20 MEF1 AULA 10 ETAPA 1

então nós chegamos num ponto Agora que é um divisor de águas né Nós vamos começar a entrar na formulação dos elementos dimensionais e tridimensionais né E vamos por intermédio da formulação deles compreender a importância do tamanho da malha etc etc é bom que a gente faça um assentamento do que sobreviveu de toda essa nossa conversa né do ponto de vista Global nós falamos sobre o estudo de uma estrutura você quer saber como é que essa estrutura se deforma você divide numa montagem de elementos os elementos estão conectados nos nós a partir da rigidez de cada

elemento você monta a rigidez da estrutura por um processo direto de montagem que equivale às equações de Equilíbrio e compatibilidade que é nada mais nada menos que uma soma de molas em todas as direções tá certo o objetivo disso aí você aplica a rest você calcula o deslocamento dos nós a partir do deslocamento dos nós aí você entra dentro do elemento para calcular os deslocamentos dentro do elemento aí é que entra o processo de interpolação então assim como a gente usou o elemento de mola para entender o procedimento de montagem usamos o elemento de treliça

para entender sistema local e sistema transformação de coordenadas a gente formulou o elemento de viga e utilizou para entender o procedimento de interpolação que aí é um ponto chave no mé dos elementos finitos então nós fizemos isso com o elemento de viga né como elemento de viga tem quatro comportamentos Independentes a cada um deles a gente associa né o processo de interpolação Então nós pegamos o comportamento a flexão E aí nós vimos tô falando isso porque nós vamos repetir até o final agora isso quando eu formulo um elemento finito eu tenho que fazer uma pergunta

qual é a pergunta quantos graus de liberdade o elemento tem o número de graus de liberdade determina o número de coeficientes do polinômio de interpolação isso garante que o polinômio é único Além disso o polinômio tem que ser completo Por quê ele tem que primeiro representar as formas mais simples do elemento se deslocar e a forma mais simples do elemento deslocar é deslocar sem deformar aí nós formulamos o elemento de viga o elemento de viga tem translação ângulo translação ângulo tem 4 gra de Liberdade nós geramos um polinômio com quatro coeficientes a partir do instante

que você determinou o campo de deslocamento ou a deformada do elemento Você Partiu pro cálculo da deformação no caso de uma viga inflexão a deformação está associada à curvatura que é expressa pela segunda derivada do deslocamento E aí depois você parte paraa equação constitutiva equação constitutiva relaciona a deformação com o causador dela aí nós partimos pros elementos bidimensionais nós pegamos E começamos por quê Porque o triângulo ele tem um um fato histórico importante ele foi o primeiro elemento finito a ser formulado no âmbito da aplicação bidimensional ele tem um procedimento assim histórico importante isso e

mais nós vamos formular o elemento triangular em seguida e a técnica que nós vamos utilizar para formulá-lo nós vamos expandir para todos os elementos tá claro isso aqui então aí nós fizemos Aquela Velha História nós temos um contínuo nós dividimos em elementos Por que que nós começamos com o triângulo porque é o formato geométrico mais simples a divisão em elementos mais simples de um plano é na forma de triângulo que tem menos vértices são três vértices são três nós aí nós fizemos a subdivisão e fizemos a mesma coisa usando a viga como referência a viga

tava antes e depois de deformada Nós pegamos o triângulo antes e depois de deformado Você conhece o deslocamento do nó você quer calcular o deslocamento dentro do elemento E aí nós pegamos dois componentes de deslocamento por quê para não ter sof nós estamos trabalhando com a projeção do vetor deslocamento e projeção no vetor é uma grandeza algébrica tem sinal fizemos isso E aí surgiu uma grande questão Quando você vai formular um elemento finito Você tem uma pergunta para fazer quantos graus de liberdade o elemento tem E aí a gente foi avaliar o que que acontece

aqui né Aí nós falamos da rotação do ponto né o cara rotação do ponto seria dema né o ponto não gira ao redor dele mesmo aí isso motivava aquela questão do Estado plano de tensões o elemento de estado plano ele não tem rotação nodal a teoria da elasticidade e ela representa o movimento de um ponto no plano ou no espaço através dos componentes de deslocamentos lineares a rotação nodal que a gente usa no elemento de viga Corresponde à rotação da sessão E aí nós partimos para né Eh eh formular o elemento né que nós vamos

fazer só que aí surgiu uma questão adicional né quando a gente estudou o elemento de viga depois de formular o campo de deslocamento na viga a gente precisava saber como se calcula a deformação numa viga isso em todos os elementos finitos vai ser fundamental então aí a gente fez uma breve uma breve visita a teoria da elasticidade inicialmente a elasticidade plana né então o o que que é isso daqui isso daqui dentro do elemento triangular corresponde um ponto ó aqui ó Isso aqui é um diagrama de Corpo Livre eu tô mostrando o triângulo e este

ponto aqui um ponto Qualquer dentro do Triângulo ao redor desse ponto você tem um DX e um d y e aí você vai calcular a deformação y x e a deformação y y a partir do conhecimento da função ou seja essa função a gente ainda não determinou é o que nós vamos começar a fazer daqui a pouco a partir do deslocamento nodal nós vamos gerar as funções que dão o deslocamento dentro do elemento no caso aqui o triângulo inicialmente só que esses deslocamentos eles são fornecidos por intermédio dos seus componentes se for um problema plano

