segunda derivada que por ejemplo en este caso sería yeví prima podemos también poner tercer derivada
y cualquier tipo de derivadas todas las derivadas pueden aparecer en una ecuación diferencial en todos estos casos nuestra variable ha sido la misma la variable es x aunque no tiene por qué ser siempre x en muchas ocasiones en lugar de utilizar x vamos a utilizar la variable t por ejemplo de minúscula para representar al tiempo o puede ser pues cualquier otro tipo de variable aunque en el caso en el que pudiera haber confusión hay que dejar bien claro cuál es la variable que estamos utilizando por ejemplo podemos hablar de la función efe dt y en
este caso estamos diciendo que la variable esté si vamos a utilizar la misma letra g para representar la función en este caso para evitar con confusión muchas veces se escribe de esta forma se pone que dt para indicar que la variable de la función esté y no x como aquí arriba aquí también podríamos haber puesto como ye de equis muchas veces se va a entender por la forma de la propia ecuación cuál es la variable de la función pero cuando no se entiende cuál es la variable sí es importante indicar la entre paréntesis y bueno
en este caso pues la derivada la podríamos representar así leyes sobre de t también podríamos ponerla como ye prima pero entendiendo que la derivada se está realizando respecto de la variable t y en este caso entonces pues nuestra variable es t bueno ya que entendemos todos estos conceptos entonces una ecuación de una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona a estos tres conceptos por ejemplo esta de aquí esta de aquí es una ecuación diferencial porque aparece una función que es la f x aparece aquí su derivada aparece aquí la función y aparece por aquí la
variable entonces se está relacionando a la función con la derivada y con la variable esto es una ecuación diferencial ahora aquí quiero mencionar que generalmente en las ecuaciones diferenciales no estaremos utilizando la anotación f x para referirnos a la función sino que estaremos utilizando simplemente la que porque resulta más cómodo hacerlo de esa forma aunque claro también podríamos utilizar fx en este caso la ventaja es que siempre estamos indicando cuál es la variable de la función pero como les digo lo más usual es que se utilice en lugar de fx a la ye entonces en
este caso utilizando para representar la función nuestra ecuación diferencial quedaría de esta forma vélez sobre de x porque aquí tenemos la derivada de la función y en este caso presenta así también podríamos haberla puesto como oye prima y es lo mismo y aquí para la función f x pues ponemos simplemente la ye entonces esta ecuación es lo mismo que la ecuación de aquí arriba otro ejemplo de ecuación diferencial es este de aquí en este caso notamos que aparece la segunda derivada de ye también entonces tenemos a la variable x multiplicada por la segunda derivada de
ella luego menos cinco por la primera derivada de ella y más tres en este caso no aparece como tal la propia función y no tiene por qué aparecer explícitamente aquí escrita pero implícitamente pues ahí hay una función que que debe satisfacer esta ecuación entonces no tiene por qué aparecer siempre la aie en la ecuación diferencial puede únicamente aparecer las derivadas y lo mismo ocurre con la x no tiene por qué aparecer en la ecuación explícitamente por ejemplo en esta ecuación de aquí está esta ecuación únicamente tiene la primera derivada la segunda derivada y la tercera
derivada de y no aparece ni la propia y ni la equis pero es una ecuación diferencial en este caso tenemos aquí una función que es y en este caso puede ocurrir una pequeña confusión porque no sabemos si la variable que vamos a utilizar para el ayer es la equis o slate bueno pues generalmente cuando no nos dicen cuál es la variable vamos a utilizar la equis o podríamos utilizar la t sin ningún problema simplemente dejamos indicado que pues estamos tomando y como una función de equis o como una función de t bueno esta definición que
les diga aquí no es estrictamente la definición matemática que se suele dar en los libros hay una definición rigurosa y la definición es esta de aquí una ecuación diferencial es una expresión de este tipo bueno esta expresión lo que significa simplemente es que tenemos una función d variables x mi prima y así hasta llegar a una enésima derivada de esta expresión simplemente hay que entenderla como que se está combinando todas estas funciones o todas estas variables mediante operaciones como son la suma la resta la multiplicación la división o incluso utilizando otras funciones como pueden ser
senos cosenos exponenciales logaritmos etcétera o sea simplemente estamos diciendo que una ecuación diferencial es una expresión en la cual combinamos todos estos símbolos usando diferentes operaciones como por ejemplo aquí que estamos multiplicando por dos luego sumando y multiplicando la equis con la chevy prima y luego restándole el 5 porque prima etcétera en este caso bueno así es como hay que interpretar este esta expresión de aquí simplemente es una combinación de estos símbolos esta es entonces la definición formal de una ecuación diferencial bueno ahora hay que ver qué significa resolver una ecuación diferencial porque como les
