Algebra 2 Aula 1 da Semana 1

eh a gente vai começar a disciplina álgebra dois que na verdade álgebra linear Ok o professor responsável Professor José Edilson Ferreira Filho né o tutor responsável do Polo Bragança e o professor juvan Souza né Eh essa aula é a aula da semana um ela é referente ao dia 24 do de agosto tá que que diz lá a gente vai falar sobre matrizes né então o que que diz uma matriz uma matriz nada mais nada menos que é uma tabela com m linas e n colunas né é uma tabela de números reais a gente vai ficar

aqui tá aqui nessa nessa disciplina a gente vai ficar com números reais geralmente indicamos por a m x n certo onde m é linhas e n é a colunas tá quantidade de colunas m e n são números inteiros bom representação Então pode tá entre cochete né pode entre chete aqui a a letra A aqui ela é Ela é uma matriz que tem três linhas e duas colunas pode ser números reais sem problema algum Então aqui tem um √2 por exemplo né OK na matriz B pode ser usada entre parênteses né é uma matriz quadrada que

a gente diz né que ela é 2 por 2 ou pode usar Entre Duas Barras Quatro Barras né duas de cada lado no caso Duas Barras verticais de cada lado eh aqui ela é uma Matriz que a gente diz que é uma matriz retangular né e ela é uma matriz coluna três linhas e uma coluna Então ela só tem uma coluna tá eh de acordo com o número de linhas e colunas a matriz pode representar casos particulares se o m for um é uma matriz linha se o n for um é uma matriz coluna e

se o m for igual a n é uma matriz quadrada né E nesse caso a gente vai representar o conjunto das matrizes quadradas de MN com entradas de números reais tá o exemplo dois aqui é uma matriz L né Tem uma linha quatro colunas letra a a b é uma matriz coluna e a é uma matriz quadrada tá de ordem 2 por 2 a gente diz matriz quadrada de ordem do para ficar mais fácil igualdade de matrizes para ver igualdade matrizes elas T que ter a mesma ordem aqui tá trocada a palavra né mesma ordem

Então temos a matriz a e a matriz B são iguais se os coeficientes correspondentes são iguais ok a gente vai ver aqui no exemplo Então a gente tem esse exemplo aqui né pela definição de igualdade de Matriz podemos escrever o qu que a matriz ó aqui o 2ae tem que ser igual a 4 o 3B tem que ser igual a-9 o c + d tem que ser iG igual 1 certo que eu coloquei aqui embaixo tá e o 6 tem que ser igual a 2c Por que eu coloquei lá embaixo porque eu vou primeiro resolver

os que já pode ser mais fácil de resolver então da primeira equação a implica que seja 2 da segunda equação implica que o b seja -3 da terceira equação implica que o c tem que ser tem que ser TR e substituindo o c valendo 3 a gente acha o d valendo - 2 com isso a gente obtém o A B C e D Ok e matrizes quadradas né a gente vê a matriz quadrada aqui tem uma matriz quadrada 1 2 3 4 1 2 3 4 Matriz 4x 4 é onde a diagonal principal são esses

elementos que estão em azul né são esses elementos que estão em azul são os elementos a e i ou seja o que tá na primeira linha primeira coluna na segunda linha segunda coluna na terceira linha na terceira coluna na quarta linha e quarta coluna são iguais os índice e j né Eh são esses que estão destacados aí são os caras que estão na na diagonal principal dessa matriz quadrada Aí eh a a diagonal secundária a diagonal secundária são esses que tão em vermelho né O que acontece se eu somar o índice com J dá a

ordem n da Matriz né então por exemplo esse primeiro aqui o elemento que tá na primeira linha e quarta coluna ó um primeira linha é e desculpa primeira linha é hum aconteceu é primeira linha quarta coluna tá o i + j é o n + 1 aqui tá aqui tá um pouquinho distorcido então é erro de digitação Então os elementos que então na diagonal que tá em vermelho aqui são os elementos da Diagonal secundária OK aí tem casos especiais de matrizes né triangular superior que é que todos os elementos abaixo da Diagonal principal são nulos

