Fundamentos da Matemática Elementar - Circunferência trigonométrica

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula e na aula anterior nós trabalhamos um pouco sobre a trigonometria no triângulo retângulo e dessa vez nós vamos trabalhar um pouco sobre a ideia de circunferência ou ciclo trigonométrico bom Por que que isso é interessante ou é importante PR matem né a ideia de ciclos ou de fenômenos cíclicos ela tá ali desde nos primórdios da humanidade nós percebendo isso na natureza por exemplo a alternância entre dia e noite então tenho dia noite depois dia e noite eu vou compondo ciclos né de dias e noites ou das

estações do ano então tenho lá primavera verão outono inverno completei o que seria um ciclo e ele vai Primavera verão outono inverno completei outro ciclo primavera verão outono inverno outro ciclo então fenômenos desse tipo né que são cíclicos ou periódicos né que vão se repetindo sempre foram eh alvo né de curiosidade né da da do do exercício né matemático ali de olhar a a experiência cotidiana olhar a natureza da humanidade né e a ideia disso né de eu começar a olhar matemática amente para esse tipo de fenômeno e de uma certa maneira me puxou a

ideia de circunferência né porque imagina eu pego um ponto na circunferência Dei uma volta cheguei no mesmo ponto completei um ciclo Dei uma volta cheguei no mesmo ponto completei outro ciclo então modelar fenômenos desse tipo utilizando circunferências parecia né parece uma boa ideia e é por isso que agora nós vamos falar um pouquinho mais sobre circunferência né para continuar o nosso desenvolvimento da ideia de trigonometria mas agora Olhando um pouquinho pra circunferência eh bom vamos marcar dois pontos Sobre uma circunferência por exemplo aqui nessa imagem ponto A e B e essa minha circunferência ela tem

o centro aqui em o né nas imagens tão como o1 O2 O3 o4 só para diferenciar um pouco ó nós temos aqui um centro o e arcos que são definidos por esses dois pontos que eu posso marcar aqui na minha circunferência e esses pontos vão definir o quê vão definir justamente um arco nesse caso eu diria que esse arco aqui é o arco AB no segundo caso se você se a gente pensar partindo do a e dando aqui uma uma caminhada até B onde o AB é o diâmetro dessa circunferência nós temos um arco do

quê de meia volta eu dei meia volta aqui nessa minha circunferência já falamos que é um arco de meia volta bom se eu der uma volta completa né eu saí daqui desse ponto b rodei a circunferência inteira e voltei no B completei uma volta arco de uma volta agora imagina que eu nem saí daqui né o a e o b estão ali Exatamente no mesmo ponto no mesmo lugar eu nem saí não rodei Ou seja eu não e criei né Essa abertura né entre o a e o b nesse caso nós dizemos que temos um

arco nulo eh pensando agora um pouquinho sobre Como eu meço o arco né qual que seria a medida desse arco e tem duas maneiras de eu expressar a medida desse arco uma delas a gente fala que é angular por esse arco aqui ele também subentende um ângulo central né que é esse ângulo teta então eu posso dizer por exemplo que vamos dizer que eu estou caminhando aqui na minha circunferência eu poderia comunicar o quanto eu já andei Ah eu andei 30º na minha circunferência é uma maneira de expressar estou me expressando de acordo com a

medida angular mas percebe que isso na na maioria dos casos talvez não faça muito sentido pra pessoa a andei 30º não fica muito bom né a pessoa pode não entender do que você tá falando você precisaria dizer um pouco eh de onde você partiu você precisaria dizer onde tá o centro da sua circunferência E por que que isso significa que você andou tantos graus é melhor eu me expressar como uma medida de comprimento e aí a gente vai usar a ideia de medida linear é OK imagina pegar esse arco AB aqui da minha circunferência aí

