Fala meu aluno sejam todos muito bem-vindos aqui a mais uma aula de matemática voltado para o seu concurso do correio então vamos seguir agora galera tratando aqui de um tema sobre operações dos números naturais a gente vai est aqui dando enfoque ao principal que você precisa levar pra sua prova beleza lembrando que quando a gente fala em operações os números naturais a gente está falando em operações que ocorrem dentro dos números reais Tudo bem então vamos lá primeira coisa que eu gostaria que de atentar sobre essas operações dos números naturais como que ocorre bastante é
a divisão como é que a gente faz para dividir esses elementos aqui igual você aprendeu com a tia Teteia Você tem o camarada que eu chamo de dividendo que vai ficar do lado esquerdo Você tem o divisor que é por quanto você divide o resultado da divisão é o quociente e você vai ter um resto uma diferença uma sobrinha que pode ocorrer nessa divisão Tudo bem então são esses elementos que você tem na divisão por sinal a tia Teteia te ensinou a fazer o quê que a gente chama de prova real que é quando você
coloca a multiplicação do divisor aliás isso a multiplicação do divisor com o quociente ao somar esse camarada com o resto O resultado vai ter que ser quem o dividendo tudo bem É o é aquela continha que você aprendeu com a tal da tia Teteia fechou tranquilo esse ideia é interessante você perceber que algumas questões eh você pode ter essa interpretação de divisão quando ele tá querendo separar elementos sempre com o mesmo tamanho Então sempre que esse camarada ele trouxer algum tipo de questão em que o objetivo é você eh separar elementos sempre com a mesma
quantidade a divisão vai ser um bom Note para você poder resolver esse tipo de questão agora é interessante a gente pelo menos saber os principais casos de divisibilidade temos outros aqui a gente tem casos por 6 por 7 por 8 por 9 por 11 eu estou apresent and para vocês os mais importantes para você levar pra prova e agilizar os vários cálculos que pode aparecer para você tudo bem então quando que o número ele pode ser dividido por dois toda vez que ele for par todos os números pares dividem por dois Lembrando que pro número
ser par ele tem que terminar Em quê Em 0 2 4 6 ou 8 terminou em 0 2 4 6 ou 8 vai ser par vai dividir por do Pedro Me responde uma dúvida o zero ele é par perfeito o zero ele é par não tem essa história de zero é neutro não viu o zero é sim um número par fechou agora quando que o número divide por três quando a soma do seus algarismos é um cara que divide por três por exemplo eu poderia falar que o número 312 divide por 3 faça a soma
dos algarismos 3 + 1 dá 4 4 + 2 dá 6 como 6 divide por 3 então o número 312 vai dividir por TR também então se a soma dos algarismos dividir aquele número inteiro também vai dividir lembrando eh aqui a gente tá fazendo apenas um teste para saber se eu consigo dividir aí depois que você testou verificou que é possível por esse critério da soma aí você vai ter que efetuar a divisão pelo Três beleza aqui você não vai ter o resultado da divisão mas apenas verificar se consegue ou não dividir outro exemplo eu
te pergunto o número 123 mil 456.789 esse número divide por 3 Faço o teste 1 + 2 + 3 dá 6 + 4 dá 10 + 5 dá 15 + 6 dá 21 21 + 7 dá 28 28 + 8 dá 36 36 + 9 dá 45 então a soma deu 45 45 div por 3 Pedro não sei faz o teste Quanto que é 4 + 5 9 como o 9 divide o 45 divide E se o 45 divide esse me arado V de número também vai dividir Beleza então sempre que a Soma divide por
três então aquele número como todo vai poder ser divisível por três aí Obviamente você vai depois fazer a divisão por três desse número fechou agora outro elemento aqui importante outro caso importante a divisão por quro você vai ver se o número divide ou não por 4 olhando os dois últimos algarismos se aqueles dois últimos algarismos formar um número que divide por 4 aquele número como um todo vai dividir por 4 também por exemplo se a gente tem o número 2024 esse número divide por 4 basta você analisar os dois últimos algarismos o 24 divide por