diagonal inferior é o caso contrário ou seja os elementos que estão acima diagonal principal são nulos e a Matriz Diagonal possui todos os elementos fora da Diagonal principal nulos né e uma diagonal uma matriz diagonal é ao mesmo tempo triangulação superior e triangular inferior a uma matriz escalar é que possui todos os elementos diagonal principal iguais a k e uma matriz e identidade a matriz identidade ela é uma ordem especial por quê ela possui todos os elementos da Diagonal principais principal igual a um tá então essa aqui é o resto de zero tá zero e

operações como matrizes é a matriz transposta o que que diz aqui a matriz transposta obtida trocando ordenadamente suas linhas por colunas Ou seja a linha vira coluna e a coluna vira linha denotamos por a elevado a t não confundir com potência tá então esse T aqui é para dizer que é de transposta Tá bom então seja aá uma matriz dois duas linhas e três colunas essa aqui né então a transposta elevada a t É quem então o 3 o- 2 e o cin que é linha vira coluna 1 7 e o zer vira coluna também

bom Então observa que a ordem dele é 2 por 3 então a transposta é 3 por 2 ou seja tem três linhas e duas colunas eh uma matriz é dita simétrica Se A transposta é igual a própria matriz A né Eh o que que acontece vamos destacar aqui ó do exemplo a é os elementos da Diagonal principal 1 4 e 6 o que acontece os elementos que estão distantes dessa diagonal eles são iguais por exemplo aqui o 2 é igual a 2 o 3 É iG 3 e o 5 = 5 né OK nessa matriz

A então essa Matriz aqui ela é simétrica a simétrica a simetria na verdade é em relação à diagonal tá E existe também a outra que vai ajudar muito nos cálculos que é a matriz antissimétrica a matriz antissimétrica é a transposta igual a men ela igual a - A então a matriz e B aqui ela é antissimétrica Tá ok observa que necessariamente nas matrizes antissimétricas os elementos diagonais tem que ser zero pela condição dessa equação aqui tá aqui né que o a elevado a t é igual - a tá então essa condição faz a gente chegar

à conclusão que a diagonal das matrizes antissimétricas sempre sempre tem que ser zero e os elementos que estão distantes da diagonais né em relação a essa diagonal ela tem que ser um oposto a outro ó então -2 e 2 3 e -3 5 e- 5 tá Então essa é a grande sacada aqui adição de matrizes é soma-se elementos correspondentes com elemento correspondente ordens compatíveis Claro não posso somar uma matriz que é 2 por 3 uma 5 por 4 então ela tem que ter a mesma ordem Tá ok Aqui tá um exemplo Então eu tenho elemento

que tem duas linhas e três colunas a a e a B também tem duas linhas e três colunas Então vou somar aqui que tem em azul um + 8 em Vermelho 2 + 2 em preto o três com três em vermelho de novo o o cinco com o cinco em verde o sete com seis e em azul o um com quatro Quando eu fizer a conta dá uma matriz da mesma ordem né Então aqui tem a soma a mesma coisa é válida para a subtração tá mesma coisa é válida para subtração e e aqui tem

as propriedades quais são as propriedades se elas tiverem a mesma ordem elas são comutativas pela propriedade dos números reais ser comutativo né OK Elas são associativas também pela propriedade dos números reais seres associativos e ela tem uma ela tem um elemento neutro que é a matriz nula né Matriz nula que eu representei aqui pela pelo pelo o aqui né então qualquer matriz A somada com a matriz nula vai dar a própria matriz A Ok e existe o elemento oposto né ou simétrico que é a- a então se eu somar a com a- a vai dar

a matriz nula Ok e multiplicação de matrizes multiplicação de matrizes por um escalar tá por um número então pega pega a matriz B essa matriz b que tá aqui e vamos pegar a matriz 5 e multiplicar pelo da matriz b o que vai acontecer o 5 Vai Multiplicar todos os elementos da da Matriz então 5 x 8 5 x 2 5 x 3 5 x 5 5 x 6 5 x 4 e fazendo a conta eu chamei esse resultado de C poderia ser 5b sem problema algum tá fiz a conta deu 40 deu 10 15

