Cálculo I - Aula 02 - Funções de uma variável e seus gráficos

olá alunos estamos na univesp universidade virtual do estado de são paulo estamos começando o nosso curso de cálculo um dos alunos de engenharia essa é a segunda aula ainda não começaremos com os principais temas de cálculo vamos fazer uma revisão de algumas ideias importantes de funções queria lembrar que nós fizemos uma reunião revisão básica de funções na disciplina de matemática que foi uma disciplina de pré cálculo e eu vou falar hoje de algumas coisinhas alguns detalhes de teoria de funções que não são tão óbvios e que possam ser úteis para a partir da próxima aula

nós começarmos de fato a trabalhar com os conceitos básicos do cálculo diferencial e integral então vamos se alimentar bem algumas idéias nós vamos falar no cálculo tempo inteiro vão falar de funções que estão definidas em subconjuntos do conjunto dos números reais a valores em r o cálculo é uma uma teoria de funções de uma variável no domínio uma variável onu contra o domínio nos próximos cálculos nós vamos falar até em funções demais variáveis nesse cálculo um tanto domínio quanto com que o contra domínio são de uma dimensão dimensão é a nossa função é uma função

que não precisa estar definida no conjunto todo dos reais o gráfico da função é o conjunto dos pontos do plano estão o gráfico é um pedaço do r2 onde a ab cissa xista no domínio ea ordenada y é a imagem do ponto x pela relação é a terminologia que o conjunto a chance domínio e o conjunto imagem não é o contra o domínio todo contra o domínio r o conjunto imagem é um pedaço de r para os quais existe um x no domínio total que aquele y que está no conjunto imagem é efetivamente a imagem

daquele x está no domingo uma maneira de pensar nisso é que o conjunto imagem é o conjunto dos y luz que é efetivamente assumido que efetivamente participar da relação funcional o contra o domínio é um conjunto potencial todos os possíveis valores os que efetivamente participam da relação forma o que nós chamamos de conjunto e imagem para concretizar bem esses conceitos pensa nessa função ac raiz quarta de x menos um que o domínio que que a imagem o que o gráfico condomínio domínio conjunto dos pontos para os quais essa função faz sentido é um jeito de

pensar em domínio é pensar em termos de condição de existência você olha para a fórmula da função se não houver nenhuma restrição se não houver nenhuma condição de existência nós podemos dizer que o domínio é toda reta real todos os números reais quando há uma condição de existência quando há uma restrição e por exemplo a raiz quarta ela contempla uma condição de existência porque não existem as quarta de números negativos quando houver uma condição de existência o domínio o conjunto dos valores reais que atendem àquela condição de existência então quem vai ser o domínio dessa

condição é o conjunto dos valores de x para os quais eu posso efetivamente calcular a raiz quarta hora eu posso calcular reais quarta se x - um for positivo e o domínio vai ser o conformado pelo conjunto do x são maiores ou iguais a 1 lembre se que existe raiz quarta de zero e da 0 o conjunto de imagens o uso de imagem o conjunto dos y a priori o contra domina toda reta real imagem são os y es que efetivamente participam do gráfico olha onde tem gráfico onde tem gráficos alturas onde tem gráfica gráfico

do lado y positivo porque o y é a raiz 4 às quartas sempre positiva então tem um gráfico para y positivo então a imagem que são os y efetivamente atingidos são os simpsons maiores do que quiser e aí eu tenho então que o domínio dessa função é formado pelos valores difícil maiores heróis que um ea imagem que os valores de y moi je vais quiser é importante vocês dominarem as duas maneiras de escrever com xavi propriedades é o conjunto de escrito por um por uma propriedade à propriedade de cima oc1 com yc maior igual quiser