4 Pedro divide o 24 divide por 4 então esse número inteiro vai dividir eu te pergunto o número 123.456 789 esse número divide por 4 Pedro não faça a menor ideia olha pros dois últimos 89 divide por 4 não Pedro ele sequer P Então se o 89 não divide esse número inteiro também não vai dividir mas se em vez esse número terminar por 89 se ele tivesse terminado por 88 eu te pergunto 88 divide por 4 divide 88 di por 4 dá 22 Então como aqueles dois últimos algarismos formam o cara que divide por 4
o número inteiro vai dividir outro exemplo o número 300 o número 300 bom filme né o número 300 esse número divide por 4 Pedro não sei olha os dois últimos algarismos formou o número zero o 0 divide por 4 Pedro não sei sim é possível fazer essa divisão o z 0 dividido por qualquer número galera com exceção do zero é sempre z0 então 0 dividido por 4 0 0 dividido por 5 0 0 dividido por 1 milhão z0 0 dividido por z0 o zero dividido por qualquer número com exceção do zero sempre dá zer então
0 dividido por 999.999 0 0 dividido 0 0 dividido por qualquer coisa Sempre zero então o zero eu consigo dividido por 4 então 3000 você também consegue dividir por quatro por sinal a gente tem uma aplicação bem interessante sobre o quê a divisão por quatro quando o número ele é divisível por quatro ele é múltiplo de quatro a gente pode falar que esse camarada vai corresponder a um ano bicesto aqui a gente tá colocando um critério de forma mais simplista existem outros critérios mas eh a princípio Essa é a ideia base se divide por quatro
ele vai est sendo o ano bisexto por exemplo eh essa aula tá sendo gravada em 202 4 2024 a gente já viu que divide por 4 então esse ano é bicesto no ano que vem a gente vai est no ano de 2025 2025 divide por 4 Pedro 25 não divide por 4 então 2025 também não divide não será bicesto Ou seja você não vai ter o famoso 29 de Fevereiro fechou beleza isso agora quando que o número divide por 5 o número divide por 5 toda vez que ele termine em 05 se terminar em 05
vai dividir de forma exata pelo C Beleza então é só olhar o último cara é 05 divide por 5 agora aproveitando esse gancho existe um macete para você fazer divisão por CCO aqui claro que você vai fazer a divisão por cinco mas vai obter números decimais por exemplo como resposta eu te pergunto como é que você vai fazer o 13 divido por 5 Olha o macete para você dividir qualquer número por cinco você faz o dobro desse número e depois anda com a vírgula uma casa pra esquerda Então qual que é o dobro de 13
26 anda com a vírgula uma casa pra esquerda 2,6 Então quer dividir por C Dobra o número e anda com a vírgula uma casa pra esquerda sempre vai dar certo isso Dobra o número e anda com a vírgula uma casa pra esquerda Fechou então por exemplo se a gente tem esse número aqui agora colocar aqui o número 18 18 di 5 Qual o dobro de 18 36 anda com a vírgula uma casa pra esquerda 3,6 eu tenho o número 3122 quero dividir por 5 Qual o dobro de 312 624 anda com a vírgula uma casa
pra esquerda 62,4 Então quer dividir qualquer número por 5 é só dobrar e depois andar com a vírgula não tem mistério isso daqui beleza bem legal né bem legal divisão aqui por cinco por fim quando que o número divide por 10 toda vez que termina em zero toda vez que o número terminar em zero vai dividir por 10 e o sensacional é que fazer essa divisão por 10 é simples é só cortar o zerinho do número por exemplo eu tenho aqui o número 3.000 eu quero dividir esse cara por 10 primeiro ele divide por 10
divide porque termina em zero como é que você faz a divisão corta o zero sobrando 300 então Toda vez que você for dividir esse número por 10 é só ir cortando o zerinho vai cortando o zerinho para cada zero que você tem nesse número 10 que aparece para você então temos aqui por exemplo o número 2000 2 esse cara divide por 10 Pedro não porque não termina em zero Tá mas e se fosse o número 2000 Ah Pedro esse divide porque termina em zero Então é só cortar o zerinho sobrando para você 200 Então quer
