Fundamentos da Matemática Elementar - Tabelas (verdade)

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula e na aula anterior nós discutimos alguns dos princípios né algumas ideias básicas do que nós chamamos de lógica proposicional e agora vamos trabalhar um pouquinho da ideia de tabela verdade né tabela verdade ela foi desenvolvida né ao longo do tempo por uma série de matemáticos né com algumas menções aqui a freg a Pierce né a wittenstein São pessoas que desenvolveram muito a área da lógica né o wichen está inclusive em seu né um dos seus trabalhos ali eh mais importantes da sua primeira fase né que é

o tratados lógicos né lógica entre aí tratados lógicos filosóficos né ele usa bastante a ideia de tabela verdade né Eh a ideia da tabela verdade ela se estabelece no quê na ideia de que o valor verdade de uma proposição composta né Ele é obtido a partir do quê dos valores Verdade de Cada proposição simples que a compõe né que compõe essa proposição composta eh e a tabela verdade ela vai fazer o quê Ela vai apresentar a combinação de todos os valores verdade possíveis ali a partir da análise dessas proposições simples vamos ver como que como

que tem né como se opera aí na prática né Qual é a cara de uma tabela verdade b bom eh a princípio o que nós colocamos aqui nós vamos pensar proposições simples por exemplo proposição p e a proposição Q E aqui algumas proposições n p e q p ou q se P então q p se somente CQ né então a gente pensa aqui as possíveis proposições compostas a partir dessas nesse exemplo Duas né e eu vou pensar aqui também Quais as possibilidades que eu tenho de verdade né se é verdadeiro ou se é falso para

p e para q como só tenho duas idades né ou é verdadeiro ou ele é falso e o número de linhas que eu vou ter aqui na minha tabela verdade ela pode ser calculada como 2 elevado ao n em que n é a quantidade de proposições simples que eu tenho aqui trabalhando nesse nosso exemplo eu tenho duas proposições simples né a p e a q então o número de linhas que eu preciso colocar na minha tabela verdade é 2 elevado ao quadrado elevado a 2 que é 4 né 1 2 3 4 então nessas é

justamente nessas linhas que nós vamos colocar as possibilidades né as combinações possíveis de verdadeiro ou falso Então como um exemplo né ó a gente coloca verdadeiro para p verdadeiro aqui para p também então se o p é verdadeiro uma possibilidade é p e q serem verdadeiros outra possibilidade é p ser verdadeiro e q ser falso né se P for falso tem uma outra possibilidade que é falso e verdadeiro ou falso e falso Então essas são as minhas combinações possíveis né de verdadeiro ou falso para as combina eh para as proposições p e Q E aí

nós começamos a partir partindo dessa ideia a avaliar né o valor verdade das proposições compostas eh essa tabela aqui vai ser bem interessante para se manter inclusive de referência para outros exemplos né então é interessante né ficar de olho nesse slide né guardar um pouco o formato dessa tabela para usar como uma referência futura para resolver outro tipo de problema né ou em outros momentos Eh vamos analisar o que aconteceria aqui uma proposição composta p e q nesse caso cas a composta p e q ela só vai ser verdadeira quando as essas duas proposições forem

verdadeiras também se alguma delas for falsa já é o suficiente para que a composta p e q seja falsa então ela só é verdadeira nesse caso em que P verdadeiro q verdadeiro todas as outras aqui q é falso aqui p é falso aqui ambas são falsas então nesses casos nós temos que a composta P eq ela é falsa só verdadeiro quando ambos as proposições simples forem verdadeiras caso da P ou q né Lembrando que a gente tá falando aqui do ou eh inclusivo não um ou exclusivo nesse caso ela vai ser só falsa se ambas

as proposições forem falsas caso contrário ela essa proposição composta né ou P ou q é ela vai ser sempre verdadeira né então se p é verdadeiro q é verdadeiro P ou q é verdadeiro nesses casos ó p é verdadeiro q é falso mas P ou q continua sendo verdadeiro e o mesmo vale para p ser falso e q verdadeiro né P ou q é verdadeiro agora a gente pode pensar aqui a condicional né a condicional né seria P se p então que nesse caso ela só vai ser falsa se a segunda aqui né se a