25 30 e 20 propriedades também então se você tem um elemento k número real multiplicado pel uma soma de matrizes esse k vai fazer a distribuição pela esquerda né se você tem uma soma de elementos números reais o k mais o t e multiplicar pela Matriz a a matriz A também faz a distribuição pela esquerda tá E você tem aqui um elemento zero número zero multiplicado por qualquer matriz A vai dar a matriz nula tá cuidado que bem aqui esse que eu tô grifando que eu tô marcando é o zero dos números reais e esse

aqui é a matriz nula Tá ok se você se você tiver também dois eh escalares o k e o t aqui é indiferente você multiplicar primeiro um ou outro ou multiplicar os dois depois fazer a conta com a matriz A e um caso especial é que quando tem 1 x a né aqui é o número um vai dar a própria matriz A Ok um elemento neutro da multiplicação dos números reais como sabemos e multiplicação de matrizes aqui é um pouco um pouco mais difícil de tudo por quê Porque é um pouco diferente né foge um

pouco dos padrões então multiplicação de matrizes a x b somente tem significado se o número de Colunas da Matriz a isso é importante é igual ao número de linhas da matriz b e o resultado dessa multiplicação é uma matriz que eu vou chamar de c com o número de linhas da Matriz a e o número de Colunas da matriz b Então aqui tem um exemplo então tem uma matriz A que tem M linhas e n colunas V multiplicar pela uma matriz b que tem n colunas e e n n linhas desculpa i p colunas Quando

eu fizer essa multiplicação observa que o n tem eles são iguais e vai surgir uma matriz né a matriz c com a ordem que tá em azul e em vermelho ó então surgiu a matriz né m por P tá bom isso aqui é a primeira condicional para ele poder existir a multiplicação de matriz se não acontecer isso não existe a multiplicação de matriz vamos fazer aqui um exemplo então multiplicação de matrizes consid a matriz 2 por 3 e a matriz B3 por 4 então existe a x b que é a matriz que Vai resultar em

2 por 4 mas não existe a a a ao contrário Então B X A pois o número de colunas de B é 4 e o número de linhas já é dois ou seja são diferentes não tem como fazer a multiplicação eh multiplicação de matrizes vamos pegar primeiro aqui um exemplo mais fácil de poder entender então eh O produto das das matriz A e B é um pouco diferente Vamos começar com um processo especial um caso especial que considere a matriz é a linha e b a matriz coluna definindo Então a gente vai definir esse número

real ó em azul A1 que Vai Multiplicar B1 1 em vermelho a 1 2 que Vai Multiplicar o b2 1 e assim vai ó Ok ou seja esse aqui vai dar um número real tá esse aqui vai dar um número real por quê pela condicional da multiplicação de matrizes ó O a tem 1 n e o b tem N1 n igual n e o que sobra é uma por uma ou seja só um elemento número real então isso aqui vai dar um número real tá essa conta é esse somatório eh multiplicação de matrizes Aqui tá

o o pulo do gato Ó então em geral é essa conta que se faz né então esse somatório aqui vai dar só o elemento C1 da Matriz que eu quero fazer a conta né então aqui tu tens a matriz é a m por p e tu a matriz b p por n Então vai surgir uma matriz m por n Tá ok eh como o elemento c j da iima linha com a jima coluna da Matriz produto ou seja da Matriz C né que é a que é o resultado de a x b é obtido somando

os produtos ó somando os produtos dos elementos da ia linha da Matriz a com os elementos correspondentes da J coluna da Matriz B Aqui tá um exemplo né esse exemplo aqui a gente vai fazer depois lá no quadro tá então aqui multiplicação de matrizes o que que eu vou fazer vou fazer linha e coluna Então olha como vai ficar a conta 3 x 1 + 2 x -1 + -1 x 2 esse fazendo essa conta vai dar o men1 ó vai dar só o primeiro elemento da Matriz C então tem conta para caramba fazer aí

