Fundamentos da Matemática Elementar - Funções (Parte II)

[Música] Olá sejam bem-vindos bem-vindas a mais uma aula do nosso curso né Agora nós vamos dar continuidade a discussão iniciada na aula anterior sobre funções no qual a gente abordou de uma maneira bastante Ampla né geral a noção de função como identificar o que é o que não é função identificar como construir né representar graficamente uma função e agora na nessa aula nós vamos olhar com mais detalhes alguns tipos específicos de de função né então vamos lá primeiro tipo interessante ou três tipos interessantes de se discutir e são eh tipos de funções que vão acompanhar

vocês ao longo do curso de matemática de licenciatura em matemática né é uma discussão que volte meia vocês vão precisar fazer né identificar funções desse tipo que são as injetoras sobrejetoras ou bijetoras também é possível chamá-las de injetivas sobrejetivas e bijetivas é possível encontrar esses dois tipos de nomenclatura né nas os materiais base e por aí vai bom começando com o que seria uma função injetora vamos seguir esse tipo de nomenclatura aqui vamos pegar é uma função f que tem um conjunto de partida x e leva num conjunto de chegada Y que que ela faz

ela vai pegar cada elemento xizinho do meu conjunto de partida x levar em um uma imagem dessa desse Ponto X né desse número X esse elemento x em um Y né que vai ser denominado também FX a f ela vai ser injetora dizemos que ela é injetora se qu qualquer dois X1 e X2 qualquer dois elementos do meu conjunto de partida que sejam diferentes entre si né pego Dois números e eles vão levar a uma imagens diferentes no meu conjunto Y então eu pego Dois números dois elementos diferentes do meu conjunto de partida passo pela

minha função f e vai levar a duas imagens diferentes quando isso ocorrer eu digo que essa função ela é o quê Ela é uma função injetora ou injetiva né se a gente pensar na nossa representação por diagramas né significa isso cada ponto ali do do X cada elemento ali do X tá sendo levado a um elemento do Y e se eu pegar duplas ali de elementos do X elas vão sempre levar a duplas de imagens diferentes em Y se a gente pensar ali tem um pontinho de y ali um elemento de y que ficou vazio

isso não é problema né A minha definição de injetor é justamente essa dados do X e X1 e X2 quaisquer diferentes entre si do meu conjunto de partida quando eu passo pela F eu chego a uma imagem em Y né de X1 uma imagem de X2 essas imagens são diferentes né ou seja dois dois X1 e X2 nunca apontam para o mesmo lugar sempre para pontos diferentes no meu conjunto de chegada um exemplo por né é uma função que sai dos naturais e chega nos números reais meu conjunto de partidas são os naturais chegadas são

os reais e essa função ela tem a regra x + 2 então eu pego um número natural x somo dois e chego no meu conjunto né de é o conjunto de chegada produzindo uma imagem por exemplo escolhi 0 0 + 2 produzo o do Esse é um exemplo de de função injetora né Eu nunca vou conseguir encontrar dois naturais diferentes um e dois e quando eu somar dois eles vão chegar a um mesmo ponto por exemplo né O um vai mais 2 vai chegar em TR o 2 + 2 vai chegar em 4 e assim

por diante a gente não vai conseguir apontar para o mesmo lugar no conjunto de chegada por isso que ela é injetora agora nós temos um um outro tipo de função que são as funções sobrejetoras ou sobrejetivas considerando a mesma ideia eu tenho o conjunto de partida x um conjunto de partida y e uma regra que vai levar elementos de X em Y ela vai ser essa função ela vai ser sobrejetora Se e somente ser qualquer elemento do meu conjunto de chegada existir um elemento do meu conjunto de partida então qualquer qualquer elemento que eu escolher

ali no meu conjunto de chegada eu vou ter um elemento relacionado a ele no meu conjunto de partida ou seja não não ficam elementos aqui sem uma relação com x com o conjunto de partida x né Então esse é um por exemplo né olhando para um diagrama seria isso cada elemento ali de X possui uma relação com com y meu conjunto de chegada e nesse caso diferente do caso anterior das injetoras Eu tenho dois elementos que apontam para um mesmo né elemento no conjunto de chegada Mas isso não é problema no pensando numa função sobrejetora