deixar ele retinho né esticar e colocar isso sobre uma régua uma fita métrica medir se eu faço isso aí eu posso dizer não eu caminhei e 10 cm 20 m sei lá sobre a minha circunferência então eu consigo me expressar talvez melhor né dependendo do contexto usando uma medida linear agora essas duas medidas elas podem conversar podem Não elas conversam entre si né Elas estabelecem uma relação entre si eu consigo relacionar né a medida linear e a medida angular do meu do meu arco né da minha circunferência como é que eu posso fazer isso PR

gente lembrar Qual que é a medida do comprimento da circunferência lembrando lá da Educação básica a medida do comprimento da circunferência é dada por quê por 2 pi vezes r r é o raio da minha circunferência quantos graus tem a volta completa da minha circunferência 360º então eu consigo estabelecer essa relação entre 360º da volta completa falando em ângulo e o comprimento da minha circunferência falando aqui na medida linear só uma pequena um pequeno parêntese so 360 gra já pararam para pensar no porqu a gente fala que uma circunferência tem 360º ou o que seria

o grau né A Origem disso vai estar ali lá nos astrônomos da Babilônia antiga eh imagina o seguinte um astrônomo chega ali numa determinada noite num determinado lugar e observa a posição de uma estrela e faz uma anotação di assim seguinte ou melhor na noite seguinte ele vai no mesmo horário no mesmo lugar e observa aquela mesma estrela ele percebe que ela se deslocou um pouquinho faz essa anotação noite seguinte a mesma coisa ele percebe deslocou mais um pouquinho noite após noite o astrônomo vai lá e anota a posição dessa estrela e ele percebe o

quê que 360 dias ou noites depois aquela estrela voltou exatamente ao ponto inicial onde ele começou a fazer as anotações e como não podia deixar de ser esses 300 esse ciclo de 360 noites de uma certa maneira bate com o quê com as estações do ano com o ciclo das estações do ano né então esse ciclo de 360 noites ali chamou-se do quê de ano hoje a gente sabe que o ano tem 365 dias e um pouco mais agora já é muito interessante ver como naquela época se chegou a um a um valor tão próximo

eh alguns eh pesquisadores né dizem que talvez esse 360 e não 365 obtido venha de algum erro né pela de precisão na nessa nessa anotação nos cálculos né do deslocamento dessa estrela outros já dizem que não que talvez ess 360 seja de uma certa maneira proposital por quê porque se a gente lembrar lá do que a gente discutiu na semana um os babilônios eles fizeram o quê eles obtiveram uma base numérica né um sistema de numeração de base 60 e 6 x 60 é o quê 360 então alguns pesquisadores atribuem né Essa aparente falha na

verdade é algo já aproximar para uma base que era comum e habitual para para eles e isso permanece até os dias de hoje né Se a gente for pensar eh uma hora tem o quê 60 minutos né 1 Minuto 60 segundos então a gente herdou isso lá dos babilônios e trazemos até hoje como eu pensei que o ciclo ali né de um ano eram 360 dias então eu decidi dividir a minha circunferência em quê 360 partes e cada partezinha dessa eu chamei do quê de grau então um grau na verdade é 1 360 avos da

minha circunferência Então fecha esse parênteses histórico né E vamos voltar aqui para nossa discussão sobre a relação entre a medida linear e angular da circunferência bom se a circunferência inteira tem comprimento 2 PR e 2pr equivale a 360º então um arco de comprimento L vai se relacionar aqui estabelecer uma proporção com esse meu ângulo central teta desenvolvendo essa regra de três nós obtemos essa expressão não vou me preocupar aqui em fazer a simplificação deixar assim mesmo e vamos usar isso para fazer um um exemplo eh se a minha circunferência tiver raio 1 e o meu

teta for 120 como vai qual qual vai ser a medida angular desse meu arco bom substituindo 120 em teta e 1 em R desenvolvendo o cálculo nós chegamos em 2 pi sobre 3 então o comprimento linear né de um de um de um arco aqui de medida angular 120 é 2 pi so 3 agora isso é bastante interessante é bastante útil na matemática usamos bastante mas no desenvolvimento lá mais paraa frente séculos para frente o desenvolvimento ali do cálculo diferencial integral eh se mostrou necessário uma medida que não dependesse dessa decisão de certa maneira arbitrária