é o deslocamento componente de deslocamento na direção x que é o o componente de deslocamento na direção Y que é o v e se for um problema tridimensional no espaço o movimento de um ponto num sólido é o componente de deslocamento na direção Z que é o w então nós temos o y x que é a derivada parcial do u em relação a x derivada do V em relação a y é o y y e aqui é a deformação Z e aqui é a distorção Então as deformações são relações essencialmente geométricas depois nós partimos pra

relação entre as deformações e os culpados pelos delas existirem que são as tensões E aí a gente relacionou né primeiro no estado plano e depois colocando o componente triaxial E aí surgiu a relação geral entre tensão e deformação que a gente contabilizou colocou dentro de uma matriz Isso é uma questão administrativa e aí surgiu a matriz de elasticidade nós vamos dar um salto agora gigante em relação a isso agora eu queria fazer uma observação observação fundamental em relação ao que vai ser feito daqui por diante o elemento triangular ele desempenha um papel fundamental na lógica

de se fazer a interpolação no mundo B tridimensional por intermédio dele nós vamos compreender por que nos diversos elementos que vão ser formulados Bi e tridimensionais o tamanho do elemento é importantíssimo mas o que é muito interessante é que isso você sabe a priori então quer dizer o seguinte antes de você escolher o tamanho de elemento numa aplicação Você já sabe o tamanho adequado que ele deve ter desde que você conheça a formulação dele quer dizer não faz sentido algum o cara trabalhar com um software por exemplo como nós vamos usar nós vamos usar muito

software a partir de agora mas não para ficar aprendendo comando de software nós vamos ver que o que tá preconizado na teoria o software vai confirmar inclusive as previsões que correspondem ao mau comportamento porque você escolheu mal o tamanho do elemento em função da formulação dele essa filosofia que nós temos que ter Clara é que muitas vezes o cara usa o software sem saber a formulação do elemento isso é grave isso é problema agora tem o outro lado da história que Também merece ser comentada né porque muitas vezes se cria um mistério em torno do

mé dos elementos finitos que nós vamos desmontar esse mistério porque nós vamos fazer junto a formulação de todos os elementos é que é a teoria do batato vamos dizer assim né O cara chega e fala assim consideremos um contínuo aí ele desenha um batato aqui assim o que que é esse contínuo É pode ser um Pórtico que a gente já estudou pode ser uma treliça pode ser uma mola pode pode ser um navio um avião submarino pode ser tudo inclusive nada que faz parte do tudo né E aí o cara considera esse contínuo E aí

ele quer estudar a formulação de um contínuo sem dar sem dar aspecto físico para isso isso é tão grave quanto o cara usar um software sem saber a teoria aí o cara coloca um monte de integral aqui e parece que o elemento finito é uma é um é uma teoria estranha para pessoas iniciadas que tem uma sa isso não existe pô nós vamos até fazer isso no último dia no último módulo aqui nós vamos resumir tudo isso numa formulação geral mas tem que fazer sentido físico senão o métodos elementos fos se transforma num monte de

técnicas numéricas para calcular um monte de coisa que a gente não vê nenhuma relação com o mundo físico para que que você usa isso para calcular navio submarino chassi avião não suporte Então tem que ter uma visão física Clara e isso tem que estar contida na formulação do elemento que segue os padrões que a gente já falou aqui nós temos dois padrões O primeiro é calcular a rigidez da estrutura a partir da rigidez de cada um dos seus elementos objetivo deslocamento nodal Qual é o segundo é a partir do deslocamento nodal inar o campo de

deslocamento dentro do elemento interpolação função de forma a partir do deslocamento nodal você calcula o deslocamento dentro do elemento a partir do deslocamento nodal você calcula a deformação dentro do elemento que é sempre uma espécie de derivada do deslocamento e finalmente a partir da deformação pela equação constitutiva você chega na tensão é isso que nós vamos Reproduzir agora em série para todos os os elementos finitos por isso que agora nós vamos com muito cuidado dar o primeiro passo na busca do entendimento dos problemas bit tridimensionais de elementos finitos tentando simular o que acontece com qualquer

