el día de hoy vamos a comprender uno de los conceptos más importantes de la trigonometría cuyo uso y aplicación ha sido muy importante para diversos campos de la ciencia este concepto nos permite calcular ángulos y distancias de manera indirecta nos ayudará a modelar ondas electromagnéticas y además nos permitirá comprender muchos fenómenos importantes Es una herramienta matemática que está presente en muchas ecuaciones importantes de la física y es una pieza clave para la comprensión de muchas otras cosas más el día de hoy estudiaremos las razones trigonométricas [Música] para tener una idea de cómo surgen las razones trigonométricas pensemos en lo siguiente aquí tenemos una circunferencia cuyo radio es la distancia que existe entre el centro y cualquier punto sobre la circunferencia el diámetro es una línea recta que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por el centro y es equivalente a dos veces el radio por otro lado si tomamos la medida al contorno de la circunferencia estaremos obteniendo su perímetro supongamos que esta circunferencia Tiene radio igual a una unidad por lo tanto su diámetro es igual a dos unidades si medimos el contorno de la circunferencia o sea cuánto es su perímetro obtendremos que es igual a 6. 28 aproximadamente si incrementamos el radio el diámetro Se incrementa y el perímetro también tal como vemos aquí en la animación muy bien supongamos que por pura casualidad se te ocurre hallar la razón entre el multímetro y el diámetro o sea dividir el perímetro de la circunferencia entre su diámetro para este caso sería dividir 6. 28 entre 2 y obtendrás aproximadamente 3.
14 qué sucederá si incrementamos el diámetro de la circunferencia pues veamos al incrementar el diámetro de la circunferencia notamos algo muy interesante que la razón entre el perímetro y el diámetro es siempre constante e igual a 3. 14 acabamos de descubrir una de las constantes más importantes de la matemática el famoso número pi por lo tanto podemos decir que al dividir el perímetro de una circunferencia entre el diámetro de esta misma siempre obtendremos el número pi de hecho podemos usar esto para obtener que el perímetro de una circunferencia es igual al número pi multiplicado por el diámetro y dado que el diámetro es dos veces el radio finalmente obtenemos que el perímetro es igual a dos veces pi multiplicado por el radio y así tenemos una fórmula que nos permite calcular el perímetro de cualquier circunferencia con tan solo saber cuánto es su radio fantástico verdad Pero dejemos de lado la circunferencia y veamos qué es lo que pasa con los triángulos rectángulos y ahora hablemos de un triángulo rectángulo se llama así porque posee un ángulo recto triángulo rectángulo de ahí el nombre como todo triángulo posee tres lados pero para este triángulo sus lados Residen un nombre especial por ejemplo el lado más grande de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa y siempre es el lado que está enfrente del ángulo recto los otros lados restantes se conocen como catetos veamos Qué sucede con los triángulos rectángulos para ello construimos un triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 unidades y la hipotenusa mide 5 unidades para este triángulo si medimos el ángulo formado entre el hipoten y el cateto que mide 3 unidades obtenemos que su medida es de 53. 13 grados sexagesimales muy bien Ahora hagamos algo similar a lo que hicimos con la circunferencia al inicio de este video es decir comparemos dos de los lados del triángulo rectángulo mediante una división es decir calculemos la razón entre dos de sus lados por ejemplo entre el cateto que mide 4 y 3 unidades al realizar la división obtenemos que la razón es igual a 1.
33 aproximadamente veamos qué es lo que sucedería con esta razón si es que hacemos que el cateto que mide 4 unidades se incremente al incrementar la longitud de este cateto la hipotenusa y el ángulo inicial también lo harán y podemos ver que la razón también está cambiando pero qué sucede si cambiamos la longitud del cateto que mide tres unidades Pues si disminuimos la longitud de este cateto vemos que la longitud de la hipotenusa y el ángulo también cambia y la razón también está cambiando hasta el momento no hemos encontrado nada interesante Así que regresemos a nuestro triángulo inicial de 3 4 y 5 unidades Existirá alguna manera en la que cambiemos los lados del triángulo y la razón entre los lados permanezca constante pues miremos qué es lo que pasa cuando incrementamos los lados de este triángulo pero de manera que el ángulo no cambie como podemos notar si mantenemos el ángulo fijo al obtener la razón entre los catetos vemos que la razón siempre se mantiene constante bien sigamos experimentando ahora comparemos el cateto que mide tres unidades con el cateto que mide 4 unidades para este caso la razón entre estos catetos es igual a 0. 75 Y si incrementamos los lados del triángulo de manera que su ángulo se mantenga constante vemos que la razón también se mantiene constante y sigue siendo igual a 0. 75 siempre ahora ahora comparemos el cateto que mide 4 unidades con la hipotenusa que mide 5 unidades para este caso la razón entre estos dos lados es igual a 0.
