[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula eh nessa semana nós já trabalhamos trigonometria eh a partir de vários contextos né no triângulo retângulo na circunferência trigonométrica na última aula vimos Como se comportam os valores né de razões como seno cosseno tangente cossecante secante cotangente no ciclo trigonométrico e agora nós vamos aplicar essas ideias né no estudo de funções né pensar em funções trigonométricas para isso nós vamos pensar o seguinte nós viemos trabalhando no ciclo trigonométricos né então partindo por exemplo de do meu ponto de origem eu chegava aqui no sentido né no sentido
antihorário eu obtinha um um arco P com essa extremidade P eu podia fazer o contrário né vir no sentido horário no sentido negativo e chegaria aqui no que seria essa extremidade de um arco - P eh para eu trabalhar funções o que que seria interessante eu transportar isso para um sistema de eixos né um sistema cartesiano então então que que eu posso fazer eu posso pegar essa circunferência trigonométrica e desenrolar no meu sistema cartesiano Então vou pegar esse ponto aqui que é o início quando eu começo a marcar os meus arcos e vou posicioná-lo aqui
na origem do sistema cartesiano vou desenrolar esse pedacinho que vai da origem até p vou como se eu tivesse deixando ele retinho e desenrolando aqui no eixo das minhas abscissas né o eixo das abscissas então eu vou obter esse pedacinho aqui de zer a p se eu pensar agora no outro lado nos negativos no outro sentido eu vou pegar esse trechinho aqui da mesma maneira posicionar aqui no meu na minha origem e esticar esse trechinho até o - p eu posso fazer isso para toda circunferência né Não só de uma volta então eu posso pensar
infinitas voltas no sentido antihorário no sentido positivo significa que eu vou desenrolar em todo o eixo X no sentido positivo do zero em diante se eu pensar no outro sentido pensar em voltas no sentido horário então eu consigo desenrolar todo meu eixo meu eixo Não minha circunferência meus ciclo e suas n voltas infinitas voltas agora no sentido negativo então Eu preencho todo o meu eixo X com os valores dos Arcos do sistema né do ciclo trigonométrico Por que que isso é legal Por que que isso é interessante bom então porque agora eu consigo posicionar como
x né como elementos aqui do meu domínio né vamos já dizer assim os arc os valores dos Arcos que estavam ali no meu ciclo trigonométrico ou seja se eu pegar um arco aqui x qualquer eu consigo levá-lo através de uma função f qualquer né obter uma imagem ali em y e essa função né já que estamos aqui pensando em trigonometria eu posso pensar o quê bom pode ser a função seno que a função seno vai fazer vai pegar esse valor de x e vai levar onde vai levar em seno de x então é com essa
A partir dessa ideia que a gente começa a estabelecer as funções trigonométricas Então vamos ver né Assim como nós já fizemos no na na aula anterior vamos ver o que que acontece com os valores dessa função né Cada x quando eu levo pela seno de x né ali até o y vamos ver o que que acontece com cada pontinho desse do meu domínio quando passa pela seno de x por essa função então a gente percebe que conforme vai rodando né no ciclo trigonométrico conforme eu vou obtendo outros eh Arcos eu vou povoando essa curva cada
vez mais eu vou completando né completando e cada volta que eu dou eu crio um novo né um novo período isso é cíclico então eu vou obter uma função com esse padrão né infinitamente aqui eu rodei meu ciclo o quê no sentido antihorário mas se eu rodasse no sentido horário a gente obteria é a mesma ideia né seguiria o mesmo padrão mas agora no sentido dos negativos né então eh uma função seno de x pensada né tanto rodando pro lado dos dos negativos quanto dos positivos teria essa forma geral né ela parte aqui do zero
né seno de 0 é zer sobe né Chega aqui perto de quando o pi sobre 2 né seno de pi so 2 é 1 bate aqui no 1 desce seno de pi é z0 desce mais um pouco seno de 3 pi so 2 é -1 e retoma a subida né isso pro os dois lados positivo e negativo então eu posso pensar a função seno como uma função que sai dos reais leva nos reais depois a gente pode até pensar um pouquinho esse contradomínio e eu pego cada x e levo aonde no seno de x Qual
que é a imagem ou seja Quais as possíveis imagens ali que eu posso produzir pela minha função seno a gente Pensar todos os meus pontos aqui eles ficam entre o men-1 sobe até o um Depois desce até o men-1 vai até o um ele nunca foge disso então as imagens que eu posso produzir estão sempre no intervalo que vai de um até de -1 até o 1 né incluindo esses dois valores por esse fato a função seno ela é também chamada de uma função limitada né ela tem esses limites aqui superior e inferior ela nunca
vai fugir a seno de x né nunca vai fugir desses limites então a função limitada agora vamos ver o que aconteceria com o cosseno seguir a mesma ideia e pensar né verificar o que ocorre com os valores né de X passando ali pela F Dex produzindo né os os Y Vamos marcar esses pontos no no gráfico conforme a gente roda o ciclo trigonométrico partiu dessa vez lá de um né conforme vai rodando vamos marcando aqui os pontos no nosso gráfico né e marcando cada vez mais pontos povoando essa nossa curva né E como a gente