dividir por 10 corta o zero e acabou Pedro Mas e se for o número que não termina em zero como é que eu faço essa divisão por 10 por exemplo como é que eu faço 14 diid por 10 é só andar com a vírgula uma casa pra esquerda 1,4 se eu quiser fazer aqui por exemplo 2024 di 10 é só andar com a vírgula uma casa pra esquerda 202,4 Acabou então quer dividir por 10 anda com a vírgula uma casa pra esquerda fechou sempre vai tá dando certo isso aqui fechou galera Então a gente tem
aqui uns macete zinhos bem legais que pode agilizar alguns Alguns cálculos para você claro que de uma prova em geral não vai colocar para você divida por 10 divida por 5 mas ao meia os cálculos que que aparece ali para você vai aparecer o quê uma divisão por 5 por 10 eventualmente tranquilo vamos lá outra coisa que é importante a gente destacar primeiro o conjunto dos números primos número primo galera é todo número que possui exatamente dois divisores naturais tem que ter exatamente dois divisores naturais é o que você aprendeu com a tiha Teteia Pedro
que que eu aprendi mesmo com a tiha Teteia que número primo é aquele cara que divide por um e por ele mesmo número primo é aquele cara que divide por um e por ele mesmo só que eu não gosto muito dessa definição você vai ver Por quê o dois é primo Pedro sim porque o dois só divide por um e por dois o três é primo sim porque ele só divide por um e por três o cinco é primo sim porque ele só divide por um e por cinco o quro é primo Pedro não porque
ele divide por um por dois e pelo quatro ou seja esse camarada não é primo Então veja que os primos que eu tô colocando para você divide por um e por ele mesmo outro exemplo sete o sete só por um e por ele mesmo pelo um e pelo s agora te pergunto o número um é primo o número um é primo é Pedro 1 divide por um e por ele mesmo então ele é primo pera aí se ele divide por um e por ele mesmo ele tem somente um divisor Então galera um não é primo
ele não tem a classificação de número primo porque para ser número primo ele tem que ter dois divisores naturais um só tem um divisor natural por isso que está errado então um não é primo por sinal deixa eu até corrigir esse slide aqui que tem um quadro perdido ali que não deveria estar aparecendo ó agora sim quatro não é primo não tá então 2 3 5 7 11 13 15 17 19 todos esses que eu coloquei são os 50 primeiros números primos beleza os 50 primeiros números primos eu vou dizer que pelo menos você D
uma memorizada até o 19 cara tá ok pras provas que você for resolver Tá ok para você resolver as provas se você for além do 19 tá perfeito se você chegar ali até o 47 tá perfeito OK tá legal tá razoável até você chegar no número 19 veja que Nem são tantos números né 1 2 3 4 5 6 7 8 Poxa memorizar oito numeros só que são primos e além disso esse número que não é primo ou seja que a princípio tem mais de dois divisores nós o chamamos de número composto por exemplo o
4 tem três divisores 1 o 2 e o 4 se tem três divisores é composto se a gente pega por exemplo número 6 quem divide o se 1 o 2 o 3 o se quatro divisores naturais então ele é composto e sendo número composto a gente consegue decompô-lo em um produto de fatores primos é o que a gente chama de fatoração então a nada mais é do que o quê você pegar um número composto que que é o número composto aquele cara que tem mais de dois divisores e transformá-lo numa multiplicação em um produto de
fatores primos tá aqui ó eu vou transformar esse camarada no produto de números primos em potências Esse é o objetivo da fatoração beleza isso tranquila essa ideia sempre vai tá dando certo isso aí Pedro sempre vai tá dando certo isso daí e eu vou colocar aqui ó exemplo de fatoração para você Pedro faz um exemplo então aí para mim dessa tal dessa fatoração aí vamos lá se a gente pegar por exemplo aqui vou colocar aqui pra gente o número eh 45 pronto não 45 não vamos pegar um p pronto o número 90 Olha que legal
