¿Qué son ESPACIOS VECTORIALES?

ajá con que quiere aprender sobre espacios vectoriales bueno muy bien porque yo hoy quiero enseñarte lo que es un espacio vectorial es el tema esencial en el álgebra lineal y de hecho es un tema fundamental en las matemáticas así que bueno nada empecemos bueno antes de entrar en espacios vectoriales quiero ponerte en contexto primero vamos a recordar lo que es un conjunto para mí la forma más natural de pensar en lo que es un conjunto es una bolsa es una bolsa que puede estar vacía sin nada conjunto vacío que no tiene elementos o puede ser

una bolsa que tiene elementos y eso sería un conjunto un conjunto es una idea muy general puede ser el conjunto de los estudiantes de álgebra lineal de tal universidad o puede ser el conjunto de las aerolíneas que sirven a tal ciudad o puede ser el conjunto de los marcadores que tiene este profesor en el escritorio en este momento puede ser algo muy general sin embargo en matemática los conjuntos con los cuales más se trabajan con los conjuntos numéricos por ejemplo el conjunto de los números naturales los números enteros o el conjunto de los racionales de

los irracionales el conjunto de los números reales el conjunto de los números complejos pero también existen otros conjuntos el conjunto de los polinomios el conjunto de las matrices cuadradas de tamaño dos por dos tres por tres o todas el conjunto de las funciones que pueden ser las funciones continua o no las funciones definida de un intervalo bueno de conjuntos como digo es una idea bastante general y puede ser cualquier cosa sin embargo hay conjuntos que satisfacen unas propiedades especiales hay conjuntos que son ricos en propiedades se le puede definir una suma o se le puede

definir un producto una multiplicación entre sus elementos se pueden tener dos conjuntos y definir una multiplicación entre los elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto hay elementos que son protagonistas hay elementos que son estrellas en estos conjuntos especiales conjuntos especiales hay cientos hay miles por ejemplo espacios vectoriales de lo que vamos a hablar en este vídeo cuerpos que también vamos a tocar eso en este vídeo y ya van a ver por qué pero también hay otros grupos anillos grupo y des mono y des espacios topológicos retículo álgebra del y álgebra dejo álgebra

booleana módulos un álgebra hay muchos muchos de estos conjuntos especiales de todo esa gran cantidad de conjuntos especiales que por cierto el álgebra abstracta estudia esos tipos de estructuras como son las estructuras de estos conjuntos bueno de toda esa gran lista de conjuntos que existen hoy vamos a tocar únicamente espacios vectoriales y sólo un poquito sobre cuerpos los nuevos entonces a la pizarra para explicarte con dibujos y haciendo las cuentas bueno muy bien lo primero es el nombre espacio vectorial que por cierto suena a espacio sideral pero no es eso no es el espacio exterior

con los astros los planetas los soles los hombrecitos verdes y las naves extraterrestres que pudieran venir a atacarnos no no se trata de eso se trata de es un espacio vectorial que más bien refiere a vectores así que iniciemos por ahí por la noción de lo que es un héctor un vector en general es un segmento de recta que tiene una magnitud lo que mide que tiene una dirección en cual recta está y que tiene un sentido se apunta hacia allá o se apunta hacia acá hay solamente dos opciones en una recta ok supongamos que

apunta hacia acá eso es lo que es un vector ahora bien este punto donde termina el vector no está en la punta de la flecha será un punto de coordenadas y estamos en r2 de coordenadas x 0 y sub 0 y este otro punto en matemática a nosotros a los vectores siempre lo vamos a considerar anclados en el origen es decir que la cola del vector está en el 0 0 en el origen ahora bien si tenemos dos vectores supongamos que este vector que tenemos acá se llama b este es nuestro vector b y tenemos

otro vector este vector que está acá que se llama y entonces nosotros por la ley del paralelogramo los podemos sumar podemos sumar los dos vectores y si recordamos que están una paralela que trazamos otra paralela y nos va a quedar el vector suma el vector más b que se representa de esta manera por esta flecha que está acá este que está acá es el vector o macbeth y así podemos en r2 sumar dos vectores y vuelve a ser un vector de r 2 también a un vector b lo podemos escalar multiplicándolo por un número real