eu não posso é ter o quê ter elementos do meu conjunto de chegada que estão sem relação com alguém né no meu conjunto de partida e aí eu tenho uma função sobrejetiva caso eu chegue eu tenho uma regra que se Estabeleça dessa maneira então por exemplo você partir dos números reais e chegar nos números reais né seguindo a regra Peg um X do meu conjunto de partida do meu domínio elevo Ao Cubo qualquer número que eu escolher dentro dos reais eu sigo um número no pon no conjunto de partida cujo cubo é ele né Então

as imagens que estão ali no meu conjunto de de chegada elas estão sempre ali sendo produzidas por elementos do meu conjunto de partida passando pela F né então de uma outra maneira podemos dizer que o conjunto imagem numa função sobrejetiva sobrejetora ela é igual ao seu contradomínio né todo o meu conjunto de chegada representa a imagem da minha função f se ela for sobrejetora e o que seria a função bijetora na verdade a função bijetora ou objetiva ela ela é uma função que atende aos dois critérios ela precisa ser injetiva e sobrejetiva injetora e sobrejetora

ao mesmo tempo se ela for as duas coisas ao mesmo tempo então dizemos que ela é bijetora né então a cara geral dessa função objetor se a gente organizar isso como um diagrama seria essa né Cada elemento do X corresponde a um elemento de Y não sobra ninguém em Y sem uma correspondência e não partem né dois elementos de X nunca apontam para um elemento né de Y né é uma correspondência um para um uma respondência biunívoca cada elemento do meu conjunto de partida vai se relacionar apenas um elemento do meu conjunto de chegada e

não vai sobrar ninguém no conjunto de chegada sem uma correspondência ali com meu conjunto de partida x Isso é uma função bijetora ou objetiva né um exemplo pode ser a uma função f aqui que leva dos reais até os números reais e que tem como regra de Formação o F Dex ou o meu Y sendo 2x + 1 eu multiplico por 2 depois somo 1 qualquer número real e ele vai chegar dentro do número real vai produzir uma imagem que é real e isso são esses três tipos de de função e que vai ser sempre

necessário em uma diversidade de teoremas de resultados de verificações né que são necessárias dentro desse curso nós vamos fazer mas em outros cursos em outras disciplinas da licenciatura em matemática Vai ser necessário verificar se essa função é sobrejetora se ela é injetora se ela é bijetora então são funções interessantes da gente sempre compreender e discutir agora outros tipos de funções né Por exemplo função constante uma função constante nada mais é que uma função que pra qual a imagem é sempre um certo número um certo valor constante aqui nesse nosso caso dissemos que ele é K

com K pertencente aos reais em termos de diagrama o que isso significa todos os elementos do meu conjunto de partida vão levar a onde sempre a esse número esse mesmo elemento que é o número k um número real k o gráfico né Por exemplo dessa função uma função que é pode ser um exemplo né FX = 2 Então todo número x do meu domínio todo o valor do meu domínio x quando eu passar pela F vai produzir uma imagem que é igual a quê nesse exemplo dois o gráfico ficaria assim uma reta passando por dois

paralela ao eixo X se nós pensarmos né qualquer número aqui qualquer valor de X desse meu domínio dentro do eixo quando eu levar até a minha função vai obter que valor do então não importa qualquer número real que eu passar por essa função constante vai ser valor 2 né que é um nosso exemplo é um k qualquer k constante né pertencente aos reais outro tipo de função bastante comum bastante utilizada pra gente modelar uma série de situações é a função afim né E nós vamos ver ali a ideia de função linear já vamos entrar nessa

discussão né se é afim se é linear o que que é eh qual que é a fórmula né uma definição então se eu tenho uma função que leva dos reais aos reais ela é dita afim se para qualquer x do meu domínio né do meu conjunto de partida meu FX tem o formato Ax + B sendo A e B números reais uma coisa para se pensar a pode ser zer né se a for 0 vê o que acontece 0 x x zero o que que viraria essa minha função ela viraria F Dex = B Voltamos