mencionaba al principio no es lo mismo que resolver una ecuación algebraica cuando nosotros teníamos una ecuación algebraica pues lo que buscábamos simplemente era despejar la incógnita que generalmente era la x y obteníamos un valor o algunos valores que satisfacían la ecuación osea números reales que cuando los sustituimos en la ecuación llegábamos a una igualdad en el caso de una ecuación diferencial ya no estamos buscando números en este caso estamos encontrando funciones bueno una función o funciones porque muchas veces va a haber más de una función que satisfaga la igualdad eso es lo que significa resolver
una ecuación diferencial voy a mostrarlo ahora con un pequeño ejemplo por ejemplo esta ecuación diferencial de aquí es una ecuación diferencial bastante sencilla una de las primeras ecuaciones que se estudian en un curso aquí dice ye prima menos 2x igual a 0 entonces estamos buscando una función y que depende de la variable x tal que cuando nosotros derivamos esa función y le restemos 2x eso nos da igual a cero bueno entonces estamos buscando una función de entre un conjunto infinito de funciones o sea tenemos un montón de funciones que podríamos intentar ver si satisfacen la
ecuación por ejemplo que iguala a la x es una posible función de igual a 47 x ye igual a raíz cuadrada de x cuadrada menos 9 todas estas son funciones por supuesto no todas las funciones van a satisfacer esta ecuación en este caso esta ecuación la satisface esta función ye igual a x cuadrada si nosotros esta función la derivamos pues ye prima es igual a la derivada de x cuadrada que es 2x y al sustituir en la ecuación con la que empezamos nos fijamos que bueno aquí ya prima va a ser 2x entonces queda 2x
menos 2x y eso efectivamente nos da como resultado 0 o sea hemos llegado a una igualdad por lo tanto la función y igual x cuadrado si es una solución de esta ecuación diferencial ahora por ejemplo la función igual a equis cuadrada más 5 también es una solución de esta ecuación diferencial porque si derivamos esta función la derivada de x cuadrada de 2x y la derivada de 5 es cero entonces la derivada simplemente es otra vez 2x y al sustituir otra vez nos queda 2x menos 2x igual a cero o sea que x cuadrada más 5
es una solución y el 5 pues aquí no tiene nada de especial puede ser cualquier otra constante también podría ser x cuadrada más 1 x cuadrada más 7 en general que igual a x cuadrada más c donde se es una constante va a ser una solución de esta ecuación diferencial entonces vemos que existen una infinidad de funciones que satisfacen la ecuación diferencial o una función para cada valor que le demos a la constante por ejemplo si le damos el valor 5 pues tenemos esta función si le damos el valor 0 tenemos esta función entonces tenemos
una infinidad de funciones que satisfacen la ecuación en este caso decimos que esta es la solución de la ecuación diferencial porque estamos expresando en una sola expresión pues todas las funciones posibles que satisfacen esta ecuación entonces por eso le llamamos solución general en algunas ocasiones nos interesa solamente una de todas las posibles funciones que satisfacen la ecuación y en este caso se nos tiene que decir qué condición debe cumplir esa función por ejemplo se nos puede dar el siguiente problema resolver la ecuación diferencial y el prima menos 2x igual a 0 donde además la función
que debe cumplir que he evaluado en 0 es igual a 1 a esta de aquí se le llama condición inicial que debe satisfacer la función en este caso a este tipo de problemas se le llama problema de valor inicial o problema de coss y bueno para resolver un problema de coche lo que hay que hacer pues es encontrar pues primero la solución general como ya lo hicimos aquí arriba que igual a equis cuadrada más c y después ver qué valor debemos darle a la constante c para que satisfaga esta condición inicial ya más adelante iremos
viendo métodos con los cuales encontraremos tanto la solución general de una ecuación diferencial como el valor de la constante aquí por ejemplo en este caso podríamos preguntarnos si la solución que igual a x cuadrado es una solución de este problema ya sabemos que quiere igual a x cuadrado si satisface la ecuación diferencial entonces únicamente nos faltaría ver sigue igual a x al cuadrado satisface la condición inicial para eso tendríamos que ver sigue en 0 es igual a 1 para esta función entonces en este caso y en 0 significa sustituir el cero en la equis de
aquí entonces nos queda 0 al cuadrado y en 0 es igual a 0 al cuadrado pero 0 al cuadrado es cero osea que obtenemos que en cero es igual a cero no se cumple entonces la condición inicial que nosotros queremos nosotros queremos que lleguen 0 sea igual a 1 y nos jockey en 0 es igual a 0 por lo tanto la función y igual a x cuadrado no resuelve el problema de valor inicial que tenemos aquí la función que si resuelve ese problema es esta de aquí que igual a x cuadrado más 1 aquí por
ejemplo podemos comprobar que que en 0 es igual a 1 igual que antes simplemente tendríamos que sustituir el cero en las x entonces nos queda 0 al cuadrado más 10 al cuadrado es 00 + 1 es 1 así que nos queda que lleguen 0 efectivamente es igual a 1 por lo tanto estaré aquí sería la función que satisface el problema de valor inicial o problema de coss y ahora vamos a ver algunos tipos de ecuaciones diferenciales que son muy importantes en primer lugar tenemos una ecuación diferencial ordinaria la cual vamos a abreviar como una ecuación