contínuo dividindo em elementos discretos conectados nos nós a formulação dos elementos é que vai nos permitir entender com clareza Como que eu faço cada modelamento é claro que além disso nós estamos pressupondo que o cara conhece aqueles quatro comportamentos físicos da mecânica estrutural lembra comportamento de viga comportamento de chapa comportamento sólido e viga de parede fina que nós já avaliamos aqui então vamos começar dando o primeiro Grande passo aqui que é o primeiro elemento que nós vamos formular formular o elemento triangular linear de estado plano de tensões O que é isso que nós vamos fazer

isso aqui nós já avaliamos a situação física em que isso pode ocorrer né quando você pega por exemplo uma caixa estrutural né nós já passamos por esse conceito lembra que a gente não perca o conceito aqui ó olha só isso aqui era uma viga so carga axial viga so flexão uma viga completa aí nós vimos uma chapa sobre ação de forças no plano flexão E aí nós vimos o comportamento simultâneo estado plano placa e uma casca plana e nós vimos situações nas quais isso se manifesta uma situação por exemplo são caixas estruturais toda vez que

uma caixa estrutural tá trabalhando sobre o efeito da do carregamento Global ele gera um estado plano de tensões e com a carga local gera o comportamento de placa a gente não tá falando nada de placa por enquanto o nosso foco é estudar como que a gente representa o comportamento de estado plano tá claro o que eu tô falando que eu quero dizer é o seguinte Olha esse elemento vai permitir a gente estudar alguns comportamentos importantíssimos por exemplo olhando aqui para para esse navio se a gente tivesse né ó eu vou representar aqui a caixa olha

só a caixa aqui ó olha a caixa aqui tô fazendo um corte aqui nessa caixa por exemplo nessa região Tá certo ó o que tá acontecendo aqui a parte de cima ela tá por exemplo comprimida parte de baixo tá tracionada o que eu tô falando é isso aqui ó nós temos um comportamento aqui assim olha só esse é o estado de tensões em que uma parte tá comprimida outra parte tá tracionada e e aqui ela vai de comprimida tracionada mas a tensão que atua tanto aqui no costado como em cima como embaixo é um estado

plano de tensões A única diferença é que aqui a tensão é constante e aqui a tensão é variável mas são tensões planas o que eu quero dizer é o seguinte seria equivalente a isso aqui eu pego uma chapa que pode est sob carga no seu plano assim ou carga no seu plano assim as duas situações se referem a estado plano de tensões Então o que nós vamos fazer de agora em diante é exatamente dar o primeiro passo para formular um elemento de estado plano triangular linear ou seja este daqui ó esta Chapa nós dividimos em

triângulo e ela tá so ação de carga no plano o que que nós vamos desenhar se essa estrutura está em equilíbrio este elemento também tá em equilíbrio nós vamos fazer um diagrama de Corpo Livre dele e começar a formular o elemento de estado plano de tensões a partir do entendimento da formulação dele nós vamos conseguir enxergar o tamanho da malha que eu tenho que ter para representar um PL stress e ter sucesso na obtenção da tensão Esse é o Ponto Central o elemento triangular dentro dessa lógica desempenha um papel Vital vai abrir o caminho pra

gente para formular todos os outros elementos Ok então vamos começar a formular o elemento triangular de estado plano de tensão o elemento linear beleza é o que nós vamos fazer agora muito bem então agora nós vamos comear a formular o elemento triangular linear de estado plano bom que que nós vamos desenhar aqui que que é isto isto aqui é o famoso diagrama de Corpo Livre de um elemento esse elemento aqui que nós vamos desenhar tá isolado do mundo não ele faz parte de uma estrutura maior se esse essa Chapa está em equilíbrio este elemento também

está em equilíbrio então nós podemos montar um diagrama de Corpo Livre dele é o que nós vamos fazer agora eu tô representando um dos triângulos daquela montagem Olha só o triângulo está aqui nós vamos representar os nós né que são os nós e isso daqui é um ponto Qualquer dentro do elemento Qual é o nosso objetivo a partir dos deslocamentos dos Nós nós queremos calcular o deslocamento de qualquer ponto dentro do elemento Esse é o objetivo sempre na formulação de todos os elementos finitos e nós vamos representar aqui os graus de liberdade que são os

componentes de deslocamento em cada um dos Nós desse triângulo nós já vimos lá da teoria da elasticidade que o elemento né o estado plano de tensões cada ponto sobre na condição de estado plano ao se movimentar num plano ele tem apenas dois componentes de deslocamento por nó Tá certo e o que que nós estamos querendo determinar nós estamos querendo determinar este componente de deslocamento u e este componente de deslocamento V então para isso nós vamos estabelecer uma sequência né olha que nós vamos fazer em todos os elementos primeiro o de nós que esse elemento apresenta

quantos nós nós temos aqui 1 2 3 nós temos três nós quem é que define isso é a geometria do elemento finito a segunda questão é o número de grau de liberdades por nó quantos graus de liberdade por nó nós temos aqui Nós temos dois dá para negociar isso aqui não não dá só se você fundar uma nova teoria da elasticidade né Já falamos sobre isso aí você precisa combinar com os avião que estão voando né parar tudo ou seja isso daqui é inegociável isso daqui é a teoria da elasticidade que define então nós temos