8 si incrementamos los lados de este triángulo de manera que el ángulo sea constante podemos ver nuevamente que la razón entre esos dos lados sigue siendo constante e igual a 0. 8 pero pasará lo mismo con otros ángulos pues veamos para ello observemos qué pasa con este triángulo cuyos catetos miden 2 y 3. 46 unidades y su hipotenusa es igual a 4 unidades el ángulo formado entre el hipotenusa y el cateto menor es de 60 grados si hallamos la razón entre el cateto más grande y su hipotenusa obtenemos que es igual a 0.
87 y al cambiar los lados del triángulo de tal manera que el ángulo de 60 grados se mantenga constante podemos ver como nuevamente la razón es constante e igual a 0. 87 y acabamos de descubrir una propiedad interesante de los triángulos rectángulos y como hemos notado esta propiedad está relacionada con los ángulos siempre que mantengamos el ángulo constante al obtener la razón entre los lados del triángulo rectángulo esta razón siempre será constante pero mejor veamos en más detalle para ello construyamos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b unidades y su hipotenusa será igual a 6 unidades Cuántas razones podemos obtener en total por ejemplo puedo comparar el cateto que mide a con el cateto que mide B el cateto que mide a colipotenusa que mide c ahora lo mismo pero para el otro cateto es decir el cateto que mide B con el cateto que mide a luego el cateto que mide B con la hipotenusa que mide c y finalmente para el hipotenusa la hipotenusa que mide C con el cateto que mide a y la hipotenusa que mide con el cateto que mide b y con esto hemos obtenido todas las combinaciones posibles de comparaciones entre los lados de nuestro triángulo rectángulo y podemos darnos cuenta que En total son seis razones y si creamos un nombre especial para cada una de ellas y sí así es como nacen los famosos operadores trigonométricos Que en total serán 6 ya que teníamos seis razones en total el primero de ellos se llama seno el segundo se llama coseno el tercero se llama tangente el cuarto operador se llama cotangente el quinto operador se llama secante y el sexto y último operador se llama cosecante cada uno de estos operadores tendrá asociado un símbolo veamos para el seno su símbolo simplemente será zen para el coseno su símbolo será Cos para la tangente tenemos dos opciones puede ser tan O también tg para arco tangente también tendremos dos opciones puede ser cod o también ctg para la secante el símbolo es sec y finalmente para la cosecante el símbolo es csc y cada uno de estos operadores trigonométricos hará referencia a una comparación especial entre los lados del triángulo veamos en más detalle Cómo funcionan estos operadores trigonométricos pero primero hablemos de manera formal que es una razón trigonométrica la razón trigonométrica en un triángulo rectángulo es el valor que se obtiene al comparar dos lados de dicho triángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos cada una de estas comparaciones estará relacionada con cada uno de los operadores que hemos visto y la forma de representarlos serán de la siguiente manera Por ejemplo tenemos al operador seno cuyo símbolo es zen este operador trigonométrico actuará sobre un ángulo y como resultado nos dará un número operador trigonométrico hará referencia a una de las seis posibles comparaciones que se pueden hacer en el Triángulo por lo que ahora vamos a definir cómo actuará cada uno de los operadores trigonométricos y antes de definir cómo actuará cada operador trigonométrico Tendremos que poner nombres adecuados a los lados del triángulo y para ello debemos tener en cuenta lo siguiente un triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos que llamaremos Alfa y beta y recordemos que las razones trigonométricas son propiedades que dependen de los ángulos como sabemos el lado más grande de un triángulo rectángulo se llama la hipotenusa que de manera abreviada representaremos por h los otros dos lados restantes se conocen como catetos pero tenemos que distinguir uno del otro y para ello utilizaremos como referencia a los ángulos empecemos tomando como referencia al ángulo Alfa para