[Música] é eu disse a você logo no início que as oscilações acontecem com muita frequência na natureza e eu me referia especialmente ao que acontece nas vizinhanças do ponto de um ponto de equilíbrio estável de um sistema físico então imagine que eu tenho um sistema físico genérico qualquer e que eu vá considerar a sua posição de equilíbrio estável o que você sabe sobre a posição de equilíbrio estável de um sistema físico bom a então apareceu aqui apareceram alguns termos pareceu energia potencial pareceu derivada da energia potencial se eu falo energia potencial eu tô falando de
um sistema conservativo vamos focalizar um sistema físico conservativo staffs conservativo significa um sistema físico para o qual eu possa definir uma função energia potencial não consideremos definida o energia potencial o dx eu vou especializar para o caso em uma dimensão mais tarde eu vou ampliar essa discussão para mais dimensões são ok tá aqui estamos em presença de um sistema físico conservativo espelhado pela pela função e energia potencial ou de x como é que o caracterizam um ponto de equilíbrio estável desse sistema cuidado equilíbrio estável são duas coisas que o tempo todo querendo caracterizar vamos falar
primeiro do equilíbrio o que o caracteriza uma posição de equilíbrio desse sistema ela falou se em quantos e deriva da zero porque ela tá dizendo os rabos a bianca está enxergando um gráfico ela tá enxergando um gráfico de energia potencial é isso então vou desenhar que o sonho de bianca sonho de bianca e assim tem um gráfico de energia potencial aqui está um gráfico de energia potencial aqui energia e aqui posição via pensou esse gráfico e aí quando é ponto de máximo de mínimo ela me disse que o sistema está em equilíbrio porque a força
resultante sobre o sistema de finanças nesse caso será nula porque a força lula há por que a força pode ser relacionada com a com energia potencial através de sua derivada você sabe que a força é neste caso uni dimensional a derivada com relação à x com relação à posição da energia potencial com o sinal de menos nós discutimos isso bastante numa aula anterior portanto se eu quero uma posição de equilíbrio equilíbrio significa que a força resultante é zero pra fossem estudantes é 60 é derivada tem que ser zero portanto estamos falando de um extremo da
energia potencial mínimo ou máximo certo então resolvemos a primeira parte da minha pergunta mas agora eu tô falando de equilíbrio estável o que significa que ele seria estável a bianca ela tem até assim a resposta na ponta da língua ponto de mira ela disse mas porque quando você vai para a direita do ponto de mínimo porque a derivada aqui é positiva a força vai ser negativo seja o contrário ou seja ela vai querer fazer voltar para a posição de mínimo e vice-versa né se eu for pra esquerda que é derivada negativa com mais um sinal
de menos a força é positivo tanto herdy a fazer o sistema voltar para a sua posição de equilíbrio então de fato a posições de equilíbrio instável estão associadas à mínimos locais do gráfico da função energia potencial legal estão juntos ora se eu estou no mínimo local dada função energia potencial e se o provoca uma pequena perturbação no sistema olha linguagem que eu estou usando uma pequena perturbação significativa o ele um pouquinho da posição de equilíbrio eu tive um pouquinho da posição de equilíbrio como é que eu posso exprimir a sua energia potencial neste novo nesta
nova posição deixa usar símbolos para isso eu vou chamar essa posição de de equilíbrio estável de x 0 e agora eu vou eu vou levar esse sistema para uma outra posição próxima a uma distância h digamos de x 0 ele estava aqui eu trouxe ele para cá soltei já sabemos da nossa análise gráfica que o sistema vai ficar oscilando dentro desse poço de potencial a linguagem que estou usando aqui né muito bem agora eu posso exprimir a energia potencial neste novo ponto de uma forma bastante simples relacionando a com a energia potencial no ponto de
equilíbrio e pra isso eu vou usar a expansão de taylor a ferramenta mais poderosa do que a da caixa do físico né não é isso então aqui estou eu o the x 0 mais h eu posso espreme em termos de valores dessa energia potencial e de suas derivadas no ponto de equilíbrio x 0 como é que eu faço isso que me que me diz a expansão de terror é o de x 0 mas se o que eu quisesse estudar aqui seria o que eu chamo a aproximação de ordem 0 da energia potencial porque de ordem
zero hora porque a distância até a posição de equilíbrio é h e aqui não aparece o h então é como se tivesse o h elevado a 0 por isso que a aproximação de ordem 0 na verdade agora eu quero construir a aproximação de ordem 1 qual é o próximo termo mas a derivada da energia potencial calculada em x goste 0 vezes a distância entre o ponto no qual estou calculando teria potencial eo meu ponto de referência que é o x 0 esta é a aproximação de ordem um tá vendo porque chama de ordem um porque
aparece h elevado à potência 1 há agora a aproximação de ordem 2 qual é a parcela que eu tenho que tomar a vai aparecer uma derivada segunda a dividida por dois fatores ao a gente costuma falar fatorial de 2 essas regras de terminologia dos matemáticos né então o fatorial de dois por sorte é 2 então fica o meio e aqui aparece é derivada segunda 2 o 2 x 2 em x iguaçu x 0 que multiplica a distância até a posição de referência elevada ao quadrado mas essa distância foi que eu chamei de h1h1 quadrado aqui