TR nós nós temos 2 graus de liberdade por nó como consequência este elemento vai ter 3 x 2 6 gra de Liberdade como o nosso polinômio que vai dar o campo de deslocamento vai fazer a interpolação é único este elemento aqui se ele tem 6 gra de Liberdade nós vamos poder utilizar seis coeficientes é tudo que nós dispomos para formular um elemento triangular linear nós temos seis coeficientes para fazer a função interpolação tá claro o que eu tô falando bom nós passamos pelo elemento de viga nós formulamos o deslocamento dentro nós colocamos dentro de uma

matriz depois a gente calculou a deformação colocou dentro de uma matriz depois calculou a tensão nós não vamos fazer isso porque o nosso grande objeto aqui é entender a formulação do elemento lá na viga nós fizemos para entender como é que dentro do software isso é formulado não quero ter problema com o sindicato das matrizes né vem aqui ô exercício legal da profissão o cara tá tirando emprego das matrizes a matriz ela paga para fazer isso agora o nosso problema aqui em todos os elementos finitos é definir três coisas primeiro que é a função de

deslocamento função de deslocamentos que é a função de interpolação do elemento é o que nós vamos fazer agora só que nós já Vimos que a função de deslocamento dentro do elemento bidimensional como triângulo é feito através dos seus componentes ou seja para cada ponto que eu escolho dentro desse tri por exemplo este ponto aqui ele tá localizado num ponto que tem as coordenadas X e Y ou seja cada ponto eu consigo saber qual é o x e o y dele e esse problema tem natureza bidimensional o que eu quero dizer é que quando eu dou

a posição do ponto eu posso saber quanto que ele se deslocou em x e quanto que ele se deslocou em Y em função do X e do Y dele como na viga para cada x você tinha um v Dex só que agora nós temos duas funções porque o problema é bidimensional nós temos um componente de deslocamento em x e um componente de deslocamento em Y então eu vou colocar aqui as duas funções u e v nós temos que gerar duas funções uma que dá para qualquer ponto de deslocamento em x e a outra que dá

para qualquer ponto inclusive esse o deslocamento em Y Só que essa função ela tem que ter duas variáveis porque o deslocamento do ponto numa Chapa depende da posição que o ponto tá na chapa ou seja depende do X e do Y e em particular nós estamos querendo saber a partir do deslocamento do ó o deslocamento de qualquer ponto dentro desse triângulo Então eu preciso saber o x e y do Triângulo para quem gosta de fórmula de uma maneira mais popular o x e o Y tem que aparecer na fórmula não pode ter só x Nem

só y e tudo que nós temos são seis coeficientes eu não posso usar mais que seis nem menos que seis porque o polinômio de interpolação é único Olha só eu vou falar uma coisa agora agora aqui que eu não sei se existe né mas deve existir já que Deus é justo né a gente já falou de Deus Newton timonen Professor todo mundo lá ao lado de Deus deve ter um negócio chamado Justiça estrutural né aliás Deus é justo né Pô você tem seis coeficientes e você tem duas funções para gerar Olha só eu tenho seis

coeficientes e eu tenho duas funções em princípio nós estamos trabalhando com material que é isotrópico né Nós não temos nenhuma preferência explícita eu quero dizer o seguinte se você pegar uma chapa aqui e eu pegar e tracionar aqui eu fizer um corpo de fizer isso aqui depois fizer isso ou fizer isso aqui Qualquer que seja a direção eu não tenho preferência porque o comportamento é o mesmo tá claro que eu tô falando eu não tenho nenhuma preferência explícita na direção x ou y o que eu quero dizer é o seguinte eu tenho seis coeficientes eu

tenho duas funções A não ser que eu tenha alguma preferência né eu cheg fal assim o y aí é o y é o v tá ligado comigo aí dá uma dá quatro coeficientes para ele e pro outro você só d dois não faz sentido isso eu tenho seis coeficientes eu tenho que distribuir entre duas funções Qual é a escolha lógica Quantos coeficientes você usaria em cada função já que você tem seis e você tem que distribuir entre as duas uma questão de Justiça estrutural são três coeficientes para cada função Então nós vamos gerar uma função