pode perceber ela é bastante semelhante ao seno né a curva da função seno mas possui aqui um eh um deslocamento né enquanto o seno começava no zero ali né a a aqui era o ponto né de que tocava aqui partia daqui agora Ah partia aqui né desse ponto aqui no zero seno e fazia essa curva ela parte aqui do um começa aqui e vem e seguindo esse padrão pro lado positivo pro lado negativo assim como o seno a gente pode definir dos reais até aos reais né E ela sai de x e leva a cosseno
de x e também a limitada né nesse intervalo entre men1 e 1 produz imagens né que vão entre men1 e 1 e nunca extrapola nem para cima nem para baixo então é uma função também limitada vamos olhar a tangente agora a tangente ela tem uma uma característica bem interessante que nem nós podemos ver aqui conforme vai rodando ela chega ali em certo ponto estour lá para cima no infinito e aí começa a criar uma nova um novo padrão ali né uma nova curva vamos dizer assim por que que isso acontece né Tá vendo que só
elá tem uns saltos né aparentemente ela pula né de um lado pro outro por que que isso acontece porque a gente se a gente lembrar da outra aula é os a tangente aqui de pi sobre 2 e depois ali embaixo né de 3 pi sobre 2 ela não existe então eu não tenho pontos aqui do meu domínio que eu levo né Se eu pegar por exemplo o o que seria tangente de pi sobre 2 ela não existe por isso que eu não tenho um ponto aqui possível para marcar e Justamente esse salto a função ela
se aproxima a curva se aproxima muito aí da reta que passaria por pi sobre 2 sem nunca tocá-la da mesma maneira ela se aproxima bastante da reta né que passaria ali uma reta vertical ali passaria por 3 pi so 2 sem nunca encostar por quê Porque não existe tangente daqueles para aqueles pontos do meu domínio né Para aqueles pontos então a a ideia geral né uma característica geral da minha função tangente seria essa né com esses padrões e aí na hora de definir a gente precisa tomar cuidado justamente com quem com domínio eh por quê
Porque valores como pi sobre 2 e toda a meia volta né pi sobre 2 aí eu pego mais meia volta Caio aqui 3 pi so 2 todas as meias voltas vão cair né em Arcos em no qual não existe a tangente daquele arco então preciso tirar isso do meu domínio né então o domínio da minha função tangente é o quê são para todos os X reais Tais que x sejam diferentes de pi sobre 2 e as meias voltas né que caem ali né pi sobre 2 + KP sendo k um número eh inteiro e ela
leva nos reais né porque se você pensar né ela o eixo Y ela sai lá do menos infinito vai vai vai vai extrapola lá pro mais infinito ela pega todos os números reais né só que ela não é limitada né porque ela estour lá para cima ela estour lá para baixo Então não é uma função limitada e as a sua imagem são os números o conjunto dos números reais bom aí a gente pode perceber que a imagem né dessa função ela é todos os reais né se a gente pegar lá para cima né e perceber
essa curva lá para baixo porém excluindo esse trechinho aqui né esse intervalo que a gente pode perceber que a curva nunca chega nele né as curvas nunca chegam nele que é o intervalo que vai do -1 aberto até o um aberto apesar de parecer né que minha curva tá batendo pelo desenho na verdade ela chega muito perto desses valores mas não bate em -1 e um e justamente pelo fato de estourar lá para cima estourar lá para baixo ela não é limitada né e a função cossecante é muito semelhante é novamente a gente tem que
cuidar para que o domínio né Eh seja todos os X né mas que sejam diferentes de k Ou seja eu não consigo definir a a cosecante de Pi Nem pras meias voltas que vão cair ali né emem pi e se a gente pensar nas imagens né novamente nós temos todos os reais né subindo todos os reais ali crescendo negativamente mas a gente eh precisaria retirar né não entra nas imagens Justamente esse esse trecho aqui no meio esse intervalo que vai aqui do -1 ao um né novamente lá não é limitado e a cotangente tem uma
cara muito parecida né com a tangente como não poderia deixar de C eh também cuidando do domínio ela é definida dos reais né para qualquer x Real desde que x seja diferente de KP né com K pertencente aos inteiros e ela leva na cotangente de X sua imagem em todos os reais né a gente pode perceber que a nossa função né a nossa curva sai lá de baixo dos nos infinitos negativos e sobe né continuamente até os infinitos ali positivos positivo infinito e em termos de resumo né pensando as nossas eh funções trigonométricas ali principais
né nesse momento que é seno cosseno e tangente eh a grosso modo eh podemos dizer que essas funções elas partem de medidas de arco x né quando a gente desenrolou o nosso ciclo no eixo e transforma em números reais que números reais seriam o quê o seno desse x o cosseno desse x a tangente desse x E aí a a pergunta fica eu consigo novamente fazer o caminho inverso né Eh Ou seja eu parti dessa medida e voltar pro meu arco na verdade a gente consegue e isso chama né temos A nomenclatura de funções arco