este ángulo alfa el cateto que está enfrente o se lo pone será llamado cateto opuesto porque está opuesto al ángulo de manera abreviada lo representaremos por co que son las iniciales de cateto opuesto luego tenemos Al cateto que está muy próximo al ángulo es decir que es adyacente al ángulo y por este motivo este cateto se conoce como cateto adyacente y los representaremos por sea pero esto de cateto opuesto y adyacente es algo relativo ya que lo definimos usando como referencia al ángulo Alfa veamos qué sucederá si tomamos como referencia al ángulo Beta para el ángulo Beta la hipotenusa es la misma el lado más grande del triángulo y que está opuesto al ángulo recto sin embargo el cateto que está enfrente del ángulo Beta es decir opuesto será el cateto opuesto y el cateto que está próximo a este ángulo Beta será el cateto adyacente bien Ahora sí vamos a definir cómo actuará cada uno de operadores trigonométricos para ello veamos la definición de las razones trigonométricas empezamos construyendo un triángulo rectángulo con un ángulo Alfa que será nuestro ángulo de referencia y luego asignamos los nombres correspondientes a cada lado la hipotenusa el cateto opuesto que se opone al ángulo Alfa y el cateto adyacente que está próximo al ángulo alfa el primer operador trigonométrico que vamos a definir es el seno este actúa sobre un ángulo en este caso Alfa o sea seno de Alfa y esto es igual a comparar el cateto opuesto con la hipotenusa el segundo operador es el coseno este Igualmente actuará sobre el ángulo Alfa y será igual a comparar el cateto adyacente con la hipotenusa el tercer operador es la tangente el operador tangente actuará sobre el ángulo Alfa y será igual a la comparación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente el cuarto operador es la cotangente este opera actúa sobre el ángulo Alfa y hace referencia a comparar el cateto adyacente con el cateto opuesto El quinto operador es la secante este operador secante actúa sobre el ángulo Alfa y hace referencia a comparar la hipotenusa con el cateto adyacente y finalmente el sexto operador es la cosecante este actúa sobre el ángulo Alfa y hace referencia a comparar la hipotenusa con el cateto opuesto es decir cada operador trigonométrico hace referencia a una de las seis posibles comparaciones que se puede hacer con los lados del triángulo y que se han definido de esta manera para cada una de esas seis comparaciones se creó un operador que asigna una comparación en específico tal como hemos visto aquí por eso se le llama definición bien pudo haber sido de otra manera es solo una definición algo así como un convenio impuesto Lo importante es entender la importancia de estas razones y es importante radica en que cada ángulo fijo estas razones son siempre constantes y por ello serán de Gran utilidad de estas seis razones las tres primeras es decir seno coseno y tangente son las principales ya que las otras son simplemente las recíprocas me explico por ejemplo para el seno y la cosecante el seno se define como cateto opuesto entre hipotenusa y la cosecante se define como hipotenusa entre cateto opuesto es decir la cosa secante es la razón recíproca del seno el coseno y la secante también son recíprocas el coseno se define como cateto adyacente entre hipotenusa mientras que la secante se definió como hipotenusa entre cateto adyacente y finalmente la tangente y cotangente también son recíprocas ya que la tangente se definió como cateto opuesto entre cateto adyacente mientras que la cotangente se definió como cateto adyacente entre cateto opuesto por lo tanto en el fondo podemos reducir las seis razones a solamente 3 ya que a partir de las tres primeras podemos obtener las otras tres ya que son las recíprocas en resumen Hallar las razones trigonométricas en un cierto ángulo agudo se reduce a simplemente hallar estas razones mediante estas definiciones pero hay algo que a veces suele costar a los estudiantes cuando aprenden este tema por primera vez y es Cómo poder memorizar las definiciones y para ello te presento una de las nemotecnias más utilizadas socatoa socatoa si parece una extraña palabra pero Déjame