com três coeficientes e outra com três coeficientes Esse é o primeiro ponto esse polinômio ele tem que ser completo ele tem que começar sempre do grau mais baixo e o grau mais baixo você já sabe que é o grau zero e segundo ele é um polinômio bidimensional é uma função de duas variáveis tem que aparecer x e aparecer Y dentro desse polinômio porque o deslocamento u e v são função de x e y e como nós não temos preferência não pode ter x e t y qu senão tô dando preferência pro Y não tô sendo

justo também não pode ter x Quad e não ter Y Quad mas o polinômio tem que ser completo tem que começar do grau mais baixo e crescendo você vê que não tem para onde correr né Nós vamos formular o elemento dessa forma o polinômio tem que ser completo tem que ter X Y na função e tem que ter três coeficientes para cada um Olha só por uma questão de Justiça estrutural e também não pode ter só x Se eu colocar só x aqui eu tô dizendo que o deslocamento u só depende de X O que

é mentira e nós já provamos provamos inclusive no software ou seja vamos formular o elemento Qual é como é que eu estabeleço o campo de deslocamento u em qualquer ponto dentro desse triângulo é C1 Por que que nós estamos colocando o C1 porque esse é o grau zero o polinômio tem que ser completo mais o C2 agora nós vamos passar pro grau 1 C2 x x só tem mais um coeficiente tem o C3 aí o cara fala assim Ah então coloca X2 Ah é Se eu colocar X2 aí eu tô dizendo que o deslocamento u

só depende do X O que é uma Evidente impossibilidade Nós já mostramos isso aqui ó olha aqui ó esses dois caras aqui estão no mesmo x e o deslocamento x deles é diferente porque depende da posição Y ou seja o deslocamento u Depende de x e depende de y então não tem escolha é o que tem para hoje é o que sobrou é o y Pô eu só tenho três coeficientes para usar tá ou seja nessa função aqui tem que aparecer o x e o y o polinômio tem que ser completo ele tem que começou

no Grau zero depois ele pulou pro grau um não dá para Ah mas não dá para queimar etapas e começar com o x quadrado já a gente já viu que o cara que gosta de queimar etapas tem problema né lembra disso quando a gente falou da Viga ó aqui a viga aqui ó o cara vai formular a viga ele já começa no segundo grau e aí aparece uma tensão na ponta da Viga né Você pode jogar fora o software que ele não save para nada formulação do elemento tá errado então isso é o que sobrou

ou seja qualquer ponto dentro desse triângulo eu consigo calcular o componente de deslocamento na direção x que é o u em função da posição que o ponto dá que é dado pelo X e pelo Y esse aqui é o grau z0 esse aqui é o grau 1 bom já usamos três coeficientes por que três porque eu não tenho preferência né aquela tem um amigo meu aí que é um peixinho dá uma dá quebra o galho desse cara aqui porque esse cara é amiguinho meu pô não dá aqui não tem isso na teoria da elasticidade no

elementos finitos eu não tenho nenhuma preferência explícita eu já usei três coeficiente só sobraram três então agora vai aparecer o C4 agora aí tem um outro detalhe também que tá escondido na formulação é conceito puro Já que eu não tenho nenhuma difença numa direção ou na outra o grau do polinômio que representa o deslocamento aqui não pode ser maior ou menor do que na outra direção então aqui sobrou o C4 mais quem o C5 x e mais o C6 x y o que que essas duas funções estão nos dando isso aqui são as funções de

deslocamento ou as funções de interpolação para cada ponto para cada ponto para cada ponto que você tem dentro do Triângulo sabendo o x e o y dele você sabe quanto que ele deslocou em x e quanto que ele deslocou em y e portanto você tem o vetor deslocamento desse cara tá claro Esse é o objetivo de todos os elementos finitos é você formular o campo de deslocamento dentro do elemento a partir do deslocamento dos nós que é conhecido porque a primeira parte já foi resolvida rigidez do elemento rigidez da estrutura sistema de equação determinante zero

aplica a restrição aplica o carregamento deslocamento dos nós a partir do deslocamento do nó você vai calcular o deslocamento dentro do elemento Qual é o próximo passo deformação então agora nós vamos fazer o cálculo das deformações Olha só nós vamos fazer o cálculo das deformações dentro do elemento ou seja o campo de deformação dentro do elemento a partir do deslocamento loal Tá certo como é que se calcula a deformação lá na teoria da elasticidade o X é a derivada da função u em relação a x nós já vimos Isso é uma derivada parcial pelos motivos

que a gente já falou vamos calcular a derivada y x ó a derivada de uma constante quanto é que dá a derivada de uma constante dá zero quanto é que dá a derivada do c2x em relação a x dá o C2 e quanto é que dá a derivada do c3y em relação a x dá zero por quê Porque quando eu derivo a derivada parcial a função de y é considerada constante isso tem um sentido físico concreto porque o deslocamento a deformação em x só depende da variação do comprimento na direção x não é porque o