ou escrever esse mesmo conjunto esses mesmos conjuntos com colchetes conflitos abertos fechados colchetes são fechados 10 porque é maior ou igual e alcochete está fechado no zero chama uma estratégia de expansão dominar bem na hora de redigir os trabalhos de vocês um outro exemplo só para concretizar isso módulo de x uma função que vai ter uma importância muito grande nas nossas aulas vai aparecer muitas vezes lembrando que módulo de x é o próprio x quando fiz é positivo e que o módulo é o oposto de x quando x é negativo ou seja módulo de 10

dez por que 10 é positivo no mesmo módulo de -5 é mais cinco porque quando x é negativo como é o caso de -5 tem o módulo é menos aquele número como ele já era negativo quando pelo menos ficar mais que o módulo de -5 é menos menos 5 ou seja mais 5 pensando bem concretamente intuitivamente módulo se define alterados foi positivo e droga pra cima se for negativo troca um sinal foi negativo tanto aqui quanto x é positivo a função módulo é identidade mandar xx quando fiz é negativo manda o negativo no mesmo valor

só que com um sinal de mais que o domínio can a imagem do mini toda reta porque porque não há condição de existência quando não há restrições ao cálculo quando não há condição de existência a ser satisfeita o domínio é toda reta imagem os valores de y que efetivamente aparecem estamos vendo gráfico só no lado positivo com 20 imagens y igual quiser a gente pode indicar por 0 mas o também aquela notação que vocês conhecem r mais para indicar os reais positivos se o zero não estivesse presente colocaria r mais asterisco certo existem o conceito

de função para e função ímpar que vão ser importantes para nós ao longo da disciplina e isso é uma coisa um pouco mais sutil então vamos recordar agora imagine o primeiro uma função que teve definido no intervalo simétrico é fundamental que a função esteja no intervalo simétrico domínio tenha tanto positivos quanto negativos dos dois lados o domínio e e de consumir quando eu falei agora de pouco na função raiz quarta x - um domínio não era simétrico o domínio é só do um pra frente não agora não quero isso quero um domínio que tenha um

pedaço mais um pedaço - simétricos função chama-se pa será que essa propriedade que não para um lado negativo ela vale igualzinho que ela vale um lado positivo então se eu calcularem 5 em -5 não tem que valer a mesma coisa é isso que está dito aqui fd 5 igual à efe - cinco da função para a vale no lado negativo o mesmo que ela vale no lado positivo é um exemplo de fusão para módulo que acabou de ver o gráfico módulo é um belíssimo exemplo de função para mas também a função do conselho é pa

se você olhar na circunferência trigonométricas se você for rever como é que a gente define cosseno cosseno de 30 e conselho de menos 30 graus igual a você não tenha propriedade de ser uma função pacha x quadrado também uma função partes quadrado tem a mesma propriedade que o módulo no positivo e negativo ela acaba valendo a mesma coisa no caso do módulo o 10 vale mais 10 no caso do x quadrado no 10 vale 100 mas o que a propriedade de separar se eu colocar dez vales em se eu colocar menos dez vales em também

com essas funções são todas as funções paris e claro e daí vem o nome todas as potências com expoente partes ao quadrado fiz a quarta x a sexta todas essas são partes função constante é parar também é claro é constante no positivo negativo ela vale a mesma coisa tem o mesmo valor a função é ímpar se no negativo ela vale o oposto do que ela vale no positivo a função para o negativo eo positivo vale a mesma coisa a função em um ano positivo e não negativo ela vale o posto como é um exemplo de

uma função é ímpar a função x a função fiz ao cubo a função fiz ao cubo 2 vale 8 no - 2 - 2 ao cubo vale menos oito então x ao cubo em parte porque no positivo e negativo de mesmo tamanho ela tem valores opostos x sendo de x também é assim cena de 30 e de -31 é o oposto do oceano de 30 e meio sendo de - 30 - meio só lembrar a circunferência trigonométrica o ângulo 30 para cima do ângulo menos 30 para baixo sendo o projeto na vertical honda em cima