ao caso da função constante então a gente precisaria adicionar aqui o a e o b são números reais mas esse a não pode ser zero senão el volta o caso da função constante um exemplo de função afim é uma função f vamos supor aqui que leva dos reais até os reais cuja regra dela eh eu pego valores x meu conjunto de partida multiplico por 2 subtraio 1 2x - 1 e chego produzo imagens no meu conjunto de chegada que são os reais isso aqui é um exemplo de uma função afim eh qual seria a cara

dessa função né graficamente pra gente produzir esse gráfico Vamos pensar um pouco alguns valores eh Chaves alguns valores bons pra gente poder desenhar o pelo menos esboçar esse gráfico né para isso nós podemos estabelecer assim uma tabelinha em que nós vamos colocar X Y né que são os FS de X as imagens de x e numa outra coluna que nós vamos pensar ess os pares ordenados né de x e y bom um ponto interessante pra gente é o x = 0 né x = 0 significa algum ponto aí que eu vou substituir é um ponto

né que tem aqui a coordenada x = 0 Como eu faço vamos substituir X por 0 na nossa equação ali na nossa expressão 2 x 0 0 - 1 0 - 1 -1 então quando X é 0 o y é - 1 quando X é 0 el passando por F eu produzo uma imagem em Y que é Men é isso que a gente tá fazendo e se agora não mais o meu X é 0 e se eu disser que o y é 0 bom se Y é 0 eu tenho 0 = 2x - 1 resolvendo

essa equação temos que X é meio ou seja se eu pensar o o ponto meio quando eu passar por pela minha função eu vou obter uma imagem que é zer Vamos colocar esse pontos aqui no meu plano cartesiano então nós temos o ponto 0 - 1 aqui embaixo né cortando o eixo Y por quê Porque é um ponto em que a coordenada desse Ponto X é sempre zero né e o y é -1 e o meu Outro ponto em que o y na verdade é zer e o meu X é me como eu tô pensando

Entre Dos reais até os reais eu consigo povoar essa reta inteira a função afim e linear ela tem essa cara é uma cara de uma reta né Eu tô aqui falando função linear função afim como se fosse tudo a mesma a mesma coisa e a gente vai entrar nessa conversa agora é ou não é a mesma coisa né Eh a gente alguns autores né consideram que quando o meu B é zero essa função Não chama mais afim essa função chama linear e qual seria a cara ela continuaria sendo uma reta porém como o meu B

é zero essa reta passaria sempre pela origem então uma possibilidade aqui é o FX = 2x vamos fazer trabalhar um pouquinho aqui com esses pontos de novo fazendo a mesma estratégia o mesmo raciocínio escolhe x = 0 calcula o quanto seria Y escolhe Y = 0 obtenho o x e temos esses pontos aqui né e organizando né montando esse gráfico nós teremos essa reta Aqui passa pela origem né Por se x é 0 2 x 0 é 0 então quando X é 0 meu Y é 0 para Qualquer que seja a minha regra dessa da

minha função e esse tipo de função que é uma reta mas que passa ali pela origem Costuma se chamar de linear agora é bastante comum também alguns autor e não fazer essa distinção se é linear ou se é afim toda função que tiver essa cara Ax + B ela é chamada de afim né não se faz muito essa distinção como o material base que nós estamos adotando não faz essa distinção e mais ainda ele faz até uma piadinha com as pessoas que querem fazer essa distinção nós vamos seguir coerentemente com o material base e vamos

manter como se fossem sinônimos mas é bom saber que existe essa diferenciação entre o que é uma função afim uma função linear bom nós encerramos por aqui essa aula na próxima nós vamos explorando mais alguns tipos de fun e ali vamos agregar também algumas discussões anteriores sobre equações resolução de equações quadráticas né de segundo grau bom é isso eso que tenham gostado até a próxima e [Música] k [Música]