cara tava com vontade e definiu isso aí e agora vamos calcular o y y Olha só o y y é a derivada da função V em relação a y a mesma coisa derivada do C4 dá 0 a derivada do C5 X em relação a y dá 0 e a derivada do C6 Y que é primeiro grau em relação a y dá o C6 Olha só isso aqui isso aqui é uma função que dá o campo de deslocamento dentro do elemento e isto aqui também é uma função que dá como a deformação varia dentro do elemento

triangular olha só o que você está concluindo a deformação dentro de um triângulo ela é o qu constante quer dizer o seguinte Toda vez que você usa um triângulo numa malha de elementos finitos no domínio desse triângulo a deformação não varia eu não tô falando do deslocamento tem o deslocamento tem uma uma variação a deformação é constante Olha só você já sabe a priori quer dizer quando eu faço uma malha e eu tô usando um elemento triangular nessa malha eu já sei que no domínio desse triângulo ele só tem capacidade de calcular deformação constante a

deformação aqui aqui aqui numa mesma direção y x é sempre a mesma não muda nunca você pode nem acreditar mas tá na formulação e nós vamos demonstrar isso no software vamos ver a implicação prática disso Qual é Então nós vamos fazer isso agora então isso aqui é a conclusão mais importante o elemento de estado plano de tensão triângulo Ele só tem a capacidade de calcular deformação constante no domínio do triângulo que você colocou isso você já sabe antes de fazer a malha Quando colocar um elemento desse tamanho ou desse tamanho no domínio daquele triângulo a

deformação é constante Ok vamos ver agora na prática como é que isso se manifesta beleza Então você viu a conclusão do elemento triangular o elemento triangular é um elemento que só tem capacidade de calcular deformação constante como a relação entre tensão e deformação entre as duas tem uma constante que é o modo de elasticidade e o Poa som eu posso dizer sem medo de errar que o elemento triangular linear ele é um elemento de tensão constante o que que nós estamos querendo dizer com isso quando você monta uma malha de triângulo ó Isso aqui é

um triângulo isso aqui é um diagrama de Corpo Livre de uma malha de triângulo sem querer ser repetitivo isso aqui não está isolado do mundo isso aqui faz parte de uma chapa que tá sob ação de carga no seu plano lembra disso ó tô falando disso aqui ó o triângulo aqui ó ó o triângulo aqui ó o triângulo se deformando esse é o mundo real o que eu quero dizer o seguinte quando você faz uma Mara de triângulo dentro de um triângulo se a tensão aqui ela for 10 kç por MM qu a tensão aqui

é 10 atenção aqui é 10 atenção aqui é 10 atenção aqui é 10 atenção é que a 10 isso é que dá para fazer com triângulo É o que tem para hoje da mesma maneira se você tiver a tensão aqui nessa outra direção igual a 5 a tensão aqui tá também é igual a 5 a tensão aqui também é igual a 5 porque o elemento de triângulo linear é um elemento de tensão constante é o que dá para fazer com triângulo que que eu quero dizer isso do ponto de vista prático vamos pegar um problema

que já é conhecido é nosso conhecido ó esse problema aqui ó tá aqui ol aqui o problema ó eu vou pegar uma chapa que não está fletido Ela tá só ação de carga no seu plano né ou assim ela portanto ela tá sob ação de um estado plano tensões então eu vou representar essa Chapa aqui olha a chapa aqui ó essa mesma que a gente viu agora aí né Essa aqui ó essa aqui olha só ó o triângulo deformando aqui tá vendo o que que acontece aqui em cima é tração que acontece aqui embaixo compressão

então eu vou pegar essa Chapa essa e avaliação que eu tenho né do comportamento Eu sempre tenho que ter uma expectativa não tô falando que isso aqui é óbvio mas tem cara que trabalha com software por exemplo você pergunta pro cara o que que você estima que vai acontecer o cara fala ah estima minha mulher meus filhos me cara não estima nada pô o cara acha que o software vai resolver o problema dele sozinho quer dizer quando você aplica uma carga aqui o o que deve acontecer né Na realidade é isso aqui né Ó olha

só deve acontecer isso isso que a gente tem como expectativa o campo de tensões aqui tem tração e aqui tem compressão e aqui é a famosa linha neutra Isso é o que eu espero que aconteça agora vamos supor que o cara tá trabalhando com software amigo né Aliás mais que amigo um soft irmão né olha só E aí ele faz uma malha e o software decide por ele que o tamanho da malha é desse aqui depois nós V fazer isso aqui um triângulo aqui iso é uma tría não isso aqui é um triângulo quer dizer