da irmã e claro todos os points in paris ac x a quinta x17 o gráfico da função para esse médico em relação ao eixo y olha porque o lado positivo é que você já saiba que vai ter que acontecer com o lado negativo na função para quem vale a mesma coisa no 2 e no menos dois têm que valer a mesma coisa então se seu lado da função para o lado fiz positivo do lado fiz negativo tem que ser simétrico porque tem que valer a mesma coisa que vale aqui tem que valer aqui e isso

resulta em um gráfico que é simétrico em relação ao eixo y sac bonito todos os gráficos de qualquer função partem simetria em relação ao eixo y bonito de fato o gráfico da função inpa é simétrico em relação à origem porque olha que bonito imagina esse pedaço aqui aquino um valium e ela que vai acontecendo - 1 e vai ter pelo menos um porque o que acontece no positivo acontece trocado negativo vai ali - então se o gráfico aqui tá pra cima aqui vai trabalhar e ele vai ter uma simetria em relação à origem o gráfico

da função ímpar é assim o que acontece do lado mais acontece o postulado - olha que bonito o grupo tem também uma simetria mas é uma simetria em relação à origem o bonito né é essas observações que acabei de fazer que o impacto grande na área gráfica de função para que interessante pensar na parábola x 2 - 4 x mais três com ela nossa disciplina de matemática de precaução de revisão nós falamos em gráfico de parábola aprendemos a fazer as raízes aqui são 1 e 3 o vértice é 2 se você colocar aqui fiz igual

a 2 dá menos um y então nós sabemos fazer o gráfico quarto eixo 12 pontos no 3dmark a parábola x 2 - 4 x mais três que acontece depois é o módulo volta dessa parada é módulo de x 2 - 4 fez mais três para o módulo ele faz o que é positivo fica do jeito que tá o que é negativo vira positivo então se eu puser módulo em volta disso tudo o pedaço positivo da parábola não se altera e um pedaço negativo vira positivo e esse é o gráfico do módulo mas agora olha que

interessante o que acontece se eu puser o módulo não na parábola inteira 50 módulos onu x se opuser módulo solo x fica x2 que é pá módulo de x que é par constante que é pá ea função fica uma função para então se eu fizer o gráfico de x 2 - quatro módulos de x + 3 essa função tem que ser paga por ser par o gráfico tem que ser simétrica em relação ao eixo y do lado positivo era esse pedaço da parábola lembra x 2 - se eu pegar x positivo o módulo de x

igual x e nós estamos com essa parábola então você pega do lado x positivo essa parábola e do lado negativo tem que repetir o que aconteceu com a parábola e aqui tá paraíba repetido fazendo essa figura simétrica porque eu estou insistindo nesse exemplo além de ser belíssimo nessa é essa simetria que vem no gráfico observa é muito importante enxergar isso que eu tô falando claro que você pode fazer gráficos usando editores de gráficos e depois falar mais disso você pode usar o grafeno implore um monte de uma temática muito de editores que fazem gráficos de

funções mas saber isso que eu acabei de falar que faz ter certeza que aqui tem um ângulo é um bicudo ali tem um vértice ele não é arredondado aqui porque justamente a reflexão da parábola no eixo y não ter essa compreensão de função para mim para ajuda muito enxergar esse gráfico que bonito que o gráfico do x 2 - quatro módulos de x + 3 legal né é um conceito importante conceito de composição de funções a gente chama de composta de duas funções indica por um símbolo é uma bolinha a função da direita à esquerda

calculada na função do direito então efe bola ggi-f calculado em g mostrar dois exemplos é pegar duas funções e fazer é composta para vocês dois elevados x 2 mais um que é o f composta com g o qg composta com f f composta com gf calculado entre os dois mais um como f2 elevado x quando calcula x 2 mais um é dois elevados x 2 mais um do que o gdf rg dff dois elevadores x então é g2 elevador x só que age e leve cuadrado e somam então dois elevadores x fica ao quadrado somados

