Fundamentos da Matemática Elementar - Razões trigonométricas no ciclo trigonométrico

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula na primeira aula nós discutimos um pouco sobre as razões trigonométricas no triângulo retângulo na aula seguinte falamos sobre a ideia de e circunferência trigonométrica e agora nós vamos juntar essas os conhecimentos dessas duas aulas e razões trigonométricas dentro da circunferência do ciclo trigonométrico como é que a gente vai fazer isso bom vamos imaginar que nós temos aqui o nosso ciclo trigonométrico é de raio um né como a gente já havia definido e vamos pensar um ponto P aqui que é a extremidade de um arco que ele

começa aqui nessa origem nesse ponto e chega até aqui esse ponto P é a extremidade desse desse arco e eu sub tendido aqui subentende esse ângulo teta né um teta 1 que tá escrito ali e como é que eu vou pensar a trigonometria do Triângulo aqui dentro primeiro se a gente pensar a projeção ortogonal desse ponto P aqui no eixo das abscissas nós vamos obter esse P de a chamei de a por conta das abscissas né e da mesma maneira posso fazer a projeção ortogonal lá no eixo das ordenadas e vou obter esse ponto po

bom agora que a gente vai pensar a ideia de triângulo aqui dentro esse raio né partindo aqui desse ponto 00er né A Origem ali dos eixos ortogonais até p temos aqui um raio e essas duas projeções formam o quê um ângulo reto Então eu tenho um triângulo retângulo aqui formado se eu tenho o triângulo retângulo Eu tenho esse ângulo eu posso pensar aquelas razões trigonométricas Então a primeira razão que a gente pode pensar é o cosseno que que é o cosseno cosseno é esse cateto cateto adjacente sobre a hipotenusa que é o raio mas o

raio do ciclo trigonométrico ele é o quê ele é um então o cosseno desse ângulo teta ele vai ser pa a que é esse trechinho aqui é a medida desse pedacinho sobre 1 ou seja é pa está aqui o cosseno do meu ângulo teta o o valor do Cosseno ele pode ser representado pela medida aqui por essa medida de 0 até PA que é pa e vamos pensar o seno o seno é o quê o seno ele é o cateto oposto sobre a hipotenusa a hipotenusa é um o seno de teta né vai ser po

que é esse trechinho aqui ou a medida desse trechinho dividido por um que é igual a po então é por isso que aqui no meu eixo das abscissas eu vou encontrar o quê os valores para cosseno do meu ângulo teta e aqui no meu eixo das ordenadas eu vou obter o quê valores pro meu seno de teta porque esse trechinho né eu posso projetar para cá e eu obtenho aqui a mesma medida que é o po Eh vamos ver como é que se comportaria o os valores de seno e cosseno conforme eu vou rodando o

meu ciclo trigonométrico eu parto ali daquela Minha Origem aqui e vou andando no sentido antihorário vamos acompanhar o extremo o ponto extremo desse desse meu arco conforme ele vai rodando o ciclo trigonométrico Bom agora vamos ver como é que o os valores para seno e cosseno né eles vão sendo descritos aqui no ciclo trigonométrico conforme Eh o meu extremo né meu ponto extremo ali do meu arco ele vai se desdobrando ao redor ali da da circunferência então a gente pode perceber que no eixo das eh abscissas né o valor do Cosseno parte lá né de

um e ele vai diminuindo diminuindo diminuindo né E vai virando pro lado dos negativos N E se a gente olhar pro pro que acontece com o seno né o valor do seno ele também ele vai saindo do zero e vai subindo até um depois vai passa em menos um Então a gente tem esse ciclo e a gente pode acompanhar um pouco pela animação o que ocorre com os valores de seno e cosseno conforme o meu ponto P vai percorrendo a circunferência e isso né alguns pontos aqui notáveis eles estão explicitados aqui nessa tabela então Eh

pra gente prestando atenção nesse desenrolar aí do ponto nessa nessa trajetória que o ponto foi percorrendo quando teta é zer o seno de teta ele é zero também quando o seno é pi so 2 desculpa quando teta é pi so 2 o seno é 1 quando o seno é pi né aqui o seno é zer por porque esse tamanho aqui ess Aqui é zero né chegou ali no ele veio diminuindo diminuindo diminuindo chegou ali no zero quando é pi so 3 3 pi so 2 que é esse ponto aqui o seno é -1 se a

gente pensar nos cossenos a gente tem cosseno de 0 = 1 cosseno de Pi so 2 iG 0 cosseno de Pi - 1 e cosseno de Pi so 3 pi so 2 ele é z0 Bom agora vamos ver o que acontece no caso da tangente a tangente e ela vai ser obtida a partir do traçado aqui de uma reta tangente né que passa justamente aqui por esse ponto né para essa origem aqui dos meus Arcos então eu traço essa reta tangente e os valores da tangente de teta vão ser obtidos a partir do prolongamento dessa

reta aqui que passa pel raio pela extremidade do meu arco e marca aqui demarca um ponto aqui justamente nessa intersecção o valor da tangente né a medida da tangente é justamente esse daqui esse comprimento aqui estabelecido nessa reta e o prolongamento aqui da reta que passa pelo centro e o extremo do do meu arco Eh vamos ver como é que ela se comportaria assim como o exemplo do seno e do do Cosseno ela se a gente for olhando conforme meu meu ponto tá avançando no ciclo trigonométrico Ela Partiu ali de zero e tá subindo subindo