número 90 90 tá legal como é que a gente faz para fatorar o número 90 que que você vai fazer você coloca o 90 e depois coloca uma barrinha do lado direito dessa Barrinha você vai colocar números primos que dividem esse 90 e já tem uma coisa legal o 90 você sabe que ele é par e se ele é par divide por do você vai começar aqui colocando o número dois e 90 dividido por 2 dá quanto é a metade de 90 45 agora o 45 não é par se não é par não dá para
dividir por dois mas o 45 Dá para dividir por quanto por 3 Afinal Quanto que é 4 + 5 9 Então como 4 mais 5 dá 9 e o 9 divide por 3 O 45 também vai dividir 45 se você fizer divisão por 3 você vai encontrar exatamente 15 esse TR aqui tá torto né você vai encontrar exatamente 15 você vai encontrar continua torto Mas enfim você vai encontrar exatamente 15 o 15 continua dividindo por 3 então você vem e coloca o 3 aqui 15 di 3 dá 5 o 5 como ele é primo ele
só divide por um e por C então você vem e coloca o número 5 5 divido por 5 dá 1 quando você chega no número um você terminou aqui as divisões da fatoração Então chegou no número um Acabou as suas divisões aí o que que você vai fazer agora você vai transformar isso aqui esses números primos que apareceram para você em uma multiplicação Quais os números primos que apareceram o 2 o 3 e o 5 Então você vai colocar esse esse 3 e esse 5 em uma multiplicação a quantidade de vezes que cada um aparece
vai ficar no expoente então Note que o número 2 o 3 e o 5 apareceram respectivamente uma duas e uma vez Então você vai colocar o 2 elevado 1 porque o 2 apareceu uma vez o 3 elev 2 o apareceu duas vezes e o 5 elevado a 1 porque o 5 apareceu uma vez Então 2 elev 1 x 3 elevado a 2 x 5 é a fatoração do nome do do 90 é a decomposição em fatores primos daquele número 90 tanto que se você resolver essa conta vai dar 90 Olha que legal só para curiosidade
se a gente resolver essa continha aqui a gente vai ter 2 x o 9 que é 3 qu x 5 2 x 5 dá 10 quanto que é 10 x 9 90 90 aqui está então curiosamente se eu resolvo aquela conta ela dá 90 pra gente beleza então isso aqui é a fatoração do 90 isso aqui que a gente acabou de encontrar então isso aqui que a gente encontrou é a fatoração do 90 fatoração do 90 e a gente tem algumas aplicações para essa fatoração uma primeira aplicação que a gente tem é encontrar a quantidade
de divisores de um número então a gente consegue encontrar a quantidade de divisores de um número como é que a gente faz Pedro para encontrar a quantidade de divisores Então vou colocar aqui ó aplicações a quantidade de divisores que esse número tem a a gente encontra a partir da fatoração Então a gente vai aqui aprender a encontrar a quantidade de divisores Só vou escrever quantidade de divisores eu já vou colocar aqui de uma maneira mais simplista para você e que sempre vai tá dando certo como que você faz para encontrar essa quantidade de divisores que
eu vou chamar de n você vai fazer o seguinte você vai pegar cada um dos expoentes presta atenção você vai pegar cada um dos expoentes dessa fatoração vai somar uma unidade a cada um deles e depois multiplicar Então você vai pegar cada expoente da fatoração do número O que que a gente tem no caso do 90 como fatoração o 1 o 2 e o um você vai pegar cada expoente desse daqui somar uma unidade e depois multiplicar Acabou então por exemplo 1 + 1 fica 2 2 + 1 fica 3 e 1 + 1 fica
2 então resolvendo essa conta você tem a quantidade de divisores positivos 2 x 3 dá 6 que vezes 2 dá 12 divisores naturais 12 divisores naturais ou seja existem 12 números naturais que divide aquele número 90 E por sinal pela fatoração eu consigo encontrar Quais são esses divisores quais os divisores a gente consegue encontrar Quais são esses divisores PED como é que a gente vai fazer isso a partir da própria fatoração Então vou reescrever essa fatoração bem aqui só para facilitar pra gente então reescrevendo essa fatoração de maneira mais rápida Então vou colocar aqui pra
gente aqui ó 2 3 3 e 5 e aqui eu vou colocar os resultados das divisões que eu não vou precisar que é o 45 15 5 e 1 eu não vou precisar daquilo dali eu vou precisar desses números primos que aparecem aqui do número direito PED aí o que que eu vou fazer primeira coisa você vai colocar esse tracejado aqui só para ficar bem organizado e você vai começar colocando o número um acima desses números primos acima dessa parte de vermelho para você encontrar os divisores você vai pegar cada número primo daquela fatoração e