consequente for também falsa então se p é verdadeiro né sendo P verdadeiro e o q verdadeiro P então q é verdadeiro se a premissa é falsa né se p é falso e q é verdadeiro e isso daqui né assume um valor verdade né de verdadeiro e se ambas forem falsas P então q também é verdadeiro o único jeito né dessa composta ser falsa é se o consequente for falso né e agora a última né ideia que é a a bicondicional né o c e somente C nesse caso eh quando as duas proposições simples elas forem

verdadeiras a bicondicional é verdadeira caso as duas também sejam falsas a bicondicional assume aqui também o valor Verdadeiro Caso só uma delas seja verdadeira e a outra falsa nós temos que o c e somente c é falso Então essa ideia aqui né que eu digo que é interessante guardar e nós vamos perceber agora que é possível utilizar em outros casos para verificar alguns algumas proposições compostas né então por exemplo Vamos considerar essa proposição 10 é múltiplo de 2 e 5 vamos dividir isso aqui desmembrar isso aqui em duas proposições simples por exemplo 10 é múltiplo

de 2 e 10 é múltiplo de 5 e ela são Unidas pelo quê pelo conectivo e vamos verificar se essa proposição composta lá é verdadeira ou falsa bom 10 é múltiplo de 2 isso é é verdadeiro ou é falso bom é verdadeiro 10 é múltiplo de C bom também é verdadeiro né então nós temos que P É verdade q é verdade se p é verdade e q é verdade né pela nossa tabela p e q é verdade então 10 é múltiplo de 2 e 5 é uma uma proposição verdadeira agora pegar essa essa proposição a

bandeira do Brasil tem cor verde ou rosa aqui a gente tá ligando duas proposições que é a bandeira tem cor verde e a bandeira tem cor rosa ligadas pelo qu pelo ou pelo conectivo ou vamos avaliar e a bandeira tem cor verde sim verdade né então estamos aqui p é verdadeiro a bandeira tem cor rosa é falso então nós estamos aqui no Q falso e e o ou como é que a gente vai avaliar essa essa proposição composta P ou q nesse caso P ou q é verdadeiro então a a o valor verdade da minha

proposição composta a bandeira tem cor verde ou rosa ela é uma proposição verdadeira agora pensar um outro exemplo se 7 é primo Então 7 é múltiplo de 49 Então vamos desmembrar em duas em duas possíveis proposições aqui simples 7 é primo e 7 é múltiplo de 49 vamos avaliar cada uma individualmente é primo sim verdade 4 não cuidado n o 49 é um múltiplo de 7 7 não é múltiplo de 49 então tenho aqui um valor que é falso e vamos olhar o que acontece na composta quando P É verdade e q é falso se

P então q assume o valor o qu assume o valor falso Então essa proposição composta ela é falsa por considerar aqui e essa ideia do c e somente C né da bicondicional Zero é denominador de uma função de uma fração c e somente C qu for ímpar vamos novamente seguir o nosso raciocínio P vai ser a proposição zero é denominador de uma fração q vai ser a proposição 4 é ímpar vamos avaliar cada uma z0 pode ser o denominador de algum uma fração não né Então a primeira proposição é falsa 4 é ímpar também não

a gente sabe que 4 é par então q também é falso vamos olhar na nossa tabela se as duas aqui são falsas a bicondicional é verdadeira E aí você vai falar ah professor falou que zero pode ser denominador de fração que qu é ímpar não eu já disse que as duas são falsas porém a o valor Lógico né o valor verdade da bicondicional né sim é verdadeiro né então tem que tomar um pouco desse cuidado aí quando a gente tiver falando em lógica proposicional Vamos pensar aqui um agora um exemplo que é um exemplo super

