Tra il 287 a. C. ed il 212 a.
C. visse Archimede, un brillante matematico, fisico, nonché inventore. Si racconta che questo grande scienziato sarebbe riuscito a realizzare una macchina in grado di spostare una nave tramite l’applicazione di una forza relativamente piccola.
L’esaltazione scaturita da quell’evento avrebbe portato Archimede a pronunciare la celebre frase “datemi una leva e vi solleverò il mondo! ”. Nel video di oggi affrontiamo le principali scoperte che Archimede aveva fatto in merito alle leve, e proviamo a capire cosa egli intendesse dire con questa frase.
Una leva è un dispositivo molto semplice, costituito da un’asta rigida che può ruotare attorno ad un punto fisso detto “fulcro”. Come puoi vedere, ad una leva, è consentito soltanto ruotare intorno al fulcro. Tale punto fisso, inoltre, non deve trovarsi per forza al centro della leva ma, come vedremo tra poco, può trovarsi in diverse altre posizioni.
Un esempio di leva con il quale avrai sicuramente avuto molta familiarità da bambino è questa altalena che si trova nei parchi giochi. Da bambini ci sedevamo su un estremo dell’asse di legno e ci alternavamo con un nostro compagno di giochi, seduto sull’estremità opposta, a spingere con i piedi per andare su e giù. Immaginiamo che un topo ed un gatto si trovino a dover fare un gioco simile e per comodità supponiamo anche che il gatto sia sufficientemente sazio da non volersi mangiare il topo.
I due animali si trovano agli estremi di un’asta, ed il fulcro della leva è posizionato in questo punto O. Sulla macchina agiscono due forze: la forza motrice F_m e la forza resistente F_r; la prima che coincide con la forza peso del topolino e la seconda che è uguale alla forza peso del gatto. Ti ricordo, a questo punto, che per definizione il braccio di una forza F rispetto ad un punto O è dato dalla distanza tra il punto O e la retta che contiene F, in questo modo.
Nel caso in esame, quindi, tracciata la retta che contiene la forza motrice F_m, possiamo chiamare questa distanza “braccio della forza motrice rispetto al fulcro della leva”, ed indicarla con b_m. Stessa cosa possiamo fare con la forza resistente F_r. La distanza tra la retta che contiene la forza ed il fulcro è il braccio b_r della forza resistente rispetto al fulcro.
Vogliamo capire, ora, cosa deve accadere affinché la leva sia in equilibrio. Anche Archimede, studiando situazioni di questo genere, si era posto la stessa domanda e aveva capito che per equilibrare una leva il momento della forza motrice deve essere uguale al momento della forza resistente e cioè, in simboli, M_m = M_r. Ricordando che il momento M di una forza F rispetto ad un punto O vale il prodotto dell’intensità della forza F per il braccio b, possiamo scrivere M_m come il prodotto tra la forza motrice ed il braccio della forza motrice rispetto al fulcro.
Ragionando similmente con il momento della forza resistente, possiamo dire che esso vale F_ r per b_r. In definitiva, allora, per dire che una leva è in equilibrio dobbiamo controllare che questa uguaglianza sia vera. Supponiamo che il nostro topolino abbia una massa di 20 g, cioè 0,02 kg, e che il gatto abbia una massa di 4 kg.
Moltiplicando le masse per l’accelerazione g possiamo determinare le forze peso dei due animali e, quindi, la forza motrice e quella resistente. Le distanze del topolino dal punto O e del gatto dal punto O, cioè i bracci delle due forze, siano, rispettivamente, di 200 metri e di 1 metro. Sostituendo tali dati in questa equazione, si ottiene un’identità e, quindi, si può concludere che la leva è in equilibrio.
Ad un certo punto, il gatto, impaurito da un cane che passa per le vicinanze va via e, proprio il cane, prende il posto del felino accovacciandosi sull’altra estremità della leva, anche lui, ad 1 m di distanza dal fulcro. Secondo te, in questa nuova situazione, è possibile che la leva sia ancora in equilibrio? Il cane ha una massa maggiore rispetto al gatto di prima.