multiplicar por todos os números que estão acima dele e vai multiplicar por todos os números que estão acima dele então vou começar por esse número dois aqui ó começar pelo do Quais números estão acima do do Pedro do lado direito eu só tenho 1 aí você vai fazer Quanto que é 2 x 1 2 e vai colocar o resultado na frente dele e agora você vai passar pro próximo número Qual que é o próximo número Pedro próximo número é o TR Então você vai pegar esse TR e vai multiplicar por todos os números acima dele
Quanto que é 3 x 1 3 Quanto que é 3 x 2 6 agora você vai passar pro próximo número primo qual que é o próximo número primo o tr e você vai pegar esse três e vai multiplicar por todos os números acima dele Quanto que é 3 x 1 3 não precisa pôr de novo Quanto que é 3 x 2 6 não precisa pôr de novo agora Quanto que é 3 x 3 isso é 9 Quanto que é 3 x 6 isso é 18 e por fim eu vou pegar agora esse número C e
vou multiplicá-lo por todos os números acima dele quais números estão acima dos 5 todos esses você vai multiplicar por todos eles 5 x 1 dá 5 5 x 2 dá 10 5 x 3 dá 15 5 x 6 dá 30 5 x 9 dá 45 e por fim 5 x 18 dá 90 aqui está esses aqui são todos os divisores naturais do número 90 por sinal quant os números a gente tem aqui vamos contar 2 2 + 4 6 Números 6 + 6 12 números 12 divisores naturais como esperado ou seja essa daqui é a
lista de todos os divisores naturais do número 90 Olha que sensacional Olha que poderosa fatoração pra gente poder encontrar aqui todos os divisores naturais de um número Beleza então sempre vai tá funcionando isso daqui você pode Claro organizar isso aqui de maneira crescente sem problema algum vou colocar aqui ó Dezinho de 90 são os divisores do número 90 colocando em ordem crescente eu vou ter aqui 1 2 3 5 6 1 2 3 5 6 9 10 que mais 15 18 30 45 90 aí Deixa eu ver se eu não esqueci nenhum 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 certinho is aqui são todos os divisores e que por sinal tem uma curiosidade sobre esses divisores sempre que você os organiza de maneira crescente você vai ver que o produto dos extremos de maneira equidistante sempre vai dar o 90 o número que você tá encontrando a quantidade de visores por exemplo quanto que que é 1 x 90 90 Quanto que é 2 x 45 90 3 x 30 90 5 x 18 90 6 x 15 90 9 x 10 90 então multiplicou sempre os extremos sempre você
vai obter esse número aqui que você tá encontrando a quantidade de divisores curiosamente sempre vai tá dando certo isso Beleza Pedro tá até me dando vontade de fazer matemática agora esse é bonito mesmo hein é bonito galera agora temos aqui Outras aplicações da faturação é quando a gente vai atrás do MMC e do MDC de números o que que seria o MMC é o maior número que é múltiplo de dois ou mais números simultaneamente beleza na verdade é o menor número desculpa é o menor número que é múltiplo de dois ou mais números simultaneamente Afinal
Tô atrás do mínimo né deixa eu corrigir isso daqui ali ficou feio é o menor número Afinal a gente tá querendo o mínimo é o menor dos números máximo maior número a gente vai traz do máximo divisor comum beleza fechou essa ideia então mínimo múltiplo comum é o menor número que é múltiplo de dois ou mais números simultaneamente Pedro Como assim se a gente for colocar aqui de maneira simplista quais seriam os múltiplos do do os múltiplos do dois são os pares 0 2 4 6 10 assim vai indo Quais são os múltiplos do 3
a gente vai ter aqui 0 3 6 9 12 15 e assim sucessivamente colocar só mais um número aqui 12 e assim sucessivamente claro que a gente tá pensando em número Positivo tá você vai perceber que os múltiplos em comuns que eu tenho do 2 e do 3 equivale ao 0 o 6 o 12 o me objetivo do menor deles que seja positivo o menor deles que é positivo é o número se é por isso que a gente fala que o MMC entre 2 e 3 é 6 porque é o menor número múltiplo de 2