né OK e é Observe que a x b é dado por essa Matriz Então aqui tem duas linhas e três colunas aqui tem três linhas e quatro eh faltou aqui no final né esse aqui passar para cá eh esse menos do tá para cá tá e quatro eh colunas né Então observa que aqui tem no resultado tenho duas linas que é a ordem desse aqui da letra a e quatro colunas que é a ordem da letra da da matriz b desculpa Observe que não é possível efetuar o a volta o b x a tá pela

condição de que o número de linhas não vai ser igual ao número de colunas bom e multiplicação de matrizes matrizes especiais para não ter problema o que que a gente faz pega matriz da mesma ordem né matriz quadrada Então quando você multiplicar a matriz quadrada vai surgir também uma matriz quadrada e não tem nenhum problema né desde que elas sejam compatíveis 2 por 2 3 por 3 4 por 4 e assim vai então aqui você tem uma 2 por 2 ó V fazer uma conta básica duas vezes 3 6 + 4 x 5 20 20

com 6 26 ó Ok então aqui tá o primeiro elemento da primeira linha e primeira coluna da do produto eh outra vez 2 x 4 2 x 2 dá 4 4 x 6 4 x 6 24 6 com 24 28 ó ok também a gente vai fazer essas contas lá no quadro para ficar mais elucidado ok eh multiplicação Opa desculpa Observe que aqui tem a volta né Então aqui tem o a x b que deu essa matriz 2 por 2 26 28 4 z0 e também tem o b x a que vai dar 12 10

28 e 14 observa que elas não são iguais né então ela não é comutativa a multiplica multiplicação Tá ok eh multiplicação de matrizes Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem é n existe e também é uma matriz quadrada de ordem n assim a multiplicação pode ser efetuada nos dois casos anteriores tá Isto é nas duas ordens possível mas Observe que a x b e b x a são diferentes é eu que acabei de te explicar no slide anterior mostrando as contas Ok e o exemplo 21 aqui vai falar também um caso

especial Qual é o caso especial casos que ela comuta ela pode comutar pode coincidência sim tá então aqui ele vai mostrar só o caso de comun então a x b iG B X a coincidentemente mas geralmente elas são di diferente que fique bem claro isso tá multiplicação de matrizes aqui vai ter um caso especial que a gente vai descobrir mais na frente na próxima aula qual é é que se eu pegar a matriz 1 2 3 e 4 e multiplicar por essa B Olha o que vai acontecer 1 x-2 dá -2 2 x 3 d

3 então 3 - 2 que dá 1 ó Ok e se eu fizer todas as contas possíveis quem vou encontrar vou encontrar I2 quem é I2 a identidade de ordem dois ou seja os elementos diagonal principal são todos iguais a um o resto são todos iguais a zero Ok quando isso ocorre eh dizemos que a matriz A e B quadradas né é o produto de duas matrizes A e B quadradas é identidade obviamente da mesma ordem das matrizes Claro tem que ser compatíveis né acabei de falar dizemos que a é inversível e que B é

a sua inversa uma matriz inversível sempre comuta com sua inversa isso aqui é fato tá se for inversível aí tem a comutatividade tá propriedade de matrizes então aqui se elas forem de ordens compatíveis para multiplicações elas ela é associativa né propriedade associativa ela tem uma distribuição à esquerda que é ess segundo caso aqui ela tem uma distribuição à direita que é esse terceiro caso aqui né então se você tiver um elemento um número real k x a multiplicado por B é indiferente fazer todas essas três multiplicações aqui tá e aqui você tem um im e

identidade de ordem m xes a né e e e a vezes identidade de ordem n isso é igual a a desde que a matriz seja de ordem m por n tá é propriedade de transposta que eu deixei por último o livro coloca como primeiro mas eu coloquei por último que é o seguinte que a transposta da transposta volta para a que a soma da transposta é a transposta das somas tá e k vezes a transposta é k vezes a própria transposta Tá OK agora aqui é um caso especial por isso que eu coloquei cuidado com