así que por ejemplo podemos construir el vector rojo ahora este vector que está acá llamado ce por b donde se es un número real esas dos operaciones son permitidas en r 2 al aplicar estas dos operaciones la suma o el producto por un número real vuelve a ser un vector de r 2 el vector b se puede identificar con este punto de acá es decir que nosotros podemos decir que el vector de es x0 y sub 0 podemos decir que el vector y el verde tiene coordenadas x 1 y su 1 y entonces nosotros podemos

sumar esos dos vectores de la siguiente manera un más ve nos va a quedar el vector y sumamos las coordenadas x 0 + x1 y en la segunda coordenada y sub 0 +1 y esa es una forma analítica de representar la suma de los vectores y coincide con este punto que está acá al final de este vector rosado si el c es un número real entonces el vector c por b este que está acá rojo que está acá va a ser mantener coordenadas c por equis sub 0 c por y sub zero y así se

representa el producto por escalar podemos hacer lo mismo en r3 el mismo análisis consideramos un vector b en r3 que recordemos va a estar siempre anclado en el 0 0 0 anclado en el origen ese vector va a terminar en algún punto hay dónde va a estar la punta del vector así que identificamos el vector con el punto donde termina supongamos que tiene coordenadas x 0 y sub zero sette a 0 si consideramos otro vector un vector que en este caso sería el vector verde también lo podemos identificar con este punto de acá y tiene

coordenadas supongamos x sub 11 z 1 estos dos vectores por la regla del paralelogramo los podemos sumar y nos va a quedar este vector rosado + b y analíticamente va a ser este vector que está acá que va a ser la suma de las coordenadas x 0 x 1 en la primera coordenada y 0 y 1 más y uno en la segunda coordenada z 0 z 1 en la tercera coordenada y también podemos representar lo que es el producto por un número real a un vector supongamos que ese es un número real y multiplicamos al

vector b por c y puede ser algo como un vector en la misma recta pero más largo acá lo hice más pequeño acá lo hice más largo pero si este número real es negativo entonces en realidad este vector rojo apuntaría en en el otro sentido y así vemos que en el reloj ya en r3 tenemos estas dos propiedades que cumplen los v que cumplen sus vectores lo mismo se puede hacer para r 4 para r 5 para r 6 y en general para r a la n veamos un ejemplo de cómo sería una suma de

vectores en r 5 y cómo sería un producto por escalar en r 5 viene en r 5 claro no podemos representar geométricamente 5 dimensiones y un vector en r 5 cómo sería eso no pero si podemos trabajar con ellos analíticamente entonces supongamos que tenemos dos vectores un vector de de cinco coordenadas x 1 x 2 x tiene 4 x 5 y tenemos otro vector y sub 12 y sub 30 sus 4 y sus 5 y además tenemos un número real c entonces como nos queda el producto del número real por el vector se x b

nos va a quedar c por x 1 c por x 12 por x 3 por x 40 x x 5 es decir se multiplica coordenadas en cada una de las coordenadas y ahora como sería el vector más b la suma de estos dos vectores pues es un nuevo vector de r 5 donde vamos a sumar las coordenadas coordenadas a coordenadas esto no va a quedar x 1 + hizo una primera coordenada en la segunda coordenada x 2 más y sub 2 y así sucesivamente hasta que en la quinta coordenada nos queda el x5 más el

y sub cívico de nuevo estas dos operaciones que se pueden hacer con vectores entre 5 vuelve a ser un vector de r 5 muy bien hagamos un resumen entonces de las propiedades que satisfacen los vectores en rn y paralelamente vamos a ir dando un ejemplo en r2 para que se entienda mejor dados tres vectores en rn v y w y dos números reales 6 se tiene que la primera propiedad es que la suma de cualesquiera dos vectores digamos vive pertenece a rn en r2 supongamos que los vectores w son el vector 1 - 1 b