Per aiutarci con dei numeri, possiamo supporre che il cane abbia una massa di 20 kg. Moltiplicando la massa del cane per l’accelerazione g, la forza resistente risulta, in questa seconda situazione, 196,2 N. Calcolati i momenti, al solito, moltiplicando le forze per i rispettivi bracci, otteniamo che il momento della forza motrice è minore di quello della forza resistente e che, pertanto, la leva non è in equilibrio.
L’unico modo che ha il topolino per equilibrare una leva in cui dall’altro lato c’è un cane di 20 Kg ad 1 m dal fulcro è che esso disti 1 km, ovvero 1. 000 m dal fulcro stesso. Solo in questa situazione, infatti, i momenti delle due forze sarebbero uguali e si avrebbe equilibrio.
Ma veniamo adesso all’idea di Archimede. È davvero possibile sollevare la Terra con una leva? Per affrontare questo problema possiamo ragionare come nell’esempio del topolino e del cane.
Stavolta, però, da una parte della leva mettiamo la Terra, con la sua massa e, dall’altra parte Archimede. Supponiamo, con un po’ di fantasia, che la leva poggi sulla Luna, in modo tale da sapere quanto vale all’incirca questa distanza che è il braccio della forza resistente. Ciò che vogliamo cercare di capire è a quale distanza dal fulcro dovrebbe trovarsi Archimede per riuscire ad equilibrare una massa così grande.
Per capire quindi quanto dovrebbe valere il braccio della forza motrice che equilibrerebbe la Terra impostiamo la condizione di equilibrio ed esplicitiamo b_m. Riscrivendo le forze come le forze peso dei due corpi e sostituendo i dati, troviamo che per riuscire ad equilibrare la Terra, Archimede dovrebbe trovarsi sullo spazio ad una distanza di poco più di 30 miliardi di triliardi di metri dalla Luna. Questo esempio paradossale serve proprio a capire come le leve possono essere sfruttate per amplificare una forza: nel caso di Archimede, sotto opportune condizioni di distanza dal fulcro della leva, la sua forza peso può essere aumentata fino a riuscire addirittura ad equilibrare un pianeta.
Quando si parla di leve, non bisogna pensare che una leva consista per forza in un oggetto di questo tipo. Ci sono infatti molti oggetti delle forme più diverse che funzionano come delle leve. Prendiamo, ad esempio, una molletta ed una forbice.
In questi due oggetti riconosciamo il fulcro che sta tra la forza motrice e quella resistente. Quando in una leva il fulcro è posto tra le due forze, come in questi casi, la leva viene detta “di primo genere” e si può schematizzare così. In uno schiaccianoci, il cui fulcro è in questo punto, invece, succede che la forza resistente sta tra il fulcro e la forza motrice.
Una leva di questa tipologia può essere schematizzata in questo modo e la chiamiamo “leva di secondo genere”. C’è poi un terzo caso, quello in cui la forza motrice sta tra il fulcro e la forza resistente, come in questo schema. Una leva di questo tipo è, ad esempio, una pinzetta come questa che viene detta “leva di terzo genere”.
Ogni leva, inoltre, può essere vantaggiosa o svantaggiosa a seconda di quale tra i due bracci è maggiore. In questa prima situazione, ad esempio, abbiamo che il braccio motore è più lungo di quello resistente. In tal caso, una piccola forza motrice applicata in un punto lontano dal fulcro può equilibrare una forza resistente come questa.
Una leva con queste caratteristiche, in cui cioè il braccio motore è maggiore di quello resistente, viene detta vantaggiosa. Una leva di secondo genere, ad esempio, è sempre una leva vantaggiosa. Situazione diametralmente opposta è quella che si verifica quando si lavora con una leva come questa in cui il braccio motore è più corto di quello resistente.
In tal caso abbiamo a che fare con una leva svantaggiosa. Una leva di terzo genere, ad esempio, è sempre svantaggiosa essendo sempre, in tale leva, b_m minore di b_r. Se le leve di secondo genere sono sempre vantaggiose e quelle del terzo genere sono sempre svantaggiose, di leve del primo tipo possono esisterne vantaggiose, svantaggiose, ma anche indifferenti.
Come avrai capito, tutto dipende dalle relazioni tra i due bracci delle forze. In una leva indifferente, in particolare, il braccio b_m è uguale al braccio b_r. Anche stavolta il tempo a nostra disposizione è terminato.
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