está a aproximação de ordem 2 eu vou parar por aqui sabe por quê porque é claro que à medida que eu fui o é e é incluindo mais e mais parcelas eu estou me aproximando mais e mais do valor correto da energia potencial acontece que se h é pequeno o suficiente cada vez que introduz um termo que envolve uma potência maior do h o tempo que eu estou introduzindo é menor do que o que eu já tinha antes porque o h elevado à potência maior vai diminuindo nesta galo menor que 1 quando eu elevam a
potência fica melhor ainda eu vou parar por aqui pelo seguinte motivo quanto vale esta derivada que está vale zero porque x 0 é um ponto de equilíbrio se fizeram um ponto de equilíbrio isso aqui é zero então na verdade eu fico com uma expressão que não contém o termo linear em h o termo de com a potência é um só tem o tempo de potência dois claro mateus que aqui eu teria mais termos mas outra vez eu vou supor que h e pequeno o suficiente para que jogar fora os outros termos não modifique muito meu
resultado ou dito de uma forma um pouco mais técnica eu só estou interessado na aproximação até ordem 2 tá na hora então eu vou ter é aqui que eu estou outra coisa que vale a pena mencionar aqui é que o valor da energia potencial na verdade não tem significado físico eu sempre posso mudar 10 de energia potencial sem que a física do problema seja alterada então eu posso votar 10 eu vou fazer uma translação e botar 0 em cima do x 0 eu também poderia transladar o eixo x de modo aqui mateus fica feliz ea
posição de equilíbrio fosse 1 x 1 a 0 poderia fazer isso mas eu vou fazer primeiro isso eu vou escolher a minha origem de energia de tal maneira que a energia no ponto de equilíbrio seja 0 o resultado é que nós temos o x 0 mas h igual a meio hora vou escrever de forma mais compacta ou duas linhas de x é vezes h ao quadrado ok o que isso me diz de interessante isso e desinteressante o seguinte quando você a foi apresentado à essa a essa força a força dada pela lei de hulk nós
já sabemos já temos elementos suficientes para inferir imediatamente que essa força tem que ser conservativa não é porque ela tem que ser conservativa porque é uma força unidade mencionar que só depende da posição nós mostramos que toda a força em uma dimensão que só depende da posição tem que ser conservativo essa força é conservativa eu possa associar é logo energia potencial e qual é a energia potencial que a gente obtém quando quando faz essa associação é aqui começa a força é conservativa quando eu faço integral de linha de tal forma que a energia na posição
de equilíbrio ea oposição x igual a zero é seja nula o resultado é que eu tenho uma energia potencial que é um meio de cá x 2 olhe pra essa expressão olha para aquela são a mesma o que eu estou mostrando a você é que um sistema físico qualquer nas vizinhanças da sua posição de equilíbrio estável tenho uma energia potencial que depende quadrat camente da distância até um ponto de equilíbrio se arrepende quadrat camente dessa distância é exatamente a energia potencial associada a uma força restauradora linear eu poderia fazer o argumento adversas dado que a
energia potencial tem essa forma como é que obtenha a força que age sobre essa sobre esse sistema não é tomando a derivada da energia derivada de energia com relação à que a posição a posição é isso aqui é o x 0 mais hox10 eta fixo né então regra da cadeia isso aqui é igual a derivada com relação à h ea elevada correlação h vai dar um meio de 12 de rede x 0 vezes 2h ou 2 desaparece fica o dois vinhos de x 0 vezes h mas tem o sinal de menos não é isso então
a força associada a essa energia potencial é menos deu o dx que é a mesma coisa que menos deu o dh pela regra da cadeia e isso é menos duas linhas de x 0 vezes h aí está a lei de hulk de novo lá legal ou seja retomando o fio da meada qualquer sistema físico nas vizinhanças do seu ponto de que um ponto de equilíbrio estável ele a está sujeito a uma força que é restauradora linear o restaurador está associado a um sinal de menos linear associado a primeira potência da a distância até a posição
de equilíbrio e é por esse motivo que oscilações que obedeçam a essa equação de movimentos são tão freqüentes na natureza porque nós temos sistemas físicos muito sistemas físicos perto do seu equilíbrio estável qualquer foi coisa que eu faça de modo a tirar ele um pouquinho do equilíbrio estável o movimento que ele vai ganhar por causa dessa perturbação vai ser regido por aquela equação portanto vai ser um movimento que atende a equação de movimento ditta do oscilador harmônico dela aqui aí está porque que só ia tão tão relevante né mais uma coisa a gente aprendeu agora
há a famosa constante e lá shica cá ela está associada diretamente a uma característica da função energia potencial só ela é derivada segunda da função energia potencial calculado no ponto de equilíbrio então isso tudo a gente a gente descobre né com essa análise que acabei de fazer aqui [Música]