a ordem Ó porque se eu tiver uma matriz a vezes B que seja compatível a multiplicação e calcular a transposta olha como é o resultado primeiro eu faço a b transposta depois multiplico pela a transposta OK tá eu aconselho a vocês depois fazerem um caso genérico para você eh entender aqui a ordem Tá ok Observe que a é m por n e B é n por P ou seja tem a multiplicação de a x b ó tá eh por último eh a potência né a potência de matrizes definir uma potência de matrizes com expoente n

n ca o número inteiro é de uma matriz quadrada a sendo o produto de vários várias vezes a matriz A onde n é o número de fatores é como se fosse a potência de números reais né só que aqui tem matrizes né então por exemplo a qu é a x a Quando eu fizer a multiplicação dela com ela mesma vai surgir a a matriz resposta que é a matriz quadrada e potência de matrizes tem alguns casos especiais que a gente diz o seguinte se a elevado a n for igual para algum número natural nesses casos

nesse caso dizemos que ela é periódica ou seja ela se repete né se p é o menor número natural tal que aconteça isso dizemos que que a é Periódica do período P claro né é particularmente se o p for dois a gente diz que a matriz é idempotente tá ok e o outro caso é quando você tem a elevado a n é igual ao Matriz nula para algum natural nesse caso dizemos de dizemos que a é New potente se o p for menor número natural para que aconteça isso p é a matriz é dita New

potente de índice P Ok Isso aqui é importante mais lá para frente pro futuro da matéria tá bem pessoal eh aqui eu falei que a gente vai multiplicar as matrizes né para continuar a aula eh o que que vai acontecer aqui a vai eh sim vamos começar aqui então vou pegar matrizar né E multiplicar pela Matriz eh matriz b esse -2 Ele é bem aqui tá bem aqui deixa eu tirar ele daqui não atrapalhar bom e vamos lá então você tem aqui a matriz 2 a a 3 2 Men 1 e multiplicar pela B vou

fazer um aí vou fazer dois dois dois exercícios vou deixar para vocês o resto tá então ol lá então vamos lá pegar aqui deixa colocar cá do fazer a primeira linha com a primeira coluna tá então aqui eu vou fazer ó o C1 é a primeira linha com a primeira coluna então o que que vai acontecer vai ficar dois que multiplica Quem esse dois aqui é da primeira linha de a com um da primeira linha e coluna de B Tá bom então vai ficar aqui ó duas vezes uma mais quem 2 x -1 2 x-1

mais quem o men1 Vou colocar aqui só por questão de conveniência o -1 que multiplica o 2 Tá ok fazendo a conta isso aqui vai dar 2 isso vai dar -2 né Ok errei conta ah errei errei bem Aqui é o três né é mal vem aqui é três tá então aqui é três recapitulando vamos lá para entender 3 x 1 tá lá né 3 x 1 + 2 x -1 tá lá duas vezes men1 + -1 x 2 Tá OK tá aqui então 3 x 1 então aqui sobrou quem 3 né é - 2

essa conta do meio e - 2 essa outra conta então isso aqui vai dar 3 - 4 então isso aqui Vai resultar em -1 Então observa aqui o primeiro elemento da resposta é o -1 ok e assim eu vou fazendo pros outros tá assim vou fazendo pros outros Bora pegar aqui o a segunda linha com a segunda coluna só pra gente poder entender aqui segunda linha com a segunda coluna então c22 né segunda linha com a segunda coluna vai ser quem 4 x 3 tá então vai ficar 4 x 3 mais quem 0 x 5