clássico aparece em concurso aparece em em material em vídeos aparece bastante esse exemplo talvez a maioria de vocês até já tenha visto em algum um lugar eh que é esse aqui essa essa proposição composta se todos os Homens São Mortais e Sócrates é um homem então Sócrates é mortal vamos desmembrar isso em três proposições nesse momento que é todos os Homens São Mortais Sócrates é um homem e Sócrates é mortal bom como nós temos três proposições simples Eh quantos quantas linhas precisa ter a minha tabela verdade 2 elevado ao cubo né 8 Então eu tenho

aqui oito linhas na minha tabela verdade vou colocar aqui as minhas três proposições né pq e r que estão aqui e nós vamos pensar o valor verdade dessas e eh proposições compostas a primeira eu vou considerar só essa daqui que é p e q que que é p e q que é os homens são todos os Homens São Mortais e Sócrates é um homem vamos avaliar primeiro essa vamos ver o que acontece eh bom todos os Homens São Mortais é uma verdade e o Sócrates é um homem bom até onde sabemos sim é verdade p

e q quando são p verdadeiro e q é verdadeiro p e que assume valor verdade verdadeiro então a gente tá aqui nessa linha agora Vamos considerar essa proposição composta aqui né aqui dentro já sabemos que ela é verdadeira né considerando agora aqui na condicional se p e q então R se todos os Homens São Mortais e Sócrates é um homem então Sócrates é mortal bom o Sócrates ser mortal a gente vai considerar aqui também com valor verdadeiro então a condicional quando todos os né quando as duas aqui são verdadeiras né a premissa e o consequente

são verdadeiros assume valor do quê verdadeiro Então essa proposição composta assume valor verdadeiro agora vamos pensar só uns um alguns tipos especiais né vamos dizer assim eh de proposições compostas então Vamos considerar essa daqui as pedras não voam ou as pedras voam né por mais estranho né diferente que isso pareça pensa um pouquinho né Nós temos uma proposição simples aqui que é as pedras voam né porque o as pedras não voam é só A negação dessa proposição Simples então como eu tenho uma só proposição simples quando quantos quantas linhas eu preciso na minha tabela Duas

né que é 2 elevado a 1 então p que é pedras V pode ser verdadeiro pode ser falso A negação né inverte então se aqui era verdadeiro A negação de p é falso se P era verdadeira A negação de p era falso desculpe A negação de de p é verdadeiro e eu conectei aí p e a sua negação com o ou né ao fazer isso lembrando ali né da da das discussões anteriores eh se V se p é verdadeiro né e negação de p é falso P ou negação de p é verdadeiro e o mesmo

Vale paraa linha de baixo então Eh nesse caso a a gente sempre vai ter um valor verdadeiro independente né se p e A negação aqui só for verdadeiro falso falso verdadeiro né a composta vai ser sempre verdadeira então esses casos nós chamamos de tautologias né Eh um o caso que seria eh análogo né Eh mais contrário vamos dizer assim né entre aspas seria esse ó as pedras não voam e as e as pedras voam né novamente temos uma uma proposição simples que é as pedras voam e a sua negação Então temos essas duas possibilidades verdadeiro

e falso e a sua negação né falso verdadeiro lembrando lá novamente né daquela discussão Inicial essa essa proposição composta ela vai assumir sempre valor falso né Então dessa maneira independente né ser verdadeiro falso falso verdadeiro a a a a proposição composta sempre é falsa quando nós chegamos a esse nesse a essa conclusão estamos dizendo que a proposição composta ela é uma contradição e o último caso né É em que depende na verdade depende do contexto Depende de outras eh informações Então se as pedras voam Então as pedras não V bom se p é verdadeiro A

negação de p é falsa se P for falsa A negação é verdadeira e olhando ali a ideia da condicional nesses casos né que é verdadeiro e falso eu teria um valor verdade falso pra minha composta falso verdadeiro eu teria um valor verdade verdadeiro para minha composta Então nesse caso pode ser falso pode ser verdadeiro quando ocorre esse tipo de de de situação nós dizemos que a proposição composta ela é o quê Ela é uma contingência bom e Chegamos Por aqui né Espero que tenham gostado e até a próxima [Música] [Música] s [Música]