explicarte Qué significa empezaremos yendo de izquierda a derecha tenemos a la palabra so la s hace referencia a seno la o hace referencia a opuesto y la H hace referencia a la hipotenusa es decir esto nos ayudará a recordar que seno de un ángulo Alfa por ejemplo es igual al cateto opuesto entre la hipotenusa la siguiente palabra es la c es la inicial de coseno la a hace referencia a adyacente y la H hace referencia a la hipotenusa por lo tanto esto nos ayuda a recordar que el coseno de un ángulo Alfa es igual al cateto adyacente entre la hipotenusa la siguiente palabra es Toa la t hace referencia a la tangente y esto nos Recuerda que la tangente de un ángulo Alfa es igual al cateto opuesto entre el cateto adyacente y con esto ya recordamos las definiciones para las tres primeras razones trigonométricas que son las principales las otras tres eran las recíprocas por lo tanto ahora miramos en el sentido de derecha a izquierda luego de la tangente sigue la cotangente y esta se define como cateto adyacente entre cateto opuesto luego sigue la secante que se define como hipotenusa entre cateto adyacente y finalmente la cosecante que se define hipotenusa entre cateto opuesto y como han visto las seis razones trigonométricas se pueden reducir a esta palabra mágica socatoa veamos un ejemplo calculemos todas las razones trigonométricas para el ángulo de 60 grados construimos un triángulo rectángulo con ángulo de 60 grados cuyos catetos son uno y raíz cuadrada de 3 y su hipotenusa es igual a 2 unidades ahora utilicemos las definiciones para hallar todas las razones trigonométricas empecemos con el seno de 60 grados que es igual al cateto opuesto entre el hipotenusa es decir raíz de 3 entre 2 el coseno de 60 grados es igual al cateto adyacente entre el hipotenusa es decir 1 entre 2 o sea un medio la tangente de 60 grados es igual al cateto opuesto entre el cateto adyacente es decir raíz de 3 entre 1 la cotangente de 60 grados es igual al cateto adyacente entre el cateto opuesto es decir 1 entre raíz de 3 la secante de 60 grados es igual a la hipotenusa entre el cateto adyacente es decir 2 entre 1 que es igual a 2 y la cosecante de 60 grados es igual a la hipotenusa entre el cateto opuesto es decir 2 Entre raíz de 3 y así de manera sencilla hemos obtenido todas las razones trigonométricas para el ángulo de 60 grados de manera similar se podría construir diferentes triángulos con los distintos ángulos agudos y con ellos podríamos obtener todas las razones trigonométricas para los ángulos agudos estas razones ya se conocen y se guardan en Tablas por lo tanto podemos hacer uso de ellas y utilizarlas para diferentes aplicaciones veamos una aplicación sencilla por ejemplo podemos usar las razones trigonométricas para calcular distancias de manera indirecta supongamos que tenemos una persona que quiere medir la altura de la famosa Torre Eiffel supongamos que esta es igual a H medir esto de manera directa utilizando una cinta métrica podría ser algo complicado Pero qué tal si hacemos lo siguiente construimos un triángulo rectángulo tomando en cuenta la posición de la Torre la altura y la base de la Torre podemos medir la distancia que existe desde donde estamos hasta la base de la Torre usando la cinta métrica y supongamos que obtenemos que mide 173 metros luego utilizando un instrumento podemos medir el ángulo que se forma desde el suelo hasta la punta de la Torre y obtenemos que es un ángulo de 60 grados bien como vemos tenemos los dos catetos por lo tanto podemos hallar la tangente del ángulo de 60 grados y como sabemos la tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto entre el cateto adyacente para nuestro caso tendríamos que la tangente de 60 grados es igual a H entre 173 en esta ecuación podemos multiplicar ambos miembros por 173 y obtenemos que H es igual a 173 multiplicado por la tangente de 60 pero la tangente de 60 grados es un valor conocido de hecho lo calculamos en el ejemplo anterior y es igual a raíz cuadrada de 3 por lo tanto H es igual a 173 multiplicado por la raíz de 3 y al operar esto obtenemos que la altura de la Torre Eiffel Es aproximadamente 299.