e a gente já percebe claramente que não são iguais é uma coisa importante a composição de funções não dá igual gfd gdf bola g que ballack não são iguais vou só melhorar um pouquinho ele sempre fica um pouco mais dois elevadores dois mas vamos para fazer 2 elevado x 22 e levado a um é potência de mesma base em somos expoentes então é duas vezes 2 elevado x 2 e aqui o 2 elevado x elevador 2 esses dois podem multiplicar esse x ou até afetar a base é 4 e levado à x + 1 e

fica muito claro que são funções diferentes o conceito de composta permite falar também no conceito de inversa tinha uma função é inversa de uma função efe uma função g que a gente vai indicar por efe - um expoente menos um que tem a seguinte propriedade compondo quem exatamente o conceito que eu acabei de falar f com jeou gkf da ef bola gtx da x rebola fdx da x ou seja identidade essa função que manda xx a identidade então a composição de duas com sua composição de uma função com a sua inversa de resulta identidade esse

conceito vai ter muita importância para a gente ao longo da nossa disciplina para determinar inversa de uma função que o procedimento tem dois passos que às vezes sou um pouco esquisito na cabeça dos alunos quando vim pela primeira vez mas após fazermos alguns exercícios vai ficar bem natural a primeira coisa o que você pega a fórmula da função e troca isola x em função do y normalmente na forma de uma função o yb isolado em função de x para calcular inverso a gente disfarça a gente pega o x israel em função de e depois a

gente faz uma coisa estranha que é trocar as variáveis para dar resposta na forma usual e a forma usual é o y em função de x vamos acompanhar espaço um exemplo no méxico pega função y fdx go 3 x - dois no cálculo é inversa eu vou olhar para essa fórmula y igual a 3 x 1 - 2 vai inverter inverteu x em função do y então olha só y a 3x menos dois eu passo - dois pra cá y mais dois gols 3 x passo 3 dividindo x é igual a y mais dois sobre

três fiz a relação entre as duas variáveis só que na hora de expressar uma função não é comum a gente fazer x em função de y é normal y em função de x e as variáveis são livres as variáveis não tem nenhum significado sem muito especial então na hora de fazer inversa eu troco aqui onde tem y ou porsches e eu falo que é inversa calculada uma variável qualquer que normalmente o uso x é é a variável mais dois sobre três que significa forma de uma função que para calcular o número soma 20 por três

não importa se essa variável chama y x ou t então é inversa efe - onde x guaches mais dois sobre três e observa o sentido bem concreto de inverso a função direta seu cálculo em 23 vezes 26 -2 4 e o que é inversa é a função faz o contrário seu cálculo em 4 vai dar 2 e pega essa fórmula que foi em 4 ac 4u mais 26 sobre 32 por isso que o troco não porque eu tô acostumado a chamar sempre de she's a variável do domingo então vou as duas funções fdx 3 x

1 - 2 e efe - um de xx mais dois sobre três delas são uma inversa da outra e é esse o fato central de inverso 2000 em 4 na outra quatro vai em dois e os gráficos de uma função da sua inversa isso é lindíssimo são simétricos em relação à reta y guaches exatamente porque na direta tem o ponto 24 na inversa de 1.42 esses pontos são simétricos em relação ao ípsilon x é que a função é inversa tem gráficos simétricos em relação a essa reta olha que bonito e é exatamente esse fato uma

mandar em ver a outra manda bem a então tem essa simetria elevado x função exponencial daqui só quem é a inversa de elevador x é o logaritmo logaritmo de base e e olha o gráfico do logaritmo junto com o gráfico do exponencial esse é o logaritmo de base e essa exponencial de base e aqui tá reta entregou à x e o simétrico relação ao outro por exemplo x igual a um exponencial vale e 2,7 no lugar it um logaritmo de 2007 vale um cruzamento que um vá e e vai no que eles são pontos simétricos

em relação à reta este negócio x e aqui estão os gráficos de uma função da sua inversa e esse site é lindíssimo e vale para qualquer função que a gente considera uma função disso inversa tem gráficos simétricos nesse sentido legal né