La méthode des Éléments Finis Appliquée "les doigts dans le nez"

bonjour cette vidéo est une introduction des concepts essentiels à la pratique de la méthode des éléments finis j'essaierai de simplifier ce concept au maximum d'où la partie en surveillance rose du titre on commence par la question évidente suivante pourquoi utilise-t-on ans méthode des éléments finis la réponse est simple c'est pour résoudre les équations aux dérivées partielles ou les équations différentielles l'enchaînement logique sera pourquoi les équations aux dérivées partielles aussi tout simplement parce qu'elles régissent presque tous les phénomènes physiques je dis presque parce qu'il ya des problèmes qui sont peu qui sont régis par des équations

algébriques plus simple le premier concept de base dont on va parler et le corps un corps et 10 solide pour le différencier d'un fluide un corps solide peut-être l'asticot déformables sinon il est dit rigide si un solide élastique et soumis un chargement statique qui peut être une force ou un couple ils se déforme puis gagne un équilibre statique pour étudier l'équilibré statique d'un corps déformable par la méthode des éléments finis on le sud divison plusieurs éléments finis qu'on numérote dont des cercles ces éléments sont liés par des noeuds aussi numérotée lemay sont les cercles pour

les différencier des éléments les nombres des éléments et des ne peuvent être différents et ils le sont dans la plupart des situations la manière de numéroter peut être aléatoire mais cela peut donner des systèmes mathématiques bien qui équivalent mais différente différentes formes l'élément fini n'est qu'une relation mathématique qui définit la variation de la géométrie et de la fonction rechercher ou un contenu entre les noeuds cette relation peut être une simple fonction lumière comme elle peut être plus élaboré le tableau de connectivité est un outil important il contient les numéros de tous les éléments accompagnés par

les numéros de leurs ne dans la section ne on associer une colonne à chaque noeud l'it à noter qu'un élément peut se composer d'un seul ne on reprend l'exemple simple de la ba qui se compose de six éléments et si ne je vais séparer les éléments d'abord ensuite je commence à remplir le tableau ce n'est que pour clarifier le processus donc le premier élément se situe entre le premier et le deuxième le deuxième élément entre le deuxième neuf et le troisième le troisième élément entre le troisième et le quatrième ne et ainsi de suite jusqu'à

la fin où jusqu'au dernier nm je prends un autre exemple donc le premier élément se situe entre le premier et le deuxième ne le deuxième élément entre le deuxième et le troisième et si on voit que le troisième élément se situe entre le premier et le troisième le jusqu'au 5e se situe entre le troisième et le quatrième on passe maintenant à un autre concept important qui est le nombre de degrés de liberté qu'on peut imaginer comme le nombre de possibilités de mouvement d'un corps la méthode des éléments finis est souvent appliqué aux problèmes élastique c'est

pour cela qu'on parle souvent de mouvement et de déformation cependant la méthode peut être appliqué aux autres problèmes physiques comme par exemple les problèmes thermiques ou les degrés de liberté devient la variation de la température dans les différentes directions et ainsi de suite donc pour un corps rigide c'est à dire indéformable dans un espace 3d il ne peut faire que les mouvements suivants donc une translation un glissement sur l'axé x ou se relaxer x un autre glissement ou une translation selon l'aqsiq y une translation selon l'axé z une rotation autour de l'axé x une autre

rotation autour de l'accès y est une dernière rotation autour de l'axé z ont tous un corps rigide ne pas avoir cours que six degrés de liberté au maximum pas plus cependant il peut perdre ou avoir moins de degrés de liberté si les contraignait ou limitées en mouvement le nombre de degrés de liberté d'un élément dépend du nombre des noeuds qui le composent et de leur degré de liberté spécifique respectives donc parce qu'ils sont indépendants en mouvement le nombre de degrés de liberté d'un élément est égale à la somme des degrés de liberté des noeuds qui

le composent et cela quel que soit le nombre des noeuds un corps déformable a théoriquement une infinité de la liberté car il est composé théoriquement d'une infinité de particules cependant cette représentation ou sa représentation en un ensemble d'éléments finis appelé le maillage à un nombre limité qui est égale à la somme liberté de tous les maux donc j'ai dit ne venons pas éléments qui le composent en quinté le nombre total des degrés de liberté du système n est le nombre de deux le nombre des nains eni et le nombre des degrés de liberté d'une i