se você pegar e fizer uma malha com triângulo desse tamanho você vai conseguir provar no software que a tensão é constante de cima a baixo Ou seja a chapa tá sofrendo flexão no próprio plano dela um plin stress tá se movimentando no próprio plano dela aqui é tração aqui é compressão você faz uma malha desse tamanho você consegue provar no soft que a tensão é constante de cima baixo o que é uma Evidente impossibilidade é um absurdo mas isso acontece nós vamos fazer isso no software percebeu Oli isso é coisa de maluco né Sabe aquela

pergunta de maluco Se chover amanhã eu te ligo hoje à noite ah então tá combinado eu não te ligo tu também não me liga quer dizer não combinou nada pô Quer dizer tu tu tá perguntando pro software o seguinte Olha me calcula a tensão de cima a baixo constante quando a chafa sofre flexão no próprio plano dela isso é perguntando em maluco né e o software responde que o que você perguntou Sabe por que que ele faz isso porque quando você formula um elemento finito em função do número de coeficientes que você tem para formular

o elemento o elemento é obrigado a se deformar desta forma que tá aqui é o que tem para hoje e em função desse Campo de deslocamento Essa é a capacidade que ele tem de calcular deformação É só isso que ele sabe fazer é por isso que eu tô dizendo se o cara não sabe a priori Qual é a formulação do elemento que ele tá usando no software o cara gosta de viver perigosamente né Nós vamos transformar isso número daqui a pouco vamos pegar um caso que dá para calcular a mão e vamos calcular o mesmo

caso no software usando esse tamanho de elemento igual o tamanho da altura da chapa O que é um absurdo né mas é o que tá acontecendo agora como é que a gente trata esta questão Então nós vamos fazer uma analogia agora tá claro ou seja o elemento triangular de estado plano de tensão toda vez que eu faço em qualquer circunstância uma malha triangular para descrever o PL stress no domínio do Triângulo a tensão é sempre constante Ah mas eu não posso um tamanho menor Opa então agora vamos conversar vamos fazer uma analogia eu vou fazer

o seguinte vamos representar aqui uma função matemática isso aqui é o y isso aqui é o x olha a função matemática que nós vamos é essa função aqui por exemplo essa aqui isso aqui não tem nada a ver com elementos finitos aí nós desenvolvemos um software que é um traçador de funções matemáticas só que esse software que nós estamos desenvolvendo ele tá no release um como os caras gostam de dizer e a primeira versão do nosso software ele só tem capacidade de calcular ou de representar funções constantes ó é o primeiro primeiro Insight que a

gente tá fazendo no nosso software ele só representa a função constante aí eu quero usar o software para representar essa função aqui vai ficar meio complicado né se eu tenho um software que só tem capacidade de representar função constante eu não vou conseguir representar a minha função A não ser que eu represente uma média aqui né quer dizer que não Vai representar nada agora com auxílio do meu software eu sou capaz de fazer uma coisa interessante que coisa interessante o grande objetivo é representar Esta função então o que que nós vamos pegar isso aqui é

o dom domínio da função Olha o domínio da função nós vamos pegar o domínio da função e subdividi-lo em subdomínios Olha só e nós vamos traçar a função por domínios o que que eu quero dizer com isso que eu quero dizer o seguinte em cada domínio se eu usar o software que a gente criou eu sou somente capaz de traçar trechos constantes é o que nós estamos fazendo aqui até melhorou né nós conseguimos fazer por trecho a representação dessa função que é o objeto da nossa representação só que acontece o seguinte né quando eu chego

aqui onde o gradiente da função é elevado o meu traçador de função ele começa a perder Deixa de ser efetivo porque ó ó o salto que eu tenho aqui ó a minha média aqui Alguém tem alguma sugestão O que que você faz você subdivide os tais subdomínios em trechos menores Olha só olha aqui ó melhorou você tá traçando essa função que você quer representar por intermédio do seu traçador de função que só consegue traçar função constante e ainda preen esse objetivo Aliás você pode até fazer o seguinte né depois que você fizer isso aqui você

pega a média dos dois valores e representa aqui e vai tentando fazer um ajuste da representação disso tá claro o que que acontece em elementos finitos Então agora eu vou desenhar aquela figura lá aquela Chapa Olha a nossa Chapa Qual é o nosso objetivo em elementos finitos é representar também como uma função varia Só que essa função é o campo de tensões dentro do elemento ou o campo de deformações então eu vou representar aqui ó é a mesma coisa eu só vou dar uma virada aqui no eixo ó aqui é o eixo Y que é

o eixo da tensão e aqui é o outro eixo e agora eu vou representar o campo de tensões que vai de tração a compressão olha só aqui que interessante olha aqui ó Esta é a função eu continuo com o mesmo problema com o mesmo o nosso grande objetivo é representar isso aqui é conseguir representar por intermédio dos elementos como que a tensão varia nesse trecho de chapa de tração a compressão usando o meu traçador de função quem é o meu traçador de função quem é que traça campo de tensão em elementos finitos é o elemento