0 x 5 vou colocar só questão de didática né mais 7 x 6 7 x 6 7 x 6 fazendo as continhas 3 x 4 12 0 ve alguma coisa dá 0 7 x 6 dá 42 42 com 12 dá 54 Espero que tenha sido isso lá realmente olha aqui 54 ó tá na segunda linha e na segunda coluna resposta bom então é assim que faz as multiplicação não vou fazer todas porque é muito grande essa tá ok e a próxima a próxima que a gente tinha tentado fazer [Música] e deixa eu olhar aqui no

na aula que era a multiplicação né a multiplicação de de a x b essa aqui eu vou fazer realmente as quatro multiplicações tá vou fazer as quatro quatro não oito né oito multiplicações tá bom como é que é a conta aqui vou colocar ele aqui para cá tá aqui ó trouxe a conta então tu tens a matriz A né 2 4 3 - 1 e a matriz B 2 e 3 2 5 5 6 vamos fazer a multiplicação lá igual que a gente fez ainda agora 2 4 3 5 então vai ficar lá quem duas

vezes 4 + 3 x 5 ok a outra é 2 x mais trê vezes quem é errei de novo né 2 x 4 não tá certo 2 x 4 é 5 2 x 4 duas vezes feio Deixa eu voltar de novo aqui Errei aqui então é o seguinte 2 x 3 que eu errei foi mal então vai ficar quem 2 x 3 + 2 x 3 + 4 x 5 + 4 x 5 o outro vai ficar duas vezes mais quatro vezes vamos ver quem são os elementos lá da segunda linha 2 x 2 e

4 x 6 Ok fazendo e e tem agora a a outra né que é 3 Men 1 né 3 Men 1 colocar aqui então 3 vezes + -1 vezes 3 ve mais men1 vezes Ok e cadê Tá então aqui segunda linha A primeira coluna então vai ficar 3 x 3 3 x 3 já coloquei aqui né e -1 x 5 -1 x 5 OK depois 3 x 2 e - 1 x seis confere Olha lá beleza bom fazendo as continhas lá em cima né Então essa aqui vai dar Matriz C que é a x b

ok Aqui é a x b ok que vai dar Lady pega ela aqui lady vai dar igual a fazendo a continha devagar né 6 + 20 4 + 24 e 9 - 5 jogo de sinal aqui eu já fiz né aqui dá 6 - 6 fecha e faça as continhas 26 [Música] 28 4 e 0 Olha que legal deu que deu deu deu que deu Eita deu certinho aqui tá bom ah vou deixar com exercício a a b vez a vocês fazem a b x a Ok e com relação a essa conta aqui deixa eu

ver aqui a questão é a próxima né que tá essa bem aqui a o exemplo 21 a mesma coisa vamos fazer o exemplo 20 e 23 que é bem interessante porque ele vai falar de inversa né Então deixa eu levar para lá pro quadro aqui cont V beleza tá aqui ó então aqui você tem a matriz A né então vamos fazer aqui a multiplicação vai ficar quem 1 x - 2 + 2 x 3/2 Ok 1 x 1 né mais 2 ve - me e 3 x -2 + 4 x 3/2 Ok e e aqui

fica 3 x 1 + 4 x 3/2 Ok fazendo as continhas bem pequenininhas e vai ficar -2 vai ficar corta dois com dois sobram três né ok aqui eu vou cortar ó aqui eu posso cortar deixa eu colocar aqui uma cor colocar essa cor aqui para cortar ó cortei né Desculpa eh aqui fica um corta dois com dois também sobra menos um aqui dá 6 negativo e aqui vai dar 3 x 3 x 4 12 dividido por dois vai dar seis positivo aqui vai dar três eh eh TR x 4 ver aqui aluma coisa 3

x 1 tem alguma coisa errada pera aí eh 4 3 3 x 1 3 x 1 e 4 ve Men me ah errei bem aqui é Men me foi bem aqui que eu errei a continha aqui é Errei aqui é menos me tá bom pronto fazendo a conta isso aqui vai dar eh Men 2 Ok pronto arrume a casa fazendo a conta vai dar um vai dar zero vai dar zero e vai dar um né que é a identidade de ordem do a chamada I2 tá beleza o que é que significa que a x b

É iG i e b x a É iG I no caso I2 tá que significa que a é a inversa da B ou vice-versa Ok ou a b é inversa da A tá uma inversa da outra tá E só que tem uma anotação né que tá na próxima aula que é a que é anotação da inversa né então a inversa ela é dada por a elevado a-1 a elevado a-1 Ok essa é a anotação para matriz inversa Ok com isso espero que tenham gostado da aula