de dizer que a circunferência tem 360º eu queria uma uma medida para falar de ângulo e falar de ar que dependesse só das propriedades e características da minha circunferência então o que que é os matemáticos ali foram desenvolvendo e pensando bom se eu tiver uma circunferência de raio R né temos aqui uma circunferência de raio r e um arco subentendido a esse ângulo central aqui teta de modo que o comprimento desse raio seja exatamente igual quer dizer dizer o comprimento desse arco seja exatamente igual ao comprimento do raio eu vou chamar então a medida do

meu ângulo teta de um radiano e é justamente essa relação né do raio né utilizando o raio aí para estabelecer o radiano né temos essa A nomenclatura parecida né radiano com raio né então isso seria uma definição para radiano e vamos pensar quantos arcos de R então cabem dentro da minha circunferência inteira bom calcular isso eu posso dividir o comprimento da minha circunferência pelo número de por R aí eu vou obter quantos raios cabem dentro do comprimento circunferência fazendo esse cálculo né 2 R so R cheg em 2 pi que que a gente pode concluir

sobre isso a gente pode concluir que 360 corresponde a 2 pi radianos então por exemplo como que eu passaria de 10º para radianos Vamos pensar se 2 pi corresponde a 360 então x radianos né que é o que eu quero descobrir corresponde a 10º vamos desenvolver essa regra de três chegamos a essa equação e por fim x = 2 pi x 10 so 360 realizando os cálculos X é pi so 18 radianos ou seja 10 gra corresponde a pi sobre 18 radianos agora nós vamos usar essa ideia e criar a circunferência trigonométrica O que que

a gente faz Eh vamos pensar uma circunferência de raio um então uma circunferência unitária como a gente gosta de de chamar não só de raio um mas eu vou posicionar o centro dessa circunferência de modo que ele esteja na intersecção de dois eixos orientados ali ortogonais e mais ainda eu quero que essa circunferência seja orientada isso é que uma circunferência orientada é que dá a ideia de ciclo que que significa orientar significa que eu posso dizer que se eu partir desse ponto aqui essa minha origem e caminhar no sentido antihorário eu estarei marcando os arcos

positivos e estabeleço também que se eu andar no sentido horário eu estarei marcando arcos de medida negativa então é essa é uma grande ideia né porque eu começo a quando a gente falava de de triângulo retângulo eu não podia falar em ângulo negativo né Não Faz Sentido agora aqui eu eu começo a pensar em ângulo em Arco negativo por quê Porque eu orientei para onde eu estou andando né uma questão de referência eh e essa decisão de antihorário Positivo né horário negativo também foi uma eh convencionou-se trabalhar dessa forma é possível trabalhar ao contrário é

só que você tem que inverter tudo que você né tudo que eu falar aqui vai ser com o sinal trocado né então para que complicar né Vamos seguir aquilo que todo mundo faz que é orientar dessa maneira né Vamos pensar como que trabalha ah antes de a gente mostrar um pouco mais esses eixos eles vão dividir o plano vão dividir aqui a a minha circunferência em quatro quadrantes né primeiro quadrante aqui segundo aqui terceiro aqui quarto aqui muito semelhante ao que o ocorria no plano cartesiano né aquela divisão de quadrantes Agora sim vamos ver alguns

exemplos de como eu posso demarcar meus Arcos aqui na circunferência trigonométrica partindo primeiro no sentido positivo no sentido aqui antihorário e se eu partir do zero o meu ângulo nulo né tá fechadinho vamos partir e andar 1/4 de volta então quando eu andar um 1/4 de volta eu vou obter pi sobre 2 que equivale aqui a 90º pensando de outro jeito a circunferência completa não é 2 pi então metade da circunferência é pi e metade da metade é pi so 2 podemos pensar dessa maneira também então partimos do zero andamos pi so 2 Chegamos aqui