el vector 2 1 y w el vector 10 mientras que 6 son los números reales 2 y 3 entonces la suma uno más b en este caso que sería + b sería el vector 123 menos 110 y eso vuelve a ser un vector de r 2 la segunda propiedad es la compatibilidad de la suma es decir que un + b es lo mismo que demás y podemos ver en este ejemplo que en efecto si uno suma un más b ya sabemos que nos va a dar 30 y si sumamos demás ahora dos más uno tres

y uno más menos 10 la tercera propiedad es la existencia del elemento cero existe 0 y en rn el 0 va a ser el vector que tiene todas las coordenadas 0 también se puede representar con un 0 grande en r2 el 0 es por supuesto el vector que tiene dos coordenadas igual a cero pero no solamente existe un cero sino que ese cero tiene la propiedad de que cualquier vector sumado con ese cero te da como resultado el vector y por ejemplo acá en r2 si sumamos el vector uno menos uno más el vector cero

nos queda el vector uno menos uno es decir el mismo vector este elemento cero es un elemento estrella de los espacios vectoriales al principio de este vídeo yo les dije que hay conjuntos especiales que tienen elementos estrellas bueno el cero es un elemento estrella de todo espacio vectorial porque pues todo espacio vectorial necesariamente necesariamente tiene que contener un elemento cero diego y si no contiene un elemento cero un conjunto pues entonces no puede ser un espacio vectorial la cuarta propiedad es interesante y nos dice que cualquier elemento de rn tiene un inverso con respecto a

la suma es decir que para un existe menos de tal manera que cuando se sume con eso vale 0 cuál será el elemento 0 del espacio vectorial que es por cierto el elemento 0 del espacio vectorial es único solamente hay un elemento 0 en cualquier espacio vectorial en el caso de r 2 cuál es el inverso con respecto a la suma del 11 pues este vector el menos 11 cuando yo sumo 1 más menos 1 me da cero y menos uno más uno da cero que es el cero de r2 la quinta propiedad es la

propiedad asociativa y lo que dice es lo siguiente que más ve más w es lo mismo que el más de más w es como es muy fácil verdad en el caso de r2 ahora si entra en juego el w que pobrecito estado ahí esperando sin hacer nada esto da exactamente lo mismo y cuánto da esta suma por acá esto da acá que ya sabemos que esto vale 30 y luego el 30 al sumarlo con el 1040 y acá primero desarrollamos esto que está acá y esto que está cada 31 y cuando los sumamos con el

1 menos uno me queda 40 así que sumar estos tres vectores primero estos dos y el resultado sumarle w es lo mismo que primero hacer la suma de estos dos y al resultado sumarle el vector la propiedad asociativa bien las siguientes propiedades tienen que ver ahora con el producto por escalar acá a r se le llama el conjunto de los escalares y son escalares porque escalan los vectores y ahora las propiedades que vienen se refieren al producto por escalar entonces la sexta propiedad es que sé por ve pertenece a rn recordemos que el c es

un real arbitrario y b es un vector que está en rn entonces decimos que el producto por escalar es una operación cerrada la séptima propiedad nos dice que se más de x el vector b es lo mismo que se ve más de por b es decir que vale la propiedad distributiva la octava propiedad nos dice que una especie de asociativa nos dice que es lo mismo multiplicarse de sepor de x de que multiplicarse por el vector de por b eso da lo mismo en r2 como sería la octava propiedad entonces sería que es lo mismo

decir dos por tres por el vector 21 que decir dos por tres veces el vector 21 ambos dan 6 por 2 12 y 6 por 16 y la novena y última propiedad nos dice que este conjunto debe tener un elemento especial un elemento estrella llamado la unidad el 1 y ese uno de los números reales es el 1 que tú y yo conocemos el 1 normalito el 1 aunque hay bueno ese 1 x cualquier vector de rn te da cualquier vector de rené te da lo mismo te da igual entonces uno por b es lo

mismo que ve y como se ve eso en r2 la novena propiedad nos dice que uno por el vector 21 es lo mismo que el vector 2,2 estas nuevas propiedades que satisface rn en realidad se puede generalizar y podemos decir que cualquier espacio vectorial será un conjunto que satisfaga estas nueve propiedades las cinco primeras propiedades refieren a la suma estas propiedades refieren a la suma y las otras cuatro propiedades refieren al producto por escalar entonces un espacio vectorial que va a ser si va a ser un conjunto de rn pero también necesitamos de otro conjunto