e 3 simultaneamente que é Positivo eu tenho outros múltiplos comuns tenho 6 12 18 24 porém o menor deles que é positivo é o número 6 por is isso ele é o MMC e existe uma maneira de encontrar esse MMC primeiro aplicações para soma e subtração de frações ou questões que envolvem a ideia de frequência aquelas questões que esse camarada coloca olha uma situação ocorre de dois em dois anos a outra de três em TRS anos elas ocorrendo agora simultaneamente quando que elas vão ocorrer juntas novamente de seis em se anos que seria um MMC
o máximo divisor comum a gente já vai atrás do quê do maior número que de divide dois ou mais números simultaneamente Então tem que dividir dois ou mais números simultaneamente por exemplo se a gente tem aqui os divisores por exemplo do número 4 a gente vai ter aqui o 1 o 2 e o 4 se a gente tem por exemplo aqui os divisores do número seis os divisores do seis equivale para mim a 1 2 3 e 6 Note que a gente tem divisores em comum entre o 4 e o 6 que seria o um
e o do E o meu objetivo é o quê é ir atrás do maior deles então Note que o MDC entre o 4 e o 6 equivale a 2 que é o maior desses números que é divisor comum entre o dois e o TR fechou essa ideia então é assim que a gente faz isso pedre como é que a gente vai trabalhar com essas questões são questões que envolvem a ideia de otimização Ou seja eu tô a atrás do maior número possível que divide elementos igualmente deixando a menor quantidade possível então questões que envolvem esse
contexto você vai est trabalhando com MDC e Pedro como é que a gente calcula ambos ambas situações utilizando fatoração a gente vai colocar aqui exemplo para cada um deles Vou colocar aqui pra gente ó Começando aqui com MMC Então vou colocar aqui por exemplo pra gente poder calcular o MMC entre Vou colocar aqui pra gente 12 e 30 pronto o MMC entre 12 e 30 pra gente calcular o MMC entre 12 e 30 você vai usar o processo de fatoração você vai dividir por números primos dos menores até todo mundo equivaler a um Qual que
é a particularidade basta dividir o quê um desses números se você consegue dividir um desses números pode colocar o número primo por exemplo eu consigo dividir por dois 2 D 6 30 por 2 D 15 Eu ainda posso utilizar o 2 por causa do 6 como 6 div por 2 eu ainda vou utiliz 6 2 D 3 o 15 como não divide a gente só repete agora a gente pode continuar aqui não divide mais por 2 porque o 2 não divide mais ninguém então você esquece ele mas dá para dividir por 3 3 3 d
1 15 por 3 d 5 agora dá para dividir por 5 5 divido por 5 dá 1 como um não divide você repete aqui está então aqui galera é a fatoração desses números aqui de maneira simultânea pra gente fazer o MMC o que fazemos agora multiplicamos esses números primos como toda boa multiplicação posso multiplicar na ordem que eu quiser por exemplo eu posso fazer aqui 2 x 5 que é 10 e posso fazer aqui 2 x 3 que é 6 e agora eu termino a multiplicação 6 x 10 dá 60 esse 60 que a gente
acabou de encontrar é o MMC MMC entre 12 e 30 e Pedro como é que eu faço para encontrar o MDC o máximo divisor comum entre 12 e 30 você também vai utilizar o processo da fatoração Mas qual vai ser a diferença o número tem que dividir todo mundo ao mesmo tempo no MMC basta um no MDC todo mundo por exemplo o 2 eu posso utilizar aqui 12 por 2 dá 6 30 por 2 dá 15 Agora eu não posso mais utilizar o 2 porque o 2 não divide os dois mas eu posso 3 6
por 3 dá 2 e 15 por 3 dá 5 aqui está Pedro eu vou colocar mais algum outro número não porque não tem mais nenhum outro número que divide o 2 e o 5 ao mesmo tempo e agora é só multiplicar 2 x 3 dá 6 esse seis galera é o MDC entre 12 e 30 ou seja é o maior número que divide o 12 e o 30 simultaneamente beleza galera então espero que tenha ficado claro como que a gente resolve MMC MDC a parte de fatoração e a parte de divisibilidade de a gente saber
critério de divisibilidade muito importante para questões de prova beleza com isso nós ficamos por aqui um forte abraço AB e bons estudos para vocês até mais