ou le yen ne et y est le numéro d'une donc résoudre un problème physique par éléments finis transforme l équation différentielle ou aux dérivées partielles difficile voire souvent impossible à résoudre manuellement pour analytiquement en un ensemble des croissants algébrique c'est un pas résoudre la taille du système algébrique final c'est à dire le nombre des inconnus et équations à résoudre est définie par le nombre de degrés de liberté totale du système c'est-à-dire nt pour un problème de mécanique statique par exemple la taille ou la longueur du vecteur des charges force au couple ou autre est égal

à 1 mt la taille ou la longueur du vecteur des déplacements translation rotation ou autre et il ya nous aussi a été la taille de la matrice global de rigidité qui est toujours carré est symétrique est égal à un thé dans chaque direction donc un témoin nt1 matrice global est assemblé à partir des matrices de rigidité élémentaires dont le nombre est égal au nombre des éléments la taille de la matrice de rigidité élémentaire est égal dans chaque direction au nombre de degrés de liberté de l'élément qu'elle représente c'est à dire une fois un e et

valeurs de la matrice élémentaire dépend de la physique du problème étudié et des différentes hypothèses adopté et elles ne dépendent pas de la façon avec laquelle le domaine l'aude le domaine émaillée par exemple un élément ressort à une dimension défini par la constante de raideurs qu'à son crochet pour ne pas être confondus avec la matrice est représentée par la matrice deux fois deux suivantes donc on considère un exemple pour faire la démonstration comment mettre en oeuvre tous ces concepts et on va considérer l'exemple suivant qui consiste à trouver les valeurs des deux déplacements x1 et

x2 ainsi que la réaction rx au point d'attachement du système mon équilibre statique m or le domaine émaillé subdiviser par deux éléments ressort à une dimension ensuite les éléments ainsi que les ne sont numérotées de gauche à droite la direction n'est pas obligatoire les numéros des éléments sont encerclés et ce dès ne le sont pas pour les différencier à chaque élément est associée une matrice de rigidité élémentaires qui dépend de sa raideur en représente tous les chargements f ainsi que tous les degrés de liberté l'assemblage de la matrice de rigidité global est basé sur le

tableau de connectivité qui définit comment les éléments sont liés entre eux donc le premier élément se trouve entre le premier et le deuxième ne et le deuxième élément entre le deuxième et le troisième ne nous avons un maillage composé de trois noeuds de liberté chacun ce qui donne un nombre de degrés de liberté totale totale égale à 3 donc la taille de la matrice de rigidité globale et donc 3 x 3 donc avec le tableau de connectivité déjà obtenus on commence par le 1er mai qui se situe entre le le premier élément il se situe

entre le premier et le deuxième ne et en place sa matrice élémentaire entre la première et la deuxième colonne est la première et la deuxième ligne de la même manière le deuxième élément qui se situe entre le deuxième et le troisième nom est placé entre la première et la deuxième et la troisième colonne et la deuxième et la troisième ligne pour les éléments qui partagent la même la même position tout simplement on les additionne on remplit la matrice de rigidité globale par des zéros dans les cases restantes donc le système global à résoudre sera donné

par cette équation matricielle on peut procéder à l'arrêt de cette équation retenu comme honteux la simplifiant et en appliquant les conditions aux limites donc on line et demi on élimine les lignes et les colonnes qui correspondent aux valeurs nul de déplacement ici la position unie et on résout le système avec les valeurs restantes aucun un simple système de deux inconnus et deux équations pour calculer la réaction au premier noeud de d'attachement on reprend le système d'origine qu'on a simplifié la première équation suffit pour la calculer c'est à dire la réaction avec cette figure qui résume

tous les résultats et sur laquelle on peut vérifier l'équilibré ont conclu cette vidéo d'introduction des éléments essentiels à la pratique de la méthode des éléments finis la prochaine vidéo sera consacrée à une série d'exercices sur les éléments ressort un autre dimension