que va a ser el conjunto de los escalares a este conjunto se le llama cuerpo este conjunto necesariamente tiene que ser uno de estos conjuntos especiales que yo mencioné al principio que se llama cuerpo en un cuerpo si tenemos una suma de elementos pero tenemos un producto también de sus elementos en un cuerpo existe un elemento estrella que se llama el 1 y cuál es la importancia de este elemento estrella que es la unidad bueno que dado cualquier elemento distinto de cero en el cuerpo suponte que se llame a existe un inverso multiplicativo dentro del

cuerpo tal que x me da como resultado el 1 me da como resultado la unidad generalmente se denota un cuerpo con la letra k pero también en inglés con la letra f de field y son ejemplos de un cuerpo k los números racionales q ere o los números complejos esos tres son como los más famosos ejemplos de un cuerpo entonces que es un espacio vectorial bueno no es un conjunto sino que son dos conjuntos un conjunto que lo podemos denotar por b otro conjunto acá que va a ser el cuerpo dotado con dos propiedades una

suma y un producto entonces en realidad un espacio vectorial es un cuarteto un conjunto no vacío otro conjunto que es un cuerpo que tiene que ser un cuerpo y dos propiedades una suma y una multiplicación de modo que un espacio vectorial tiene que venir dado por estos cuatro elementos si solamente damos uno de esos elementos no se puede decir nada si solamente se dan dos no se puede decir nada porque hay que especificar cuál es la suma si solo se dan tres no se sabe si un espacio vectorial o no porque hay que decir cuál

es la multiplicación para que quede determinado este conjunto especial llamado espacio vectorial nos tienen que decir cuál es este conjunto b cuál es el cuerpo' cuál es la suma y cuál es la multiplicación una vez que nos digan estos cuatro elementos se tiene que verificar estas nueve propiedades las primeras cinco propiedades de nuevo que refieren a la suma y las últimas cuatro propiedades que refieren al producto por escalar de modo que esto todo es un espacio vectorial fíjense que rn lo cumple rn sería cuando el b es r n el k es r la suma

es la suma que es coordenada a coordenada y el producto por escalar es cuando tenemos el elemento c en los reales y lo multiplicamos en cada una de las coordenadas ese es el producto entonces rn con r con esa suma con este producto es un espacio vectorial sin embargo no solamente rn satisface las propiedades de un espacio vectorial sino que hay muchísimos más ejemplos y por qué es importante generalizar para que me interesa a mí generalizar si ya con rn yo soy feliz la importancia de generalizar es que si nosotros demostramos propiedades en general para

cualquier espacio vectorial automáticamente estaríamos probando esas propiedades para la infinidad de espacios vectoriales que existen sin hacer las cuentas específicamente sin hacer las cuentas particularmente en cada uno de los espacios vectoriales las hacemos en general y ya eso implica que todos los espacios vectoriales los satisfacen otro ejemplo que te puedo dar son los polinomios de grado menor o igual que 5 cuya anotación de ese conjunto es r sub 5 de x polinomios con coeficientes en los reales por eso aparece los reales si tomamos un polinomio digamos un polinomio de x igualdad x a las 53

x a la 4 - 2 x a la 3 - x al cuadrado más 7 x menos 1 y consideramos el polinomio q de x igual a 3 x a las 5 - x digamos al cubo más x + 3 por ejemplo entonces al sumar px más q de x eso vuelve a ser un polinomio con grado menor o igual que 5 y cuando multiplicamos el polinomio px por un número real digamos por 5 nos queda este polinomio 5x a las 5 más 15 x a la 4 menos 10 x a la 3 menos 5

x al cuadrado más 35 x menos 5 y así vemos que tanto la suma como el producto por escalar vuelven a ser polinomios de grado menor o igual que 5 es imposible que sumando dos polinomios o multiplicando los por un número real aumente el grado y se salga de este conjunto ahora porque insisto que son los premios de grado menor o igual que 5 porque si puede ocurrir que al sumar dos polinomios el grado se reduzca por ejemplo o sea el polinomio px le sumamos el polinomio sbx miren lo que sucede cuando sumamos x a

