nachdem wir uns im letzten Kapitel also mit der Problematik der Netzwerkanalyse erstmal ganz allgemein beschäftigt hatten oder einige wichtige Begriffe geklärt haben möchte ich Ihnen jetzt das erste mögliche Verfahren zeigen mit dem man solche Netzwerke systematisch berechnen kann es geht also nochmals Wiederholung es geht also darum wenn ein Netzwerk Z2 gehabt das wird zwei Z unbekannte finden wollen nämlich Z2 Spannungen und Z2 Ströme ja und das Verfahren was erstmal ganz intuitiv funktioniert und was auch immer funktioniert aber halt bloß nicht sonderlich effektiv ist ist das aufstellt das vollständigen Kirschen Gleichungssystems ja die kirschhoffschen Gleichungen die
kennen Sie ja das sind die knotengleichungen und die Maschen Gleichungen und jetzt wollen wir uns mal anschauen wie wir mit Hilfe von Knoten und Maschen Gleichungen also solche ein vollständiges Gleichungssystem anstellen können und die Problemstellung ist hier also noch mal gegeben wir haben ein beliebiges Netzwerk das besitzt Z2 und k-knoten und wir kennen die ganzen ui-relationen der Zweige na also jeder Zweig kann dargestellt werden zum Beispiel durch einen aktiven oder passiven zwei Pool und die UI Relation dieser Zweige muss bekannt sein und was wir suchen sind also diese zwei Zeit unbekannten nämlich die Z2 Ströme
und die Z2 Spannungen ja und wenn wir zwei Z unbekannte haben dann brauchen wir natürlich zwei Z Gleichungen um das Gleichungssystem nach diesen zwei Zelt unbekannten lösen zu können jetzt gucken wir mal was zwischen alles haben wir kennen also bei Z2 haben wir z Gleichungen die uns die UI Relationen dieser Zweige liefern also kennfunktionen dieser einzelnen Zweige wenn wir k-knoten in unserem in unserem Netzwerk haben dann können wir K minus 1 unabhängige knotengleichungen aufstellen das hat mir ganz am Anfang schon mal als wir die im Kapitel 1 noch als wir dort den knotensatz eingeführt hat
da hatte ich ihn dann einfach das Beispiel gezeigt und da hatte ich das ihn irgendwann schon mal gezeigt dass die letzte knotengleichung die wir aufstellen konnten nicht linear unabhängig ist ich würde es Ihnen jetzt einfach an der Stelle mal so als kleine Hausaufgabe an die Hand geben nehmen Sie sich mal eine bliebige Schaltung die muss gar nicht groß sein zählen sie die Knoten das ist ein K und stellen sie im alle knotengleichungen auf die es gibt und dann werden Sie feststellen dass sie nur K-1 unabhängige knotengleichungen haben denn die letzte Gleichung lässt sich als linear
Kombination aller anderen Gleichungen darstellen das heißt wir haben in Summe schon mal Z plus K minus 1 Gleichungen es fehlen also noch z-k-1 Gleichungen die nennen wir m und diese fehlenden Gleichungen liefern uns dann die maschengleichungen die wir noch aufstellen können das heißt wir brauchen noch m unabhängige Maschen Gleichung also Z-1 unabhängige Maschen Gleichung wenn wir das jetzt alles miteinander addieren dann können wir auf zwei Z Gleichungen dass die Zoe Relationen ja die müssen bekannt sein die Auswahl von K-1 Knoten ist nicht sonderlich knifflig wir lassen einfach einen Knoten außen vor und stellen für alle
anderen Knoten die knotengleichungen auf etwas knifflig ist die Auswahl der unabhängigen Maschen Gleichungen weil das häufig auch ein kleines bisschen unübersichtlich wird und für die Auswahl der unabhängigen maschengleichungen da gibt es jetzt mehrere Methoden die einen da so ein bisschen unterstützen können und da kommen wir jetzt wieder zurück zu unserer Grafen Darstellung mit der Graphen Darstellung wird das nämlich dann ganz einfach also die Aufgabe ist jetzt erstmal nachdem wir die Relationen kennen und die Knoten Gleichungen aufgestellt haben wie finden wir jetzt die unabhängigen Maschen Gleichungen die Methode a nennt sich Methode des vollständigen Baumes das
klingt jetzt vielleicht erstmal ein bisschen abstrakt aus die werden nachher sehen dass das gar nicht so kompliziert ist also was ist ein vollständiger Baum ein vollständiger Baum es steht hier ist also eine Folge von Zweigen die alle Knoten erfasst und keine Masche enthält schauen wir uns das eine Beispiel an dann wird das denke ich hier in diesem in dieser Abbildung klar wir haben hier unseren Graph mit vier Knoten und insgesamt 6 Zweigen das heißt ein möglicher vollständiger Baum ist also so eine Folge von Zweigen hier fett dargestellt die alle Knoten erfasst und aber keine geschlossene