de este tipo es una ecuación diferencial de funciones con una variable todos los ejemplos que hemos visto hasta este momento son ecuaciones diferenciales ordinarias por ejemplo esta ecuación que acabamos de ver es una ecuación diferencial ordinaria porque aparece una función de una sola variable que en este caso la variable de la función es la x esta de aquí también es una ecuación diferencial ordinaria aparece la segunda derivada de iu y aparece aquí la propia aie y la variable x en este caso vamos a entender que es una función que depende únicamente de x también podemos
tener en una ecuación diferencial otras letras para representar tanto a las funciones como a las variables en este caso nuestra función sería la p porque aquí estamos calculando la derivada de p respecto de t entonces esta propia expresión es la que nos dice cuál letra vamos a entender cómo funciona y cuál trabamos a entender como variable en el caso de esta expresión pues la letra que aparece aquí arriba es la función que se está derivando y la letra que aparece abajo es la variable respecto a la que se está derivando así que aquí entendemos que
p es una función que depende de t por lo tanto también es una ecuación diferencial ordinaria porque es una función de una sola variable también podemos tener sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias en este caso sería algo similar a los sistemas de ecuaciones que ven en álgebra es simplemente un conjunto de ecuaciones que hay que resolver al mismo tiempo es un conjunto de ecuaciones diferenciales de funciones de una sola variable porque son también diferente ecuaciones diferenciales ordinarias entonces en este caso se nos da un conjunto de ecuaciones y tenemos que encontrar un conjunto de funciones que
satisfacen ese conjunto de ecuaciones al mismo tiempo por ejemplo estas dos ecuaciones de aquí estas dos ecuaciones vamos a entenderlas bueno primero como un sistema o sea las dos ecuaciones se están resolviendo al mismo tiempo y si no queda muy claro que estas dos ecuaciones pertenecen al mismo sistema muchas veces se utiliza este símbolo una llavecita como esta de aquí para indicar que se están resolviendo las dos ecuaciones de forma simultánea en este caso las funciones las vamos a entender como xy que que como vemos aquí son las que llevan la derivada la derivada únicamente
la llevan las funciones por lo tanto tanto la x como la x son funciones mientras que la t es la variable de esas funciones eso también lo podemos indicar escribiéndolo de esta forma x cc y pp y resolver un sistema de ecuaciones diferenciales significa encontrar dos funciones x de tdt tales que al sustituir las tanto en la primera ecuación como en la segunda ecuación se satisface la igualdad este tipo de sistemas ya los veremos más adelante y otras ecuaciones que son muy importantes son estas de aquí que son las ecuaciones en derivadas parciales los ejemplos
que vimos anteriormente veíamos que todas las funciones dependían de una sola variable que podría ser la equis o podría ser la t en este caso las ecuaciones en derivadas parciales son aquellas que formamos con funciones de varias variables una función de varias variables la representamos de esta forma por ejemplo esta función de aquí la función es la uv y entre paréntesis estamos indicando sus variables que son xy t entonces se trata de una función de dos variables que son xy t y que en este caso la función es x cuadrada más 2 t aquí es
importante que ya no podemos hablar como tal de la derivada de la función cuando se trata de una función de varias variables de lo que podemos hablar son de derivadas parciales por ejemplo la derivada parcial de un respecto de x que en este caso sería 2x y la derivada parcial de un respecto de t que en este caso sería 2 entonces una ecuación en derivadas parciales es una expresión en la cual se están relacionando tanto a la función a las variables y a las derivadas parciales de la función respecto a algunas de las variables por
ejemplo esta ecuación de aquí aquí estamos diciendo la derivada parcial de un respecto de la variable t debe ser igual a c por la segunda derivada de un respecto de la variable x esta misma ecuación también la podríamos escribir de esta forma que resulta muchas veces más cómoda en lugar de indicar derivada parcial de un respecto de te lo ponemos como o con el subíndice t y en lugar de indicar la segunda derivada parcial de un respecto de x lo ponemos como como subíndice x x bueno este tipo de notación y este tipo de derivadas
parciales son cosas que se aprenden en un curso de cálculo vectorial es posible que algunos de ustedes aún no hayan visto todos estos conceptos pero aquí lo importante es recalcar que pues existen también este tipo de ecuaciones que son ecuaciones en las cuales la función depende de más de una variable estas ecuaciones ya las veremos más adelante y para resolverlas necesitaremos primero saber ecuaciones diferenciales ordinarias las ecuaciones que les mostraba hace un momento bueno hasta este punto puede que ustedes estén preguntando y todo esto realmente para que nos va a servir para qué sirven las
ecuaciones diferenciales bueno esto ya lo explicaré en el siguiente vídeo mostraré por ahí algunas de las aplicaciones y empezaremos a resolver algunos problemas más adelante entonces los invito a que miren el siguiente vídeo y si les gustó este vídeo apoyen me regalándome un like suscriban a mi canal y compartan mis vídeos y recuerden que si tienen cualquier pregunta o sugerencia pueden dejarla en los comentarios