las cinco menos x a las 5 de acero 3 x a la 4 menos 34 de acero menos 2 x al cubo x al cubo da menos x al cubo menos x al cuadrado más que al cuadrado de 0 7 x más una x de 8 x menos 12 vale 1 entonces el polinomio p de x + sd x es este polinomio que acabamos de decir menos x al cubo más 8 x más 1 el grado no es 5 pero no importa porque el grado es menor o igual que 5 así que este polinomio sigue

estando dentro de este conjunto cuál sería el polinomio 0 el elemento estrella el elemento estrella de acá bueno sería el polinomio 0 de x 0 este sería el polinomio 0 del conjunto r sus 5 de x de los polinomios de grado menor o igual que 5 este polinomio satisface esta propiedad que al sumarlo con cualquier polinomio me da el polinomio original y que todo polinomio tiene un inverso que al sumarlo con él me da 0 y es fácil ver que las demás propiedades también se verifican de modo que el recinto de x es un espacio

vectorial y así como lo hicimos para el 5 de x lo podemos hacer para el re su ndx así que el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que en 'para cualquier n es un espacio vectorial y sería este espacio vectorial el vez sería r 5 x todos los polinomios grado menor o igual que 5 junto con este conjunto con este cuerpo de los reales con la suma de la que ya hablamos y con el producto por escalar que también ya hablamos esto entonces es un espacio vectorial así como este espacio vectorial también

podemos verificar que el conjunto de matrices cuadradas de tamaño 2 por 2 es un espacio vectorial con cuál cuerpo con los reales con cual suma con la suma normal de matrices con cuál producto por escalar bueno con el producto de que un elemento cede los reales multiplica a cada una de las entradas de la matriz cuál es el cero de ese espacio vectorial la matriz formada por 0 0 0 0 va a satisfacer estas nueve propiedades de modo que el conjunto m2 por 2 con entrada en los reales junto con el cuerpo de los reales

con la suma de matrices y con el producto por escalar forma un espacio vectorial y en general las matrices de n por n con entrada en los reales junto con el cuerpo los reales con la suma y con el producto por escalar forma un espacio vectorial bueno yo al principio del vídeo les dije que esto nos refería a una clase de astronomía ni estamos dando un espacio sideral pero la verdad es que a mí me gusta pensar a los espacios vectoriales como un planeta un cuerpo celeste y este sería digamos el b junto con una

luna de modo que los elementos que viven en este planeta se pueden sumar entre sí y más nada satisfaciendo las primeras propiedades y luego existe una multiplicación de los habitantes de la luna con los habitantes de este planeta ve así que bueno de cierta manera yo por lo para en particular veo en mi mente a los espacios vectoriales siempre de esta manera como planeta y una luna siempre no existen planetas sin luna planeta con una luna aquí una propiedad la suma y entre un habitante de acá y un habitante de acá está el producto por

escalar así como me gusta ver a mí los espacios vectoriales es lo que necesito que ustedes aprendan hoy un espacio vectorial es algo así o algo así entonces si tenemos un cuarteto como este acá podemos colocar cualquier conjunto acá podemos colocar cualquier cuerpo acá podemos definir una suma y una multiplicación y podemos verificar si se cumplen estas propiedades y eso sería un nuevo espacio vectorial le va a dar un ejemplo de algo que no es un espacio vectorial si tomamos como ve el conjunto de los números enteros como que el cuerpo de los racionales la

suma normal de los elementos de los enteros y la multiplicación de un racional por un número entero qué sucede porque esto no es un espacio vectorial esto es un cuerpo que esto es un conjunto no vacío hay una suma hay una multiplicación porque eso no va a ser un espacio vectorial porque no se satisfacen las nueve propiedades cuál propiedad no se satisface si tomamos un racional por ejemplo el 0.5 y lo multiplicamos por un entero por ejemplo el 3 esto da como resultado 1.5 y esto no cae acá se salió del conjunto esto no pertenece