Masche bildet ja und dieser vollständige Baum enthält dann immer k-1.2 und die übrigen Zweige die sind jetzt hier gestrichelt dargestellt die gehören noch nicht zum vollständigen Baum die heißen verbindungszweige oder unabhängige Zweige und wenn wir jetzt den vollständigen Baum über einen so eine verbindungszweig schließen dann bekommen wir eine Masche und es existieren gerade z-k minus 1 solche verbindungszweige das heißt über jeden verbindungszweig über den wir diesen vollständigen Baum schließen bekommen wir gerade eine dieser unabhängigen Maschen in dem Fall sind es dann drei da bin ich über diesen Zweig den Baum schließe habe ich hier die
Masche 1 wenn ich diesen Zweck den Baum schließe ich immer zwei und diesen zwei hier die Masche 3 von diesen vollständigen Bäumen existiert existieren sehr sehr viele mal ein Beispiel für diesen Graphen der hier noch aus dem ersten Kapitel mit rübergezogen wurde für diesen Graphen existieren diese 16 unterschiedlichen vollständigen Bäume man kann sich jetzt irgendein beliebigen davon aussuchen die man verwendet und wenn ich das jetzt hier einfach mal einzeichnen für ein Beispiel nehme ich mir mal zum Beispiel diesen Baum hier in der Mitte so erhalte ich also zum Beispiel die Masche eins wenn ich diesen
Baum mit über diesen Zweig schließe dann wäre das hier meine Masche eins oder das mache ich jetzt mal direkt wenn ich den Baum über diesen Zweig schließe wäre das hier meine Masche Nummer 2 ja oder das sieht man vielleicht jetzt ab Anhieb nicht ganz so gut wenn ich den Baum über diesen Zweig schließe dann erhalte ich hier meine Masche 3 so 9 Richtung braucht man noch also es existieren sehr viele von diesen vollständigen Bäumen und über jeden Verbindung zwei über den ich diesen Baum schließe erhalte ich eine unabhängige Masche eine weitere Methode um das System
der unabhängigen Maschen zu finden ist die sogenannte auftrennmethode die funktioniert quasi genau umgekehrt ich nehme mir erstmal den Graph mit allen Zweigen und mit einem Zweigen her wähle mir jetzt an einer Stelle eine Masche stellt die maschengleichung auf und jetzt suche ich mir einen Zweig aus dieser Masche und entferne den zwei das heißt diese zwei sollten keine anderen Masche mehr vorhanden sein und das wiederhole ich so lange bis keine geschlossene Masche mehr aufgestellt werden kann schauen wir uns das mal an diesem Beispiel an das ist mein Graph mit allen Zweigen hier für Schwarz fett dargestellt
jetzt nehme ich mir eine Masche heraus und der maschensatz keine quasi in dieser Masche aufgestellt werden und eine Zweig dieser Masche entferne ich jetzt hier dargestellt durch diese Schere das heißt diese zwei wird dann in keiner weiteren Masche mehr vorhanden sein das heißt wenn ich das jetzt quasi noch mal neu bezeichnet ist dieser Zweig entfernt und ich kann mir jetzt also in diesem Kraft die nächste Masche heraussuchen z.B die hier unten jetzt nehme ich mal wieder einen beliebigen Zweig dieser Masche den nicht entfernen in dem Fall also mal den hier außen den entferne ich der
Zweig ist für zukünftige Maschen nicht mehr vorhanden und es bleibt jetzt nur noch eine Masche übrig für die ich den maschensatz aufstellen kann ja und wenn ich jetzt noch einen weiteren Zweig auftrennen würde hätte ich keine geschlossene Masche mehr das heißt auch mit Hilfe der auftrennmethode bekomme ich also das System oder das vollständiges System aller unabhängigen Maschen Gleichungen und die letzte Methode ja das ist eigentlich die intuitivste und das ist die die man quasi im Regelfall wahrscheinlich auch verwenden würde und zwar die sogenannte fenstermaschenmethode die beruht darauf dass ich sage bei ebenen Graphen ist ein
System unabhängiger Maschen so fensterartig nebeneinander angeordnet das heißt wenn ihr unseren Graph hier noch mal nehmen nur ein kleines bisschen eckiger zeichnen nicht so schön abgerundet dann sehen Sie hier schon angedeutet das hat ein bisschen Struktur so eines Altbau Fensters und die Maschen die hier also nebeneinander angeordnet sind fensterartig die liefern mir das System der unabhängigen Maschen das ist allerdings nur anwendbar für ebene Graphen was ist ein Ebner Grafen ein ebner-kraft zeichnet sich dadurch aus dass er also keine Überkreuzungen von Zweigen hat die sich nicht auflösen lassen durch Verbiegen ich habe mich aber zwei Beispiele
das hier unten das ist ein Ebner Graf weil sie diesen Zweig durch Verbiegen die dir über Kreuzung können Sie auflösen sie können diesen zwei hier runter ziehen und damit haben sie keine Überkreuzungen mehr der Graph rechts daneben das ist kein Ebner Kraft denn Sie können sich drehen und wenden wieso wollen diese Überkreuzung hier in der Mitte die kommen bekommen sie nicht aufgelöst irgendwo werden sie immer in die Kreuzung haben das heißt an der Stelle ist die fenstermethode nicht anwendbar hier müssten Sie also die Auftritte oder die Methode des vollständigen Baumes ansetzen