né funções arco seriam as funções inversas das funções trigonométricas né então a função inversa da seno seria o queê arco seno função inversa da do Cosseno seria arco cosseno e por fim a arco tangente agora vamos lembrar lá da aula de inversas de funções inversas para que seja inversa para que tenha ser a possibilidade de ser inversa a minha função ela precisa ser o quê precisa ser função bijetora Será que essas funções trigonométricas seno cosseno e tangente são Eh bijetoras vamos dar uma olhadinha pro gráfico gráfico da função seno né é esse gráfico com esse
padrão e tracei aqui Aquela nossa reta que vai funcionar como eixo de simetria para eu fazer a reflexão vamos bolar fazer a reflexão desse dessa curva da seno e ver o que aconteceria se eu só refletir fizer a imagem ali refletida eu vou obter essa curva aqui eh como que a gente pensava para ver se se essa isso era possível de Se inverter ou não né se eu traçar uma reta vertical aqui por exemplo nesse ponto a gente percebe que esse ponto levaria a pelo menos né pelo menos só o que cabe aqui na nossa
imagem né na tela né imagem fondo da tela hein caberia aqui dois pontos mas pensando que é uma função periódica né E vai seguir pro infinito né seja positivamente seja negativamente esse ponto vai cruzar várias vezes né Essa curva ou seja não é uma função então do jeito que a gente definiu ali como um domínio nos reais por exemplo a arco a função seno eu não consigo ter uma inversa mas eu consigo ajustar né Essa minha função ajustar o meu domínio para que eu possa obter a tal da arco né a função arco seno Como
eu posso fazer isso eu vou escolher um trechinho da minha função seja interessante para mim o que que preciso para que ela seja interessante eu quero um trechinho em que eu pegue todos os valores né da minha imagem minha imagem vai entre men1 né e 1 então se eu escolher pedaço aqui né que vai desse x aqui - pi so 2 no qual aeno é -1 e vou pegar até o pi sobre 2 no qual aeno de pi sobre 2 né minha seno de x é 1 eu consigo varrer aqui todos todas minha possibilidade de
imagem todo aquele meu intervalo de -1 até 1 né que está a minha a imagem da minha função então se eu pegar só esse trechinho eu consigo estabelecer aqui a minha função arceno eu estabeleço ela em cima daquele pedacinho eh como que ficaria a formulação dessa função bom ela vai partir agora desse intervalo -1 até 1 e vai levar né justamente em - pi so 2 A até o pi sobre 2 então eu defino minha função inversa a arco seno aqui nesse pedacinho só E se a gente for pensar traçar retas aqui nesse intervalinho eu
não tenho como cruzar mais de um em mais de um ponto essa reta Então tá ok obtive aqui a minha função arco seno então Eh ela vai me devolver o quê ela vai me devolver aqui o tamanho de um arco enquanto a função é seno me devolve um número real que é o quanto vale o seno daquele arco né Essa é a ideia vamos olhar para Arco cosseno de novo né se eu tentasse fazer a a reflexão eu veria que não sai né o gráfico de uma função vai cruzar várias vezes ali a minha reta
e eu vou escolher um um intervalinho que seja interessante para mim será que aquele primeiro intervalo da função seno que é esse aqui é interessante na verdade não né porque ó nesse ponto aqui que é pi sobre 2 eu tenho que o valor de cosseno é zero Cheguei até aqui que o valor é 1 e aqui no fim do meu intervalo é zero de novo eu não consegui pegar esse justamente esses valores aqui negativos Então o que eu posso fazer ajustar um pouquinho esse meu intervalo eu faço o qu eu ando um pouco então eu
vou pegar aqui vou pegar esse aqui ó esse é interessante para mim porque aqui o valor do Cosseno é 1 venho descendo descendo descendo passo por zero e chego aqui onde meu cosseno é -1 então vou conseguir varrer aquele meu intervalo ali da da imagem Então nós vamos definir a nossa função inversa a nossa função arco cosseno nesse intervalo então arco cosseno ela seria o quê Ela vai levar de men1 até 1 até o quê entre zero e pi e esse seria né o valor aí né a formulação aqui da minha função Arc cosseno a
função inversa e por fim a arcotangente eh a gente não consegue pensar nesse caso aquele intervalinho né que a gente pensou ali meio ela é não é limitada ela estoura para cima ela estoura para baixo Então nesse caso nós podemos pensar aqui uma faixa né Se eu pegar uma essa faixa eu consigo varrer toda a imagem ali todo o conjunto de imagem da minha função tangente ela vai lá embaixo né se aproximando cada vez mais desse ponto aqui né dessa reta que passa por - pi so 2 sem nunca tocar Lembrando que não está definido
tangente de de de pi sobre 2 nem pi sobre menos pi sobre 2 né o mesmo para cá mas o meu a meu meu conjunto imagem tá todo contido aqui dentro desse intervalinho aqui que eu escolhi então a minha função arcotangente né a Arc tangente ela pode ser definida eh dessa maneira né e seria isso nós chegamos aqui no no fim dessa aula espero que tenham gostado e até a próxima [Música] [Música] h [Música]