a z entonces no se satisface la sexta propiedad de que el producto por escalar necesariamente debe caer en este conjunto acá se salió del conjunto esto no es un espacio vectorial asimismo si en vez de q colocamos los reales - es un espacio vectorial porque si tomamos un real que puede ser este 0.5 o puede ser raíz de 2 por ejemplo y lo multiplicamos por un entero el resultado no va a ser un entero se salió del conjunto va a ser un número real va a caer acá pero no acá así que no cayó donde

debería caer ok así que ese es otro ejemplo de algo que no es un espacio vectorial aunque el cuarteto cumpla con lo que debe ser algo que uno se puede preguntar es que tiene que ver este tema de espacios es lo primero que uno ve en un curso normal de álgebra lineal qué tiene que ver esto con sistemas de ecuaciones lineales con matrices bueno ya dibuje con los vectores si está íntimamente relacionado y de ahí viene su nombre pero con las dos primeras cosas bueno para eso he preparado este ejemplo o este ejercicio demostrar que

el cis el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneos es un espacio vectorial entonces por qué tiene que ser homogéneo y no cualquier sistema de ecuaciones ya lo vamos a ver y tiene que ver con el cero por supuesto un sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma alfa 11 x x 1 + alfa 1 n por x n igual a 0 y así tenemos m ecuaciones hasta alfa sub m 1 x 1 alfa mn x n igual a cero esto es un sistema homogéneo genérico arbitrario esto se puede ver como a por

x igual a 0 donde a es la matriz de coeficientes de los alfa alfa 1 1 hasta alfa 1 n y así hasta alfa m 1 alfa mn x es el vector de incógnitas x1 hasta x n y este 0 que está acá es el 0 de rm porque hay m 0 acá porque hay ecuación muy bien entonces yo lo voy a dejar a ustedes la demostración de tarea de deberes pero una cosa que podemos ver es la siguiente primero el 0 está el 0 forma parte de este conjunto de soluciones porque al sustituir 000

000 en todas partes donde está la equis pues da como resultado 0 así que el conjunto de soluciones contiene al elemento 0 de rm ok eso es lo primero segundo si tenemos dos soluciones digamos un vector x y un vector y cuando lo sustituimos acá por propiedades de la propiedad distributiva de las matrices nos va a quedar que sea x x + por y eso a valer cero si cada uno de los dos son soluciones así que la suma de dos soluciones vuelve a ser una solución del sistema de ecuaciones si a un vector que

pertenece al conjunto de soluciones lo multiplicamos por un escalar cuando lo sustituimos acá el escalar puede salir y nos va a quedar el escalar ahora por equis pero si ya va por equis vale cero entonces se x cero sigue valiendo cero así que el producto por escalar sigue siendo un vector solución a este sistema de ecuaciones y así se pueden verificar todas las propiedades y se puede ver que esto forma un espacio vectorial así que esto a mí me parece muy interesante el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneos es un espacio

vectorial y de hecho es un sub espacio vectorial de rn acá estos vectores tienen n coordenada o sea que pertenecen a r l el conjunto de soluciones va a ser un sub espacio vectorial de rn pero para hablar de sus espacios vectoriales necesitamos otro vídeo y ese será un próximo vídeo que yo estaré creando me encanta el cerezo muy bien llegamos al final de otro vídeo que vimos en este vídeo vimos la definición de lo que es un espacio vectorial que es un tema fundamental del álgebra lineal y de hecho de las matemáticas en general

lo pusimos en contexto vimos que rn es el caso típico de un espacio vectorial pero como es se puede generalizar a espacios vectoriales de polinomios de matrices también de funciones por supuesto sí y así hay muchos ejemplos de espacios vectoriales un ejemplo es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lilian es homogéneo y con eso conectamos con la primera parte del curso de álgebra lineal nos queda por ver entonces más adelante que es un sub espacio vectorial y resolver ejercicios sobre sus espacios vectoriales cuando un conjunto es un sub espacio vectorial de otro

pero eso viene más adelante muchas gracias por quedarse hasta el final de este vídeo nos vemos