Tá certo então eu vou tentar fazer o seguinte o mesmo raciocínio aqui vou fazer ó baseado qualitativo heem qualitativo depois nós vamos ver no software isso aqui funciona eu vou pegar esse cara aqui e vou dividir por exemplo aqui ó segundo a nossa expectativa eu vou dividir em cinco trechos aqui ó 1 2 3 4 5 olhando PR PR pro formato mesmo né ó 1 2 3 4 5 e agora eu vou traçar esse campo de tensão por trechos o que que eu quero dizer com isso isso aqui é um trecho constante isso aqui é

um trecho constante isso aqui é um trecho constante isso aqui é um trecho constante isso aqui é um trecho constante TR constante ou seja esse campo de tensão que o meu objeto é representá-lo eu consigo fazer por trechos constantes que que é isso aqui ó aqui ó que que é isso aqui isso aqui é o tamanho do elemento triangular que você precisa para fazer a representação dessa distribuição de tensão adequadamente Tá certo ou não você tá acabando de descobrir o tamanho da malha que você precisa para fazer o quê para fazer a representação do campo

de tensão variando de tração a compressão numa Chapa Ou seja a priori nós vamos testar isso no softw se eu tiver uns 10 elementos triangulares eu consigo pegar naquele intervalo de tração a compressão usando triângulo que só calcula tensão constante a variação da tensão de uma Face para outra nós vamos testar isso no software que que é isso aqui isso aqui numa estrutura geral se você pegar uma caixa estrutural Se você pegar uma caixa estrutural como o caso de um navio por exemplo que tá mininha de sent olha aqui como é que varia a tensão

devido ao comportamento primário ela é constante e aqui ela faz isso isso aqui é um PL stress isso aqui é um PL stress que eu quero dizer o seguinte no caso mais geral o navio tem cedores ó quando eu tô montando um modelo de qualquer coisa de qualquer coisa que tá sob ação de estado plano e a priori a Priore eu não sei qual é a variação da tensão e eu quero usar o modelo de elementos finitos para determiná-la a pior situação é a situação em que aqui é tração e aqui é compressão a aqui

para o enrijecedor e aqui passa o enrijecedor é esse cara que eu tô falando isso aqui é um reforço isso aqui é um reforço e aqui entre os dois tem uma chapa a pior situação se a priori eu não sei o que tá acontecendo entre os dois reforçadores é quando a chapa de um lado é tracionada e do outro lado é comprimida e se eu tiver usando um elemento triangular Se eu colocar 10 elementos eu posso ter segurança que eu vou ter uma boa resposta porque o elemento é muito limitado vou dizer que ele é

muito ruim né mas ele tem uma limitação Ele só sabe calcular tensão constante então se eu for calcular a variação da tensão de uma Face a outra eu preciso 10 nós vamos confirmar isso no software se é verdade ou não Ou seja o que me levou a concluir isso é o fato de eu conhecer a formulação do elemento porque o elemento triangular só sabe calcular tensão constante se eu tiver uma flexão e colocar um elemento aqui eu vou provar que a tensão é constante de cima a baixo quando a chapa se movimenta no próprio plano

dela o que é uma Evidente impossibilidade física é um absurdo tá claro ou seja o elemento triangular ele tem um monte de limitações mas ele é importantíssimo porque ele tá abrindo o caminho pra gente entender que a escolha do tamanho de elemento tá vinculada necessariamente ao conhecimento da formulação dele você já sabe a priori se você não sabe qual é o campo de tensão você tá pensando na situação extrema que é essa a pior situação é quando um lado é tração outro lado é compressão isso aqui é um absurdo né agora que se eu não

sei se ele tá agora vamos supor que a chapa esteja com pura tração mas eu juro na Bíblia que a tensão é constante porque a chapa tá sendo tracionada um elemento só resolve o problema porque o elemento é de tensão constante e na chapa a tensão vai ser constante mas se eu não souber isso a priori Essa é a solução pro meu problema nós vamos testar isso aqui no software agora tá certo nós vamos fazer um cálculo manual de um problema conhecido que tem solução analítica conhecida aí nós vamos fazer várias malhas no software e

nós vamos ver que nessa expectativa nós vamos saltar daqui até aqui aí nós vamos ver alguns Absurdos que acontece e que acontece todo dia quem usa software sequenc a formulação só muda de endereço tá claro então vamos lá