subindo até que chega um ponto aqui interessante em que essas duas retas ficaram paralelas nesse ponto não há o tal do cruzamento né significa que não existe tangente um valor da tangente para aquele ponto e vai acontecer o mesmo agora percebe que quando esse ponto chegar ali no eixo Y os dois as duas retas novamente são paralelas Então não vai existir o cruzamento logo eu não consigo obter a medida daquele segmento e é por esse motivo né que a gente consegue perceber aqui que a tangente de zero né do meu arco nulo É zero né

eu não não conseguir ainda né crescer aquele segmento para obter aquela medida né do segmento a tangente de pi sobre 2 que é justamente esse ponto no qual o prolongamento né aquela reta que é o prolongamento e a reta tangente os duas retas são paralelas não se encontram portanto não marca aquele ponto eu não consigo estabelecer o segmento para pensar o seu comprimento então não existe valor de tangente para pi so 2 o mesmo ocorre lá no 3 pi sobre 2 aqui embaixo né também não existe o valor pra tangente e em pi nós temos

o mesmo caso do arco nulo zero o tangente de Pi também vai ser zero Vamos pensar aquelas outras razões como é que elas se comportam no ciclo trigonométrico secante cosecante Vamos pensar as duas aqui junos da mesma maneira que pensamos os seno e cosseno mas onde que vai marcar né ah os valores de secante e cossecante primeiro nós vamos precisar traçar uma reta tangente a circunferência mas ela vai tangenciar aonde exatamente nesse ponto que é o extremo do meu arco e os valores da cossecante por exemplo eles vão ser Quais é o valor a medida

desse segmento que passe aqui parte da origem chega até a intersecção dessa reta tangente que a gente traçou e o eixo das ordenadas a secante é análogo é isso Só que vai ser o valor desse da medida desse segmento onde a a reta tangente encontra com o eixo das abscissas né então exemplo dos outros casos vamos ver como é que isso se comporta conforme esse ponto extremo ele vai percorrendo o ciclo né vai percorrendo a circunferência trigonométrica vamos ver como é que ele que ele vai andando aqui né a gente pode perceber né que o

a cosecante vem lá do infinito o número muito grande Vem Descendo quando as duas retas né Essa reta tangente passa ali no pi sobre do ela fica paralela ao eixo das abscissas né então a exemplo da da tangente nós não temos um encontro dessa reta tangente elas são paralelas ali ao eixo e não obtemos os valores para secante né para cossecante e o mesmo vai a gente consegue observar no caso das duas razões olhando aí com conforme vai percorrendo esse p ao longo da circunferência né então a secante do meu teta quando teta é 0

é 1 a cosecante já não vai existir no caso do da secante de pi sobre 2 dessa vez é ela que não existe justamente pelo fato das das retas serem eh paralelas naquele ponto a reta tangente e o eixo né o eixo X o eixo das abscissas o mesmo Vale quando a reta tangente ela paralela ao eixo das ordenadas né então hora secante não existe hora é a cosecante que não existe aí podemos fazer isso olhando para esse ponto que vai circulando né ao redor da circunferência trigonométrica então secante de Pi É -1 nesse cosecante

de Pi nesse nesse ponto não existe e a secante de 3 pi so 2 aí ela não existe mas a a cosecante sim é -1 eh e falta agora a gente pensar na cotangente né Já falamos de todas elas falta a gente pensar um pouquinho sobre a cotangente eh da mes de maneira similar nós vamos traçar aqui uma reta tangente mas nesse caso a reta tangente ela vai tangenciar aqui nesse ponto onde é o pi sobre 2 e qual é o valor da cotangente a cotangente ela vai representar a medida desse segmento entre esse ponto

aqui de tangência e o cruzamento dessa reta e o prolongamento aqui dessa reta que passa da origem até pelo ponto extremo aqui do arco então assim como nos outros casos vamos dar uma olhada em como se comportaria né esses valores da cotangente né vem lado do infinito ela vem andando andando esse segmento vai diminuindo cada vez mais quando ele chegar ali no pi sobre do ele não vai ter medida por isso ele vai ser zero e nós vamos seguir esse ponto P né os valores ali ó da contente vão aumentando nesse momento as retas são

paralelas então ali no pi não vai existiu a cotangente de Pi so de Pi agora aqui Chegamos no caso semelhante ao ao um dos anteriores né que a cotangente de de 3 pi sobre 2 é 0 e vamos chegando novamente ali na nossa origem quando isso acontecer né no 2 pi as duas retas né a reta eh tangente ali na minha circunferência e o eixo eh x eles vão Paralelos se é paralelo não tem um ponto de toque né não tem uma intersecção por isso eu não obtenho um valor para cotangente naquele ponto e é

isso por enquanto na próxima aula nós vamos estabelecer relações dessas ideias com funções e aí encerramos essa discussão sobre funções trigonométricas dessa semana até [Música] lá [Música] w n [Música]