andamos mais pi so 2 Chegamos aqui Se eu andar mais pi sobre 2 temos aqui 3 pi sobre 2 andei mais pi sobre 2 volto na minha origem completo 2 pi eh Apesar desses Arcos né estarem no mesmo ponto as extremidades né desses Arcos caírem no mesmo ponto eles não significam a mesma coisa a gente chama que eles são cngr mas o zero significa que o o meu arco nulo nem abriu o 2 pi significa que eu dei uma volta completa então a extremidade cai no mesmo ponto mas a interpretação que eu dou para isso

é diferente e agora vamos pensar um outro ângulo falei do pi sobre 2 Vamos pensar pi sobre 4 por exemplo sobre 4 a extremidade partindo aqui desse zero dessa origem cairia onde cairia mais ou menos aqui andar mais pi sobre 4 no sentido Positivo eu vou cair ali justamente onde já havia caído o pi sobre do e se pensar 2 pi so 4 se a gente e simplificar vai voltar o pi so 2 andei mais pi so 4 3 pi so 4 4 PI so 4 5 pi so 4 6 pi so 4 7 pi

sobre 4 e finalmente 8 pi so 4 né então eu vou dando as minhas voltas vamos fazer a volta no sentido antihorário desculpa no sentido horário para ver o que acontece Ou seja no sentido negativo se eu tô andando agora no sentido negativo meus Arcos vão ter que ter sinal negativo então andei pi sobre 4 no sentido negativo eu vou obter - pi so 4 - 2 pi so 4 - 3 pi so 4 - 4 PI so 4 e assim por diante até eu voltar ali né na minha origem com -8 pi so 4

e pensando ali né na nossa volta no sentido positivo nós damos a volta completa e Chegamos no tal do 8 pi sobre 4 se a gente continuasse Dando volta né 7 pi so 4 8 pi so 4 V andar mais um pouquinho eu chegaria no 9 pi so 4 o que que isso significa se a gente pegar 9 pi e pensar que 9 pi pode ser escrito como 8 pi mais pi e desenvolvendo isso eu vou ter 8 so 4 que é 2 PI mais pi so 4 que que essa expressão aqui me diz me

diz que esse arco 9 pi so 4 ele cai exatamente onde caiu o pi so 4 mais uma volta completa mais 2 pi e mais ainda né daqui desse pi sobre 4 Dei uma volta 2 pi mais 2 pi dei mais uma volta mais 2 pi tô ali dei mais uma volta mais 2 pi mais 2 pi ou seja e todo arco cuja extremidade cai aqui ele pode ser escrito como como pi so 4 mais k um número inteiro vees 2 pi né significa que eu estou dando várias voltas k voltas completas a partir do

pi sobre 4 agora por exemplo e se meu meu arco fosse uma coisa dessa 83 p sobre 4 onde que cai 83 pi sobre 4 bom eu posso seguir nem a gente veio seguindo né vou vou vou rodando rodando rodando uma hora eu chego em 83 pi so 4 agora a gente pode fazer de um jeito um pouquinho mais esperto por exemplo 83 eu posso escrever como 80 + 3 né Por quê Por que que isso é interessante pra gente porque 80 dividido por 4 dá 20 né 20 PI significa que a partir de certo

ponto eu dei 20 voltas mas eu sempre vou cair naquele mesmo Ponto 20 voltas depois eu caí naquele ponto e que ponto é esse o 3 pi so 4 ou seja basta eu saber onde é o 3 pi sobre 4 e a partir dele eu vou dar 20 voltas 20 voltas o 83 pi so 4 ele vai cair aonde vai cair exatamente aqui né sobre o 3 pi so 4 bom é isso espero que tenham gostado e até a próxima aula [Música] [Música] h [Música]